MODUL E-LEARNING
E-LEARNING MATEMATIKA
Oleh :
NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD.
NIP. 19721015 200212 1 002
Penulisan Modul e Learning ini dibiayai oleh dana DIPA BLU UNY TA 2010 Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan e Learning
Nomor 1993a.9/H34.15/PL/2010 Tanggal 1 Juli 2010
JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
FAKULTAS TEKNIK
42
BAB V
PERSAMAAN LINIER
1). Persamaan Linier Satu Variabel
Bentuk umum : ax b 0, dimana a 0 dan b = konstanta Penyelesaian :
a b x
Contoh : 1). 2
5 10 0
10
5x x x
2). 8
1 8 0
8 x x
x
2). Persamaan Linier 2 Variabel
Bentuk umum : ax by c dimana : a, b, c adalah konstanta 3). Persamaan Linier Tiga Variabel
Bentuk umum : ax by cz d dimana : a, b, c, d adalah konstanta. Penyelesaian persamaan linier dua Variabel dan tiga variable ( persamaan linier simultan )
dilakukan dengan : (1) Eliminasi, (2) Substitusi, (3) Interasi dan (4) Determinan.
1. Cara Eliminasi
Eliminasi berarti meniadakan atau menghilangkan harga – harga unknown.
Contoh :
Tentukan harga – harga x, y dan z dalam persamaan linier simultan :
0 5
3
1 3 2
2 3
2
z y x
z y x
z y x
Jawab :
Misal
0 5
3 ) 3 (
1 3 2 )
2 (
2 3
2 ) 1 (
z y x p
z y x p
43
Eliminasi x
2
Menentukan harga unknown Y:
Untuk harga z = 1 maka persamaan ( P4 ) adalah :
Jika digunakan p5 untuk z = 1 persamaannya adalah :
44
2. Cara Substitusi
Substitusi berarti mengganti salah satu unknown yang mewakili unknown – unknown lain. Pada suatu persamaan linier tiga variabel terdapat 3 buah unknown x, y, z maka substitusi dapat dilakukan dengan 6 macam yaitu :
x, y; x,z; y, x; y, z; z, x; dan z, y.
contoh:
Selesaikan persamaan linier simultan dengan cara substitusi :
0 5
3
1 3 2
2 3
2
z y x
z y x
z y x
Jawab
Misalkan : (p1) 2x 3y z 2
(p2) x 2y 3z 1
(p3) 3x 5y z 0
Substitusi x
Dari persamaan linier (p1) diperoleh harga x dalam bentuk term y dan z
sebagai berikut :
2 3
2x y z
) 4 ( 5
, 0 5 , 1 1
3 2 2
p z
y x
z y x
Substitusi harga x tersebut kedalam persamaan ( p2 ) dan ( p3 ) diperoleh :
P4 P2 (1 1,5y 0,5z) 2y 3z 1
) 5 ( 5
, 3 5 , 3
0 5 , 3 5 , 3
1 3 2 5 , 0 5 , 1 1
p z
y
z y z y
z y z y
P4 P3 3.(1 1,5y 0.5z) 5y z 1
) 6 ( 3
5 , 2 5 , 0
0 5
5 , 1 5 , 4 3
p z
y z y z y
45
Substitusi y:
Dari persamaan p5 dapat diketahui harga y dalam term z. substitusi harga y dalam
persamaan p6 diperoleh :
P5 p6 0,5( z) 2,5z 3
) 7 ( 1
3 3
3 5 , 2 5 , 0
p z
z z z
Jadi harga z = 1
Substitusi kembali :
Substitusi kembali z dalam p7 pada p5 diperoleh :
P7 P5 y z
) 8 (
1 p
y
Substitusi kembali y pada p8 dan z pada p7 ke dalam p4 diperoleh :
P8 P7 P4 x 1 1,5y 0,5z
) 9 ( 2
5 , 0 5 , 1 1
1 . 5 , 0 ) 1 .( 5 , 1 1
p x
x x
Dari hasil substitusi di atas dapat ditentukan harga – harga penyelesaian persamaan linier simultan adalah :
1 1 2
z y x
3. Cara Interasi
Cara interasi adalah cara coba – coba memasukkan harga tertentu ke dalam
46
4. Penyelesaian dengan cara determinan
Sebelumnya disusun koefisien – koefisien dan konstanta – konstanta pada persamaan linier simultan yang membentuk formasi baris dan kolom. Setiap
bilangan yang menempati suatu baris dan kolom disebut elemen.
Contoh :
) ( 2 2 2
) ( 1 1 1
ii c
y b x a
i c
y b x a
Maka persamaan linier simultan tersebut disusun dalam bentuk kolm dan baris
sebagai berikut :
1 1
1 b c
a baris 1
2 2
2 b c
a baris 2
elemen
Kolom a kolom b kolom c
Dengan cara determinan, harga – harga ( unknown ) dicari dengan menentukan determinanya terlebih dahulu. Cara menyusun determinan x misalkan cukup
mengganti bilangan – bilangan pada kolom x dengan kolom konstanta. a. cara Cramer
rumus untuk mencari harga – harga dalam determinan linier simultan adalah membagi determinannya dengan determinan. Misalkan mencari harga x adalah
dengan membagi determinan x dengan determinan. Demikian juga untuk
mencari harga y maka determinan y dibagi dengan determinan.
1). Untuk persamaan linier simultan dengan dua cara persamaan linier
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
Kolom x kolom y kolom c
2 2
2
1 1
1
) ( )
( )
(
c b
a
c b
a
Kc Ky
47
Determinan dibentuk dari elemen-elemen pada kolom x dan y :
Kx Ky
dengan kolom c sebagai berikut :
Kc Ky
dengan kolom c sebagai berikut :
Kx Kc
2). Untuk persamaan linier simultan dengan tiga persamaan linier.
3
Disusun sebagai berikut :
48
Determinan dibentuk dari elemen – elemen pada kolom x, y dan z dengan menempatkan elemen – elemen dari baris yang atas dan masing – masing dikalikan dengan minornya
Contoh
Minor dari a1 adalah
yang didapat dari gambar berikut :
3
Determinan adalah sebagaio berikut :
Kd Ky Kz
Menentukan harga determinan dengan cara ini disebut ekspansi determinan. Selanjutnya harga – harga x, y dan z dirumuskan dengan cara determinan sebagai berikut :
49
b. Cara Sarrus
Cara Sarrus ini terlebih dahulu disusun elemen-elemen determinan, kemudian
ditulis kembali dua kolom yang pertama. Cara Sarrus ini disusun hanya untuk
susunan bilangan yang mempunyai tiga baris dan tiga kolom saja. Harga
determinan dengan cara ini dihasilkan melalui operasi perkalian diantara
elemen-elemen diagonal. Perkalian elemen diagonal dari atas ke bawah
tandanya positif ( + ). Sedangkan perkalian elemen diagonal dari bawah ke atas
tandanya negatif ( - ).
Contoh
Kx Ky Kz Kx Ky
3 3
2 2
1 1
3 3 3
2 2 2
1 1
1
b a
b a
b a
c b a
c b a
c b
a
= (a1.b2.c3 b1.c2.a3 c1.a2.b3) (a3.b2.c1 b3.c2.a1 c3.a2.b1)
Untuk mencari harga x maka determinan x dibagi dengan determinan .
Demikian juga harga y dan harga z. Hanya operasinya menggunakan cara
Sarrus.
Contoh soal-Penyelesaian
1. Tentukan harga x dan y dalam persamaan linier simultan sebagai berikut dengan cara
determinan yang menggunakan aturan Cramer.
24 4 6
15 9
6
y x
y x
Jawab:
Susunan kolom x, kolom y dan kolom c adalah :
Kx Ky Kc
6 -9 -15
50
Jadi harga yang memenuhi persamaan linier simultan tersebut adalah x = 2 dan y = 3.
2. selsesaikan persamaan linier simultan seperti dibawah ini dengan cara determinan
yang menggunakan aturan cramer.
51
Determinan
0 3
1 1 . 1 3
3 1 . 2 1 0
3 1 . 2
1 0 3
3 1 1
1 2 2
y
= 2. {(1).(1) – (0)(-3)} – 2.{(1)(1) – (-3)(-3)} + 1.{(1)(0) – (-3)(1)} = 2.(1-0) – 2.(1-9) + 1(0+3)
= 2.1 + 2.8 + 1.3 = 2 + 16 + 3
= 21
Determinan
5 3
2 1 . 2 0 3
1 1 . 3 0 1
5 2 . 2
0 5 3
1 2 1
2 3 2
z
= 2.{(9-2)(0) – (-5)(1)} – 3{(1)(0) – (-3)(1)} + 2{(1)(-5) – (-3)(-2)} = 2(0+5) – 3(0+3) + 2(-5-6)
