KAJIAN PERSAMAAN STABILITAS KOLOM PADA PORTAL BERGOYANG

(1)

KAJIAN PERSAMAAN STABILITAS KOLOM PADA

PORTAL BERGOYANG

Faizal Ezeddin

Staf Pengajar Teknik Sipil FT. USU

Abstrak

Kapasitas daya dukung kolom berdasarkan panjang efektif umumnya ditetnukan berdasarkan prosedur nomogram, dan telah diadopsi beberapa peraturan seperti AISC-LRFD (1994), ACI (1995), dan SNI (2000). Metode ini berdasarkan beberapa asumsi yang kurang realistik, antara lain dengan asumsi semua kolom mempunyai parameter kekakuan sama, dan hanya tergantung pada panjang, gaya aksial, momen inersia kolom. Sebuah prosedur untuk menentukan panjang efektif kolom disajikan dlaam tulisan ini dengan menggunakan fungsi stabilitas berdasarkan modifikasi pesamaan slope-deflection. Metode ini memperhitungkan perilaku inelastis kolom, ketidak kakuan sambungan balok ke kolom, dan perbedaan parameter kekakuan kolom. Studi numerik dilakukan untuk mendapatkan pengaruh parameter-parameter terhadap faktor K. kekakuan sambungan balok ke kolom, parameter kekakuan kolom, dan kondisi ujung-ujung dari batang-batang terkekang ternyata mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap faktor K.

Kata Kunci: Stabilitas, kolom portal bergoyang, kekakuan sambungan, faktor panjang efektif, perilaku inelastis, teknik.

1. Pendahuluan

Kebanyakan peraturan-peraturan yang digunakan didalam menentukan panjang efektif kolom pada bangunan baja atau beton menggunakan prosedur nomogram baik untuk portal bergoyang maupun tidak bergoyang. Prosedur nomogram ini telah diaposi oleh tulisan ini, sebuah prosedur dikembangkan untuk memprediksi panjang efektif kolom pada portal berdasarkan pengembangan dari

persamaan slope-deflection dengan memperhitungkan pengaruh ketidak kakuan sambungan, kondisi beberapa peraturan seperti

AISC-LRFD (1994). ACI (1995), dan peraturan Indonesia SNI (2000), dan telah digunakan secara luas oleh para praktisi (1998), dan Liew et al (1992). Pada Gbr Ia dapat dilihat pengaruh perbedaan beban pada kolom terhadap panjang efektif kolom seperti yang dilaporkan oleh Liew et al (1993) ujung-ujung batang,d an perbedaanparameter kekakuan kolom. Juga, diberikan hasil numerik dari beberapa contoh yang dikaji.

(2)

2. Persamaan Slope-Deflection yang termodifikasi

Tinjauan suatu balok-kolom seperti pada Gbr 1b. persamaan slope deflection dengan memperhitungkan perilaku inelastis batang dapat dinyatakan sebagai berikut (Goncalves 1992) dimana C dan S adalah fungsi stabilitas diberikan seperti

(1b)

)

(

(1a)

)

(

E

(3)

EI

P

(2b)

sin

cos

2

2 L

sin

-L

L

S

(2a)

sin

cos

2

2 cos

sin

1

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₊

₋

₊

Δ

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₊

₋

₊

Δ

=

−

=

−

=

L

S

C

S

C

L

EI

M

L

S

C

S

C

L

EI

M

L

C

A B B B A A

θ

η

θ

η

π

α

dimana l = momen inersia penampang tehradap sumbu tegak lurus bidang tekuk,; L = panjang kolom ; E = modulus elastistias bahan, dan E1 = modulus

tangen. Bila gaya aksial P = 0, maka C = 4 dan S = 2. Di sini digunakan metode AISC-LRFD dapat digunakan untuk mendapatkan parameter

1

E

=

η

antar alain :

- Formula tangen modulus AISC-LRFD

diberikan dalam bentuk

(6)

2 dimana

0,39P

P

untuk

ln

7243

,

02 P

0,39

P

untuk

0 ,

1

2 c y y 1 y y y

F

E

P

E

π

λ

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<

=

Adalah rasio kelangsungan sebagai batas ekuk elastis

dan inelastis ; Fy = tegangan leleh dan

(7)

r

KL

=

λ

Adalah rasio kelangsingan kolom ; K = faktor panjang efektif kolom, dan r = jari-jari inersia penampang.

Dalam tulisan ini parameter

η

=

E

₁

menggunakan formula dari SSRC karena berhubungan langsung dengan rasio kelangsingan kolom.

3. Fungsi Stabilitas Tergeneralisir

Prosedur yang diberikan Chen dan Lui (1991( dan Goncalves (1992) digunakan disini untuk mengembangkan fungsi stabilitas elemen balok dengan memperhitungkan syrat batasnya. Dengan mengabaikan pengaruh deromasi aksial, maka nilai fungsi stabilitas C = 4 dan S = 2. Bila sambungan balok ke kolom tidak kaku sempurna tetapi fleksibel (Gbr 2) maka bentuk persamaan slope-deflection menjadi

(8b)

2

4 (8a)

2

4 ⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

k

M

k

M

L

Ei

M

k

M

k

M

L

Ei

M

A A B B B B B A a A

θ

(3)

Bila persamaan (8a) dan (8b) diselesaikan dalam bentuk MA dan MB diperoleh

[

]

[

]

(10b)

2

1 k

6

1

2 T

(10a)

2

1 k

6

1 k

3

1

4 D

dimana

(9a)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

+

=

+

=

k

T

D

L

Ei

M

T

D

L

Ei

M

A B B B A A

θ

Disebut sebagai fungsi stabilitas tergeneralisir, dan

(10c)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

L

Ei

k

K

Adalah koefisien kekakuan tanpa dimensi pada sambungan, dan k = kekakuan sambungan dianggap kekakuan sambungan berperilaku linear dan sama besar untuk semua balok.

Bila ujung A adalah terhubung fleksibel dengan batal lain dan ujung lain B dapat berupah kondisi batas sendi atau jepit, maka memoen ujung-ujung dapat dinyatakan sebagai :

(11b) 2 4 (11a) 2 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = k M k M L Ei M k M k M L Ei M A A B B B B B A a A

θ

Dimana d, T, H adalah fungsi stabilitas tergeneralisir, dengan persamaan

(13c)

4

1

12

4 (13b)

4

1

2 (13a)

4

1

4 k

k

H

k

T

k

D

+

=

+

=

+

=

Perlu diketahui bahwa bila ujung balok B adalah jepit, maka rotasi θ dibuat nol, sedangkan memen

4. Persamaan Faktor Panjang Efektif

Model yang digunakan didalam menentukan nilai K untuk kolom pada portal bergoyang diperlihatkan pada Gbr 3. kolom yang dikaji adalah kolom C2 pada gambar. Beberapa asumsi yang digunakan pada model ini adalah :

Gbr.3. Model terakit untuk faktor K pada portal bergoyang.

1. Semua batang adalah prismatis. 2. Deformasi aksial pada balok diabaikan.

3. Kolom-kolom berdekatan mencapai beban kritisnya secara bersamaan.

4. Ujung balok terdekat tersambung fleksibel ke batang-batang lain.

5. Kondisi ujung-ujung jauh balok mungkin fleksibel, sendi atau jepit.

6. Kondisi ujung-ujung jauh kolom C1 dan C3 mungkin kaku, sendi atau jepit.

7. Kekakuan sambungan balok ke kolom dianggap konstan dan sama besar.

8. Parameter kekauan

L

P

/

EI

dapat berbeda antara satu kolom dengan lainnya.

Dengan menerapkan persamaan slope-deflection ada struktur terakit Gbr. 3, dan membentuk persamaan-persamaan keseimbangan pada joint A dan B, serta keseimbangan gaya geser tingkat maka diperoleh ;

MACI+MAC2+MAg1+ MAg2= 0 (14a)

MAB3+MAB2+MBg3+MBg4= 0 (14b)

MACI + MCC1+P1Δ1=0 (14c)

MAC2 + MBC2+P2Δ2=0 (14d)

MBC3 + MDC3+P3Δ3=0 (14e)

(4)

(15)

0 det

55 54 53 52 51 45 44 43 42 41 35 34 33 32 31 25 24 23 22 21 15 14 13 12 11

=

a

Dimana koefisien a11 s/d a55 (Essa 1998) adalah

a11= Kc2C2+Kcl(C1+R1S1) + Kg1 (D1+R1T1) + Kg2(D2+R8T2) (16) a12 = Kc2S2 + Kcl R2S1 (17)

[

]

(19)

0 a

(18)

)

1 (

K

54 53 45 43 35 34 23 15 3 1 1 cl 13

=

−

+

=

a

R

S

C

a

Yang mana R1 sampai R10 adalah

koefisien-koefisien ujung jauh diberikan pada tabel 1; Kcl, Kc2,

dan Kc3 adalah masing-masing kekauan lentur dari

kolom C1, C2 dan C3; L1, L2 dan L3 adalah

masing-masing panjang kolom C1, C2 dan C3 ; Kg1, Kg2, Kg3

dan Kg4 adalah masing-masing kekakuan lentur dari

balok g1, g2, g3, dan g4 ; P1, P2 dan P3 adalah

masing-masing beban aksial dari kolom C1, C2 dan C3; D1 T1, D2, T2, D3, T3, D4 dan T4 adalah fungsi

stabilitas tergeneralisir ditentukan dari pers (10) atau (13) untuk masing-masing balok g1, g2, g3 dan g4, C1, S1, C2, S2, C3 DAN S3 adalah sama dengan fungsi

stabilitas C dan S masing-masing untuk kolom C1, C2 dan C3. untuk kolom ke I (Ci), nilai parameter kekakuan, αI dibutuhkan untuk menentukan fungsi

stabilitas C1 dan S1 dari pers (2) diperoleh sebagai

(31)

1 2 2 2 2

η

π

α

i i

I

P

PiI

KL

=

Dimana Ii dan I2 masing-masing momen

inersia kolom Ci dan C2 ; Pi dan P2 adalah

masing-masing beban aksial dari kolom Ci dan C2; ηI dan η2

masing-masing rasio tangen modulus terhadap modulus elastis kolom Ci dan C2.

Nilai-nilai yang diberikan pada tabel 1 digunakan untuk memenuhi kondisi-kondisi berikut.

a. Bila ujung jauh sendi, momen adalah nol pada ujung tersebut.

b. Bila ujung jauh jepit, rotasi adalah nol pada ujung tresebut.

c. Bila ujung kolom C1 dan C3 adalah kaku,

rotasi ujung jauh diambil sebagai θC = θB

atau θD = θA

d. Bila ujung jauh balok adalah kaku, rotasi pada ujung jauh dan dekat adalah searah dan sama besar.

Setelah menerapkan kondisi-kondisi diats, hanya lima besaran yang tidak diketahui dari pers (15), yaitu θA, θB, Δ1 / l1, Δ2 l2 Δ3 / l3. karena

nilai parameter kekakuan

L

P

/

EI

, adalah berbeda dari satu kolom dengan kolomlainnya, maka digunakan fungsi stabilitas yang berbeda.

5. Contoh perhitungan

Dalam pengembangan nomogram, dianggap parameter kekakuan

L

P

/

EI

, adalah identik, dimana L = panjang kolom, P = beban aksial pada kolom, dan I = momem inersia kolom. Juga, dianggap kondisi ujung jauh kolom atas dan bawah begitu juga sambungan balok ke kolom adalah kaku. Namun, pada struktur sebenarnya, parameter kekakuan mungkin berbeda dari satu kolom edngan kolom lainnya. Begitu juga sambungan balok ke kolom mungkin fleksibel. Untuk menunjukkan pengaruh parameter-parameter tehradap panjang efektif kolom, ditinjau suatu model struktur seperti pada Gbr. 4. disini akan diperksa stabilitas kolom AB. Semua batas terdiri dari porfil W8X58 dari A36 dengan FY = 250 Mpa dan E = 200000 Mpa.

Semua batang mempunyai panjang sama (L1

= L4 = 4 m). beban aksial pada kolom adalah sama

(P1 = P2). Kondisi ujung jauh kolom atas dan bawah

begitu juga sambungan balok ke kolom dianggap kaku.

(5)

5.1. Pengaruh Beban-beban kolom

Pada prosedur menentukan faktor K denagn nomogram, beban aksial tidak memberikan kontribusi, namun banyak peneliti (Goncalves 1992, Bridge dan Fraser 1987 dan Liew et al 1993) membuktikanbahwa beban aksial pada kolom mempengaruhi terhadap besarnya faktor K pada portal tidak bergoyang.

Untuk memeriksa pengaruh beban aksial ini terhdap bearnya faktor K, beban aksial P2 pada

kolom AB dipertahankan sama edngan kolom dibawahnya, sementara beban aksial diatasnya P1

dibuat bervariasi sehngga o < P1 P2 < 2,0. momen

inersia dan panjang semua kolomdibuat tetap. Grafik faktor K, sebagaimana diperoleh model elastis dan inelastis dan dari nomogram, terhadap rasio beban aksial P1/P2 ditunjukkan pada Gbr. 5. Panjang efektif

diperoleh dari analisis inelastis biasanya lebih kecil dari yang diperoleh analisis elastis.

5.2. Pengaruh dari Panjang Kolom

Untuk mempelajari pengaruh panjang kolom, fkator K elastis dan inelastis kolom AB akan ditentukan dari Gbr 4. panjang kolom AB L2 begitu

juga kolom dibawahnya dipertahankan tetap 4 m, sedangkan Panjang koom atas L1 dibuat bervariasi

dari 2 m sampai 8 m. momen inersia semua kolomt etap dibuat sama.

Pada prosedur nomogram rasio kekakuan lentur relatif joint ujung-ujung A dan B dari kolom digunakan menentukan faktor K. karena panjang koom telah termasuk didalam mengevaluasi rasio kekakuan lentur, maka dapat dikatakan bahwa engaruh panjang kolom telah diperhitungkan penuh. Namu, hal ini tidak memberikan hsil yang representatif karena dari pada gbr 6, faktor K yang diperoleh dari model elastis dan inelastis dan nomogram, di plot sebagai fungsi dari rasio L1/L2.

faktor K yang diperoleh dari model elastis dan inelastis meningkat bila rasio L1/L2 semakin besar.

Sebaliknya, ketika rasio L1/L2 semakin besar, faktor

K yang diperoleh dari nomogram cenderung menurun. Bila rasio L1/L2 semakin besar, faktor K

yang diperoleh dari nomogram cenderung menurun. Bila rasio L1/L2 > 1,0, aprameter kekakuan dari

kolom atas melebihi kolom AB dan reduksi faktor panjang efektif dari analisis elastis cukup signifikan lebih besar dari nilai yang diperoleh nomogram Gbr 6 dapat dilihat hasil analisis elastis tidak sama edngan nomogram.

Pengaruh Luas Penampang Kolom

Untuk tujuan memeriksa pengaruh luas penampang kolom atas dan bawah terhadap faktor panjang efektif, kolom AB yang dianalsia ukurannya tepta W8X58. (l=9490 cm4_{, r=9,28 cm). kolom ats}

dibuat beberapa ukuran dari W8X18 (l= 2576 cm4_{, r}

= 8,71 cm) sampai W12X72 (l=24800 cm4_{, r = 13,51}

cm). Panjang dan beban aksial pada semua kolom dibuat ttap. Hasil yang diperoleh seperti ditunjukkan pada gbr. 7, yang mana faktor K, ditentukan dari analisis elastis dan inelastis dan nomogram di plot tehradap rasio l1/l2. dalam hal ini l1 dan I2

masing-masing momen inersia kolom atas dan W8X58. faktor K yang diperoleh dari analisis elastis cukup signifikan perbedannya bila dibandingkan dengan prosedur nomorgram. Juga, dapat diamati ada perubahan yang tajam pada faktor K inelastis. Phenomena ini merupakan petunjuk fakta bahwa dua parameter penampang, yaitu memen inersia dan jari-jari inersia terlibat dalam Gbr 7.

(6)

Untuk mengetahui secara terpisah pengaruh momen inersia terhadap faktor K, profil kolom atas W8X58 diganti dengan beberapa penapang buatan sehinggajari-jari inersia tetap sama dengan profil W8X5 tetapi momen inersia berbeda. Hasilnya ditunjukkan pada gbr 8, dimana variasi faktor K yang diperoleh dari moedl elastis dan inelastis dan dari nomogram, di plot sebagai fungsi dari rasio l1/l2. jelas

terlihat bahwa faktor K yang diperoleh dari model elastis sedikit lebihkecil dari yang diperoleh dari nomogram. Untuk nilai-nilai l1/I2 yang relatif kecil,

faktor K yang diperoleh dari model elastis dan ienlastis adalah identik. Bila diliht pada rasio l1/I2 >

1, faktor K yang diperoleh dari model elastis dan inelastis hampir konstan.

Terakhir, dikaji secara terpisah pengaruhjari-jari inersia terhadap faktor K. untuk ini, profil kolom atas W8X58 diganti dengan beberapa penampang buatan, sehingag didapt momen inersia tetap sama dengan W8X58 tetapi jari-jari inersia dibuat berbeda. Hsil dari analissi ini ditunjukkan pada gbr. 9, diamna faktor K yang diperoleh dari model elastis dan inelastis di plot terhadap rasio r1 / r2. dalam hal ini r1

dan r2 masing-masing adalah jari-jari inersia kolom

atas dan kolom AB. Sebagaimana dilihat dari gbr. 9.

5.4. Pengaruh Sambungan Fleksibel balok ke kolom

Untuk melihat pengaruh sambungan fleksibel terhadap faktor K, maka kekakuan sambungan balok ke kolom untuk keempatnya dibuat bervarisi dari nol sampai 400 MN-m/rad, yang mana dianggap cukup

untuk mewakili berbagai tipe sambungan fleksibel, yang ditentukan dari percobaan yang umumnya dijumpai dalam bangunan sebenarnya (Ackroyd dan Gerstle 1983). Beban aksial, panjang, dan momen inersia semua kolom dibuat d kosnstan. Pada Gbr 10 ditunjukkan variasi faktor K dari analisis elastis, inelastis dan nomogram dengan meningkatnya kekakuan sambungan. Untuk kekakuan sambungan k > 70 MN-m/rad, faktor K dari analsis elastis, inelastis relatif stabil. Pada sambungan yang relatif fleksibel (k<50 MN), perlu diperhatikan didalam menentukan kapasitas daya dukung kolom, mengingat faktor K akanmeningkat cukup signifikan. Perlu dicatat dari Gbr 10 bahwa untuk sambungan sendi (k=0), menunjukkan mekanisme yang tidak stabil, baik hasil dari analisis elastis dan inelastis akan memberikan faktor K yang menuju tak – berhingga.

5.5. Pengaruh Kondisi Ujung Jauh dari Kolom Tersambung.

Metode untuk mengikutkan kondisi batas dari ujung-ujung jauh kolom didalam perhitungan faktor K dengan prosedur nomogram. Namun, asumsi-asumsi yang digunakan adalah sama dalam pengembangan metode tersebut, sehingga kekurangan dan kelemahan metode ini tetap sama.

Untuk melihat pengaruh dari kondisi-kondisi ujung jauh kolom ats ke bawah terhadap faktor K, momen inersia keempat balok yang tersambung pada kolom (gbr.4) diganti dari profil W8X58 menjadi beberapa jenis profil W. Beban, luas penampang, dan panjang kolom dibuat identik. Pada gbr. 11 ditunjukan hubungan faktor K elastis tehradap rasio Ig/Ic, dimana Ig dan Ic adalah masing-masing momen

(7)

inersia balok dan kolom, untuk tiga kondisi ujung kolom ats dan bawah yang berbeda, sendi, jepit, dan kaku. Perlu dicata bahwa fkator K yang didapat dari nomogram mirip edngan kasus kondisi ujung jauh jepit.

5. Essa, S.H. (1998), “New Stability Equation for Columns in Ubraced Frames”, J. Struc. And Mechanic., (1998), 6(4), 411-425. 6. Liew, J. Y.R. D. W. White and W. F. Chen

(1992), “Beam-Column”, in Construction Steel Design, an International Guide, Chap.5.1. P. Dowling et al. (eds.), Elsevier, England, pp. 105-132.

6. KESIMPULAN

Prosedur nomogram akurat didalam memprediksi faktor K pada portal bergoyang jika parameter kekakuan kolom-kolom tersambung adalah sama dengan kolom yang dianalisa. Bila parameter kekakuan beberapa kolom tersambung lebih besar dai kolom yang diperiksa, faktor panjang efektif meningkat cukup signifikan, karena kolom tersebut akan memberi gangguan daripada mengekang kolom yang dianalisa.

Kondisi – kondisi ujung jauh kolom diatas dan dibawah dari kolomyang diperiksa mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap faktor K kolom yang dianalisa. Faktor panjang efektif dari prosedur nomogram adalah mirip dengan kondisi ujung jau jepit.

Dalam hal pemilihan ukuran dan jenis sambungan tidak diatur dalam peraturan yang ada, stabilitas kolom dapat ditingkatkan dengan menggunakan sambungan balok ke kolom yang lebih kaku.

DAFTAR PUSTAKA

1. American Institute of Steeel Contruction (1994), “Load and Resistance Faktor Design Specification Steel Building”, AISC, Chicago.

2. Akroid, M.H. and Gerstle, K.H. (1983),

“Elastic Stability of Flexibly Connected Frames,,” J. Struc.Eng., ASCE, 109(1), 241-245.

3. Bridge, R. Q and Fraser, D. (1987),” Improve G-faktor Method for Evaluating Effecntive Lenghths of Column”, J.Struc.Eng. ASCE, 113(6), 1341-1356.

4. Chen, W.F and Lui, E.M. (1991), “Stability Design of Steel Frames”, CRC Press Inc, Boca raton, Florida.