MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS FUZZY TRAPESIUM REPOSITORY OLEH FEBRI DWI PUTRI NIM

MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS FUZZY TRAPESIUM

REPOSITORY

OLEH

FEBRI DWI PUTRI NIM. 1503112286

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2020

MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS FUZZY TRAPESIUM

Febri Dwi Putri

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

febri.dwiputri@student.unri.ac.id

ABSTRACT

This article discusses how to find the eigenvalues and eigenvectors of matrix trapezoidal fuzzy numbers. Trapezoidal fuzzy numbers are expressed as positive or negative fuzzy numbers. The goal is to determine the algebraic operations that are constructed on the result of multiplying the trapezoidal fuzzy numbers, and are used to determine the eigenvalues and eigenvectors of trapezoidal fuzzy number refering to the eigenvalues and eigenvectors of real numbers.

Keywords: Fuzzy number, eigenvalues of fuzzy number, eigenvectors of fuzzy num- ber, trapezoidal fuzzy number

ABSTRAK

Artikel ini membahas untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks fuzzy trapesium. Bilangan fuzzy trapesium dikemukakan sebagai bilangan fuzzy positif atau negatif. Tujuannya untuk menentukan operasi aljabar yang akan dikontruksi pada hasil perkalian bilangan fuzzy trapesium dan digunakan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen bilangan fuzzy trapesium yang merujuk pada nilai eigen dan vektor eigen real.

Kata kunci: Bilangan fuzzy, nilai eigen bilangan fuzzy, vektor eigen bilangan fuzzy, Bilangan fuzzy trapesium

1. PENDAHULUAN

Logika fuzzy adalah cabang dari ilmu matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965 dan dibahas oleh banyak penulis dalam berbagai karya ilmiah. Konsep logika fuzzy banyak mengalami perkembangan dari segi definisi maupun aplikasi [17].

Konsep bilangan fuzzy juga telah meluas ke sistem persamaan linear atau disebut juga sistem persamaan linear fuzzy. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu konsep

matriks fuzzy untuk menyelesaikan ini. Selanjutnya, konsep matriks fuzzy terus dikembangkan, juga ke permasalahan nilai eigen dan vektor eigen.

Nilai eigen dan vektor eigen memiliki peran yang sangat penting dalam studi persamaan diferensial biasa dalam proses mengubah matriks yang diberikan menjadi matriks diagonal atau digunakan menemukan invers dari matriks yang diberikan pada [2]. Untuk menyelesaikan permasalahan nilai eigen dan vektor eigen fuzzy digunakan konsep determinan matriks. Misalnya pada [10] dibahas tentang determinan dan adjoint dari matriks fuzzy persegi, dan terdapat beberapa sifat determinan untuk matriks fuzzy. Selanjutnya, untuk menemukan nilai eigen fuzzy dimisalkan ˜A matriks orde n. Jika setiap ˜λ dan vektor tak nol ˜x seperti A˜˜x = λ˜x, ˜λ merupakan nilai eigen dari ˜A dan ˜x merupakan vektor eigen dari ˜A sesuai dengen nilai eigen dipelajari dalam [13] dan [2].

Menghitung nilai eigen dan vektor eigen telah dibahas oleh banyak penulis.

Contohnya, dalam [9] mempelajari sistem ˜A ˜X = λ ˜X adalah sistem linear dual fully fuzzy . Dalam [16] telah dipelajari metode teoretis parametrik bahwa metodenya tidak dapat digunakan untuk n besar, tetapi metode mereka dapat membuat vektor fuzzy ˜x dan ini tidak dapat menemukan nilai eigen fuzzy [12].

Awalnya, pada [3] ditemukan nilai eigen fuzzy ketika matriks ˜A memiliki elemen positif fuzzy, tetapi metode ini terbatas. Buckley menggunakan nilai eigen fuzzy yang dibuat untuk memecahkan model ekonomi. Nilai eigen fuzzy dari analisis korespondensi fuzzy yang menggunakan metode dua langkah dengan bilangan fuzzy segitiga juga dipelajari dalam [14]. Selanjutnya vektor eigen fuzzy dari matriks real, yang mempelajari struktur ruang eigen fuzzy dan hubungan antara ruang eigen dan ruang eigen fuzzy dari matriks real dipelajari dalam [15]. Kemudian, di dalam [13] juga dibahas nilai eigen dan vektor eigen fuzzy yang sesuai dengan nilai eigen dan vektor eigen real.

Pembahasan pada artikel ini dimulai dengan mendefinisikan bilangan fuzzy pada bagian kedua, kemudian dilanjutkan dengan mendefinisikan fuzzy positif dan fuzzy negatif serta membahas aljabar bilangan fuzzy. Lalu, dilanjutkan dengan membahas nilai eigen dan vektor eigen fuzzy pada bagian ketiga beserta contoh.

2. BILANGAN FUZZY

Pada [17] diperkenalkan fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya atau disebut dengan derajat keanggotaan yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi. Dalam [2] dan [6]

diberikan definisi himpunan fuzzy sebagai berikut.

Definisi 1 Misalkan R sebarang himpunan tak kosong, suatu himpunan fuzzy ˜u dalam x ditandai oleh fungsi keanggotaan µ_˜u(x) : R → [0; 1]. Himpunan fuzzy ˜u didefinisikan sebagai

˜

u ={(x, µu˜(x))|x ∈ R, 0 ≤ µu˜(x)≤ 1}.

Selanjutnya, dalam [4, 5] dan [11] dibahas mengenai konsep dasar bilangan fuzzy trapesium. Definisi fungsi keanggotaan bilangan fuzzy trapesium diberikan seperti yang tertera dalam Definisi 2.

Definisi 2 Bilangan fuzzy trapesium dalam bentuk ˜u = (a, b, α, β) dengan a dan b titik pusat, α jarak kekiri dari pusat a, dan β jarak kekanan dari pusat b. Fungsi keanggotaan ˜u = (a, b, α, β) dapat dibuat sebagai berikut:

µ_u˜(x) = µ_u˜(a, b, α, β) =

















1− a− x

α , a− α ≤ x ≤ a, α > 0 1 , a < x < b

1− x− b

β , b≤ x ≤ b + β, β > 0

0 , lainnya

Pada [4, 5] dan [6] dibahas sifat kesamaan bilangan fuzzy trapesium yang tertera pada Definisi 3.

Definisi 3 Dua bilangan fuzzy ˜u = (a, b, α, β) dan ˜v = (c, d, γ, δ) dikatakan sama jika dan hanya jika a = c, b = d, α = γ, dan β = δ.

Definisi himpunan fuzzy selanjutnya diberikan dalam [8, 11] dan [15] yang dike- mukakan dalam Definisi 4 berikut.

Definisi 4 Bilangan fuzzy adalah himpunan fuzzy ˜u : R → [0; 1] yang memenuhi ketentuan sebagai berikut:

a) ˜u(x) adalah semi kontinu atas,

b) ˜u(x) = 0 di luar interval [(a− α), (b + β)],

c) Terdapat bilangan x ∈ [(a − α), (b + β)], sehingga i) ˜u(x) monoton naik pada [(a− α), a],

ii) ˜u(x) monoton turun pada [b, (b + β)], iii) ˜u(x) = 1, untuk a≤ x ≤ b.

Fuzzy Positif dan Fuzzy Negatif

Pada [1, 5, 7] dan [11] dibahas definisi positif-negatif bilangan fuzzy trapesium menggunakan konsep luas. Merujuk dari penelitian tersebut, penulis mengemukakan definisi positif-negatif bilangan fuzzy trapesium secara kasus perkasus.

Kasus Pertama. Diberikan bilangan fuzzy ˜u = (a, b, α, β) dengan a− α ≥ 0 atau b + β ≤ 0. Jika a − α ≥ 0 maka ˜u = (a, b, α, β) > 0 atau ˜u merupakan bilangan fuzzy positif, sedangkan jika b + β ≤ 0 maka ˜u = (a, b, α, β) < 0 atau ˜u merupakan bilangan fuzzy negatif.

Kasus Kedua. Bilangan fuzzy ˜u = (a, b, α, β) > 0 dengan a− α < 0 dan a ≥ 0.

Pada kasus ini, kurva trapesium lebih condong ke sumbu x positif.

Selanjutnya dari luas daerah kurva trapesium dapat ditentukan jenis fuzzy positif atau fuzzy negatif, yaitu

L = (L₁+ L₂+ L₃)− (L4) L = (b− a +β

2 + a− a²

2α)− (α

2 − a + a² 2α) L = a + b− α

2 +β 2 −a²

α.

Jika a− α < 0 dan a ≥ 0, maka ˜u = (a, b, α, β) dikatakan fuzzy positif apabila a + b − α

2 + β

2 − a²

α ≥ 0. Sebaliknya, dikatakan fuzzy negatif apabila a + b−α

2 +β 2 −a²

α ≤ 0.

Kasus Ketiga. Diberikan bilangan fuzzy ˜u = (a, b, α, β) dengan a < 0 dan b > 0.

Selanjutnya dari luas daerah kurva trapesium dapat ditentukan jenis fuzzy positif atau fuzzy negatif, yaitu

L = (L₁+ L₂)− (L3+ L₄)

= (b + β

2)− (a + α 2) L = a + b− α

2 + β 2.

Jika a < 0 dan b > 0, maka ˜u = (a, b, α, β) disebut bilangan fuzzy positif apabila a + b − α

2 + β

2 > 0. Sebaliknya ˜u disebut bilangan fuzzy negatif apabila a + b−α

2 +β 2 < 0.

Kasus keempat. Diberikan bilangan fuzzy ˜u = (a, b, α, β) dengan b ≤ 0 dan b + β > 0. Pada kasus ini, kurva trapesium lebih condong ke sumbu x negatif.

Selanjutnya dari luas daerah kurva trapesium dapat ditentukan jenis fuzzy positif atau fuzzy negatif, yaitu

L = L₄ − (L1+ L₂+ L₃)

= (β

2 − b + b²

2β)− (a − b + α

2 − b − b² 2β) L =−a + b −α

2 +β 2 +b²

β + 2b.

Jika b ≤ 0 dan b + β > 0, maka ˜u = (a, b, α, β) dikatakan positif jika

−a + b − α 2 + β

2 + b²

β + 2b > 0. Sebaliknya, bilangan fuzzy ˜u = (a, b, α, β) dikatakan negatif jika −a + b − α

2 +β 2 +b²

β + 2b < 0.

Aljabar Bilangan Fuzzy

Berikut merupakan aljabar bilangan fuzzy trapesium yang dibahas dalam [1, 5]

dan [7], tertera pada Definisi 5.

Definisi 5 Jika terdapat dua bilangan fuzzy ˜u = (a, b, α, β) dan ˜v = (c, d, γ, δ), maka

a) Penjumlahan

˜

u⊕ ˜v = (a, b, α, β) ⊕ (c, d, γ, δ) = (a + c, b + d, α + γ, β + δ), (1) b) Pengurangan

˜

u⊖ ˜v = (a, b, α, β) ⊖ (c, d, γ, δ) = (a − d, b − c, α + δ, β + γ), (2) c) Negatif dari bilangan fuzzy trapesium

−˜u = −(a, b, α, β),

−˜u = (−b, −a, β, α).

d) Perkalian skalar

k⊗ ˜u = k ⊗ (a, b, α, β) = {

(ka, kb, kα, kβ), k ≥ 0, (kb, ka, kβ, kα), k ≤ 0.

e) Perkalian dua bilangan fuzzy:

i) ˜u > 0 dan ˜v > 0, maka

˜

u⊗ ˜v = (a, b, α, β) ⊗ (c, d, γ, δ) = (ac, bd, (aγ + cα), (bδ + dβ)). (3) ii) ˜u > 0 dan ˜v < 0, maka

˜

u⊗ ˜v = (a, b, α, β) ⊗ (c, d, γ, δ) = (bc, ad, (bγ − cβ), (aδ − dα)). (4) iii) ˜u < 0 dan ˜v > 0, maka

˜

u⊗ ˜v = (a, b, α, β) ⊗ (c, d, γ, δ) = (ad, bc, (dα − aδ), (cβ − bγ)). (5) iv) ˜u < 0 dan ˜v < 0, maka

˜

u⊗ ˜v = (a, b, α, β) ⊗ (c, d, γ, δ) = (bd, ac, −(bδ + dβ), −(aγ + cα)). (6) f) Invers bilangan fuzzy

Diberikan ˜u = (a, b, α, β) dan ˜v = (c, d, γ, δ) yang memenuhi ˜u⊗ ˜v = (1, 1, 0, 0) maka:

i) Untuk ˜u > 0 dan ˜v > 0, maka pada persamaan (3) digunakan sifat perkalian fuzzy positif, yaitu

˜

u⊗ ˜v = (1, 1, 0, 0)

(ac, bd, aγ + cα, bδ + dβ) = (1, 1, 0, 0). (7)

Selanjutnya untuk persamaan (7) digunakan sifat kesamaan bilangan fuzzy yang tertera pada Definisi 3 diperoleh

c = 1

a, d = 1

b, γ = −α

a² , δ = −β b² . Jadi, untuk ˜u > 0 dan ˜v > 0 diperoleh

(1 a,1

b,−α a² ,−β

b² )

.

ii) Untuk ˜u < 0 dan ˜v < 0, maka pada persamaan (6) digunakan sifat perkalian fuzzy negatif, yaitu

˜

u⊗ ˜v = (1, 1, 0, 0)

(bd, ac,−(bδ + dβ), −(aγ + cα) = (1, 1, 0, 0). (8) Selanjutnya untuk persamaan (8) digunakan sifat kesamaan bilangan fuzzy yang tertera pada Definisi 3 diperoleh

d = 1

b, c = 1

a, δ = −β

b² , γ = −α a² . Jadi, untuk ˜u > 0 dan ˜v > 0 diperoleh

(1 a,1

b,−α a² ,−β

b² )

.

Dari kedua kasus diperoleh invers matriks sebagai berikut:

(1 a,1

b,−α a² ,−β

b² )

.

3. MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN FUZZY Sebelum menentukan nilai eigen dan vektor eigen bilangan fuzzy trapesium, terlebih dahulu didefinisikan determinan fuzzy dengan operasi aljabar yang telah dimodifikasi pada kasus perkalian bilangan fuzzy. Selanjutnya akan ditentukan nilai eigen dan vektor eigen bilangan fuzzy trapesium.

Berikut ini diberikan definisi determinan matriks fuzzy seperti yang tertera pada Definisi 6 dikemukakan dalam [10].

Definisi 6 Determinan ˜A dari suatu matriks fuzzy ˜A didefinisikan sebagai

det( ˜A) =∑ (±)

( _n

∏

i=1

˜ ai,j1

) .

Dengan tanda + dan − dipilih untuk setiap suku berdasarkan genap atau ganjil permutasi dari (j₁, j₂, . . . , j_n).

Selanjutnya, diberikan definisi nilai eigen dan vektor eigen dalam [3] dan [2], seperti yang tertera dalam Definisi 7.

Definisi 7 Nilai eigen fuzzy ˜λ adalah solusi bilangan fuzzy (real) untuk

A˜˜x = ˜λ˜x. (9)

Dengan ˜A adalah matriks n× n yang berisi bilangan fuzzy dan ˜x adalah vektor tak nol n× 1 yang berisi bilangan fuzzy.

Dari Definisi 7 persamaan karakteristik bilangan fuzzy pada persamaan 9 dapat dibentuk ˜λ sebagai berikut:

λ˜₁ = (λ_a1, λ_b1, λ_α1, λ_β1), λ˜₂ = (λ_a2, λ_b2, λ_α2, λ_β2), ...

λ˜_n = (λ_an, λ_bn, λ_αn, λ_βn). (10) Selanjutnya untuk ˜x yang terdapat pada Definisi 7, yaitu

˜ x_i =









(a₁₁, b₁₁, α₁₁, β₁₁) (a₂₁, b₂₁, α₂₁, β₂₁)

...

(a_i1, b_i1, α_i1, β_i1)







. (11)

Berikut ini diberikan contoh perhitungan nilai eigen dan vektor eigen berdasarkan Definisi 7.

Contoh 1 Diberikan matriks ˜A berorde 2× 2 dengan semua entrinya merupakan bilangan fuzzy positif sebagai berikut:

A =˜

[(5, 6, 2, 3) (4, 5, 1, 2) (3, 7, 2, 5) (9, 11, 2, 1)

]

dengan ˜I =

[(1, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0) (1, 1, 0, 0) ]

.

Kemudian untuk menentukan determinan matriks fuzzy yang mengacu dari Definisi 6, dan operasi bilangan fuzzy trapesium pada Definisi 5 digunakan operasi perkalian serta pengurangan pada persamaan (3) dan (2). Jadi, determinan matriks ˜A sebagai berikut

det(˜λ˜I− ˜A) = det ([

λ(1, 1, 0, 0) λ(0, 0, 0, 0) λ(0, 0, 0, 0) λ(1, 1, 0, 0) ]

⊖ [

(5, 6, 2, 3) (4, 5, 1, 2) (3, 7, 2, 5) (9, 11, 2, 1)

])

= det ([

(λ, λ, 0, 0) (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0) (λ, λ, 0, 0) ]

⊖ [

(5, 6, 2, 3) (4, 5, 1, 2) (3, 7, 2, 5) (9, 11, 2, 1)

])

= det

([(λ− 6, λ − 5, 3, 2) (−5, −4, 2, 1) (−7, −3, 5, 2) (λ− 11, λ − 9, 1, 2)

])

= [λ²− 17λ + 66, λ²− 14λ + 45, 4λ − 39, 4λ − 28] ⊖ [12, 35, 11, 39]

det(˜λ˜I− ˜A) = [λ²− 17λ + 31, λ²− 14λ + 33, 4λ, 4λ − 17]. (12) Selanjutnya dari ˜λ yang diperoleh pada persamaan (12), masing-masing ˜λ

tersebut dapat dibentuk ˜λ1 dan ˜λ2 seperti yang terdapat pada persamaan (10), yaitu

˜λ₁ = (2.1, 3, 0, 0)

˜λ₂ = (14.9, 11, 0, 4.25). (13) Langkah selanjutnya vektor eigen ditentukan menggunakan nilai eigen yang telah diperoleh pada persamaan (13) sebagai berikut.

Untuk ˜λ₁ = (2.1, 3, 0, 0) dapat ditentukan vektor eigen fuzzy dengan menggunakan operasi sebagai berikut:

(˜λ˜I− ˜A)˜x = ˜0. (14) Untuk ˜x yang diperoleh pada persamaan (11) berbentuk

˜ x =

[(a₁₁, b₁₁, α₁₁, β₁₁) (a₂₁, b₂₁, α₂₁, β₂₁) ]

.

Dengan mensubstitusikan ˜λ₁ = (2.1, 3, 0, 0) ke dalam persamaan (14), digunakan operasi perkalian bilangan fuzzy trapesium pada persamaan (3) dan operasi pengurangan pada persamaan (2) yang terdapat dalam Definisi 5, diperoleh

(

(2.1, 3, 0, 0) [

(1, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0) (1, 1, 0, 0) ]

⊖ [

(5, 6, 2, 3) (4, 5, 1, 2) (3, 7, 2, 5) (9, 11, 2, 1)

]) x = ˜˜ 0 [

(−3.9, −2, 3, 2) (−5, −4, 2, 1) (−7, −3, 5, 2) (−8.9, −6, 1, 2)

] [

(a₁₁, b₁₁, α₁₁, β₁₁) (a₂₁, b₂₁, α₂₁, β₂₁) ]

= ˜0.

Kemudian persamaan dalam bentuk perkalian matriks vektor dapat ditentukan, sebagai berikut:

(a11, b11, α11, β11) [

(−3.9, −2, 3, 2) (−7, −3, 5, 2)

]

⊕ (a21, b21, α21, β21) [

(−5, −4, 2, 1) (−8.9, −6, 1, 2)

]

= ˜0









 (

(−3.9b11− 5b21), (−2a11− 4a21), ((3b₁₁+ 3.9β₁₁) + (2b₂₁+ 5β₂₁)), ((2a₁₁+ 2α₁₁) + (a₂₁+ 4α₂₁))

) (

(−7b11− 8.9b21), (−3a11− 6a21), ((5b₁₁+ 7β₁₁) + (b₂₁+ 8.9β₂₁)), ((2a11+ 3α11) + (2a21+ 6α21))

)











= ˜0. (15)

Selanjutnya elemen-elemen bilangan fuzzy pada persamaan (15) dieliminasi dengan koefisien yang bersesuaian untuk memperoleh vektor eigen sebagai berikut:

˜ x =

[

(−2s, −1.3s, −s − 2t, 1.2s − 1.3t) (s, s, t, t)

]

˜ x = s

[

(−2, −1.3, −1, 1.2) (1, 1, 0, 0)

]

⊕ t [

(0, 0,−2, −1.3) (0, 0, 1, 1)

] ,

Dengan demikian, vektor eigen yang terkait dengan ˜λ1 = (2.1, 3, 0, 0), yaitu

˜ x =

[

(−2, −1.3, −1, 1.2) (1, 1, 0, 0)

]

dan x =˜ [

(0, 0,−2, −1.3) (0, 0, 1, 1)

] .

Untuk ˜λ₂ = (14.9, 11, 0, 4.25) vektor eigen fuzzy dapat ditentukan dengan menggu- nakan operasi pada persamaan (14) sebagai berikut:

(˜λ˜I− ˜A)˜x = ˜0.

Untuk ˜x yang diperoleh pada persamaan (11) berbentuk

x =˜ [

(a₁₁, b₁₁, α₁₁, β₁₁) (a₂₁, b₂₁, α₂₁, β₂₁) ]

.

Dengan mensubstitusikan ˜λ₂ = (14.9, 11, 0, 4.25) ke dalam persamaan (14), kemudian dioperasikan menggunakan perkalian bilangan fuzzy trapesium pada persamaan (3) dan operasi pengurangan pada persamaan (2) yang terdapat dalam Definisi 5, diperoleh

(

(14.9, 11, 0, 4.25) [

(1, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0) (1, 1, 0, 0) ]

⊖ [

(5, 6, 2, 3) (4, 5, 1, 2) (3, 7, 2, 5) (9, 11, 2, 1)

])

˜ x = ˜0 [

(8.9, 6, 3, 6.25) (−5, −4, 2, 1) (−7, −3, 5, 2) (3.9, 2, 1, 6.25)

] [

(a₁₁, b₁₁, α₁₁, β₁₁) (a₂₁, b₂₁, α₂₁, β₂₁) ]

= ˜0.

Kemudian persamaan dalam bentuk matriks vektor dapat ditentukan sebagai berikut:

(a₁₁, b₁₁, α₁₁, β₁₁) [

(8.9, 6, 3, 6.25) (−7, −3, 5, 2)

]

⊕ (a21, b₂₁, α₂₁, β₂₁) [

(−5, −4, 2, 1) (3.9, 2, 1, 6.25)

]

= ˜0









 (

(8.9a₁₁− 5b21), (6b₁₁− 4a21), ((8.9α₁₁+ 3a₁₁) + (2b₂₁+ 5β₂₁)), ((6β₁₁+ 6.25b₁₁) + (a₂₁+ 4α₂₁))

) (

(−7b11+ 3.9a₂₁), (−3a11+ 2b₂₁), ((−5b11+ 7β₁₁) + (3.9α₂₁+ a₂₁)), ((a11+ 3α11) + (2β21+ 6.25b21))

)











= ˜0. (16)

Selanjutnya elemen-elemen bilangan fuzzy pada persamaan (16) dieliminasi dengan koefisien yang bersesuaian untuk memperoleh vektor eigen sebagai berikut:

˜ x =

[

(0.6s, 0.6s, 0.52s + 0.5t, 6.75s + 0.1t) (s, s, t, t)

]

˜ x = s

[

(0.6, 0.6, 0.52, 6.75) (1, 1, 0, 0)

]

⊕ t [

(0, 0, 0.5, 0.1) (0, 0, 1, 1)

] ,

Dengan demikian, vektor eigen yang terkait dengan ˜λ1 = (2.1, 3, 0, 0), yaitu

˜ x =

[(0.6, 0.6, 0.52, 6.75) (1, 1, 0, 0)

]

dan x =˜

[(0, 0, 0.5, 0.1) (0, 0, 1, 1)

] .

4. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa determinan fuzzy serta nilai eigen dan vektor eigen fuzzy dapat ditentukan dengan merujuk definisi determinan real serta definisi nilai eigen dan vektor eigen real.

Selain itu, pendefinisian positif dan negatif fuzzy trapesium berdasarkan luas daerahnya, dan juga aljabar bilangan fuzzy dapat digunakan untuk melakukan pengoperasian bilangan fuzzy trapesium dengan beragam kasus. Dengan demikian, nilai eigen dan vektor eigen fuzzy dapat ditentukan dengan beragam kasus bilangan fuzzy trapesium.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Prof. Dr.

Mashadi, M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] A. S. Abidin, Mashadi, dan S.Gemawati, Algebraic modification of trapezoidal fuzzy numbers complete fully fuzzy linear equations system using Gauss-Jacobi method, International Journal of Management and Fuzzy System, 5 (2019), 40-46.

[2] T. Allahviranloo dan L. Hooshangian, A method to find fuzzy eigenvalues and fuzzy eigenvectors of fuzzy matrix, Neural Computing and Application, 23 (2013), 1159-1167.

[3] J. J. Buckley, Fuzzy eigenvalue and input-output analysis, Fuzzy Sets and Sys- tem, 34 (1990), 187-195.

[4] S. Gemawati, I. Nasfianti, Mashadi, dan A. Hadi, A new method for dual fully fuzzy linear system with trapezoidal fuzzy numbers by QR decomposition, Jour- nal of Physics: Conference Series, 1116 (2018), 1-5.

[5] H. Kholida dan Mashadi, Alternatif fuzzy algebra for fuzzy linear system using cramers rule on fuzzy trapezoidal number, International Jurnal of Innovative Science and Reserch Technology, 4 (2019), 2456-2165.

[6] A. Kumar, A. Bansal, dan Naatu, A Method for solving fully fuzzy linear system with trapezoidal fuzzy number, Iranian Jurnal of Optimization, 2 (2010), 359- 374.

[7] S. I. Marni, Mashadi, dan S. Gemawati, Solving dual fully fuzzy linear system by use factorizations of the coefficient matrix for trapezodial fuzzy number, Bulletin of Mathematics, 10 (2018), 145-156.

[8] M. Mashadi, A new method for dual fully fuzzy linear system by use LU fac- torizations of the coefficient matrix, Jurnal Matematika dan Sains, 15 (2010), 100-106.

[9] S. Muzzioli dan H. Reynaerts, Fuzzy linear systems of the form A₁x + b1 = A₂x + b₂, Fuzzy Sets and Systems, 157 (2006), 939-951.

[10] M. Z. Ragab dan E.G. Emam, The determinant and adjoint of a fuzzy matrix, Fuzzy Sets and Systems, 61 (1994), 297-307.

[11] Y. Safitri dan Mashadi, Alternative fuzzy algebra to solve dual fully fuzzy linear system using ST decomposition method, IOSR Journal of Mathematics, 15 (2019), 32-38.

[12] S. Salahshour, R.Rodriguez-Lopez, F. Karimi, dan A. Kumar, Computing the eigenvalues and eigenvectors of a fuzzy matrix, Journal of Fuzzy Set Valued Analysis, 2012 (2012), 1-18.

[13] H. D. V. A. Sanskrit, Fuzzy eigenvalues and fuzzy eigenvectors for fuzzy matrix, AE International Journal of Multidisciplinary Research, 5 (2017), 1-6.

[14] Y. Theodorou, C. Drossos, dan P. Alevizos, Correspondence analysis with fuzzy data: The fuzzy eigenvalue problem, Fuzzy Sets System, 158 (2007), 704-721.

[15] Z. Tian, Fuzzy eigenvectors of real matrix, Journal of Mathematics Research 3, 2 (2010), 103-108.

[16] A. Vroman, G. Deschijver, dan E. E. Kerre, Solving systems of linear fuzzy equations by parametric functions, International Mathematical Forum, 6 (2011), 2245-2254.

[17] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control, 8 (1965), 338-353.