MATA KULIAH KALKULUS I

HANDOUT

MATA KULIAH KALKULUS I

Oleh Muhammad Istiqlal, M.Pd.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN

IAIN SALATIGA

HIMPUNAN A. Pengertian

Sebelum mempelajari tentang sistem bilangan real, kita perlu tahu dulu tentang himpunan. Himpunan merupakan sekumpulan objek yang memiliki sifat dan karakteristiktertentu. Himpunan disimbolkan dengan huruf kapital. Sebuah himpunan mungkin memiliki anggota mungkin tidak memiliki anggota. Anggota dari himpunan dinamakan elemen. Sebagai contoh 2 anggota himpunan dari A, disimbolkan dengan 2 A. Kemudian jika 2 bukan anggota dari A, disimbilkan dengan 2A.

Himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali dinamakan himpunan kosong, disimbolkan dengan  atau {}. Sebagai contoh A merupakan himpunan kosong, disimbolkan dengan A= atau A={}.

Penyajian himpunan dapat dilakukan dalam berbagai cara. Cara pertama, kita dapat menuliskan seluruh anggotanya, misalkan himpunan B beranggotakan senin, selasa, rabu, kamis, jumat,dapat dituliskan dengan B={senin, selasa, rabu, kamis, jum’at+. Atau dapat juga dituliskan dengan menyebutkan sifat atau karakteristiknya, B = {x|x merupakan hari kerja dalam satu minggu}, dibaca B adalah himpuna semua x dimana x merupakan 5 hari kerja dalam satu minggu.

Perhatikan dua himpunan berikut, C merupakan himpunan bilangan bulat tak negatif kurang dari sama dengan 7 dan D merupakan himpunan 5 bilangan asli pertama. Berdasarkan sifat yang disebutkan, maka kita dapat mendaftar anggota himpunan C dan himpunan D. C



0,1, 2,3, 4,5, 6, 7



dan D



1, 2,3, 4,5



. Perhatikan himpunan C dan D ! Nampak bahwa seluruh anggota D juga merupakan anggota C.

Dengan dmikian dapat kita katakan bahwa D merupakan himpunan bagian dari C atau D subset C, disimbolkan dengan D  C. Jadi subset merupakan hubungan dua buah himpunan ketika semua anggota dari salah satu himpunan juga merupakan anggota himpunan lainnya.

Himpunan dari semua himpunan bagian dinamakan dengan himpunan kuasa.

Sebagai contoh, tentukan himpunan kuasa dari^E



^{0,1, 2}



. Himpunan kuasa dari E adalah , {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}. Perhatikan dalam anggota himpunan bagian dari himpuna E terdapat himpunan kosong. Himpunan kosong

B. Relasi Antar Himpunan 1. Himpunan yang Sama

Diberikan dua buah himpunan, himpunan A dan himpunan B. A dan B dapat dikatakan sama jika memenuhi syarat berikut:

- A B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

- A B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A  B.

Penyajian dalam notasi matematika adalah sebagai berikut:

A = B  A  B dan B  A Contoh 1.

a. Jika ^A

 

^{0,1 danB}



^{x x x|}



^–1



^0



^,

maka A B

b. Jika ^A



^3,5,8,5



^danB



^5,3,8



, maka A B c. Jika ^A



^3,5,8,5



^danB

 

^3,8 , maka A B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

a. A = A, B = B, dan C = C b. jika A = B, maka B = A

c. jika A = B dan B = C, maka A = C 2. Himpuna yang Ekivalen

Diberikan dua buah himpunan, Himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Penyajian dalam notasi matematika adalah sebagai berikut:

A ~ B  A = B

Contoh 2.

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4

3. Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Penyajian dalam notasi matematika adalah sebagai berikut:

/ / A B Contoh 3.

Jika ^{A{ |x xP x,  8 dan } B}



^{10, 20,30,...}



, maka / /A B. 4. Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Penyajian dalam notasi matematika adalah sebagai berikut:

 

^{atau 2A}

P A Jika A = m, maka P(A) = 2m.

Contoh 4.

Jika A = { 1, 2 }, makaP A

 

 



, 1 , 2 , 1, 2

      

C. Operasi Antar Himpunan

Dua buah himpunan pasti memiliki relasi, dua buah himpunan yang tidak berhubungan pun juga memiliki relasi. Relasi yang mungkin terjadi dari dua himpunan adalah :

1. Beririsan (Intersection)

Dua himpunan dikatakan beririsan jika terdapat anggota/elemen yang sama dari dua himpunan tersebut. Misalkan himpunan A beririsan dengan himpunan B, disimbolkan AB.

Penyajian dalam notasi matematika adalah sebagai berikut:

dan x   A B x A xB Contoh 5.

Diberikan dua buah himpunan A dan B.

A = {1,2,3,4,5}

B = {1,3,5,7}

AB = {1,3,5}

2. Gabungan (Union)

Gabungan dua buah himpunan merupakan himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. Setiap elemen cukup ditulis sekali. Misalkan himpunan A gabungan himpunan B, disimbolkan dengan AB.

Penyajian dalam notasi matematika adalah sebagai berikut:

atau x   A B x A xB Contoh 6.

A = {1,2,3,4,5}

B = {1,3,5,7}

AB = {1,2,3,4,5,7}

3. Selisih Dua Himpunan

Selisih dua buah himpunan A dan B disimbolkan dengan A–B. A-B dibaca himpunan anggota A yang bukan anggota B.

Penyajian dalam notasi matematika adalah sebagai berikut:

dan x   A B x A xB Contoh 7.

A = {1,2,3,4,5}

B = {1,3,5,7}

A-B = {2,4}

4. Komplemen

Komplemen dari himpunan A merupakan himpuan anggota semesta pembicaraan (S) yang bukan anggota himpunan A. Komplemen A disimbolkan dengan A’ atau A^c.

Penyajian dalam notasi matematika adalah sebagai berikut:

{ | , }

Ac  x xA xS Contoh 8.

Diberikan himpunan A dan semesta pembicaraan S.

S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 A = himpunan bilangan genap kurang dari 10 A^’ = {1,3,5,7}

Latihan Soal

1. Jika D = {0,4,7} kita katakana 7D dan {7}D, tetapi bukanlah 7D. Tentukan mana yang benar di antara pernyataan berikut:

a. 4D b. 7D

c. D d. D

e. 0D f. 0D

g. 4D h. 0

2. Misalkan himpunan semesta S=*x | x bilangan ganjil positif+ tetukan A’ bila

SISTEM BILANGAN RIIL

Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Tetapi apakah bilangan riil itu dan apa sifat-sifatnya? Untk menjawab, kita mulai dengan beberapa system bilangan yang lebih sederhana.

A. Bilangan-bilangan Bulat dan Rasional

Di antara sistem bilangan, yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli, 1, 2, 3, 4, 5, 

Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kitam teman-teman kita, dan uang kita. Jika kita gandengkan negatifnya dengan nol, kita perloeh bilangan- bilangan bulat:

, 3, 2, 1, 0,1, 2,3,

    

Bilamana kita mencoba mengukur panjang, berat atau tegangan listrik, bilangan- bilangan bulat tidak memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memberikan ketelitian yang cukup. Kita dituntun untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat yaitu bilangan-bilangan seperti

3 7 21 19 16 17

, , , , , dan

4 8 5 2 2 1

 



Perhatikan bahwa kita menyertakan ¹⁶

2 dan 17 1

 , walaupun secara normal kita

menuliskannya sebagai 8 dan -17, karena sesuai dengan arti pembagian yang biasa mereka sama dengan yang belakangan. Kita tidak menyertakan ⁵

0 dan ⁹ 0

 , karena

tidak mungkin membuat pengertian dari lambing-lambang ini. Marilah kita bersepakat untuk seterusnya membuang pembagian oleh nol dari buku ini.

Bilangan-nilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m/n. dimana m dan n adalah bilangan-bilangan bulat dengan n0, disebut bilangan-bilangan rasional.

Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? TIdak.

Masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun 2 merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 1, bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat. Jadi 2adlaah suatu bilangan tak rasional. Demikian juga 3, 5, 7, ,³  dan sekelompok bilangan lain.

B. Bilangan-bilangan Riil

Sekumpulan bilangan (rasional dan tak rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan riil.

Bilangan-bilangan riil dapat dipandang sebagai pengenal (label) untuk titik-titik sepanjang sebuah garis mendatar. Di sana bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan atau ke kiri (jarak berarah) dari suatu titik tetap yang disebut titik asal dan diberi label 0. Walaupun kita tidak mungkin meperlihatkan semua label itu, tiap titik memang mempunyai sebuah label tunggal bilangan riil. Bilangan ini disebut koordinat titik tersebut. Dan garis koordinat yang dihasilkan diacu sebagai garis riil.

Terdapat lambang-lambang baku untuk mengenali kelas-kelas bilangan yang sejauh ini telah dibahas. Mulai sekarang, akan menyatakan himpunan bilangan asli (bilangan bulat positif), (dari bahasa jerman, Zahlen) akan menyatakan himpunan bilangan bulat, (hasil bagi bilangan bulat) menyatakan himpunan bilangan rasional, dan himpunan bilangan riil. Seperti ditunjukkan pada gambar berikut,

  

Di sini  adalah lambing himpunan bagian; dibaca “adalah himpunan bagian dari”, Hampir semua mahasiswa akan ingat bahwa system bilangan masih dapat diperluas lebih jauh lagi ke bilangan yang disebut bilangan kompleks. Bilangan-bilangan ini berbentuk a b 1 dimana a danb adalah bilangan-bilangan riil. Bilangan- bilangan kompleks akan jarang dipakai dalam buku ini. Kenyataannya, jika kita mengatakan bilangan tanpa penjelasan khusus, anda dapat menganggap bahwa yang dimaksud adalah bilangan-bilangan riil. Bilangan-bilangan riil merupakan ciri utama dari kalkulus.

C. Operasi Hitungan

Dengan dua bilangan riil x dan y , kita dapat menambahkan atau mengalikan keduanya untuk memperoleh dua bilangan riil baru x y dan .x y (biasanya cukup

dituliskan xy ). Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat yang telah dikenal berikut. Selanjutnya kita menyebutnya sifat-sifat medan.

Sifat-sifat Medan 1. Hukum Komutatif.

a. x  y y x b. xy yx 2. Hukum assosiatif

a. x(y   z) (x y) z b. x yz( )(xy z)

3. Hukum distributive a. x y(  z) xyxz

4. Elemen-elemen identitas. Terdapat dua bilangan riil yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhi x 0 x dan x.1x

5. Balikan (Invers). Setiap bilangan x mempunyai balikan aditif (disebut juga sebuah negative), x, yang memenuhi x  ( x) 0. Juga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian (disebut juga kebalikan), x^1, yang memenuhi x x. ^11 .

Penguranagan dan pembagian didefinasikan dengan

( )

x   y x y dan x . ¹ y x y

 

Dari fakta-fakta dasar ini, banyak yang lain menyusul. Kenyataannya, hamper semua aljabae pada kahirnya berpatokan pada lima sifat medan dan definisi pengurangan dan pembagian tersebut

URUTAN PADA GARIS BILANGAN. Misalkan x < y berarti x berada di sebelah kiri y pada garis bilangan riil.

Urutan

Bilangan-bilangan riil bukan nol secara baik dipisahkan menjadi dua himpunan terpisah – bilangan riil positif dan bilangan riil negatif. Fakta ini memungkinkan kita memperkenalkan relasi urutan < (dibaca “kurang dari”) yaitu

positif x  y y x

Lambang dua anak panah  di sini merupakan konjungsi dari  (sehingga) dan

 (karena). Jadi,  boleh dibaca “setara dengan” atau sebagai “jika dan hanya jika” . Kita setuju bahwa xy dan yx akan berarti sama. Sehingga

34, 43, 3  2, dan   2 3. Perhatikan ungkapan geometrik < yang ditunjukkan dalam kotak di bawah ini.

Sifat-sifat Urutan

1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu di antara yang berikut berlaku:

atau atau x y x y x y 2. Ketransitifan. x y dan y  z x z

3. Penambahan. xy    x z y z

4. Perkalian. Bilangan z positif, xy  xzyz. Bilamana z negatif, xy  xz yz.

Relasi  (dibaca “kurang dari atau sama dengan”) adalah sepupu pertama dari <.

Relasi ini didefinisikan dengan

positif atau nol x  y y x

Sifat-sifat urutan 2, 3, dan 4 berlaku dengan lambing-lambang < dan > diganti oleh

 dan  . Sedikit Logika

Hasil penting dalam matematika disebut teorema, dan Anda akan menemuan cukup banyak teorema dalam buku ini. Terema yang dianggap amat penting untuk diketahui dalam buku ini biasanya diberi nama (misalnya Teorema Phytagoras), sedangkan lainnya dimuat dalam kelompok-kelompok soal dan diperkenalkan dengan kata tunjukkan bahwa atau buktikan bahwa. Untuk membedakannya

dengan aksioma atau definisi yang kebenarannya telah dianggap pasti, teorema memerlukan pembuktian.

Teorema yang dapat dinayatakan dalam bentuk “Jika P maka Q” seringkali disingkat dengan PQ. Kita namakan P sebagai hipotesis dan Q sebagai kesimpulan teorema tersebut. Pembuktian yang mengandung unsur “tunjukkanlah bahwa P harus dapat menyatakan Q”.

Para mahasiswa tingkat pertama kadang-kadang mengalami kesulitan membedakan PQdengan kebalikannya QP. Jelasnya, kedua pernyataan ini tidak sama, sebagai contoh: “Bila Tono adalah seorang Jawa maka ia adalah orang Indonesia” merupakan pernyataan yang benar, akan tetapi kebalikannya “Bila Tono orang Indonesia maka ia orang Sunda” jelas merupakan pernyataan yang salah. Di lain pihak, ~Q~P yang dibaca “bukan Q menyatakan bukan P” dinamakan kontraposisi yang ekivalen dengan PQ. Pada contoh tadi, akan benar bahwa

“Bila Tono bukan orang Indonesia maka ia bukan orang Sunda”.

Karena pernyataan dan kontraposisinya adalah ekivalen, kita sering menggunakan bentuk ini untuk membuktikan suatu teorema, dengan cara seperti ini dinamakan pembuktian dengan kontradiksi. Jadi, untuk membuktikan PQ, kita dapat misalkan ~Q dan mencoba menyimpulkan ~P darinya, dengan perkataan lain kita mencoba mengkontradiksikan P. Di sini kami berikan contoh sederhana.

Teorema :

Jumlah dari suatu bilangan rasional dan bilangan tak-rasional adalah tak-rasional Bukti :

Teorema ini dapat ditulis sebagai berikut: “Bila xm n/ , dimana m dan n adalah bilangan bulat, dan bila y adalah bilangan tak-rasional, maka x+y adalah tak- rasional”. Kita misalkan x+y rasional, dan dengan demikian x+y=p/q di mana p dan q adalah bilangan bulat. Maka

p p m np mq

y x

q q n qn

     

Ini berarti bahwa y adalah bilangan rasional, bertentangan dengan hipotesis. Kita berikan teorema tadi terbukti.

Cara lain untuk menunjukkan pembuktian secara kontradiksi adalah dengan Hukum Exclude Middle yang berbunyi : Salah satu di antara R atau ~R, bukan kedua-duanya. Pada teorema di atas, bila R adalah pernyataan “Jumlah suatu bilangan rasional dan bilangan tak-rasional adalah ta-rasional”, pembuktian kita menunjukkan bahwa ~R, tidak benar, maka R berarti benar.

Reduction Ad Absurdum

Pembuktian dengan kintradiksi dikenal pula dengan nama reduction ad absurdum, seperti apa yang telah dikatakan oleh para pakar matematika besar G.H. Hardy:

“Reductio ad absurdum yang sangat disenangi oleh Euclid, adalah merupakan senjata paling ampuh bagi para matematikawan. Merupakan gambit yang jauh lebih ampuh dari gambit catur manapun; seorang pemain catur dapat menawarkan pengorbana sebuah bidak ataupun buah lainnya, akan tetapi matematikawan menawarkan permainan”.

Soal Latihan 1. Hitunglah

a.

14 2 1 2

33 3 7

  

 

 

b. 3

2 5

1 2





c.

1 5 2

2 2 2

  

 

 

2. Operasikan atau sederhanakan.

a. (3t² t 1)² b. (2t1)³

c. ² ₂ ^{2 1}

6 9 1 1 3

y y

y y y

  

  

d. ²

2

3 4 3

5 5

1 3

x

x x x

x x

   

  

3. Buktikan masing-masing jika a>0, b>0.

a. a b a² b²

b. a b ^{1 1}

a b

  

4. Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak di antara kedua bilangan itu;

artinya, buktikan bahwa

2 a  b a a b b

5. Tunjukkan bahwa bila bilangan asli m bukan merupaka bentuk kuadrat sempurna, maka m tak-rasional.

KETAKSAMAAN

Menyelesaikan suatu ketaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan riil yang membuat ketaksamaan berlaku. Himpunan pemecahan suatu ketaksamaan biasanya terdiri dari suatu keseluruhan selang bilang atau, dalam beberapa kasus, suatu gabungan dari selang-selang yang demikian.

Beberapa jenis selang akan muncul dalam pekerjaan kita dan kami akan memperkenalkan istilah dan cara penulisan khusus untuk selang ini. Ketaksamaan ganda a<x<b memberikan selang terbuka yang terdiri dari semua bilangan anatar a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b. kita nyatakan denngan lambing (a,b).

sebaliknya, ketaksamaan a x bmemberikan selag tertutup yang berpadanan, yang mencakup titik-titik ujung a dan b. Ini dinyatakan oleh [a,b].

A. Menyelesaikan Ketaksamaan

Kita dapat melakukan operasi-operasi tertentu pada suatu ketaksamaan tanpa mengubabh himpunan pemecahannya. Khususnya :

1. Kita dapat menambahkan bilangan yang sama pada kedua pihak suatu ketaksamaan;

2. Kita dapat mengalikan kedua pihak suatu ketaksamaan dengan suatu bilangan positif;

3. Kita dapat mengalikan kedua pihak dengan suatu bilangan negative, tetapi kemudian kita harus mebalikkan arah tanda ketaksamaan.

Contoh 9. Selesaikanlah ketaksamaan 2x 7 4x2 dan perhatikan grafik himpunan penyelesaiannya

Penyelesaian 2x 7 4x2

2x4x5 (tambahkan 7) 2x 5

  (tambahkan4x)

x 5 (kalikan dengan ¹ )

Sebelum menangani ketaksamaan kuadrat, kita tunjukkan bahwa suatu factor linear berbentuk x a adalah positif untuk x a adalah positif untuk xa dan negatif untukxa . Ini berarti bahwa hasil kali



^{x a}



^{x b}



dapat berubah dari bernilai positif menjadi negatif, atau sebaliknya, hanya pada a ataub. Titik-titik ini, pada mana suatu faktor adalah nol, disebut titik-titik pemecah. Titik-titik ini merupakan kunci untuk menentukan himpunan pemecah dari ketaksamaan kuadratis atau tingkat lebih tinggi.

Soal Latihan

1. Nyatakanlah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberika dari ketaksamaan yang diberikan dalam cara penulisan selang.

a. 6x105x16 b. 2x  4 6 7x3x6 c. 3x²11x 4 0 d. ^{2 1} 1

3 x x

 

 e. x³5x²6x0

2. Selesaikan 1 x x²  x³ ... x⁹⁹0

NILAI MUTLAK, AKAR KUADRAT, KUADRAT A. Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan riil x, dinyatakan oleh |x|, didefinisikan sebagai

| |x x jika x0

| |x  x jika x0 Sifat-sifat nilai mutlak :

1. ab  a b

2. ^{| |}

| |

a a

b  b

3. |a b | | |a | | (ketaksamaan segitiga)b 4. |a b | ||| a | | b ||

Ketidaksamaan Yang Menyangkut Nilai Mutlak

Jika |x|<3, maka x harus secara sekaligus lebih kecil dari 3 dan lebih besar dari -3;

yaitu -3<x<3. Berlainan jika |x|>3, maka x<-3 atau x>3. Ini merupakan kasus- kasus khusus dari pernyataan-pernyataan umum berikut.

| |x     a a x a

| |x    a x a atau xa

Contoh 10. Selesaikan ketaksamaan |x 4 | 1,5. Penyelesaian

Dari pernyataan kotak pertama dengan c digantikan oleh x-4, terlihat bahwa 4 1, 5

1, 5 4 1, 5 2, 5 5, 5 x

x x

 

    

  

Contoh 11. Andaikan  (epsilon) adalah suatu bilangan positif. Buktikan bahwa

| 2 | | 5 10 | x  5 x  Penyelesaian

| 2 | 5 | 2 |

x  5 x  (kalikan dengan 5)

| 5 || 5x 2 | 

   (|5|=5)

| 5(x 2) | 

   (|a||b|=|ab|)

| 5x 10 | 

  

B. Akar Kuadrat

Setiap bilangan positif mempunyai akar kuadrat. Misalnya, dua akar kuadrat dari 9 adalah -3 dan 3; dua akar dari 100 adalah -10 dan 10. Untuk a0, lambing a , disebut akar kuadrat utama dari a, yang menunjukkan akar kuadrat tak negative dari a. Jadi 9 3dan ( 10) ²  10010 . Dua akar keuadrat dari 7 adalah  7. Adalah tidak benar menuliskan 16  4; cukup 164. Berikut sebuah kenyataan penting yang bermanfaat untuk diingat.

2 | |

x  x

Hampir semua mahasiswa akan ingat pada rumus kuadrat. Penyelesaian untuk

2 0

ax bx c  diberikan oleh

2 4

2

b b ac

x a

  



Bilangan d b²4ac dinamakan diskrimina dari persamaan kuadrat ax²bx c 0 . Persamaan ini mempunyai dua jawaban riil bila d>0, satu jawaban riil bila d=0, dan tidak memiliki jawaban riil bila d<0.

Dengan rumus kuadrat ini, dengan mudah kita dapat menyelesaikan ketaksamaan- ketaksamaan kuadrat termasuk yang mudah difaktorkan.

Beralih ke kuadrat, kita perhatikan bahwa

2 2

| |x x Ini berasalah dari sifat |a||b|=|ab|.

Apakah operasi pengkuadratan mepertahankan ketaksamaan? Secara umum, jawabannya adalah tidak. Misalnya, -3<2, tetapi (-3)² > 2². Sebaliknya, 2<3 dan 2²<3². Jika kita bekerja dengan bilangan-bilangan tak negatif, maka a b a² b². Salah satu varian dari bentuk ini adalah

2 2

| | |x  y| x  y

Contoh 12. Selesaikan ketaksamaan 3x 1 2 x6. Penyelesaian

Ketaksamaan ini lebih sukra diselesaikan dibandingkan contoh sebelumnya, karena terdapat dua himpunan tanda nilai mutlak. Kita dapat bebas dari keduanya dengan memakai hasil dalam kotak yang terakhir.

| 3x 1| 2 |x 6 | | 3x 1| | 2x12 |

(3x1)² (2x12)²

(3x1)²(2x12)²0

(3x 1 (2x12))(3x 1 (2x12))0

(5x11)(x13)0

Titik-titik pemecah untuk ketaksamaan kuadrat ini adalah -13 dan ¹¹

5 ; titik-titik ini membagi garis reil menjadi tiga selang 11 11

( , 13), ( 13, ), dan ( , )

5 5

    . Bilamana

kita memakai titik-titik uji -14,0, dan 3, kita hanya menemukan titik-titik di dalam ( 13,11)

 5 yang memenuhi ketaksamaan tersebut.

Soal Latihan

1. Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan berikut.

a. 2 6

3

x 

b. ¹ 3 6 x  c. 4x²  x 2 0 d. | 3x  5 | |x 4 | e. 3x 1 2 x6

2. Buktikan | | |x  y| x²  y².

3. Gunakan hasil soal 2 untuk membuktikan bahwa 0  a b a  b

4. Gunakan ketaksamaan segitiga untuk meperlihatkan tiap ketaksamaan berikut.

a. |a-b||a|+|b|

b. |a-b||a|-|b|

c. |a+b+c||a|+|b|+|c|

5. Buktikan bahwa

2 2

2 7

2 15

1

x x

x x

 

  



SISTEM KOORDINAT

Terdapat dua cara untuk menentukan letak suatu titik pada bidang datar, yaitu dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius dan sistem koordinat kutub (Polar)

A. Sistem koordinat Kartesius

Sistem Koordinat Kartesius dibentuk dengan menggunakan dua garis bilangan yang berpotongan pada titik pangkal O. Kedua garis bilangan itu dinamakan sumbu- sumbu koordinat. Bilangan dua garis bilangan itu saling berpotongan tegak lurus, maka dinamakan Sistem Koordinat Kartesius Siku-siku. Sedangkan bila kedua garis bilangan itu tidak tegak lurus, maka sistem koordinar itu dinamakan Sistem Koordinat Kartesius Miring.

Sumbu-sumbu koordinat biasanya diberi nama sumbu X (sumbu mendatar/horizontal) dan sumbu Y (sumbu tegak/vertikal). Letak suatu titik pada bidang datar akan tertentu, apabila diketahui jarak-jarak titik itu dari sumbu- sumbu koordinat. Jarak-jarak ini diambil sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat.

Misal T suatu titik pada bidang datar tersebut. Dari T ditarik garis-garis sejajar sumbu X dan sumbu Y. Titik-titik potong garis itu dengan sumbu-sumbu berturut- turut adalah T1 dan T2 . Letak titik T tertentu oleh jarak OT1 dan OT2. Bilangan yang menunjukkan jarak OT1 disebut koordinat X titik T atau absis titik T. Bilangan yang menunjukkan jarak OT2 disebut koordinat Y titik T atau ordinat titik T.

Gambarkan

Pasangan absis dan ordinat titik suatu titik disebut koordinat titik itu. Letak titik T pada Sistem Koordinat Kartesius ditulis T(x,y) dengan absis x dan ordinat y. Contoh Sistem Koordinat Kartesius siku-siku dan Sistem koordinat kartesius miring dapat dilihat pada gambar 1.1 pada umumnya, dalam ilmu ukur analitik datar dapat digunakan Sistem Koordinat Kartesius siku-siku. Sedangkan sistem Koordinat Kartesius miring hanya digunakan dalam keadaan tertentu yang memungkinkan perhitungan lebih mudah.

Sumbu-sumbu koordinat membagi bidang datar menjadi 4 daerah atau 4 kwadran yaitu kwadran pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Jarak-jarak yang diukur pada sumbu X di sebelah kanan O diberi tanda positif dan di sebelah kiri O diberi tanda negatif. Jarak-jarak yang diukur pada sumbu Y di atas O diberi tanda positif dan yang dibawah O diberi tanda negatif. Ketentuan itu disajikan pada tabel berikut.

Kwadran

I Kwadran

II Kwadran

III Kwadran IV

X + - - +

Y + + - -

Pada tabel di atas, (x,y) merupakan pasangan berurutan dengan x sebagai absis suatu titik dan y sebagai ordinatnya. Tampak bahwa setiap titik dalam bidang menentukan sepasang bilangan nyata berurutan dan sebaliknya setiap bilangan berurutan mennentukan suatu titik pada bidang. Jadi terdapat korespondensi satu- satu antara titik-titik dalam bidang dan himpunan pasangan bilangan nyata beurutan.

B. Jarak Dua Titik

Gambarlah dua buah titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) pada sistem koordinat kartesius miring dan siku-siku.

Untuk menentukan jarak titik A(x1,y1) dan B(x2,y2), terlebih dahulu ditarik ruas garis pertolongan AA1 dan BB1 yang masing-masing sejajar sumbu Y dan berturut- turut memotong sumbu X di A1 dan B1. Dilukis ruas garis AC sejajajr sumbu X dan memotong sumbu BB1 di C, sehingga terbentuk ABC dengan A(x1,y1), B(x2,y2), dan C(x3,y3). Pada sistem koordinat kartesius miring, mACB=180^o – α. Dengan demikian berlaku

1 2

| |

AC x x dan BC|y¹y²| Dalam ABC berlaku aturan cosinus sebagai berikut.

AB² = AC² + CB² -2AC.CB.cos(180^o-α) atau

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

(x x ) (y y ) 2(x x )(y y co) ( )

AB       s 

Ini adalah rumus jarak titik A(x1,y1) dan B (x2,y2) pada sistem koordinat kartesius miring. Lalu bagaimana pada sistem koordinat kartesius siku-siku ?

C. Koordinat Titik Pada Suatu Garis Yang Melalui Dua Titik

Diketahui titik A x y



1, 1



danB x y



2, 2



. Titik C x y



c^, c



terletak pada garis AB sedemikian sehingga AC CB:  :a b

Gambarkan

Koordinat titik C dapat ditentukan sebagai berikut. Jarak titik C(xc,yc) ke A dan B adalah :

1 1 _c– 1 1 1 2– _c

A C  x x dan C B  x x Dengan pengingat arah-arah ruas garis-ruas garis itu, maka dipenuhi :



^{1 1} 1¹

 

¹ 2



: : :

– : – :

c c

A C C B AC CB a b

x x x x a b

 



1 2

c

bx ax

x a b

 

 Dengan cara serupa akan diperoleh y_c ^{by1 ay2}

a b

 

 , jadi koordinat titik C adalah

1 2, 1 2

bx ax by ay

a b a b

 

 

   

 

Jika dimisalkan

1 2 1 2

,

1 , 1

c c

a maka b

x x y y

x y



 

 



 

 

 

Terdapat beberapa kemungkinan letak titik C pada garis AB yang mempengaruhi nilai 

1. Jika titik C berimpit dengan titik A, maka =0

2. Jika titik C berimpit dengan titik tengah AB, maka =1. Dengan demikian koordinat titik tengah AB adalah ( ^{1 2}

2

x x , ^{1 2} 2 y y )

Kemudian tentukan koordinat titik C, 1. Jika titik C berimpit dengan titik B

2. Jika titik C terletak pada perpanjangan AB 3. Jika C terletak pada perpanjangan BA

Contoh 13. Diketahui titik R terletak pada garis PQ dengan P(1, -4) dan Q(6,1). Jika RP:RQ = 2:3. Tentukan koordinat titik R.

PERSAMAAN GARIS DAN GARIS LURUS

A. Persamaan-Persamaan dalam Koordinat Kartesius

Pada persamaan yang memuat dua variabel. Misalnya x dan y , jika salah satu variabel diberi nilai, maka variabel lainnya dapat ditentukan nilainya. Dalam persamaan ini, nilai y tergantung dari nilai x atau sebaliknya. Persamaan yang demikian menyajikan suatu relasi antara x dan y . Khususnya jika untuk setiap nilai x hanya terdapat satu nilai y , maka dikatakan persamaan utu menyajikan suatu fungsi dari x ke y dan dikatakan y merupakan fungsi darix. Hal ini secara singkat dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit^{y f x}

 

, atau dalam bentuk implisit, ^{f x y}

 

^{, 0.}

Sebagai contoh, yax b dan yx²– 2x5 adalah relasi yang dinyatakan secara eksplist. Sedangkan 3x – 5y + 1 = 0 dan x² – y² + 2xy – 7 = 0 adalah relasi yang dinayatkan secara implisit. Jika tidak diberikan syarat apapun, maka x merupakan bilangan nyata sembarang yang akan menghasilkan y bilangan nyata juga. Misalnya, pada relasi 3x – 2y + 6 = 0, jika x diberi nilai 0, maka berlaku 3.0 – 2y + 6 = 0, sehingga diperoleh nilai y = 3. Setiap pasang nilai x dan y meruakan penyelesaian persamaan di atas. Pasangan ini disebut sebagai pasangan berurutan. Jadi (0,3) adalah salah satu penyelesaian persamaan itu sedangkan (3,0) bukan penyelesaian persamaan itu.

Jika setiap pasangan berurutan (x, y ) yang merupakan penyelesaian suatu persamaan atau relasi dianggap sebagai koordinat-koordinat suatu titik dan titik- titik itu digambar pada bidang Koordinat-koordinat Kartesius, maka akan terbentuk garis lurus. Garis ini disebut grafik persamaan tersebut. Sebaliknya, persamaan itu disebut persamaan garis lurus itu.

B. Garis-garis Istimewa

Ditinjau posisi atau letak suatu garis pada Koordinat Kartesius, terdapat beberapa garis istimewa, diantaranya adalah sebagai berikut.

1. Persamaan garis yang sejajar dengan sumbu X dan memotong sumbu Y di (0, a) adalah y = a

2. Persamaan garis yang sejajar dengan sumbu Y dan memotong sumbu X di (b,0) adalah x = b.

3. Persamaan sumbu X adalah y=0 (mengapa?) 4. Persamaan sumbu Y adalah x=0 (mengapa?)

Pandang suatu garis lurus yang melalui O dan melalui titik sembarang, misal



1, 1



A x y dan B x y



2, 2



. Pada garis tersebut akan selalu berlaku

1: 1 2: 2

y x  y x tg m . Karena perbandingan ini berlaku untuk setiap titik pada garis tersebut, maka persamaan garis lurus itu adalah y tan

x   atau ^y m x  yang dapat ditulis yxtan atau y mx . Dalam hal ini α adalah sudut yang diapit oleh garis itu dengan sumbu X positif. Ukuran sudut ini dihitung ke arah yang berlawanan arah perputaran jarum jam. Dalam hal ini, mtg  disebut koefisien arah (gradien) garis lurus tersebut.

Persamaan garis dengan gradien m dan memotong sumbu Y di

 

^{0, n adalah}

ymx n .

C. Persamaan Garis Lurus

Setiap garis lurus mempunyai persamaan linier dalam x dan y atau persamaan berpangkat satu dalam x dan y. Sebaliknya, setiap persamaan linier dalam x dan y merupakan persamaan suatu garis lurus. Persamaan Ax + By + C = 0, dengan A, B, dan C bilangan nyata (real) dan tidak bersama-sama nol, merupakan persamaan umum garis lurus. Pada persamaan ini terdapat beberapa kemungkinan nilai A, B, dan C, yaitu : (1) A =0, (2) B = 0, (3) C = 0, (4) A=C=0, (5) B=C=0, (6) A,B, dan C tidak nol, dan (7) A=B=0. Bagaimana persamaan garis yang terjadi dengan memperhatikan kemungkinan-kemungkinan tersebut?

D. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Sebuah Titik

Akan ditentukan persamaan garis yang melalui P x y



1, 1



. Misal persamaan garis yang dimaksud adalah y mx n  ; dengan m dan n merupakan variabel. Karena garis ini melalui P x y



1, 1



, maka berlaku y₁ mx₁n ataun y₁–mx₁. Dengan mensubstitusikan ny₁–mx₁ pada y mx n  didapat ymxy₁–mx₁ atau

 

1 1

– –

y y m x x . Dalam hal ini, nilai m belum ditentukan, sehingga dapat diberi nilai bermacam-macam. Akibatnya akan terdapat tak hingga garis yang terjadi.

Persamaan y y1 m x



x1



disebut persamaan kipas garis yang melalui P, atau kipas garis dengan puncak P. Persamaan y y1 m x



x1



juga merupakan persamaan garis yang bergradien m dan melaluiP x y



1, 1



.

Contoh 14. Tentukan persamaan garis yang melalui ^P



^{1, 2}



dan mengapit sudut 135^o dengan sumbu X.

Penyelesaian

Persamaan garis yang melalui P(-1, 2) dan mengapit sudut 135^o dengan sumbu X adalah^{y– 2m x}



^1



^{. Karenamtg 135o  1}, maka persamaan garis dimaksud adalah ^{y– 2 1}



^x1



^{atauy  x 1 .}

E. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik

Untuk setiap bilangan nyata m dan n, persamaan y = mx + n menentukan suatu garis lurus. Dalam hal ini m dan n disebut parameter. Jika pada suatu garis lurus diketahui 2 titik yang terletak pada garis itu, maka persamaan garis itu dapat ditentukan. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 15. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui A(1, -1) dan B (3,3) Penyelesaian

Misal persamaan garis itu adalah y = mx + n. Akan dipenuhi -1 = m + n dan 3 = 3m + n. Dari kedua persamaan tersebut diperoleh m = 2 dan n = -3. Jadi persamaan garis itu adalah y = 2x – 3.

Secara umum, suatu garis yang melalui dua titik dapat ditentukan persamaannya.

Misal diketahui A x y



1, 1



danB x y



2, 2



. Persamaan garis yang melalui A x y



1, 1



adalah

 

1 1

– –

y y m x x

Garis ini juga boleh melaluiB x y



2, 2



, sehingga dipenuhiy2–y1 m x



2–x1



. Jadi diperoleh :

2 1

2 1

y y

m x x

 



Dengan demikian, persamaan garis yang melalui A x y



1, 1



dan B x y



2, 2



adalah

2 1

1 1

2 1

( )

y y

y y x x

x x

   



Latihan Soal

1. Diketahui titik potong diagonal-diagonal suatu persegi adalah (3,5). Jika salah satu sisi persegi itu mempunyai persamaan x = 5, tentukan persamaan sisi-sisi lainnya.

2. Tentukan persamaan garis yang memotong sumbu Y di titik (0, -4) dan mengapit sudut 30^o dengan sumbu X, tentukan pula persamaan garis yang memotong sumbu X di titik (2,0) dan mengapit sudut 60^o dengan sumbu X.

FUNGSI DAN GRAFIKNYA

A. Definisi

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik ^{f x}

 

dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut.

Definisi ini tidak meberikan pembatasan pada him,punan-himpunan daerah asal dan daerah hasil. Daerah asal mungkin terdiri dari himpunan orang dalam kelas kalkulus, daerah nilai berupa himpunan angka (A,B,C,D,E,F) yang akan diberikan, dan aturan padanan adalah prosedur yang dipakai dosen anda dalam memberikan nilai.

Dalam kalkulus yang akan lebih bertalian adalah contoh-contoh dengan daerah asal dan daerah hasil yang mana keduanya berupa himpunan bilangan riil. Misalnya, mengkuadratkannya, sehingga menghasilkan bilangan riilx². Dalam hal ini, kita mempunyai sebuah rumus yang memberikan aturan padanan, yaitu^{g x}

 

^{x2 .}

B. Notasi Fungsi

Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti x(atau g atau F ). Maka f(x), yang dibaca “ f darix” atau “ f padax”, menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepadax . Jadi, jika f x( )x³4,

3 3 3

3 3 2 2 3

(2) 2 4 4

( 1) ( 1) 4 5

( ) 4

( ) ( ) 4 3 3 4

f f

f a a

f a h a h a a h ah h

  

     

 

        

Pemahaman yang jelas tentang cara menuliskan fungsi adalah hal yang sangat penting dalam kalkulus. Pelajarilah contoh-contoh berikut secara seksama. Contoh- contoh tersebut akan memainkan peranan penting dalam bab berikutnya.

Contoh 16. Untuk g x( ) 1/ x , cari dan sederhanakan [ (g a h) g h( )] /h Penyelesaian

( )

1 1

( ) ( ) ( )

a a h g a h g a a h a a h a

h h h

  

     

2

1 1 1

( ) . ( )

h

a h a h a h a a ah

  

  

  

C. Daerah Asal dan Derah Hasil

Aturan padanan merupakan pusat dari suatu fungsi, tetapi sebuah fungsi belum secara lengkap ditentukan sampai daerah asalnya diberikan. Ingatlah kembali bahwa daerah asala adalah himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai.

Daerah hasil adalah himpuna nilai-nilai yang diperoleh secara demikian. Misalnya, jika F adalah fungsi dengan aturan F x( )x²1 dan jika daerah asala dirinci sebagai



1, 0,1, 2,3



, maka daerah hasilnya adalah



^{1, 2,5,10}



. Daerah asal dan aturan untuk menentukan daerah hasil tersebut.

Bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci, kita selalu menganggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan riil. Ini disebut daerah asal mula (domain natural).

Contoh 17. Cari daerah asal mula (natural untuk : (a) f x( ) 1/ ( x3); (b) ( ) 9 2

g t  t . Penyelesaian

1. Daerah asal mula untuk f adalah {x :x3} . ini dibaca “himpunan x dalam (bilangan riil) sedemikian sehingga x tidak sama dengan 3”. Kita kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.

2. Di sini kita harus membatasi t sedemikian sehingga 9 t² 0 dengan tujuan menghindari nilai-nilai tak riil untuk 9 t ² . Ini dicapai dengan mensyaratkan bahwa t 3 . Sehingga, daerah asal mula adalah {t :| | 3}t  . dalam cara penulisan selang, kita dapat menulis daerah asal sebagai [-3,3].

Bilamana aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk

 

y f x (misalnya, yx³3x6 ), x seringkali disebut variabel bebas dan y

variabel tak bebas. Sebarang elemen dari daerah asal boleh dipilih sebagai nilai dari variabel tak bebas. Jadi, nilai y tergantung dari pilihan nilaix.

D. Grafik Fungsi

Bilaman daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Dan Grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y=f(x).

Contoh 18. Buatlah sketsa grafik dari : (a) f x( )x²2 ; (b)g x( )x³2x ; (c) ( ) 2 / ( 1).

h x  x Penyelesaian

Kita gunakan daerah asal mula (domain natural). Dalam kasus f dan g, ini berupa himpunan semua bilangan riil ; untuk h, ini adalah semua kecuali 1. Dengan mengikuti proses yang telah diuraikan sebelumnya (buat sebuah tabel nilai, rajah titik-titik yang berpadanan, hubungkan titik-titik ini dengan sebuah kurva mulus), kita peroleh tiga grafik.

Perhatikan grafik dari h secara lebih seksama; grafik ini menunjukkan suatu penyederhanaan berlebihan yang kita buat dan sekarang perlu diperbaiki. Pada waktu menghubungkan titik-titik yang dirajah dengan sebuah kurva mulus, jangan melakukannya secara mekanis sehingga mengabaikan keistimewaan yang mungkin jelas kelihatan dari rumus fungsi tersebut. Dalam kasus h x( )2 / (x1). jelas bahwa sesuatu yang dramatis harus terjadi bilamana x mendekati 1. Nyatanya, nilai-nilai

|h(x)| membesar tanpa batas (misalnya, h(0,99)=-200 dan h(1,001)=2000). Kita telah menunjukkan ini dengan menarik sebuah garis tegak putus-putus yang disebut asimtot., pada x=1. Bila x mendekati 1, grafik semakin mendekati garis ini, walaupun garis ini sendiri bukan merupakan bagian dari grafik, melainkan lebih merupakan suatu garis petunjuk. Perhatikan bahwa grafik dari h juga mempunyai sebuah asimtot mendatar, yakni sumbu x.

Kita mungkin bertanya; Apa daerah nilai untuk masing-masing tga fungsi ini?

Jawabnya, yang kita peroleh dengan melihat pada grafik, diberikan dalam tabel.

Fungsi Daerah Asal Daerah Hasil ( ) 2 2

f x x  ( ) 3 2 g x x  x

( ) 2 h x 1

 x



{x :x1}

{y :y 2}

{y :y0}

E. Fungsi Genap dan Ganjil

Seringkali kita memperkirakan kesimetrian grafik suatu fungsi dengan memeriksa rumus fungsi tersebut. Jika f(-x)=f(x), maka grafik simetri terhadap sumbu y. Fungsi yang demikian disebut fungsi genap, barangkali karena fungsi yang merinci f(x) sebagai jumlah dari pangkat-pangkat genap x adalah genap. Fungsi f x( )x²2 adalah genap; demikian juga f x( )3x⁶2x⁴11x²5, f x( )x² / (1x⁴) dan

( ) ( 3 2 ) / 3 f x  x  x x.

Jika f(-x)=-f(x), grafik simetri terhadap titik asal. Kita sebut fungsi yang demikian fungsi ganjil. Fungsi yang memberikan f(x) sebagai jumlah dari pangkat-pangkat ganjil x adalah ganjil. Jadi, g x( )x³2x adalah ganjil. Perhatikan bahwa

3 3 3

( ) ( ) 2( ) 2 ( 2 ) ( )

g   x x     x x x  x  x  g x

Ambillah fungsi ketiga h x( )2 / (x1). Fungsi ini tidak genap ataupun ganjil. Untuk melihat ini, amati bahwa h( x) 2 / ( x 1), yang tidak sama dengan h(x) ataupun - h(x). Perhatikan bahwa grafik tidak simetri terhadap sumbu x ataupun titik asal.(Grafik dari h memang simetri terhadap titik (1,0), hasil yang berasal dari kenyataan bahwa h(1x) h(1x).)

Contoh 19. Apakah ( ) ₄ ^{3 3}₂

3 4

x x

f x x x

 

  genap, ganjil, atau bukan keduanya?

Penyelesaian Karena

3 3

4 2 4 2

( ) 3( ) ( 3 )

( ) ( )

( ) 3( ) 4 3 4

x x x x

f x f x

x x x x

    

    

     

f adalah fungsi ganjil.

Untuk fungsi-fungsi genap dan ganjil lainnya bisa kalian temukan di latihan soal.

F. Dua Fungsi Khusus

Di antara fungsi-fungsi yang akan sering digunakan sebagai contoh tersebut dua yang sangat khusus: fungsi nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbesar . Fungsi-fungsi ini didefinisikan dengan

jika 0 jika <0

x x

x x x

 

  dan

x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

Jadi, |-3,1|=|3,1|=3,1, sedangkan 3,1  4 dan 3,1 3. Yang pertama adalah fungsi genap, karena |-x|=|x|. Apakah genap, atau ganjil, atau bukan kedua- duanya?

G. Operasi pad Fungsi

Fungsi bukanlah bilangan. Tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk mendapatkan sebuah bilangan baru a+b, demikian juga fungsi f dan g, jika ditambahkan juga akan mendapatk sebuah fungsi baru f+g. Ini baru salah satu operasi pada fungsi, ada beberapa operasi yang dapat kita lakukan pada dua buah fungsi atau lebih.

1. Jumlah, Selisih, Hasilkali, Hasilbagi, dan Pangkat.

Latihan Soal

1. Untuk f x( )3x³x, hitunglah masing-masing nilai.

a. 1

f  2

   b. ^f

 

³

c. 1

f x

  

 

2. Untuk f x( )2x²1, cari dan sederhanakan [ (f a h ) f a( )] /h. 3. Untuk G(t)t/ (t4), cari dan sederhanakan [G(a h ) G a( )] /h.

4. Tunjukkan apakah fungsi-fungsi yang diberikan gebap atau ganjil atau tidak keduanya.

a. f x( ) 4 b. ( ) ³

8 g u u c. f w( ) w1 d. F t( )  |t 3 | e. G x( ) 2x1

5. Manakah dari fungsi-fungsi berikut yang memenuhi f(x+y)=f(x)+f(y) untuk setiap x dan y di .

a. f(t)=2t b. f(t)=2t+1 c. f(t)=t² d. f(t)=-3t

Daftar Pustaka

Heri, Robertus. 2005. Buku Ajar Kalkulus I. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UNDIP, Semarang.

Lestari, Dwi dkk. 2013. Kalkulus Dasar. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan UNY, Yogyakarta.

Purcell, Edwin J, et.al. 1987. Calculus With Analitic Geometry. Prentice-Hall. Inc., New York.