JURUSAN PERKAPALAN UNIVERSITAS HASANUDDIN
Mata Kuliah
TEKNIK PRODUKSI KAPAL
MAKALAH TENTANG
“STATISTIKA”
NAMA : MUHAMMAD ARDI SARNA NIM : D 311 07 002
1.
Statistika
Statistika didefinisikan sebagai Ilmu dan Seni-ada juga yang mengatakan sebagai teknik- tentang pengumpulan data, penyajian data, analisis data, dan pengambilan kesimpulan data yang telah berhasil dihimpun tersebut. (Bambang Kustituanto dan Rudy Badrudin, Statistika I. Gunadarma,1994)
2.
Diagram Batang
Seringkali, sebuah organisasi, organisasi bisnis misalnya, perlu menyajikan berbagai data yang menginformasikan perkembangan berbagai prestasi seperti perkembangan berbagai prestasi sebagai perkembangan laba yang diperoleh, perkembangan nilai penjualan, dan lain sebagainya.
Selain dapat disajikan dalam bentuk tabel-tabel, yang dapat memberikan informasi rinci, kadang-kadang pihak tertentu ingin memperoleh informasi secara sepintas, yang tentu saja keakuratan informasi yang diperolehnya memang tidak diperhatikan. Dalam hal ini data yang telah disajikan dalam bentuk tabel-tabel perlu disajikan dalam bentuk lain yang lebih menarik. Diagram batang, atau Bar chart adalah salah satu bentuk yang dimaksud. Berikut contohnya :
*) Sumber : Laporan Tahunan 1987 Bank Bumi Daya
Disamping itu, diagram batang tidak hanya dapat disajikan secara tegak saja, namun dapat juga disajikan secara mendatar. Perhatikan contoh berikut ini :
3. Diagram Garis
Fungsi diagram garis sebenarnya tidak berbeda dengan fungsi diagram batang yang memberikan informasi mengenai perkembangan sesuatu dari periode ke periode. Hanya saja, sepeti namanya, diagram diwujudkan dengan garis-garis yang menghubungkan puncak-puncak frekuensi tiap periode. Perhatikan contoh berikut ini :
*) sumber : Bank Indonesia, Laporan Tahunan 1987/1988, halaman 91 tabel 8.3.
(Bambang Kustituanto dan Rudy Badrudin, Statistika I. Gunadarma,1994) 4. Diagram Pencar
Diagram pencar bertujuan untuk mengetahui hubungan antara dua variabel dalam menentukan karakteristik mutu serta untuk memastikan hubungan antara sebab dan akibat.
Langkah Membuat Diagram Pencar :
1. Kumpulkan pasangan data (x,y), yaitu hal-hal yang ingin dipelajari keterkaitannya dan atur data dalam sebuah tabel dengan data paling sedikit 30 pasangan data.
2. Carilah nilai maksimum dan minimum untuk kedua x dari y. Tetapkan skala pada sumbu horisontal dan vertikal sehingga panjang keduanya mendekati sama, sehingga diagram akan lebih mudah terbaca.
3. Gambar data pada kertas. Bila didapatkan nilai data yang sama dari pengamatan yang berbeda, tunjukkan titik ini dengan menggambar lingkaran sepusat atau gambar titik ke dua dalam daerah terdekat dari yang pertama.
4. Masukkan semua item yang diperlukan. Pastikan item berikut termasuk sehingga setiap orang di luar yang membuat diagram dapat mengerti secara sepintas:
a. Selang waktu. c. Judul dan unit setiap sumbu b. Jumlah pasangan data. d. Judul grafik
Cara Penggunaan Diagram Pencar :
MASALAH : Pembuat tangki plastik yang membuat dengan metode cetak hembusan menghadapi masalah dengan tangki rusak yang mempunyai dinding tipis. Diduga variasi tekanan udara, yang berbeda dari hari ke hari, yang menyebabkan ketidaksesuaian ketebalan dinding.
Data Tekanan Udara Hembus dan Persentase Plastik Kerusakan Tangki
Data :
x maks = 9,4 (kgf/cm2) x min = 8,2 (kgf/cm2) y maks = 0,928 (%) y min = 0,864 (%)
Tandai sumbu horizontal dalam interval 0,5 (kgf/cm2) dari 8,0 ke 9,5 (kgf/cm2), dan sumbu vertikal dalam interval 0,01 (%) dari 0,85 ke 0,93 (%)
Langkah pembuatan diagram pencar : 1. Tabel 1 ada 30 data
2. Sumbu x : tekanan udara hembus Sumbu y : persentase kerusakan 3. Gambar data
4. Tambahkan keterangan data.
Cara Penggunaan Diagram Pencar :
Korelasi Positif Korelasi Negatif
Tidak ada Korelasi
5. Daftar Distribusi Frekuensi
Distribusi frekuensi adalah Pengelompokkan data dalam beberapa kelas sehingga ciri-ciri penting data tersebut dapat segera terlihat. Frekuensi adalah banyaknya pemunculan data.
Bentuk Umum
Kelas (Kategori) Frekuensi (Fi)
Kelas ke-1 f1 Kelas ke-2 f2 Kelas ke-3 f3 : : : : : : Kelas ke-k fk Jumlah (∑) n n : banyak data
fi : frekuensi pada kelas ke-i, i = 1,2,3,…, k sehingga
Contoh :
Berikut adalah data ukuran 50 file (dalam Kbyte)
19 40 38 31 42 23 16 26 30 41 18 27 33 31 27 43 56 45 41 26 30 17 50 62 19 20 27 22 37 42 37 26 28 51 63 42 27 38 42 16 30 37 31 25 18 26 28 39 42 55
Ketiga Tabel DF ini berbeda dalam banyak kelas, batas atas dan batas bawah kelas. Tapi jumlah pengamatan (jumlah data) tetap sama.
6. Ukuran Statistik Ukuran Statistik:
1. Ukuran Pemusatan
Bagaimana, di mana data berpusat? ♦ Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean ♦ Median
♦ Modus
♦ Kuartil, Desil, Persentil 2. Ukuran Penyebaran
Bagaimana penyebaran data? ♦ Ragam, Varians
♦ Simpangan Baku Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data:
1. Ungrouped Data : Data yang belum dikelompokkan
2. Grouped Data : Data yang telah dikelompokkan � Tabel Distribusi Frekuensi 1. Ukuran Pemusatan
1. Rata-rata hitung = Arithmetic Mean A. Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data
𝜇 =
𝑁𝑖=1𝑥𝑖 𝑁dan
𝑥 =
𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑛μ: rata-rata hitung populasi 𝑥 : rata-rata hitung sampel N : ukuran Populasi n : ukuran Sampel
xi : data ke-i
Contoh :
Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai berikut : 850, 1100, 1150, 1250, 750, 900
Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A? Rata-Rata Populasi atau Sampel ?
Jawab:
μ
=
6000
6
= 1000
B. Rata-Rata Hitung untuk Grouped Data
Nilainya merupakan pendekatan, biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung sampel.
𝑥 =
𝑘𝑖=1𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑖 𝑘 𝑖=1 sehingga :𝑥 =
𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑛𝑥 : rata-rata hitung sampel k : banyak kelas
n : ukuran Sampel 𝑓𝑖 : frekuensi di kelas ke-i
Contoh :
2. Modus
Nilai yang paling sering muncul
Nilai yang frekuensinya paling tinggi A. Modus untuk Ungrouped Data
Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus) Bisa terjadi data tanpa modus
Contoh :
a. Sumbangan PMI warga Depok:
Rp.7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000 Modus : Rp. 8000
b. Berat 5 unit kendaraan (ton): 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 (Tidak Ada Modus)
c. Umur Mahasiswa (tahun) : 19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17 Modus : 18 dan 19
B. Modus untuk Grouped Data
Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada Kelas dengan frekuensi tertinggi
Kelas Modus = 24 - 31 TBB Kelas Modus = 23.5 i = 8
frek. kelas Modus = 17
frek, kelas sebelum kelas Modus = 10 frek. kelas sesudah kelas Modus = 7 d1 = 17 - 10 = 7
d2 = 17 - 7 = 10
3. Median, Kuartil, Desil dan Persentil
Median → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
Kuartil→ Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang sama besar
Desil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 10 bagian yang sama besar
Persentil→ Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 100 bagian yang sama besar
A. Median untuk Ungrouped Data
Letak Median → Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir Letak Median = 𝑛 + 1
2 n : banyak data
Contoh 1:
Tinggi Badan 5 mahasiswa :
1.75 1.78 1.60 1.73 1.78 meter Sorted : 1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 meter n = 5 Letak Median = 5+1 2
= 6 2= 3 Median = Data ke 3 = 1.75
B. Median untuk Grouped Data
Letak Median = 𝑛
2 n : banyak data
Kelas Median : Kelas di mana Median berada
Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif
Atau
di mana : TBB : Tepi Batas Bawah
s : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Median TBA : Tepi Batas Atas
s’ : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif sampai kelas Median i : interval kelas
𝑓𝑀: Frekuensi kelas Median Contoh : Kelas Median = 24 - 31 Letak Median = 𝑛 2 = 50 2 = 25
Median = Data ke-25 terletak di kelas 24-31 Kelas Median = 24 - 31 TBB Kelas Median = 23.5 dan TBA Kelas Median = 31.5
𝑓𝑀= 17
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10→ s = 25 - 10 = 15 Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27 → s’ = 27 - 25 = 2 interval = i = 8
2. Ukuran Penyebaran
Ragam = Varians (Variance) dan Simpangan Baku = Standar Deviasi
(Standard Deviation) 1. Ragam dan Simpangan Baku untuk Ungrouped Data
Contoh :
Data Usia 5 mahasiswa : 18 19 20 21 22 tahun a. Hitunglah μ, σ² dan σ (anggap data sebagai data populasi) b. Hitunglah x , s² dan s (data adalah data sampel)
2. Ragam dan Simpangan Baku untuk Grouped Data
Koefisien Ragam = Koefisien Varians
Semakin besar nilai Koefisien Ragam maka data semakin bervariasi, keragamannya data makin tinggi.
Untuk Populasi → Koefisien Ragam = 𝛿
𝜇 x 100%
Untuk Sampel → Koefisien Ragam = 𝑠
𝑥 x 100% Contoh : 𝑥 = 33.58 s = 11.6054 Koefisien Ragam = 𝑠 𝑥 x 100% = 11.6054 3358 x 100% = 34.56% Sumber : 03UkStatST.pdf
7. Kuartil, Desil, dan Persentil Kuartil
Untuk kelompok data dimana n ≥ 4, kita tentukan tiga nilai, katakanlah Q1, Q2, dan Q3 yang membagi kelompok data tersebut menjadi 4 bagian yang sama, yaitu setiap bagian memuat data yang sama atau jumlah observasinya sama. Nilai-nilai tersebut dinamakan nilai 25% data/observasi sama atau lebih kecil dari Q1, 50% data/observasi sama atau lebih kecil dari Q2, 75% data/Observasi sama atau lebih kecil dari Q3.
Rumus Kuartil
Kalau suatu kelompok data atau nilai sudah diurutkan dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (Xn), maka untuk menghitung Q1, Q2, dan Q3 harus dipergunakan rumus berikut :
I (n + 1)
Qi = nilai yang ke , i = 1, 2, 3 4
Contoh :
Berikut ini adalah data upah dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100, (n = 13). Cari nilai Q1, Q2, dan Q3.
Penyelesaian :
• Pertama-tama data diurutkan dahulu :
X1=30, X2=35, X3=40, X4=45, X5=50, X6=55, X7=60, X8=65, X9=70, X10=80, X11=85,
X12=95, X13=100.
• Q1 = nilai yang ke i(n + 1)
4 = nilai ke 1(13 + 1) 4
= nilai ke-3½ (nilai yang ke-3½, berarti rata-rata dari X3 dan X4)
• Jadi :
Q1 = ½(X3 + X4)
= ½(40 + 45) = 42,5
• Jadi :
Q2 = nilai yang ke i(n + 1)
4 = nilai ke 2(13 + 1) 4
= nilai ke-7, nilai X7
Jadi : Q2 = X7 = 60
Q3 = nilai ke 3(13 + 1)
4
= nilai ke-10½ (nilai yang ke-10½ berarti rata-rata dari X10 dan X11
• Jadi :
Q1 = ½(X10 + X11)
= ½(80 + 85)
= 82,5 (nilai kuartil tidak perlu sesuai dengan nilai data yang asli)
Desil
Untuk kelompok data dimana n ≥ 10, dapat ditentukan 9 nilai bagian yang sama, misalnya D1, D2,
… Q9, artinya setiap bagian mempunyai jumlah observasi yang sama, sedemikian rupa sehingga nilai
10% data/observasi sama atau lebih kecil dari D1, nilai 20% data/observasi sama atau lebih kecil dari
D2, dan seterusnya. Nilai tersebut dinamakan desil pertama, kedua dan seterusnya sampai desil
Kalau suatu kelompok data atau nilai sudah diurutkan dari yang terkecil (X1) sampai yang
terbesar (Xn), maka rumus desil adalah sebagai berikut :
i(n + 1)
Di = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 9 10
Contoh:
Berdasarkan contoh pada kuartil (diatas), hitunglah D1, D2, dan D9
D1 = nilai ke 1(13 + 1) 10 = nilai ke-14/10
= nilai ke-14/10, berarti X1 + 4/10(X2 – X1) = 30 + 4/10(35 – 30)
= 32
D2 = nilai ke 2(13 + 1)
10
= nilai ke-28/10, berarti X2 + 8 /10 (X3 – X2) = 35 + 8/10 (40 – 35) = 39 D9 = nilai ke 9(13 + 1) 10
= nilai ke-126/10, berarti X12 + 6/10 (X13 – X12)
= 95 + 6/10 (100 – 95)
= 98
Persentil
Untuk kelompok data dimana n ≥ 100, dapat ditentukan 99 nilai, P1, P2, … P99, yang disebut
persentil pertama, kedua dan ke-99, yang membagi kelompok data tersebut menjadi 100 bagian,masing-masing mempunyai bagian dengan jumlah observasi yang sama, dan sedemikian rupa sehingga 1% data/observasi sama atau lebih kecil dari P1, 2% data/observasi sama atau lebih
kecil dari P2.
Apabila data sudah disusun mulai dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (Xn), maka rumus persentil adalah sebagai berikut :
i(n + 1)
Pi = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 99 100
Kuartil, Desil, dan Persentil (Data Berkelompok) Rumus Desil : in /10 – (fi)0 Qi = L0 + c fd Rumus Persentil : in /100 – (fi)0 Qi = L0 + c fp
Dimana :
L0 = nilai batas bawah dari kelas yang memuat kuartil ke-i, desil ke-i, dan persentil ke-i N = banyaknya observasi = jumlah semua frekuensi
(fi)0 = jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang mengandung kuartil ke-i,
desil ke-i, dan persentil ke-i
fq = frekuensi dari kelas yang mengandung kuartil ke-i, desil ke-i, dan persentil ke-i c = besarnya kelas interval yang mengandung kuartil ke-i, desil ke-i, dan persentil ke-i in = i kali n
Contoh Soal
Berdasarkan data berikut, hitunglah Q1, Q3, D6, dan P50 !
in /4 – (fi)0 Q1 = L0 + c fq = 73,05 + 0,30 100/4 – 17 13 = 73,23 3n /4 – (fi)0 Q3 = L0 + c fq 300 /4 – 57 = 73,65 + 0,30 23 = 73,89 6n /10 – (fi)0 D6 = L0 + c fd 600 /10 – 57 = 73,65 + 0,30 23 = 73,69
50n /100 – (fi)0 P50 = L0 + c fp 5000 /100 – 30 = 73,65 + 0,30 27 = 73,57
Artinya nilai 50% dari observasi mempunyai nilai sama atau lebih kecil dari 73,57
Sumber : wisnu.stmik-aub.ac.id 8. Rentang
Dalam statistik deskriptif , Rentang adalah panjang interval terkecil yang berisi semua data. Hal ini dihitung dengan mengurangi pengamatan terkecil (sampel minimum) dari yang terbesar (maksimum sampel) dan memberikan indikasi dispersi statistik .
Hal ini diukur dalam satuan yang sama sebagai data. Karena hanya bergantung pada dua dari pengamatan, itu adalah ukuran miskin dan lemah dispersi kecuali jika ukuran sampel besar. (Contoh: a, b, c = range = ca)
Untuk populasi, kisaran lebih besar dari atau sama dengan dua kali standar deviasi , dengan kesetaraan hanya untuk lempar koin ( distribusi Bernoulli dengan p = ½).
Kisaran, dalam arti perbedaan antara nilai tertinggi dan terendah, juga disebut rentang mentah. Bila skala pengukuran baru dikembangkan, maka potensi maksimum atau minimum akan berasal dari skala ini. Ini disebut rentang (mentah) potensial. Tentu saja rentang ini tidak harus dipilih terlalu kecil, untuk menghindari efek langit-langit . Ketika pengukuran yang didapat, pengamatan terkecil atau terbesar yang dihasilkan, akan memberikan rentang (mentah) diamati.
The midrange titik, yaitu titik tengah antara dua ekstrim, merupakan indikator dari kecenderungan pusat data. Sekali lagi itu tidak terlalu kuat untuk sampel kecil.
Sumber : Wikipedia.org 9. Rata-rata Simpangan
Rata-rata simpangan (jarak antara tiap data dengan nilai rata-rata, jarak selalu memberi tanda positif, atau harga mutlak)
RS = (Σ I X-μ I)/N Dimana: X = nilai observasi μ = rerata aritmatik N = jumlah observasi I = tanda mutlak Sumber : simpangan-dan-kemencengan.ppt
10. Koefisien Variasi
Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpangan standar dengan nilai rata-rata yang dinyatakan dengan persentase. Koefisien variasi berguna untuk melihat sebaran data dari rata-rata hitungnya.
Besarnya Koefisien Variasi dinyatakan dengan rumus,
KV =
𝑠
𝑥
x 100% KV = koefisien variasi S = simpangan standar
𝑥
= rata-rata Contoh :Nilai rata-rata matematika Kelas III AK 1adalah 80 dengan simpangan standar 4,5 dan nilai rata-rata Kelas III AK 2 adalah 70 dengan simpangan standar 5,2. Hitunglah koefisien variasi masing-masing. Jawab : KV III AK 1 =
𝑠
𝑥
x 100% =
4,5
80
x 100% = 5,6% KV III AK 2 =
5,2
70
x 100% = 7,4% Sumber : koef-variasi.ppt 11. Distribusi Normal
Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.
Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.
- Fungsi distribusi kumulatif
Sumber : wikipedia.org 12. Check Sheets
Alat pengumpulan/ penyajian data sederhana Proses penyusunan :
1. Rancang pemilahan 2. Catat data yang sesuai 3. Hitung tally
4. Jumlahkan 5. Tabulasikan Contoh
MATA KULIAH JUMLAH PESERTA JUMLAH TIDAK LULUS % TIDAK LULUS
MA 114 60 IIIII II = 7 11.67
FI 118 40 IIIII = 5 12.50
MS 156 30 III = 3 10.00
MS 178 25 IIIII = 5 25.00
MS 188 30 I = 1 3.33
13. Peluang
- Dasar teori peluang • Ruang Sampel
• Kejadian dan Operasinya • Menghitung Titik Sampel :
– Permutasi – Kombinasi a. Ruang sampel
• Kumpulan dari semua hasil dari percobaan statistik, dinyatakan dengan notasi S • Contoh : Percobaan pelemparan mata uang
b. Kejadian
• Dari setiap percobaan kita mungkin ingin mengetahui munculnya elemen-elemen dari ruang sampel yang mempunyai ciri tertentu. Sekelompok titik sampel itu membentuk himpunan bagian dari S
• Contoh : Percobaan pelemparan 3 koin S
A
c. Operasi dengan kejadian • Definisi 1 :
Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A B ialah kejadian yang unsurnya termasuk A dan B.
• Gambar diagram Venn
A B
• Contoh : Tentukan irisan antara A = {1,2,3,4,5} dan B ={2,4,6,8} jawab : 2 & 4
• Definisi 2 : Dua kejadian A dan B saling terpisah bila A ∩ B = 0
• Contoh : Sebuah dadu dilantunkan. A menyatakan kejadian bahwa bilangan genap muncul di sebelah atas dan B kejadian bahwa bilangan ganjil yang muncul di sebelah atas.
• Definisi 3 : Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A∪B ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A dan B atau keduanya.
• Contoh : Tentukan gabungan dari kejadian A = {1,2,3,4,5} dengan B = {2,4,6,8}
• Definisi 4 : Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialah himpunan semua unsur S yang tidak termasuk A. Komplemen A dinyatakan dengan lambang A'.
• Contoh : Q menyatakan kejadian bahwa seorang karyawan yang dipilih secara acak dari suatu pabrik adalah seorang perokok. Nyatakan kejadian komplemen Q ?
d. Menghitung titik sampel • Teorema 1 :
Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat
dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2
cara.
• Teorema 2 :
Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi
kedua dapatdikerjakan dengan n2 cara , dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebuat operasi
ketiga dapat dikerjakandengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan
dengan n1n2…nk cara.
• Contoh : Berapa macam hidangan dapat disajikanjika masing-masing hidangan dapat terdiri dari sop, nasi goreng, bakmi, dan soto bila tersedia 4 macam soto, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto.
• Definisi 5
Suatu permutasi ialah suatu susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya.
• Contoh : Ambil tiga huruf a, b dan c. • Teorema 3
Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n! • Contoh : Permutasi empat huruf a,b,c, dan d adalah 4!=24 • Teorema 4
Banyak permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah
nPr=
𝑛 ! 𝑛−𝑟 !
• Contoh : Dari 20 lotere, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang S.
• Teorema 5
Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!
• Contoh : Dalam suatu permainan bridge ada empat pemain duduk melingkar. Berapa susunan duduk yang berlainan dalam permainan tersebut?
• Teorema 6
Banyak permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2berjenis
kedua,…, nk berjenis ke k adalah...
𝑛 !
𝑛1!𝑛2!𝑛3!……..𝑛𝑘!
• Contoh : Suatu pohon natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila tiga diantaranya berwarna merah, empat kuning dan dua biru?
• Teorema 7
Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel, masing-masing berisi n1 elemen dalam sel
pertama, n2 dalam sel ke dua dst, adalah:
𝑛
𝑛1,𝑛2,𝑛3,……..𝑛𝑘
=
𝑛 !
𝑛1!𝑛2!𝑛3!……..𝑛𝑘!
Dengan n1 + n2 + n3 … + nk = n.
• Contoh : Berapa banyak cara untuk menampung tujuh petinju dalam tiga kamar hotel, bila satu kamar bertempat tidur tiga sedangkan dua lainnya mempunyai dua tempat tidur ?
• Teorema 8
Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r adalah :
𝑛
𝑟
=
𝑛! 𝑟! 𝑛−𝑟 !
• Contoh : Bila ada empat kimiawan dan tiga fisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orang yang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawan dan satu fisikawan.
