Divulgaciones Matem´aticas v. 1, No. 1/2 (1993), 105–106
Problemas y Soluciones
Jos´
e Heber Nieto
Unproblema(del griegoπρoβαλλǫιν, lanzar adelante) es un obst´acu-lo arrojado ante la inteligencia para ser superado, una dificultad que exige ser resuelta, una cuesti´on que reclama ser aclarada. El concepto de problema es muy amplio y el estudio de las t´ecnicas, m´etodos y ha-bilidades intelectuales involucradas en su resoluci´on ha sido abordado desde m´ultiples ´angulos por expertos en psicolog´ıa, heur´ıstica, inteligen-cia artifiinteligen-cial y otras disciplinas. En el campo de la matem´atica, George Polya en su ya cl´asico libro “How to solve it” fue uno de los primeros en Ilamar la atenci´on sobre la importancia de los problemas y del en-trenamiento met´odico para resolverlos. Paul Halmos ha ido m´as lejos, afirmando que la principal raz´on de existir del matem´atico es resolver problemas, y que por lo tanto en lo querealmente consiste la matem´ati-ca es en problemas y soluciones. Sin duda que los axiomas, definiciones, teoremas, demostraciones, m´etodos, f´ormulas y teor´ıas son esenciales y la matem´atica no podr´ıa existir sin ellos, pero en la opini´on de Halmos no est´an “en el coraz´on mismo” de la matem´atica, como la est´an los problemas. Por estas razonee los problemas forman parte integral de la educaci´on matem´atica, y existe abundante literatura sobre los mismos. Se han estructurado cursoe completos en varias ramas de la matem´atica basados en problemas, seminarios sobre resoluci´on de problemas, y en las olimp´ıadas matem´aticas nacionales e internacionales, as´ı como otras competencias, se trata de descubrir los j´ovenes talentos a trav´es de la resoluci´on de problemas. En muchas revistas matem´aticas se publican problemas y soluciones, siendo tal vez la secci´on correspondiente de “The American Mathematical Monthly” una de las m´as famosas. Lo mismo haremos en esta publicaci´on. Invitamos a los lectores a enviar proble-mas para ser propuestos, tratando que sean originales e interesantes. No son adecuados para esta secci´on ejercicios sencillos ni resultados conoci-dos, ni tampoco problemaa abiertos o que requieran conocimientos muy especializados para abordarlos.
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Problemas y Soluciones
Problema 1
Sea{zn}una sucesi´on de n´umeros complejos no nulos tal que sii6=j entonces |zi−zj|>1.
a) Pruebe que la serieP∞ n=11/z
α
n converge absolutamente para todo realα >2.
b) Muestre con un ejemplo que lo anterior no es cierto paraα= 2.
Problema 2
Sea a > 2 un n´umero real y definamos una sucesi´on as´ı: x0 = a, xn=x2n−1−2 paran >0. Calcule limn→∞ 2
n
√xn.
Problema 3
Sea n un entero positivo y G un grafo con 2n v´ertices y al menos n2+ 1 aristas.
a) Pruebe queGcontiene al menos un tri´angulo.
b) ¿Puede afirmarse lo mismo si el grafo contiene 2n v´ertices y n2 aristas?
Problema 4
Sea f una funci´on continua a valores reales definida en la frontera S del cubo unitario [0,1]n en Rn tal que las restricciones a cada cara f(x1, . . . , xi−1,0, xi+1, . . . , xn) y f(x1, . . . , xi−1,1, xi+1, . . . , xn) sean polinomios parai= 1, . . . , n. Pruebe que existe una funci´on polinomial P :Rn
