1.1 Latar Belakang Masalah
Ring polinomial adalah himpunan semua fungsi dari himpunan semua bilang- an bulat nonnegatif ke ring R dengan elemen identitas dan dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan pergandaan. Nilai fungsi pada ring polinomial tidak bernilai nol hanya untuk berhingga banyak elemen bilangan asli. Dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang sama dengan ring polinomial, diperoleh ring baru yang lebih umum yaitu ring deret pangkat formal. Dalam ring deret pangkat formal, syarat bahwa nilai fungsinya tidak bernilai nol hanya untuk berhingga elemen di domain dihilangkan.
Pada ring polinomial, domain fungsinya berupa himpunan semua bilangan bulat nonnegatif. Jika domain fungsinya diganti dengan sebarang semigrup, maka diperoleh ring baru yang lebih umum dari ring polinomial yang disebut dengan ring semigrup. Selanjutnya, jika domain fungsinya dipersempit menjadi monoid terurut tegas dan kodomainnya adalah ring komutatif dengan elemen identitas, maka dengan operasi yang sama dengan operasi pada ring polinomial, akan diperoleh ring baru yang disebut RDPT. Namun demikian, dalam RDPT terdapat syarat tambahan yaitu fungsi yang dihimpun adalah fungsi yang supportnya Artin dan narrow.
Dalam teori ring, terdapat pembahasan mengenai ideal dari suatu ring beserta sifat-sifatnya dan definisi dari radikal suatu ideal. Dalam teori ring dipunyai fakta bahwa ideal di ring R apabila diradikalkan akan tetap menjadi ideal di ring R. Ideal pada RDPT dapat dikonstruksi dari ideal pada ring R. Dari fakta di teori ring bahwa radikal dari ideal pada ring R merupakan ideal juga, maka ideal pada RDPT tidak hanya ideal yang dikonstruksi oleh ideal di R, tetapi juga ideal yang dikonstruksi dari radikal ideal di R dan ideal yang dikonstruksi dengan meradikalkan ideal RDPT. Dari
1
ketiga ideal RDPT tersebut, dua diantaranya menarik untuk dibahas karena struktur yang hampir sama yaitu radikal dari ideal di ring R dan radikal dari ideal RDPT.
Dalam skripsi ini akan dibahas ketiga ideal tersebut tetapi lebih banyak pembahasan tentang dua ideal yang terakhir beserta hubungan antara keduanya.
Selain ideal dan radikal dari suatu ideal, dalam teori ring juga dibahas tentang elemen idempoten. Elemen idempoten merupakan elemen istimewa dalam suatu ring karena sifatnya yaitu jika elemen idempoten dioperasikan dengan dirinya sendiri ma- ka hasilnya tetap dirinya sendiri. Setiap ring R dengan elemen identitas mempunyai minimal satu elemen idempoten yaitu elemen identitas. Dari fakta ini, berarti RDPT juga mempunyai elemen idempoten khususnya 1. Tentu saja sangat mungkin elemen idempoten di RDPT tidak hanya 1. Untuk itu dalam skripsi ini akan dibahas tentang sifat-sifat elemen idempoten pada RDPT dan hubungan antara elemen idempoten di ring R dan elemen idempoten di RDPT.
1.2 Perumusan Masalah
Dari yang telah diuraikan di latar belakang di atas, perumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah:
1. Hubungan antara ideal RDPT yang dikonstruksi dari radikal ideal di ring R dengan radikal ideal RDPT yang dikonstruksi dari ideal di R. Apakah keduanya sama? Jika keduanya tidak sama, syarat apa yang diperlukan agar keduanya menjadi sama.
2. Hubungan antara elemen idempoten di ring R dengan elemen idempoten di RDPT dan karakterisitik elemen idempoten di RDPT.
1.3 Batasan Masalah
Pada penulisan skripsi ini, ring R yang dimaksud adalah ring komutatif de- ngan elemen identitas dan operasi pada monoid S adalah operasi penjumlahan, ke-
cuali jika disebutkan yang lainnya. Penulis juga membatasi pada pembahasan ten- tang ideal-ideal RDPT yang dikonstruksi dari radikal ideal di R dan radikal dari ideal RDPT yang dikonstruksi dari ideal di R serta hubungan di antara keduanya. Se- lain itu, masalah juga dibatasi pada karakteristik dari elemen idempoten RDPT dan hubungan antara elemen idempoten ring R dan elemen idempoten di RDPT.
1.4 Maksud dan Tujuan
Maksud dan tujuan dari ditulisnya skripsi ini adalah untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Ma- da. Penyusunan skripsi ini juga bertujuan untuk menambah pengetahuan tentang himpunan terurut, monoid terurut, sifat Artin, Noether dan narrow pada himpunan terurut. Selain itu, penulis juga ingin menambah pengetahuan tentang ring Noether, ring Artin dan RDPT, khususnya tentang beberapa ideal pada RDPT dan karakteristik idempotennya.
1.5 Tinjauan Pustaka
Teori-teori dasar tentang himpunan terurut parsial dan himpunan terurut tegas bersumber dari Adkins (1992). Definisi dan contoh dari monoid bersumber dari Howie (1976), sedangkan definisi dan teorema-teorema tentang monoid terurut dan RDPT bersumber dari Elliott dan Ribenboim (1990) dan Ribenboim (1990). Dari Elliott dan Ribenboim (1990) dan Ribenboim (1990) pula diketahui definisi-definisi dan teorema-teorema dari himpunan terurut Artin dan himpunan terurut narrow. Un- tuk definisi dan teorema-teorema tentang ring dan ideal bersumber dari buku Fraleigh (2000), Hungerford (1974), Malik et al (1997) dan Dummit (1997). Selanjutnya pem- bahasan mengenai ideal dan elemen idempoten pada RDPT, penulis menggunakan artikel dari Xiao dan Xin (2003) dan Ribenboim (1994).
1.6 Metodologi Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah de- ngan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai monoid, monoid terurut, sifat Artin dan narrow, ideal, idempoten, ring Noether, ring Artin dan RDPT.
Pada tahap awal dipelajari tentang himpunan terurut, monoid dan monoid teru- rut. Hal-hal yang dipelajari dalam himpunan terurut adalah tentang definisi dari him- punan terurut itu sendiri dan definisi dari himpunan terurut yang bersifat Artin atau Noether. Selain itu, dipelajari pula tentang teorema-teorema yang berhubungan de- ngan himpunan terurut yang Artin dan himpunan terurut yang Noether. Dalam him- punan terurut, definisi dan beberapa teorema tentang himpunan terurut yang narrow juga dipelajari. Setelah himpunan terurut dipelajari, dilanjutkan dengan mempela- jari monoid dan monoid terurut yang di dalamnya terdapat beberapa teorema tentang monoid terurut Artin dan monoid terurut narrow.
Pada tahap berikutnya, dipelajari tentang teori ring yang di dalamnya terdapat definisi dari ring, subring dan ideal. Dalam teori ring juga dipelajari tentang ho- momorfisma ring dan teorema-teorema yang berkaitan dengan homomorfisma ring.
Setelah teori ring dipelajari, teori selanjutnya yang dipelajari adalah teori ring Artin, ring Noether dan konstruksi RDPT.
Kedua tahap tersebut dilanjutkan dengan mempelajari ideal dan elemen idem- poten pada RDPT. Dalam tahap ini, penulis mempelajari tentang beberapa ideal di RDPT dan karakteristik dari elemen idempotennya. Dalam acuan utama, yaitu ar- tikel dari Xaio dan Xin, terdapat beberapa teorema yang tidak diberikan buktinya.
Dengan tidak diberikannya bukti dari beberapa teorema tersebut, penulis berusaha membuktikannya sesuai kemampuan penulis yang selanjutnya didiskusikan dengan pembimbing. Apabila dalam pembuktian masih ada kekurangan, maka pembimbing memberikan masukan sehingga bukti yang diperoleh mendekati benar. Selanjutnya, hasil penelitian dituangkan dalam tulisan dan didiskusikan dengan dosen pembim-
bing.
1.7 Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masa- lah, maksud dan tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penulisan dan sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini berisi tentang teori-teori yang menjadi dasar dalam pembahasan pada bab berikutnya. Teori yang dibahas adalah teori tentang himpunan terurut, monoid, monoid terurut, sifat Artin, narrow dan Noether pada himpunan terurut dan monoid terurut, ring, ideal, radikal Jacobson, idempoten, ring Noether, ring Artin dan RDPT.
BAB III IDEAL DAN ELEMEN IDEMPOTEN PADA RING DERET PANGKAT TERGENERALISASI
Pada bab ini dibahas mengenai beberapa sifat RDPT, ideal-ideal di RDPT yaitu ideal RDPT yang dikonstruksi dari radikal ideal di R dan radikal dari ideal RDPT yang dikonstruksi dari ideal di R. Dibahas pula hubungan antara ideal-ideal tersebut dan karakteristik dari idempoten RDPT.
BAB VI PENUTUP
Pada bab ini diberikan kesimpulan dari hal-hal yang dibahas pada bab sebelumnya.
