S MAT 0900347 Chapter3

(1)

12

Rischa Armalia Perdana, 2016 FUNGSI MIDKONVEKS

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu BAB III

FUNGSI MIDKONVEKS

Pada bab ini akan dibahas tentang fungsi midkonveks, fungsi midkonveks pada ruang linear bernorm, serta fungsi midkonveks pada bilangan real.

3.1 Pendahuluan

Diberikan fungsi bernilai real yang terdefinisi pada interval ⊂ ℝ yang memenuhi

+ _[ ₊ _]

(1) untuk setiap dan pada . Fungsi ∶ → ℝ dikatakan konveks jika dan hanya jika

[ë + − ë ] ë + − ë (2)

untuk setiap dan pada , ë ∈ , . Jika ë = dapat ditunjukkan semua fungsi yang memenuhi (2) juga memenuhi (1), tetapi tidak sebaliknya.

Melalui fungsi konveks yaitu fungsi yang memenuhi (2) selanjutnya akan didefinisikan fungsi midkonveks yaitu fungsi yang memenuhi (1). Kedua definisi ini hanya berlaku pada fungsi yang terdefinisi pada subset konveks � pada ruang linear bernorm dan akan dilihat hubungan antara fungsi konveks dan fungsi midkonveks

3.2 Fungsi Midkonveks pada Ruang Linear Bernorm

Definisi 3.2.1 (Fungsi Midkonveks)

Diketahui ruang linear dan himpunan konveks � . Suatu fungsi : � → ℝ disebut fungsi midkonveks jika untuk setiap , ∈ �, berlaku

(2)

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Contoh :

1. = | |. Akan ditunjukkan midkonveks

( + ) = | + | = | + | | | + | | = [ + ]

2. ℎ = . Akan ditunjukkan ℎ midkonveks

ℎ ( + ) = ( + ) = + +

berdasarkan ketaksamaan aritmatik-rataan geometri √ + sehingga + + , maka

ℎ ( + ) + ( + + ) +

= _{+ 8 +} _{+ 8 +}

+ 8 + ( + + _{) + 8 +}

= _{+ 8 + 6 + 8 + 6 + 8 +}

+ 8 + 6 + 8( + + _{) + 6}

+ 8 +

= _{+ 8 + 6 +} _{+ 6 +} _{+ 6}

+ 8 +

+ 8 + 6 + + 6( + + )

+ _{+ 6 + 8 +}

= _{+ 8 + 6 +} _{+ 6 +} _{+ 6}

(3)

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

jika diteruskan akan ditemukan deret geometri tak hingga. Dan berdasarkan rumus geometri tak hingga,

ℎ ( + )

+ 8 + 6 + + 6 + ⋯+ 6

+ _{+ 6 + 8 +} = +

= [ℎ + ℎ ]

Definisi 3.2.2 (Kombinasi Konveks Rasional)

Kombinasi ∑ á_{� �} disebut kombinasi konveks rasional pada titik , ⋯ , jika,

á� untuk � = , ⋯ , (1)

∑ á� = (2)

á� bilangan rasional untuk � = , ⋯ , (3) Contoh :

Akan ditunjukkan ∑ _� adalah kombinasi konveks rasional.

á� = ,

∑ á� =∑ = + + ⋯ +_⏟ �

= = ,

dan á_�= adalah bilangan rasional untuk � = , ⋯ , .

Teorema 3.2.3 Fungsi dikatakan midkonveks pada himpunan konveks � jika dan hanya jka untuk setiap kombinasi konveks rasional dari titik-titik pada � berlaku

(4)

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Bukti:

Jelas jika dipilih á = á = sembarang akan memenuhi (4), karena diketahui midkonveks. Pertama akan ditunjukkan bahwa fungsi midkonveks pada kasus spesial dimana á = ⋯ = á = memenuhi (4). Saat =

(∑ á� �) = (∑ �) = ( + + + )

= [ ( + ) + ( + )] ( + ) + ( + )

= + + +

[ + + + ] = ∑ �

= ∑ � = ∑ á� �

Akan ditunjukkan jika = � berlaku

∑ á� � �

= ( + ⋯ +_� �) _�[ + ⋯ + ( �)] = ∑ á_� _�

�

Untuk � = , maka = . Jelas karena merupakan definisi midkonveks.

Jika untuk � = benar, akan ditunjukkan untuk � = + juga benar. � = benar artinya

∑ á� � �

= ( + ⋯ + �) [ + ⋯ + � ] = ∑ á_� _�

�

(5)

∑ á� � �+1

= ( + ⋯ +₊ �+1) = ( + ⋯ + �+ _∙ �+ + ⋯ + �+ �)

[ ( + ⋯ + �) + ( �+ + ⋯ + �+ �)]

[ [ + ⋯ + � ] + [ �₊ + ⋯ + �₊ � ]]

= ∙ [ + ⋯ + � + �₊ + ⋯ + �₊ � ]

= ₊ [ + ⋯ + �+1 ] = ₊ ∑ _�

�+1

= ∑ ₊ �

�+1

= ∑ á� �

�+1

Jadi ntuk setiap = �, berlaku

∑ á� � �

= ( + ⋯ + ) [ + ⋯ + ] = ∑ á� �

�

Untuk = ,

(∑ á� �) = ( + + )

= [ ( + + + − + + )]

( + + + − + + )

sehingga,

( − − ) ( + + ) [ + + ]

atau

(6)

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu kali dengan maka

(∑ á� �) = ( + + ) [ + + ] = ∑ á� �

Dengan pola yang sama untuk setiap ≠ �. Pilih sehingga − < < . Maka

(∑ á� �) = ( + ⋯ + )

= [ ( + ⋯ + + − + ⋯ + ) ]

[ + ⋯ + + − ( + ⋯ + )]

kita akan peroleh

− − ( + ⋯ + ) [ + ⋯ + ]

kalikan dengan maka

(∑ á� �) = ( + ⋯ + ) [ + ⋯ + ] = ∑ á� �

(7)

(∑ á� �) = (∑ � �

Persamaan (4) disebut Ketaksamaan Jensen.

Teorema 3.2.4 Diberikan : → �, dan memenuhi ketaksamaan jensen

(d) Sudah terbukti pada Teorema 3.2.3.

(c) untuk = , , ∈ � dan á + á = , maka

(∑ á� �) = á + á = á + − á

á + − á = á + á = ∑ á� � .

�

(8)

(9)

á + ⋯ + á =∑á� �

kalikan dengan á , sehingga

á (∑á� �)+∑−á� �

á +∑á� � (∑á� �)

∑á� � (∑á� �)

(a) Karena (4) dipenuhi oleh semua á_�, jelas dipenuhi oleh semua á_� yang terbatas (2). Berdasarkan (b), affine, berdasarkan definisi = + untuk suatu fungsi linear dan konstanta . Harus ditunjukkan = . Berdasarkan definisi, linear, maka ⊇ = ⊇dan jika affine, maka ⊇ = . Perhatikan

⊇ = ∙ ⊇ + ∙ ⊇ ⊇ + ⊇

(10)

⊇ = ∙ ⊇ ⊇ =

Jadi, = ⊇ = . ∎

Teorema 3.2.5 Diberikan fungsi midkonveks pada himpunan buka � . Jika terbatas di atas pada persekitaran dari sebuah titik ∈ �, maka kontinu dan konveks di �.

Bukti:

Pilih titik ⊇ ∈ �, misalkan terbatas di atas pada (⊇) oleh dan | (⊇)|= . Pilih suatu bilangan rasional å ∈ , dan suatu sehingga ‖ ‖< å , perhatikan

= _{− å ⊇ + ε å}

dan

⊇ = _{+ å}å −_{å + + å}

karena midkonveks dan ⊇ = , maka

= _{− å ⊇ + ε å} − å _{⊇ + å å} + å = å

dan

⊇ = ( _{+ å}å −_{å + + å )} _{+ å}å −_{å + + å}

å

+ å + + å

Jadi, ‖ ‖< å mengakibatkan | | å . Hal ini menunjukkan kontinu pada

= ⊇.

Akan ditunjukkan terbatas di atas oleh untuk setiap titik ≠ ⊇ pada �. Dengan mencontoh pembuktian pada Teorema 2.6.1, pilih ñ > sehingga

= ñ ∈ �, dan misalkan ë = ⁄ñ, maka

(11)

adalah persekitaran dari ë = dengan jari-jari − ë (gambar 2.3.1). Selanjutnya,

= ( − ë + ë ) − ë + ë +

Sehingga, terbatas di atas pada . Jadi, kontinu di . ∎

3.3 Fungsi midkonveks pada ℝ

Pada bagian ini akan dikaji apa yang akan terjadi jika domain dari fungsi midkonveks yang awalnya adalah ruang linear bernorm diperluas menjadi ℝ. Jensen (1905) telah membuktikan bahwa jika fungsi midkonveks terbatas di atas pada , , maka kontinu. Prasyarat apa saja yang diperlukan agar kontinu pada , .

Teorema 3.3.1 Misalkan fungsi midkonveks pada , . Jika terbatas di atas pada persekitaran dari sebuah titik ∈ , , maka kontinu pada , .

Bukti: teorema ini adalah kasus khusus dari Teorema 3.2.5

Teorema 3.3.2 Diberikan fungsi midkonveks pada , dan misalkan terdapat himpunan , memiliki ukuran positif dimana terbatas di atas. Maka kontinu pada , .

Bukti:

Misalkan himpunan adalah himpunan yang memiliki ukuran positif. Himpunan dapat dibentuk menjadi himpunan , interval buka yang tidak tumpang tindih dari , , sehingga

ℓ ∑ ℓ < ℓ

∞

(12)

∑ℓ( )

∞

= ℓ⋃( )

∞

= ℓ

haruslah terdapat minimal sebuah , misalkan , sehingga

< ℓ ℓ < ℓ

Misalkan adalah titik tengah pada interval = , . Andaikan tidak terbatas di atas pada sembarang persekitaran di . Dapat dipilih sehingga

| − |< å =ℓ ₆

dan > . Didefinisikan

= { : = − � ∈ }

karena adalah refleksi dan translasi dari , jelas ℓ = ℓ = 6å. Untuk sembarang ∈ ,

| − |=| − − |=| − + − | | − |+| − |

< å +| − |

Jadi, ⊂ − å, + å . Karena ℓ = 6å, ℓ å. Perhatikan

= −

= +

= ( + ) [ + ]

Karena > , maka . Sehingga

ℓ ℓ[ ] = ℓ + ℓ 6å + å = ℓ

(13)

Teorema 3.3.3 Jika : , → ℝ terukur dan midkonveks, maka kontinu pada

, .

Bukti:

Andaikan tidak kontinu. Pilih ∈ , dan sedemikian sehiingga −

, + , , dan misalkan adalah himpunan terukur dimana =

{ ∈ , : > }. Untuk suatu pilih ∈ − , + . Untuk

sembarang ë ∈ ,

< = [ + ë + − ë ] [ + ë + − ë ]

Oleh karena itu, + ë > dan − ë > , artinya + ë ∈ dan

− ë ∈ . Ekuivalen dengan, jika ={ : = − , ∈ } maka ë ∈

dan −ë ∈ untuk semua ë ∈ , . Karena ⋯ , berdasarkan teorema pada measure theory (Natanson I, 1961)

lim_→∞ℓ = ℓ (⋂

∞

)

sehingga ⋂∞ ≠ ∅. Artinya terdapat ∈ , sedemikian sehingga > untuk setiap , ini kontradiksi.

Perhatikan himpunan terukur dimana −ë ∈ dan ë ∈ untuk setiap

ë ∈ , . Bentuk = − , dan = , . Maka − =

[ , ] sehingga

= ℓ[ , ] ℓ − + ℓ = ℓ + ℓ = ℓ ℓ