KONSTRUKSI ARITMETIKA KURVA ELIPTIK ॲ
SUPERSINGULAR DAN NON-SUPERSINGULAR
UNTUK SKEMA KUNCI PUBLIK ELGAMAL
IRSYAD RAMLI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ABSTACT
IRSYAD RAMLI. Constructions of ॲଶ Supersingular and Non-Supersingular Elliptic Curve
Arithmetics for the ElGamal Public Key Scheme. Supervised by SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS.
The ElGamal algorithm is one of the public key algorithms with modular arithmetic , which has the structure of the cyclic group ܼכ. Security level of this algorithm depends on the solution of
discrete logarithm ܼכ problem. Unfortunately, this security level tends to decline recently because
of the increase in ability of solving discrete logarithm. Moreover, to have an adequate level of security, very large value would be required, but this would cause the encryption and decryption process to be slow.
In this paper, the ॲଶ Supersingular and Non-Supersingular elliptic curve arithmetics are
constructed to replace ܼכ on ElGamal algorithm. This construction uses both theoretical and
computational aspects. Further, the aim of this paper is to apply the arithmetic in the simulation resulted on ElGamal algorithm using Maple 12 software. The success of this simulation is such that a message used in the encryption process will be identical to the message that is used after performing the decryption process. This shows that the arithmetic of ElGamal algorithm, which was originally in ܼכ, can be changed into elliptic curve ॲଶ arithmetic.
ABSTRAK
IRSYAD RAMLI. Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik ॲଶ Supersingular dan
Non-Supersingular untuk Skema Kunci Publik ElGamal. Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan
NUR ALIATININGTYAS.
Algoritme ElGamal adalah salah satu algoritme kunci publik dengan aritmetik modular yang
mempunyai struktur grup siklik ܼכ. Tingkat keamanan algoritme ini terletak pada pemecahan
masalah logaritme diskret dari ܼכ. Akan tetapi, tingkat keamanan dari tahun ke tahun semakin
menurun yang disebabkan kemampuan pemecahan algoritme diskret semakin meningkat. Untuk memenuhi tingkat keamanan yang memadai dibutuhkan yang cukup besar yang menyebabkan proses enkripsi dan dekripsi menjadi lambat.
Pada karya ilmiah ini, dikonstruksi aritmetika kurva eliptik ॲଶ Supersingular dan
Non-Supersingular yang diharapkan mampu mengganti ܼכ pada algoritme ElGamal. Konstruksi ini
menggunakan aspek teoretis dan aspek komputasi. Oleh sebab itu, tujuan karya ilmiah ini adalah untuk mengonstruksi aritmetika kurva eliptikॲଶ Supersingular dan Non-Supersingular sehingga
dapat disimulasikan pada algoritme ElGamal dengan menggunakan software Maple 12. Keberhasilan dari simulasi ini, suatu pesan yang digunakan dalam melakukan proses enkripsi identik dengan pesan setelah melakukan proses dekripsi. Semua proses tersebut dilakukan dengan
menggunakan aritmetik kurva eliptikॲଶ. Ini menunjukkan bahwa aritmetik algoritme ElGamal
KONSTRUKSI ARITMETIKA KURVA ELIPTIK ॲ
SUPERSINGULAR DAN NON-SUPERSINGULAR
UNTUK SKEMA KUNCI PUBLIK ELGAMAL
IRSYAD RAMLI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul
: Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik ॲ
Supersingular dan
Non-Supersingular untuk Skema Kunci Publik ElGamal
Nama :
Irsyad
Ramli
NIM :
G54063001
Menyetujui
Pembimbing I,
Dr. Sugi Guritman
NIP : 19620927 199203 1 004
Pembimbing II,
Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si
NIP : 19610104 198803 2 002
Mengetahui :
Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP : 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-Nya sehingga penulisan karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam tercurah kepada nabi Muhammad SAW sebagai suri tauladan terbaik bagi umatnya hingga akhir
zaman. Karya ilmiah ini berjudul “Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik ॲ Supersingular dan
Non-Supersingular untuk Skema Kunci Publik ElGamal”
Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada
1. Bapak Dr. Sugi Guritman selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu,
kesabaran, motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
2. Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua
ilmu, kesabaran, dan motivasinya).
3. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya).
4. Terima kasih atas bantuannya kepada Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni, Mas Heri, Bu
Susi, Bu Ade.
5. Keluargaku tercinta : ayahanda (terima kasih atas doa, dukungan, motivasi, kerja keras
dan kesabarannya menyekolahkan ananda. Ayahanda adalah ayah yang penuh semangat walaupun harus membanting tulang untuk menafkahi keluarga. Ayah adalah ayah yang paling terbaik sedunia), Ibunda (terima kasih atas doa, didikan, motivasi dan kasih sayangnya. Ibunda adalah ibu yang paling terbaik sedunia). Kakakku tercinta (Rahmawita) yang tak henti-hentinya memotivasi. Adik-adikku tercinta (Hamdan, Hafizh) yang menjadi motivasiku dan membangkitkan semangatku.
6. Bibi-bibiku : Bibi Risyda, Bibi Arma Suari, Bibi Irawati (terima kasih atas tempat
tinggalnya, doa, kasih sayang, dan perhatiannya kepadaku selama di sini).
7. Kakak-kakak sepupuku : Yessi Adjisir, Andry Adjisir, Haryenni Adjisir, Gafrian Abrar,
Zamakhsyari Abrar, Amalia Fitri, Haikal Abrar, Denny Ismayadin (terima kasih atas bantuan, motivasi, dan kasih sayangnya).
8. Ro’fah Nur Rachmawati (terima kasih atas bimbingan, motivasi, ilmu, dan sarannya).
9. Teman-teman kontrakan Kahfi 43 : Deni Hamdan Permana, Yogi Nur Anggowo, Slamet
Riyadi, Slamet Aprian Utomo, Agung Surya Permadi, Martono (terima kasih atas dukungannya).
10. Teman-teman : Retwando, Dorisman, Dian Fernanda, Chawen, Ira, Hanif, Dya, Rezki Anandra.
11. Kakak-kakak Math 41 : Mora, Chubby, Jali, Cumi, dan lainnya (terima kasih atas dukungan dan bantuannya).
12. Kakak-kakak Math 42 : Djawa, Acuy, Iput, Ilyas, Danu, Eko, Eyyi, Zil, Mocco, Sapto, Danu dan lainnya (terima kasih atas dukungannya).
13. Teman-teman Math 43 : Ucok, Andrew, Sabar, Cici, Desi, Gandi, Fitria, Margie, Rias, Erni, Ratna, Sunarsih, Rizki NS, Rizki SN, Zul, Paisol, Nanu, Wira, Sofyan, Nia, Tami, Nenek, Destya, Putri, Vera, Suci, Hermalina, Nurmalina, Kiki, Arif, David, Adi, Fardan dan lainnya (terima kasih atas dukungannya).
14. Adik-adik Math 44 : Cristoper, Fani, Selvie dan lainnya (terima kasih atas dukungannya). 15. Adik-adik Math 45 terima kasih atas bantuannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan.
Bogor, November 2010
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Grup ... 2 2.2 Grup Siklik ... 2 2.3 Ring ... 2 2.4 Lapangan (field) ... 2
2.5 Pengenalan Kurva Eliptik ... 3
2.6 Penyederhanaan Persamaan Weierstrass ... 3
2.7 Hukum Grup Kurva Eliptik ... 3
2.8 Pengenalan Algoritme ElGamal atas ܼכ ... 4
III PEMBAHASAN 3.1 Aritmetik Kurva Eliptik ॲSupersingular ... 5
3.2 Algoritme Aritmetik Kurva Eliptik ॲSupersingular ... 7
3.2.1 Pembangkitan Kurva K(a,b,c) ... 7
3.2.2 Menentukan Titik P(x,y) ... 7
3.2.3 Adisi Titik P(ݔଵǡ ݕଵ) + Q(ݔଶǡ ݕଶ) ... 7
3.2.4 Menentukan Invers Titik ... 7
3.2.5 Menentukan ൌ ݇ (Kelipatan Sebanyak k) ... 7
3.3 Aritmetik Kurva Eliptik ॲNon-Supersingular ... 7
3.4 Algoritme Aritmetik Kurva Eliptik ॲNon-Supersingular ... 9
3.4.1 Pembangkitan Kurva K(a,b) ... 9
3.4.2 Menentukan Titik P(x,y) ... 9
3.4.3 Adisi Titik P(ݔଵǡ ݕଵ) + Q(ݔଶǡ ݕଶ) ... 9
3.4.4 Menentukan Invers Titik ... 10
3.4.5 Menentukan ൌ ݇ (Kelipatan Sebanyak k) ... 10
3.5 ElGamal Kurva Eliptik atas ॲ ... 10
IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan ... 12
4.2 Saran ... 12
DAFTAR PUSTAKA ... 12
LAMPIRAN ... 14
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Adisi ܲ ܳ ൌ ܴ ... 4 2 Doubling ܲ ܲ ൌ ܴ ... 4DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Program Aritmetika ॲ ... 142 Program Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik ॲ ... 17
3 Program ElGamal ܼכ ... 22
4 Program ElGamal Kurva Eliptik atas ॲ ... 23
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bukittinggi pada tanggal 28 November 1988 sebagai anak kedua dari empat bersaudara, anak dari pasangan Dt. Ramli dan Hanifah.
Tahun 2006 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Matur Sumatera Barat dan pada tahun yang sama menempuh pendidikan sarjana melalui Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB.
Selama perkuliahan, penulis aktif di UKM Pramuka 2006-2007, Himpunan Profesi Gumatika 2008 sebagai Divisi PSDM Dewan Legislatif Gumatika (DLG) periode 2008-2009, Ketua Badan Pengawas Gumatika (BPG) periode 2009 dan staf pengajar Kalkulus untuk bimbingan belajar Gumatika. Selain itu, penulis ikut sebagai panitia dalam berbagai kegiatan seperti Logstrans Pesta Sains se-Indonesia 2008, Logstrans Matematika Ria 2008 dan penulis juga ikut dalam berbagai acara festival musik kampus dengan membentuk grup akustik yang beranggotakan lima orang dari Departemen Matematika dengan nama D’Indiependent dan Band HiGrip.
