Vektor basis Vektor satuan i = 1,0,0, j = 0,1,0, dan k = 0,0,1 sebagai pembentuk ruang dinamakan vektor basis untuk ruang 3.

Koko Martono – FMIPA - ITB

057

Vektor Vektor adalah ruas garis berarah yang ditentukan oleh panjang

danarahnya.Duavektor dikatakan sama jika panjang dan arahnya sama.

Vektor digambarkan sebagai ruas garis dari titik pangkal ke titik ujung dengan tanda panah diujung, dan diberi lambang huruf kecil cetak tebal.

Panjang vektor Panjang vektor v adalah jarak dari titik pangkal ke titik

ujungnya, dan ditulis ||v||.

Vektor satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan.

Untuksebarangvektor vdiperolehvektor satuan

|| || v v yangpanjangnya1. v titik ujung ||v|| titik pangkal v u u=v v u u u v v u≠v z v3 v =(v1,v2,v3) k j v2 0 y v1 (v1,v2,0) x 1 2 3 v v v = + + v i j k 2 2 2 1 2 3 || ||v = v + +v v

Vektor posisi Jika titik pangkal vektor v adalah

(0,0,0) dan titik ujungnya (v1,v2,v3), maka v

dina-makan vektor posisi, dan ditulis v = 〈v1,v2,v3〉.

Panjang vektorv = 〈v1,v2,v3〉 ≡ || ||v = v₁2+ +v₂2 v₃2.

Vektor basis Vektor satuan i = 〈1,0,0〉, j = 〈0,1,0〉,

dan k=〈0,0,1〉 sebagai pembentuk ruang

dinama-kan vektor basis untuk ruang \3. Vektor v dapat

dinyatakan sebagai v = v₁i+v₂j+v₃k.

Vektor di bidang Vektor posisi di bidang adalah v = 〈v1,v2〉, vektor

de-ngan titik pangkal (0,0) dan titik ujung (v1,v2). Panjang vektor ini adalah

2 2

1 2

|| ||v = v +v . Basis baku di bidang terdiri dari vektor satuan i = 〈1,0〉

dan j = 〈0,1〉. Vektor v = 〈v1,v2〉 di bidang ditulis v = v1i + v2j.

Vektor nol Vektor nol adalah vektor dengan titik pangkal berimpit

de-ngan titik ujung, arahnya sebarang. Vektor nol di \3 adalah 0 = 〈0,0,0〉.

Kesamaan dua vektor posisi Vektor u = 〈u1,u2,u3〉 = u1i + u2j + u3k dan

v = 〈v1,v2,v3〉 = v1i + v2j + v3k sama, ditulis u=v ⇔ u1=v1, u2=v2, u3=v3.

Vektor dari ruas garis Jika P dan Q adalah titik di bidang (ruang),

ma-ka vektor dengan titik pangma-kal P dan titik ujung Q ditulis PQ

JJJG

. Jika titik

pangkalnya Q dan titik ujungnya P, maka diperoleh vektor QP

JJJG

.

Penjumlahan vektor Pengurangan vektor

u+v v v u u+v v v u v v u −v u−v v u−v v u u−v

Perkalian vektor dengan skalar u

Penjumlahan vektor Untuk vektor u dan v dengan titik ujungu ≡ titik

pangkalv, jumlah u dan v (ditulis u+v) adalah vektor dari titik pangkal

u ke titik ujung v. Jumlah dari vektoru = 〈u1,u2,u3〉danv = 〈v1,v2,v3〉

ada-lah u+v = 〈u1+v1,u2+v2,u3+v3〉.

Perkalian vektor dengan skalar Hasilkalivektoru dengan skalar c (di-tulis cu) adalah vektor yang searah u jika c > 0, berlawanan arah dengan

u jika c > 0, dan vektor nol jika c = 0. Hasil kali skalar dari u=〈u1,u2,u3〉

dengan skalar c adalah cu = 〈cu1,cu2,cu3〉 dan panjangnya |c|||u||.

Pengurangan vektor Selisih dari vektor u dan v (ditulis u−v) adalah

vektor u+(−v). Selisih dari vektor u = 〈u1,u2,u3〉 dan v = 〈v1,v2,v3〉adalah

u−v = 〈u1−v1,u2−v2,u3−v3〉.

−v

3u

Sifat Vektor Untuk sebarang vektor u, v, w dan skalar a, b berlaku: ¾u+v = v+u ¾ u+(−u) = 0 ¾ (a+b)u = au+bu ¾ (u+v)+w = u+(v+w) ¾ a(bu) = (ab)u ¾ 1u = u ¾u+0 = 0+u = u ¾ a(u+v) = au+av ¾ ||au|| = |a|||u||. Contoh C D Q E B A

Pada gambar diperlihatkan jajargenjang ABCD

de-ngan diagonal AC dan BD yang berpotongan di E,

P titik-tengah BC, dan Q titik-tengah ED.

Jika AB = u dan AD = v, nyatakan ruas garis

ber-arah AP, AQ, dan CQ dalam vektor u dan v.

¾Dari sifat jajargenjang diperoleh

DC=AB=u, BC=AD=v, CD BA= = -u, dan CB DA= = -v.

¾Karena P titik-tengah BC, maka AP=AB BP+ = +u ₂1BC= +u 1₂v.

¾Karena Q titik-tengah ED dan E titik potong diagonal AC dan BD, maka

3 4 BQ= BD, sehingga 3 _{3 3 1 3} 4 4 4 4 4

(

)

( ) AQ=AB BQ+ = +u BD= +u BA AD+ = + - + =u u v u+ v.

¾Dengan argumentasi yang sama diperoleh

3 3 3 3 1

4 4

(

)

4( ) 4 4 .

CQ CB BQ= + = - +v BD= - +v BA AD+ = - + - + = -v u v u- v Contoh Jika u = 〈1,0,0), v = 〈1,1,0), w = 〈1,1,1), dan x = 〈2,−3,4), tentu-

kan konstanta a, b, dan c agar memenuhi x = au + bv + cw.

Dari x = au + bv + cw diperoleh 〈2,−3,4〉 = a〈1,0,0〉 + b〈1,1,0〉 + c〈1,1,1〉, atau

〈2,−3,4〉 = 〈a+b+c,b+c,c〉

Berdasarkan kesamaan dua vektor diperoleh

a+b+c = 2, b+c = −3, dan c = 4.

Akibatnya b = −3 − c = −3 − 4 = −7, dan a = 2 − b − c = 2 − (−7) − 4 = 5.

Jadi konstanta a, b, dan c yang memenuhi x = au + bv + cw adalah

a = 5, b = −7, dan c= 4.

Contoh Jikau = 〈8,1,−4〉danv = 〈6,−2,−3〉, tentukan panjang vektor u, v,

dan u−2v.

¾Panjang vektor u adalah || ||u = 82+ + -12 ( 4)2= 81 9= .

¾Panjang vektor v adalah || ||v = 22+ - + -( 3)2 ( 6)2= 49 7= .

¾Karena u−2v = 〈8,1,−4〉−2〈6,−2,−3〉 = 〈8,1,−4〉−〈12,−4,−6〉=〈4, 5,−2〉,

maka panjang vektor u−2v adalah ||u-2 ||v = - + + =( 4)2 52 22 45 3 5.=

60° 45°

v 60° 45°

w

Contoh Pada gambar diperlihatkan sebuah benda dengan berat 200 newton yang

digan-tung dua kawat bersudut 60° dan 45° dengan

horisontal. Jika semua gaya terletak di dalam satu bidang dan benda dalam keadaan setim-bang, tentukan besarnya gaya tegangan pada setiap kawat.

¾Misalkan gaya tegangan pada kawat kiri adalah vektor u, pada kawat

ka-nan adalahvektor v, dangaya berat benda adalahvektor w. Uraikan gaya

tegangan u dan v atas komponen horisontal dan vertikal.

¾Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah kiri dan

ka-nan harus sama, akibatnya || || cos 60u =|| || cos 45 .v Dari sini diperoleh

1 1

2|| ||u = 2 2 || ||v , sehingga || ||u = 2 || ||v .

¾Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah atas dan

ba-wah harus sama, akibatnya || || sin 60u +|| || sin 45v =|| || 200w = .

¾Selesaikan persamaan ini dengan data soal dan || ||u = 2 || ||v , diperoleh

1 1 2 3◊ 2 || ||v + 2 2 || || 200v = , 400 400 6 2 6 2 6 2 6 2 || || - 100

(

6 2

)

103,5 + + -= = ◊ = - ª v Newton. dan || ||u = 2 || ||v = 2 100◊

(

6- 2

)

= 200

(

3 1- ª

)

146, 4 Newton. u 200

Perkalian titik Hasilkali titik dari vektor u dan v, ditulis u vi , didefini-sikan sebagai berikut.

¾ Untuk vektor di bidang: u vi = ·u u₁, ₂Ò ·i v v_{1 2}, Ò = u v_{1 1}+u v_{2 2.}

¾ Untuk vektor di ruang : u vi = ·u u u₁, ,_{2 3}Ò ·i v v v_{1 2}, , ₃Ò =u v_{1 1}+u v_{2 2}+u v_{3 3}.

Sifat Perkalian titik Untuk vektor u, v, w dan skalar c berlaku

¾ u vi = v ui ¾ u v wi( + )= u v u wi + i ¾ _{c(u v}i ₎ = _{( )cu v}i

¾ 0 ui = 0 ¾ _{u u}i =_{|| ||u} 2≥_{0, u u}i > ¤ π_{0 u 0, u u}i = ¤ =_{0 u 0}

Kaitan hasilkali titik dengan sudut antara dua vektornya Jika u,v ≠ 0

dan θ = sudut terkecil dari u dan v, maka u vi =|| || || || cos .u v q

Kriteria dua vektor saling tegak lurus u^ ¤v u vi = 0_.

(Dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya nol)

Dua vektor yang saling tegak lurus dinamakan ortogonal.

u−v

u v

θ

Bukti dari sifat u vi =|| || || || cos .u v q

Rumus kosinus dari segitiga pada gambar memberikan

2 2 2

||u v- || =|| ||u +|| ||v -2 || || || || cos .u v q

Dari sifat perkalian titik diperoleh

2 2 2 || || ( ) ( ) ( ) ( ) || || || || 2 - = - - = - - -= - - + = + -u v u v u v u u v v u v u u u v v u v v u v u v i i i i i i i i

Samakan kedua bentuk dari ||u v- ||2 ini, diperoleh u vi =|| || || || cos .u v q

Contoh Tentukan sudut antara vektor u = 〈8,4,−1〉danv = 〈4,−4,−2〉.

Jika u,v ≠ 0 dan θ = sudut terkecil dari u dan v, maka

|| |||| || cosq = u v u v i . Untuk soal ini, || ||u = 82+ + - =42 ( 1)2 81 9= , || ||v = 42+ - + -( 4)2 ( 2)2= 36 6= , dan u vi =8(4)+ - + - - =4( 4) ( 1)( 2) 18, sehingga 18 1 9 6 3 cosq = _◊ = . Akibatnya

sudut antara vektor u dan v adalah 11

3

cos 71 .

q ₌ - _ª

Ilustrasi Vektor u = 〈8,−1,−4〉danv = 〈1,−4,3〉 saling tegak lurus karena

8, 1, 4 1, 4,3 8 4 12 0

= · - - Ò · - Ò = + - =

Contoh Tentukan semua vektor satuan yang tegak lurus u = 〈1,6,4〉 dan

v = 〈1,2,2〉.

¾Misalkan w = 〈a,b,c〉 adalah suatu vektor yang tegak lurus u dan v, maka

〈a,b,c〉•〈1,6,4〉 = 0 dan 〈a,b,c〉•〈1,2,2〉= 0. Dari sini diperoleh persamaan

6 4 0

a+ b+ c = dan a+2b+2c = 0.

¾Selisih duapersamaanini memberikan 4b+2c= 0,sehingga c = -2b dan

2 2 2 4 2

a = - -b c= - +b b = b.

¾Jadi w = 〈a,b,c〉 = 〈2b,b,−2b〉 = b〈2,1,−2〉 dan || ||w = b2(4 1 4)+ + =3| |b ,

sehingga semua vektor satuan yang tegak lurus u dan v adalah

2,1, 2 1 || || 3| | 3 2,1, 2 b b · - Ò = w = = ± · - Ò w s .

Sudut arah dan kosinus arah

z v k γ α β j 0 y i x

Sudut tak negatif terkecil antara vektor ruang

v≠0 dengan vektor basis i, j, k dinamakan su

-dut arah dari v,dinyatakan denganα,β, danγ;

di sini α = ∠(v,i), β = ∠(v,j), dan γ = ∠(v,j).

Dalam kaitan ini, cos α, cosβ, dan cosγ

dina-makan kosinus arah dari v.

Jika v = v₁i+v₂ j+v₃k, maka 1 || |||| || || || cosa = v i = v v i v i , 2 || |||| || || || cosb = v j = v v j v i , dan 3 || |||| || || || cosg = v k = v v k v i Catatan Karena 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 || || || || || || cos a +cos b +cos g = v + v + v =1

v v v ,maka

vek-tor (cosα,cosβ,cosγ) panjangnya satu satuan dan searah dengan v.

Contoh Tentukan sudut arah vektor v = 〈2,3,−6〉.

Karena || ||v = 4+ +9 36 = 7, maka cosa =₇2, cosb =3₇, dan cosg = -6₇,

sehingga sudut arah dari vektor v = 〈2,3,−6〉 adalah

Vektor Proyeksi Proyeksi vektor u pada v adalah vektor ₂ || || pr_v = u v v u i v u θ prv u=u2 ||u||cosθ u2 v u prv u=u2 θ u2 −||u||cosθ v 1 2 0£ £q p u2 = (proyeksiupadav) = kv, k > 0 ||u2|| = ||u|| cosθ = k||v|| u•v = ||u||||v|| cosθ = k||v||||v|| 2 || || k = u v v i 2 2 pr k _{|| ||} \ = _v = = u v v u u v i v 1 2p q p< £ u2 = (proyeksi upadav) = −kv, k > 0 ||u2|| = −||u|| cosθ = k||v|| −u•v = −||u||||v|| cosθ = k||v||||v|| 2 || || k = - u v v i 2 2 pr k _{|| ||} \ = _v = - = u v v u u v i v

Contoh Jika u = 〈2,2,−1〉 dan v = 〈1,1,2〉, tentukan pr_vu dan pr_uv.

Untuk contoh ini, || ||v = 6, || ||u =3, dan u vi = v ui = 2_{, sehingga}

2 2 1 1 2 6 3 3 3 || || pr_v = u v = ·1,1, 2Ò = , , v u i v dan _{2 9}2 _{9 9}4 4 2₉ || || pr_u = v u = ·2, 2, 1- Ò = , , -u v i u . tali 25°

Contoh Jika sudut antara tanjakan jalan dan horisontal

adalah 25°, tentukan gaya tegangan tali agar dapat

me-nahan mobil seberat 2 ton dalam keadaan setimbang.

y T

−a x 25°

W = 2 ton

Buatlahsistem koordinat xoy dengan titik asal sebagai

ti-tik pusat massa mobil. Dalam sistem koordinat ini,

W=〈0,−2〉 dan T=〈−a,atan25°〉,a>0.

Gaya tegangan tali untuk menahan mobil dalam keadaan

setimbang adalah panjang proyeksi dari w pada T, yaitu

2 ₂ | | | | 2 tan 25 || || || || _{1 tan 25} ||pr || || || a 0,8452 a + = = = ª T T W T W T T W i T i ton.

Cara lain ||pr_TW|| ||= W||sin 25 = ◊2 0,4663 0,8452= ton.

dan ||pr_vu|| dinamakan proyeksi skalar dari u pada v.

Contoh Jika g ≡ ax + by + c = 0, a dan b tak semua 0, tunjukkan vektor

〈a,b〉 tegak lurus garis g dan jarak A(x0,y0) ke g adalah 0 ₂ 0₂

| |ax by c a b d + + + = .

Untuk a dan b tak semua 0, terdapat tiga kasus yang mungkin terjadi

¾a = 0 dan b ≠ 0: g≡by+c=0 ⇔ c b g∫ = -y ⇔ g//sb-x⇔ 〈0,b〉 ⊥ g. ¾a ≠ 0 dan b = 0: g≡ax+c=0 ⇔ c a g∫ = -x ⇔ g//sb-y ⇔ 〈a,0〉 ⊥g. ¾a ≠ 0 dan b ≠ 0:

(

c,0

)

a g - Πdan 0,

(

c

)

b g - Œ ⇔ c, c a - Œa g

·

Ò

⇔ ⇔ c, c , 0 a -a ·a bÒ =

·

Ò

i ⇔ c, c , a - ^ ·a a bÒ

·

Ò

⇔ 〈a,b〉⊥ g. y A(x0,y0) n d v pr_nv (x1,y1) 0 x

Misalkan (x1,y1)∈g dan n=〈a,b〉 adalah vektor yang

tegak lurus garis g ≡ ax+ by + c = 0. Buatlah vektor

v dari (x1,y1) ke (x0,y0), maka v = 〈x0−x1,y0−y1〉.

Karena (x1,y1)∈g, maka ax1 + by1 + c = 0, sehingga

ax1+ by1 = −c.

Dengan menggunakan proyeksi vektor diperoleh

0 1 0 1 2 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 2 2 2 2 2 2 ) , , | , | | | | | || || || || || || | ( ) ( | | ( )| | | jarak ( , ) ||pr || || || . a b a b x x y y a x x b y y ax by ax by ax by c a b a b a b d A g · - _· - Ò_Ò · Ò - + - + - + + + + + + = = = = = = = = n v n v n n n v i n i i

Perkalian silang Hasilkali silang dari vektor ruang u = 〈u1,u2,u3〉 dan

v = 〈v1,v2,v3〉, ditulis u×v, didefinisikan sebagai vektor ruang

¾ u v¥ = ·u v_{2 3}-u v u v_{3 2}, _{3 1}-u v u v_{1 3}, _{1 2}-u v_{2 1}Ò; atau ¾ 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 u u u u u u u u u v v v v v v v v v ¥ = = - + i j k u v i j k (bentuk determinan)

Sifat perkalian silang Jika u dan v vektor ruang, maka

¾ u×v ⊥ u dan u×v ⊥ v

(

u • (u×v) = 0 = v • (u×v)

)

¾ u, v, dan u×v membentuk sistem tangan-kanan

¾ ||u×v|| = ||u|| ||v|| sin∠(u,v) ¾ u // v ⇔ u×v = 0 u×v u v ∠(u,v) ||u×v||

Ilustrasi Jika u = 〈1,6,4〉 dan v = 〈1,2,2〉, maka 6 4 1 4 1 6 1 6 4 4 2 4 4, 2, 4 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ¥ = = - + = + - = · - Ò i j k u v i j k i j k . τ F θ w v v×w u v

Torsi Padagambarkiri diperlihatkan sebuah benda dengan titik tetap O

dan P titik lain pada benda. Di P bekerja gaya F yang memutar benda

terhadap sumbu yang melalui O dan tegak lurus bidang (OP,F). Vektor

OP

t = ¥F dinamakan torsi, yangsearah dengansumbu putar dan

besar-nya ||OP|| || || sin ,F q q = –(OP, )F .

Arti geometri perkalian silang Padagambartengah diperlihatkan

sebu-ah jajargenjang yang dibentuk oleh vektor v dan w dengan θ = ∠(v,w).

Alasdantinggijajar genjangini adalah||v|| dan ||w||sinθ, sehingga

luas-nya adalah L = ||v|| ||w||sinθ = ||v×w||. (sifat perkalian silang)

Perkalian tripel skalar Perkalian tripel skalar dari vektor u, v, dan w

didefinisikan sebagai skalar u•_(v × _{w). Jika u} = 〈_u1,u2,u3〉_{, v} = 〈_v1,v2,v3〉_,

dan w = 〈w1,w2,w3〉, maka 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 ( ) , , , , . v v v v v v u u u w w w w w w u u u v v v v v v u u u v v v w w w w w w w w w ¥ = · Ò Ê_Á - ˆ_˜ Ë ¯ = - + = u v wi i

Arti geometri Perkalian tripel skalar Pada gambarkanan diperlihatkan

sebuahparalelepipedumyang dibentuk vektor u, v, dan w. Luas alasnya

adalah ||v×w|| dan tingginya adalah ||u|| |cosγ |, dengan γ = ∠(u,v ×w).

Volume paralel epipedum ini adalah

V = ||v×w|| ||u|| |cosγ | = ||u|| ||v×w|| |cosγ | = |u•_(v×_w)|. θ ||w||sinθ w ||u||cosγ γ γ O P

n

Q(x,y,z)

P(x1,y1,z1)

1, 1, 1

PQ= · -x x y y z z- - Ò

Persamaan kartesis bidang di ruang Pada gambar

diperlihatkan bidang α yang tegak lurus vektor

tak-nol n = 〈a,b,c〉 dan melalui titik P(x1,y1,z1). Jika titik

Q(x,y,z) pada α, maka vektor PQ= · -x x y y z z₁, - ₁, - Ò₁

terletak pada α . Karena PQ ^n, maka PQin =0_,

akibatnya α: a(x−x1) + b(y−y1) + c(z−z1) = 0.

Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk ax+by+cz = ax1+by1+cz1 = k,

k konstanta. Jadi persamaan bidang α adalah

α: ax+by+cz = d; a, b, dan c tak semua nol.

Jarak titik ke bidang Jarak titik A(x0,y0,z0) ke α: ax+by+cz = d adalah

0 0 0 2 2 2 | |ax by cz d a b c d + + -+ -+ = .

Contoh Tentukan persamaan bidang α yang melalui titik A(2,−2,−1),

B(1,1,3), dan C(−2,3,1).

n

Vektor yang terletak pada bidang α adalah

(1,1,3) (2, 2, 1) 1,3, 4

AB= - - - = ·- Ò

( 2,3,1) (2, 2, 1) 4,5, 2

AC= - - - - = ·- Ò

Karena vektor normal bidang n memenuhi

AB ^ n dan n ^ AC, maka 1 3 4 14, 14,7 7 2, 2, 1 4 5 2 AB AC = ¥ = - = ·- - Ò = - · - Ò -i j k n .

Ambillah n = 〈2,2,−1〉, maka α: 2x + 2y − z = k, k dicari. Karena α melalui

A(2,−2,−1), maka k = 4 − 4 + 1 = 1. Jadi α: 2x + 2y − z = 1.

Contoh Jika α: 2x + 2y − z = 1 dan β: x + 2y + 2z = 6, tentukan ∠(α,β). Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua vektor normalnya. Di sini

2, 2, 1 , 1, 2, 2

a = · - Ò b = · Ò

n n dengan ||n_a||= 3, ||n_b||=3,dann_ain_b = 2.

Ka-rena 2 2 || |||| || 3 3 9 cos ( , ) a b a b a b _◊ – n n = _nn in_n = = , maka –(n_a,n_b) ª 77, 2 . Q P α α A B C

Tampilan parameter kurva bidang Suatu kurva bidang dapat

ditulis-kan dalam persamaan parameter x = x(t), y = y(t), t ∈ I, kedua fungsi ini

kontinupada suatuselang I.Cara penulisanlainnyaadalah bentuk vektor

r(t) = x(t)i + y(t)j, t∈ I = [a,b].

Kurva tutup dan kurva sederhana Pada persamaan parameter x = x(t),

y = y(t),t∈[a,b], titik ujung kurva adalah P

(

x(a),y(a)

)

dan titik pangkal

kurva adalahQ

(

x(b),y(b)

)

.

¾ Suatu kurva dengan titik pangkal dan titik ujung berimpit dinamakan

kurva tutup.

¾ Suatu kurva yang dijalani tepat satu kali (kecuali titik pangkal dan

ti-tik ujungnya) dinamakan kurva sederhana.

Contoh Tentukan persamaan parameter untuk lingkaran L: x2+ =y2 a2. y 2 2 2 x + =y a (x,y) t −a 0 x a x L −a x=a cos t y=a sin t

Lintasan tutup sederhana

Persamaan parameter L adalah x = acos t, y = asint,

0≤t≤2π, atau r(t) = acosti + asint j, 0≤t≤2π.

Titikpangkal L ≡r(0)=(a,0) dantitikujungL ≡ r(2π)

=(a,0), sehingga L adalah lintasan tutup. Karena L

di-jalani tepat satu kali kecuali titik (a,0), maka L adalah

lintasan tutup sederhana. Dari x = acost dan y = asint

diperoleh persamaan lingkaran x2+ =y2 a2.

Lintasan tidak tutup dan tidak sederhana Q

P

Lintasan tidak tutup dan sederhana Q P

Lintasan tutup dan tidak sederhana

Lintasan tutup dan sederhana

Kurva bidang Persamaan kartesis Persamaan parameter Elips x2₂ y₂2 1 a + b = x=acost, y=bsint,0≤t≤2π Hiperbol 2 2 2 2 1 y x a - b = , x > 0 x=asect, y=btant, -1₂p < <t 1₂p x=acosht, y=bsinht, −∞<t<∞ y

Keterdiferensialan fungsi parameter Jika x = x(t), y = y(t), t ∈ I

mem-punyai turunan pertama yang kontinu dan x′(t) ≠ 0 pada selang buka I,

maka y adalah fungsi terdiferensialkan terhadap x dengan /

/

dy dy dt dx = dx dt . Ilustrasi Pada fungsi parameter x = acost, y = asint, 0≤t≤2π untuk

lingkaran L: x2+ =y2 a2 diperoleh y adalah fungsi dari x dengan turunan

/ cos / sin dy dy dt a t x dx = dx dt = -a t = - y. y 2a y P R t C sikloid x 0 M N πa 2πa x

Sikloid Sikloid adalah kurva bi-dang yang merupakan jejak titik pada roda lingkaran yang

digelin-dingkan sepanjang garislurus

tan-pa tergelincir.

¾ Gambar iniadalahrodalingkaranberpusatdiCdanberjari-jari a

dige-lindingkan sepanjang sumbu-x dengan jejak titik P mulai dari (0,0).

¾ Pilih parameter t sudut searah jarum jam antara CP dengan posisi

ver-tikalnya saat P di titik O. Karena ON =PN=at, maka x dan y adalah

x=OM=ON−MN=at−asint=a(t−sint)

y=MP=NR=NC+CR=a+(−acost)=a(1−cost)

¾ Persamaanparametersikloidadalahx=a(t−sint),y=a(1−cost),t>0.

Turunan y terhadap x adalah

2 2 / sin / (1 cos ) ay y dy dy dt a t dx dx dt a t y ± -= = = , karena 2 2 2

cos 1 y sin 1 cos 1

(

1 _ay

)

2 .

a

t= - fi a t = ±a - t = ±a - - = ± ay y

-Dari sini diperoleh 0 ≤ y≤ 2a, titik minimumnya tercapai di x= k⋅2πa

dan titik maksimumnya tercapai di x= πa + k⋅2πa, k bilangan bulat.

Luas daerah di bawah satu busur sikloid dan di atas sumbu-x adalah

(

)

2 2 ₂ 2 ₂ 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 3 1 1 1 2 2 2 4

(1 cos ) ( sin ) (1 cos )

1 2cos cos 2 2sin sin 2

3 . ( )

(

)

a L y dx a t d a t t a t dt a t t dt a t t t a p p p p p p = = - - = -= - + + = - + =

Ú

Ú

Ú

Ú

Fungsi Parameter di Bidang dan Ruang

Fungsi parameter di bidang adalah r( )t = x t( )i+ y t( ) ,j a £ £t b dan di

ruang adalah r( )t = x t( )i+ y t( )j+ z t( ) ,k a £ £t b . Fungsi parameter ini

bernilai vektor dengan peubah skalar.

Fungsi ini memuat informasi titik pangkal, titik ujung, arah, dan berapa

kalikurvadijalani;arahnya terbalikjika tdigantidengan (−t). (kekuatan)

Suatu kurva dapat ditulis sebagai fungsi parameter dengan lebih dari

sa-tu cara, asa-turannya tidak sa-tunggal. (kelemahan)

Fungsi Parameter di Bidang

y \ \2 t=α r=r(t) t=α ttkpkl t=β t ttkujung j r(t) t=β 0 i x ( )t = x t( ) + y t( ) ,a £ £t b r i j x =x(t), y =y(t) ≡ fungsi real

Fungsi Parameter di Ruang

z \ t=α \3 ttkpkl t=α r=r(t) t k t=β r(t) ttkujung 0 j y t=β i x ( )t = x t( ) + y t( ) +z t( ) ,a £ £t b r i j k x = x(t), y = y(t), z = z(t) ≡ fungsi real y L2 q (p,q) a pi+qj −a 0 a p x L1 −a 1: ( ) cos sin , 0 2 y x L r t =a ti+a tj £ £t p 2 2 2 x y a fi + = 2: ( ) ( cos ) ( sin ) , 0 2 L st = a t p+ i+ a t q+ j £ £t p 2 2 2 (x p) (y q- ) a fi - + = z tabung x2+y2=a2 heliks lingkaran r( )t =acosti+asintj+btk tŒ ,atau- < <• t • y Lintasan spiral x melilit tabung

}

2 2 2 ( ) cos ( ) sin x x t a t x y a y y t a t = = _{fi + =} = = ( ) cos sin , y z x t =a t +a t +bt -• < <•t r i j k tabung lingkaran a a 0 t=0

Contoh Tentukan persamaan parameter dari y= -4x x2, 0£ £x 4, arah, titik

pangkal, titik ujung, gambarkan kurva, dan arah terbalik dari kurva.

y 4 t= 2 y= 4x−x2 t =0 t = 4 0 titik titik 4 x pangkal ujung Persamaan parameter: 2 ( )t = +t (4t-t ) , 0 £ £t 4 r i j .

arah: dari titik pangkal (0,0) ke titik ujung (4,0)

t= 0 t= 4 Jika arah kurva dibalik, aturan fungsinya:

2

( )t = - + - -t ( 4t t ) ,- £ £4 t 0

s i j .

titik pangkal: r(−4) = 4 i + 0 j = (4,0) titik ujung: r(0) = 0i + 0j = (0,0)

Contoh Tentukan persamaan parameter dan persamaan kartesis garis di

ruang dengan vektor arah b ≠ 0 dan vektor penyangga a.

z x a x b 0 y x Persamaan parameter: x = x(t) = a + tb,b≠0, tŒ .

Jikax=( , , ),x y z a=( ,a a a_{1 2}, ),₃ danb=( , , ),b b b_{1 2 3} ma-ka ( , , ) ( , , )x y z = a a a_{1 2 3} +t b b b( , , )_{1 2 3} . Samakan

kompo-nennya, diperoleh ( , , ) (x y z = +a tb a_{1 1}, ₂+tb a₂, ₃+tb₃).

Eliminasi t dari x a tb y a= +_{1 1}, = +₂ tb₂,danz a= +₃ tb₃,

diperoleh 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , 0. z a x a y a b b b b b b -- ₌ - _{= π}

Contoh Tentukan persamaan kurva yang merupakan perpotongan dari ta-

bung lingkaran x2+y2=a2 dengan bidang z = y kemudian gambarkan.

z

tabung x2+y2=a2 bidang z = y

y

Karena persamaan kurva harus memenuhi

x2+y2=a2, maka x = acost,y = asint,a>0.

Karena persamaan kurva harus memenuhi

z=y, maka ambillah z=asint, a>0.

Persamaan parameter dari kurva adalah

r(t)=acosti+asintj+asintk,0≤t≤2π. Bentuk kurva adalah elips yang dijalani

satu kali dengan sumbu panjang 2a 2

dan sumbu pendek 2a.

(2,4)

0

r=r(t)

Limit fungsi parameter Untuk fungsi parameter r=r(t),α≤t≤β dan α≤t0≤β, 0 0 lim ( ) jika 0 0 0 | | || ( ) || tÆt r t =L " > $ > ' < - < fie d t t d r t -L <e .

(r(t)dapatdibuat sebarangdekatke L dengan cara membuat t cukup de-kat ke t0 tetapi t ≠ t0)

Kekontinuan fungsi parameter Fungsi parameter r= r(t)kontinu dit0,

α ≤ t0 ≤ β, jika

0

0

lim ( ) ( )

tÆt r t =r t dan kontinu pada suatu selang jika fungsi

r= r(t) kontinu di setiap titik pada selang itu.

Sifat limit dan kekontinuan fungsi parameter Untuk fungsi parameter

r= r(t)= x(t)i+y(t)j+z(t)k, α ≤t≤β, α ≤ t0≤ β, dan L = ( ,1 2, 3),

¾

0 0 0 0

1 2 3

lim ( ) lim ( ) , lim ( ) , dan lim ( )

tÆtr t = ¤L tÆt x t = tÆt y t = tÆt z t = ,

¾ r=r(t) kontinudit0 ⇔ x=x(t), y= y(t), dan z= z(t) kontinu di t0.

Turunan fungsi parameter Turunan fungsi parameter

z C: r = r(t) r(t0) garis singgung r(t0 +h) −r(t0) r(t0 +h) 0 y garis singgung: s(t) =r(t0) +tr′(t0) x r= r(t)=x(t)i+ y(t)j +z(t)k, α≤ t≤β di t0 ∈ (α,β), ditulis r

′

(t0), didefinisikan sebagai 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim h t h t h t Æ + -= ¢ r r r .

Turunan fungsinya di t∈[α,β],

didefini-sikan sebagai 0 ( ) ( ) ( ) lim h t h t h t Æ + -= ¢ r r r

Artigeometrir′(t0)≡ vektorsinggung dir(t0)pada kurvaC:r= r(t),

per-samaan garis singgung di r(t0) pada kurva C adalah s(t) = r(t0) + tr′(t0).

Arti fisis r′(t0) ≡ vektor kecepatan di r(t0) pada gerak partikel sepanjang

kurva C: r=r(t).

Sifat turunan fungsi parameter Turunan dari fungsi parameter r = r(t)

= x(t)i + y(t)j + z(t)k,α ≤ t ≤ β adalah r¢( )t = x t¢( )i+ y t¢( )j+ z t¢( )k.

Jika fungsi r = r(t)dan s = s(t) terdiferensialkan di t ∈ [α,β], maka

¾ (r + s)′(t)= r′(t) + s′(t) ¾(r•s)′(t)= r(t)•_s′_(t) + _r′_(t)•_s(t)

Gerakan partikel sepanjang kurva Jika suatu partikel bergerak

sepan-jang kurva ruang C: r = r(t), maka untuk setiap saat t ∈ [α,β] berlaku:

¾Vektor posisi: r=r(t).

¾Vektor kecepatan: v=v(t)=r′(t); laju: v=v(t)=||v(t)||.

¾Vektor percepatan: a=a(t)=v′(t)=r″(t); percepatan: a=a(t)=||a(t)||.

Integral fungsi parameter

¾Integral tak-tentu dari fungsi r = r(t) pada selang I didefinisikan

se-bagai anti diferensialnya,

Ú

r( )t dt =s( )t +C ⇔ s′(t) = r(t) ∀t ∈ I.

¾Integral tentu dari fungsi r= r(t), α ≤t≤ β didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann, 1 || || 0 ( ) lim n ( )_{k k} k P t dt c t b a = _Æ

Â

= D

Ú

r r , P suatu partisi untuk

[α,β], ∆tk = tk − tk−1, ck ∈ [tk−1,tk],dan ||P|| = maks{∆tk:1≤k≤n}.

Sifat integral fungsi parameter Jika r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k,α ≤ t ≤ β,

maka ¾

Ú

r( )t dt =

(

Ú

x t dt( )

) (

i+

Ú

y t dt( )

) (

j+

Ú

z t dt( )

)

k ¾ b ( )t dt b x t dt( ) b y t dt( ) b z t dt( ) a a a a Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ =_{Ë ¯} +_{Ë ¯} +_{Ë ¯}

Ú

r

Ú

i

Ú

j

Ú

k y C: r=r(t), α≤x≤β yi ∆bi y=f(x) yi−1 a≤x≤b 0 a x i−1 xi b y

Panjang busur kurva Untuk kurva

C: y=f(x),a≤x≤b, f

′

kontinu pada [a,b],

∆b_i = busur ke-i ≈ talibusur ke-i

( )

2 2 2 1 i i i i i i y x b x y D_D x D ª D +D = + D . Panjang busur: b 1 ( ( ))2 a L =

Ú

+ ¢f x dx

Untuk kurva C:r(t)=x(t)i+y(t)j denganr′(t)=x′(t)i+y′(t)jkontinu

pa-da [α,β] dan || ( )||r¢t = (x t¢( ))2+(y t¢( ))2 , dari ∆bi = busur ke-i ≈ talibusur

ke-i diperoleh

( ) ( )

2 2 2 2 i i i i i i i i x y t t b x y D_D D_D t D ª D +D = + D . Panjang busur: L b (x t( ))2 (y t( ))2dt b|| ( )||t dt a a =

Ú

¢ + ¢ =

Ú

r¢ . Rumus L b|| ( )||t dt a

=

Ú

r¢ berlaku untuk untuk kurva ruang r=r(t),α≤t≤β. ∆yi

Contoh Hitunglah 0 ln (1 ) 1 sin 2 lim

(

)

t t t e t t t t Æ + ₊ - ₊ i j k Karena 0 0 ln (1 ) 1/(1 ) 1 lim lim 1 t t t t t Æ Æ + ₌ + ₌ , 0 0 1 1 lim lim 1 t t t t e e t Æ Æ - ₌ - ₌ -, dan 0 0 sin 2 2 cos 2 1 lim lim 2 t t t t t Æ = Æ = , maka tlim ( )Æ0r t = -(1, 1, 2) = - +i j 2k.

Contoh Tentukan persamaan kartesis garis singgung di titik A(−1,0,π)

pa-da kurva C: r(t) = costi + sint j + t k, tΠ.

¾ Titik A(−1,0,π) terletak pada C karena r(π) = −i+ 0 j + π k = (−1,0,π).

¾ Turunan fungsi r= r(t) adalah r′(t) = −sint i+ cost j + k, sehingga

vek-tor singgungnya adalah r′(π) = 0 i − j + k = (0,−1,1).

¾ KarenatitikAtercapaipada saatt= π,makapersamaangarissinggung di

A pada kurva C adalah s(t) = r(π) + tr′(π) = (−1,0,π) + t(0,−1,1).

¾ Untuk menentukan persamaan kartesisnya, misalkan s(t) = (x,y,z), maka

x = −1, y = −t, dan z = π + t. Eliminasi t menghasilkan −y = z − π. Jadi

persamaan kartesis garis singgungnya adalah x = −1 dan y = π − z.

Contoh Suatu partikel bergerak dengan r(t)=costi+sintj+etk, tΠ.

Tentukan sudut antara vektor kecepatan dan percepatannya pada saat 0.

¾ Vektor kecepatan partikel ≡ v(t) = r′(t) = −sinti + costj + etk, sehingga

vektor kecepatannya pada saat t = 0 ≡ v(0) = (0,1,1).

¾ Vektor percepatan partikel ≡ a(t) = r″(t) = −costi − sintj + etk, sehingga

vektor percepatannya pada saat t = 0 ≡ a(0) = (−1,0,1).

¾ Gunakan v(0) • a(0) = ||v(0)|| ||a(0)|| cos∠

(

v(0),a(0)

)

dengan v(0)• a(0)

= (0,1,1)•(−1,0,1) = 1, ||v(0)|| = 2 , dan ||a(0)|| = 2 , diperoleh

1 = 2 cos ∠

(

v(0),a(0)

)

, atau cos∠

(

v(0),a(0)

)

= 1

2.

¾ Jadi ∠(vektor kecepatan,vektor percepatan) di 0 ≡ ∠

(

v(0),a(0)

)

= 60

°

.

Contoh Hitunglah panjang busur (keliling) lingkaran berjari-jari a > 0.

Tulislah lingkarannya dalam bentuk C: r(t)=acosti+asintj,0≤t≤2π.

Karena ||r

′

(t)|| = a, maka 2 2

0 0

keliling || ( )|| 2 .

Contoh Jika r(t)=sinti+sin2tj+sin3tk, hitunglah

Ú

r( )t dtdan 0 ( ) .t dt p

Ú

r

(

) (

) (

)

(

)

(

)

2 3 3 1 1 1 2 4 3

( ) sin sin sin

cos sin 2 cos cos

t dt t dt t dt t dt t t t t t = + + = - + - + - +

Ú

r

Ú

i

Ú

j

Ú

k i j k C ¾

(

(

)

(

3

)

)

0 ₀ 1 1 1 1 1 2 4 3 2 3

( )t dt cost t sin2t cos t cost p 2 1

p

p

= - + - + - = + +

Ú

r i j k i j k .

Contoh Hitunglah panjang busur heliks lingkaran

C: r(t)=acosti+asintj+btk,0≤t≤2π.

Karena r

′

(t)=−asinti+acostj+bk, dengan ||r

′

(t)||= a2+b2, maka

panjang busur C adalah 2 2 2 2 2 2

0 || ( )|| 0 2 . L=

Ú

p r¢t dt=

Ú

p a +b dt= p a +b Contoh y v v0 lintasan θ peluru 0 x

Sebutir peluru ditembakkan dari titik asal O dengan

laju awal v0 m/det dan ∠(peluru,sb-x positif) = θ.

Ji-ka geseJi-kan udara diabaiJi-kan, tentuJi-kan vektor posisi untuk gerakan peluru ini dan tunjukkan lintasan pe-lurunya berbentuk parabol.

¾ Percepatan yang terkait dengan gaya gravitasi adalah a(t) = −9,8j m/det2

dengan kondisi awalnya r(0) = 0 dan v(0) = v0cosθ i + v0sinθ j.

Tentu-kan r = r(t) dengan mengintegralkannya dua kali.

¾ Dari a(t) = −9,8j diperoleh v( )t =

Ú

a( )t dt = -

Ú

( 9,8 )j dt = -9,8tj C+ ₁

de-ngan C1 ditentukan dari v(0) = v0cosθ i + v0sinθ j. Karena v(0) = C1,

maka C₁=v₀cosqi+v₀sinqj, sehingga v( ) ( cos )t = v₀ q i+( sinv₀ q-9,8 )t j.

¾ Dari sini diperoleh r( )t =

Ú

v( )t dt = ( cos )v₀ q ti+(( sin )v₀ q t-4,9t2)j C+ ₂

dengan C2 ditentukan dari r(0) = 0. Karena r(0) = 0, maka C2 = 0. Jadi

vektor posisinya adalah r( )t = ( cos )v₀ q ti+(( sin )v₀ q t-4,9t2)j.

¾ Dari vektor posisi ini diperoleh x = (v0cosθ)t dan y = (v0sinθ)t − 4,9t2.

Karena 0cos x v t = _q , maka 2 0 2 2 2 2 0 0 0 2 ( sin ) 4,9

cos 4,9 _cos (tan ) _cos

v x x

v _{v v}

y = q_q - _q = q x- _q x .

sehinggayfungsikuadratdalamxdanlintasanpelurunyaadalahparabol.

Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda.

No. Pernyataan Jawab

1. Vektor nol selalu tegak lurus dan sejajar dengan sebarang vektor ruang. B − S 2. Untuk vektor ruang u dan v, jika u // v dan ∠(u,v) =θ, 0 ≤θ≤π, maka θ= 0. B − S 3. Untuk vektor ruang u dan v, jika u • v= 0 dan u • w= 0, maka v sejajar dengan w. B − S 4. Jika vektor ruang u, v≠0 terletak pada bidang α, maka nα=k(u × v), k konstanta. B − S 5. Untuk vektor ruang u dan v, jika ∠(u,v) =θ, 1

2

0< <q p, maka ||u v¥ || =tan .q

u vi B − S

6. Untuk sebarang sudut θ kurva x(t) =tcosθ dan y(t) =tsinθ, tŒ adalah lingkaran. B − S

7. Jika v adalah vektor singgung pada kurva y=x2 di titik (1,1), maka 〈2,−1〉⊥v. B − S 8. Jika a(t)• v(t) = 0 ∀tŒ , maka kurva gerakan partikelnya adalah lingkaran. B − S 9. Vektor percepatan pada gerakan sepanjang heliks lingkaran selalu tegak lurus sb-z. B − S 10. Pada suatu gerakan partikel, jika ||r(t)|| = konstan, maka ||r ′(t)|| = 0 (lajunya nol). B − S

Kumpulan Soal Vektor di Bidang dan Ruang

11. Jika P adalah titik berat ∆ABC, AB=u, dan AC =v, nyatakan ruas garis AP,BP,danCP da-lam u dan v.

12. Jika u, v, w mempunyai titik pangkal sama, ∠(u,v) =∠(u,w) =∠(v,w) = 120°, u + v + w =0, dan ||u||= ||v|| = 1, tentukan ||w||.

13. Jika A(−2,0), B(3,−1), dan C(5,2), tentukan titik D sehingga ABCD berbentuk jajargenjang ke-mudian tentukan –(AB AD, ) dan –(DA DC, ).

14. Jika u=〈2,2,0〉, v=〈1,−1,1〉, dan w=〈−2,2,1〉, tentukan ∠(u,v), ∠(u,w), dan ∠(v,w).

15. Jika u=〈2,k〉 dan v=〈3,5〉, tentukan kontanta k agar (a)u // v dan (b)u⊥v.

16. Tentukan konstanta k agar vektor u=〈k,k,1〉 tegak lurus vektor v=〈k,5,6〉.

17. Jika A(3,0,2), B(4,3,0), dan C(8,1,−1), tunjukkan ∆ABC siku-siku dan sudut mana yang 90°.

18. Jika vektor u dan v memenuhi ||u − v||=||u||+||v||, tentukan ∠(u,v).

19. Jika ||u|| = 4, ||v|| = 5, dan ∠(u,v) = 120°, tentukan ||2u+ 3v||.

20. Tentukan proyeksi vektor u=〈−4,3,−4〉 pada vektor v=〈2,−2,1〉 dan panjang proyeksinya.

21. Jika bidang α yang melalui (1,1,−1) mempunyai vektor normal n=〈3,−2,−1〉, tentukan persa-maan bidang α. Kemudian, jika β: 2x− 4y+ 3z= 1, tentukan sudut antara bidang α dan β.

22. Tentukan jarak dari titik A(1,−1,−2) ke bidang α: 2x+ 3y+ 6z= 1.

23. Tentukan semua vektor yang tegak lurus pada kedua vektor u=i+ 2 j+ 3 k dan v=i−j+ 2 k.

24. Tentukan luas ∆ABC yang titik sudutnya A(3,2,1), B(2,4,6), dan (−1,2,5).

25. Jika α: x−3y+2z=7 dan β: 2x−2y−z=−3, tentukan persamaan bidang γ yang melalui titik (1,2,−3), γ tegak lurus α, dan γ tegak lurus β.

27. Tentukan persamaan kartesis dari x= 4 −t, y= t , 0 ≤t≤ 4 dan gambarkan kurvanya.

28. Tentukan persamaan kartesis dari x= cost, y=−2sin22t, −∞≤t≤∞ dan gambarkan kurvanya.

29. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva x=t2, y=t3 di t= 2 dan gambarkan kurvanya.

30. Tentukan turunan pertama dan kedua dari x= 1 − cost, y= 1 + sint, t≠nπ, n bilangan bulat.

31. Tentukan suatu vektor singgung di titik (1,1) pada kurva (a)y=x2 dan (b)y= 2x3−x4.

32. Tentukan luas daerah di antara kurva x=e2t, y=e−t dari t= 0 sampai t= ln5.

33. Hitunglah panjang busur kurva x= 3t2, y=t3, 0 ≤t≤ 2.

34. Jika _{1 cos}sin _tansin ln (1 ) 1 ( ) t , t t t t t t t e t = _- + + + _-+

r i j k tentukan r(0) agar fungsi ini kontinu di 0.

35. Jika r(t) =e−ti− 2lntj, tentukan turunan pertama dari fungsi f(t) =r(t)• r″(t).

36. Pada gerakan partikel r(t)=cost i +sint j +et k,tΠ, tentukan sudut antara vektor kecepatan dan vektor percepatannya pada saat t=0.

37. Jika persamaan gerak suatu partikel adalahr( )t =(1₂at2- +6t 7)i+ -(t2 4)j+ -(t2 10)k dan v(1) tegak lurus a(1), tentukan konstanta a.

38. Jika suatu partikel bergerak menelusuri lingkaran x2+y2=25 dari titik (5,0) dengan laju sudut 6 radian per detik, tentukan persamaan gerak, vektor kecepatan, laju, dan vektor percepatannya.

39. Hitunglah (a) 1

(

2

)

0 t t t te- +te +te dt

Ú

i j k dan (b)

(

)

2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 t t t t t dt + + + + +

Ú

i j k

40. Hitunglah panjang busur kurva r(t) = cos3ti+ sin3tj, 0 ≤t≤ 2π.

41. Hitunglah panjang busur kurva r(t) = 2cost i + 2sint j +t2 k, 0 ≤t≤ 2π.

Kunci Jawaban 1. B 2. S 3. S 4. B 5. B 6. S 7. B 8. S 9. B 10. S 11. 1 1 2 1 1 2 3 3 , 3 3 , 3 3 AP= u+ v BP= - u+ vCP= u- v 12. ||w|| = 1 13.–(AB AD, )=67,6 , –(DA DC, )=112, 4 14. ∠(u,v) =∠(u,w) =90°, ∠(v,w) =125,26° 15. (a) 10 3 k= (b) 6 5 k = - 16. k=−2 atau k=−3 17. ∠B 18. 180° 19. 13 20. 〈−4,4,−2〉, ||pr_vu||=6 21. α:3x−2y−z=2 dan ∠(α,β)=56,9° 22. 2 23. c(7i+j−3k), cŒ 24. 4 6 25. 7x+5y+4z=5 26. x= 2(y2−1), y≥0 27.y2=4−x, 0≤x≤4,0≤y≤2 28. y=−8x2(1−x2),−1≤x≤1 29. y−8=3(x−4) y 1 −2 0 x y 2 0 4 x y 0 −1 1 x −2 y gs 8 t=2 0 4 x 30. dy_dx cot ;d y2₂ csc3 dx t t = = - 31. (a) 〈1,2〉 (b) 〈6,−4〉 32. 8 33. 16 2-8 34. r(0) = 2i + 2j − k 35. f t¢( )= -2e-2t-4t-3+8t-3lnt 36. sudut antara v(0) dan a(0) adalah 60° 37. a= 2 atau a= 4 38. r(t)=5cos6t i + 5sin6t j; v(t)=−30sin6t i + 30cos6t j, v(t) = 30; a(t)=−180cos6t i + 180sin6t j 39. (a)(1-2_e)i+ +j ₄1(e2+1)k; (b)1₄pi+ln 2j+ -(1 1₄p)k 40. 6 41. 2p 1 4+ p2+ln( 1 4+ p2+2p)