Untuk sembarang a,h,c E R, berlaku. (a+b)+c =a+(b+c) [~] Terdapatsebuah elemen 0 E R, disebutelemennol atau zero,sedemikian sehingga.

RING DAN IDEAL

Definisi

4.1 (Ring)

Misalkan R adalah suatu himpunan talchampa dengan dua operasi binar, yakni suatu operasi penjumlahan (dinyatakan oleh +), dan suatu operasi perkalian (dinyatakan dengan * atauhanya blank saja).Maka R adalah Ring atau Gelanggang jika 6 aksioma berikut terpenuhi:

[Rl] Untuk sembarang a, b, C E R, berlaku (a+b)+c

=

^a+(b+c)

[~] Terdapatsebuah elemen 0 E R, disebutelemennol atau zero,sedemikian sehingga

a+O

=

Q+a

=

a

untuk setiap a E R

[R3] Untuk masing-masing a E R terdapat sebuah elemen -a E R, disebut negatif dari a, sedemikian sehingga

a+(-a)

=

^(-a)+a

=

0 [R4] Untuk sembarang a, 1?E R, berlaku

a+b

=

^b+a

[Rs] Untuk sembarang a,h,c E R, berlaku (ab)c

=

^a(bc)

[R6] Untuk sembarang a,b,c E R, berlaku (i) a(b+c) = ab + ac, dan

(ii) (b+c)a = ba + ca.

Dapat dicatat bahwa aksioma {RJ] sampai [R4] membentuk suatu Grup Abel R di bawah penjumlahan.

Adapun pengurangan didefmisikan pada suatu Ring R adalah sebagai berikut:

a

-

^b

=

a + (-b)

Definisi 4.2 {Ring Komutatif

Sebuah Ring R adalah Ring Komutatif jika ab=ba

untuk setiap a, b E R.

Definisi 4.3 {Elemen Unitas}

Suatu elemen tak nolle R disebut suatu elemen Unitas, jika al

=

^la

=

^a

untuk setiap a E R.

Definisi 4.4 {Unit}

Misalkan R adalah suatu Ring dengan elemen Unitas 1. Sebuah elemen a E R adalah suatu Unit, jika a mempunyai invers multlplikatif a-I E R, .sedemikian sehingga

CONTOH RING

Contoh 4.1

Dibicarakan Ring Z dari integer.

(a) Apakah Z komutatif?

(b) Apakah Z mempunyai elemen Unitas?

(c) Yang manakah elemen Unit padaZ? .

(a) A adaIah suatu Ring komutatif karena ab

=

ba untuk sembarang integer a,beZ

(b) Bilangan 1 adaIah sebuah elemen Unitas pada Z (c) Elemen Unit pada Z adaIah 1 dan -1

Contoh 4.2

Kita hendakmenentukanUnit dari Zm, Ring dari integermodulom. Jika a

adaIah Unit pada Zm' maka

a-1a

=

^{l(mod m),}

atau pada Z

a-1a

=

^{1 + rm atau}

a-1a - rm

=

1

Hal ini menunjukkan bahwa sembarang pembagi perSekutuan dari a dan m haeus membagi I; yakni bahwa a dan m adaIah prima relatif.

Kebalikannyajika a dan m adaIah prima relatif pada Z, (kita tutis goo. untuk singkatan dari greatest common divisor/pembagi persekutuan terbesar)

1^.

=

^{gcd(a, m)}

=

pa + qm atau

pa

==

1 (modm)

yang menunjukkan bahwa a adalah Unit dari

~

(dengan invers p). Karenanya Unit dari Zm tepatnya adalah integer yang merupakan prima relatif terhadap m.

Contoh 4.3

Pada ZIO kita hendak menentukan-3, -8, dan 3-1. Di sini dengan -a pada suatu Ring R kita maksudkan elemen sedemikian sehingga

a + (-a)

=

(-a) + a = 0

Karenanya, 3=7 sebab

3+7=7+3=0

Secara yang sarna -8 = 2.

Dengan a-I pada Ring R kita maksudkan elemen sedemikian sehingga

Karena itu

karena

3*7

=

7*3

=

1 pada ZIO'

Contoh 4.4.

Misalkan f(x)

=

2x2 + 4x + 4. Kita hendak menentulcan akar dari f(x) di atas ZIO'

Substitusikan masing-masing dari 10 elemen ZIO lee dalam f(x) untulc melihat elemen mana y~g menghasilkan O. Kita peroleh:

f(O)

=

4, f(5)

=

^4,

f(l)

= 0,

f(6)

=

^0,

f(2)

= ^0,

f(7)= 0,

f(3) =

^4,

((8)

=

^4,

f(4)

=

^2,

f(9)

= 2.

Karenanya akar adalah 1,2, 6, dan 7.

Contoh ini menunjukkan bahwa suatu polinomial berderajat n dapat mempunyai lebih dari n akar di atas sembarang Ring. Hal ini tidale dapat terjadi jika :Ringadalah suatu Medan atau Field.

Contoh 4.5

Misalkan R adalah Ring dari matriks kuadrat nxn.

(a) Apakah R komutatif?

(b) Apakah R mempunyai suatu elemen Unitas?

(c) Tentukan Unit pada R

(a) Tidak; perkalian matriks tidak komutatif (b) Ya; matriks identitas I adalah Unitas

(c) Matriks nonsingular atau inversibel adalah Unit pada R.

Contoh 4.6

Misalkan R adalah suatu Ring dengan sebuah elemen Unitas 1. Kita akan menunjukkan bahwa himpunan R* dari Unit pada R adalah suatu Grup di bawah perkalian.

Jika a dan b adalah Unit pada R, maka ab adaIah Unit, karena b-1a-1adalah invers dari 00.

Karenanya R. Tertutup di bawah perkalian.

Juga, R. tak hampa, karena 1 E R..

R. adalah asosiatif, karena R asosiatif.

Terakhir, jika a adalah Unit pada R, maka inversnya a_Ijuga Unit, karena ia mempunyai invers yakni a.

Jadi R* adalah Tertutup di bawah invers.

Karenanya R* adalah Grup di bawah perkalian.

SIFAT RING

Sitat 4.1

Pada suatu Ring R, berlaku bahwa a*O = O*a = 0

Buldi

Karena 0

=

0+0, kita mempunyai a*O

=

^a*(O+O)

=

^{a*O + a*O}

Tambahkan -(a*O)pada kedua mas, dihasilkan

o =

^a*O

Sarna halnya, O*a

= O._

Sitat4.2

Pada sembarang Ring R, negatif ada1ahunik.

Bukti

Diberikan suatu elemen a, pandang elemen x yang bersifat bahwa a + x

=

^0,

yang secara otomatis juga bersifat x + a

= o. Kita mempunyai a = -a + 0

= -a + (a + x)

= (-a + a) + x

=O+x

=x

Terbukti'"

Sitat 4.3

Pada sembarang Ring R berlaku bahwa a*(-b)

=

^(-a)*b

=

-(a*b)

Bukti

Di sini

a*b + a*(-b)

=

^a*(b+(-b»

= ^a*O

=0 Karenaitu:

a*(-b) = -(a*b) Sarna halnya,

(-a)*b

= -(a*b)..

Sitat 4.4

Pada suatu Ring R dengan elemen Unitas 1 berlaku (-I)*a

=-a

Bukti

Di sini a+(-I)*a

=

^l*a+(-I)*a

=

^(1+(-I»*a

=

^O*a

=

⁰

Karenaitu (-I)*a = -a. _

SUBRING

Sekarang kita definisikan Subring dari suatu Ring.

Definisi 4.5

Suatu subset tidak hampa S dari R adalah Subring dari R. jika S sendiri ada1ah Ring di bawah operasi dari R.

Jelas bahwa S adalah Subring dari R jika dan hanya jika untuk setiap a. b e S berlaku

a-b e S, dan ab e S.

Dapat dicatat bahwa Tertutup di bawah Pengurangan berakibat tennasuknya 0, tennasuknya negatif, dan karenanya Tertutup juga di bawah penjumlahan.

IDEAL

Sekarang akan kita defmisikan Ideal padasuatu Ring R.

Definisi 4.6 (Ideal)

Suatu subset J dari R ada1ahIdeal pada R jika terpenuhi (i) 0 e J

(ii) J Tertutup di bawah pengurangan; yakni a-b e J

untuk sembarang a. b e J

(iii) J Tertutup di bawah perkalian dengan elemen R; yakni ra,areJ

untuk setiapa e J, r e R

Berkenaan dengan (ill), J disebut suatu Ideal Kiri jika hanya berlaku ra e J, dan disebut Ideal Kanan jika hanya berlaku ar e J. Karenanya Ideal selalu kita artikan adalah Ideal dua-sisi, sepertidi atas. Pada Ring Komutatif,sembarang Ideal Kiri atau Kanan adalah Ideal.

CONTOHIDEAL Contoh 4.7

Akan kita tunjukkan bahwa {OJadalah suatu Ideal pada sembarang Ring R.

Mengikuti kenyataan bahwa

0-0

=

0 termasuk {O}, dan untuk sembarang r e R,

r*O

=

O*r

=

^{0 termasuk {O},}

maka jelas {O} adalah Ideal.

Contoh 4.8

Misalkan Z adalah Ring dari integer dan misalkan Jm berisi kelipatan dari m, di sini m >= 2. Temyata Jm adalah suatu Ideal pada Z.

Jelas 0 e Jm.

Pandang ma dan mb adalah elemen sebarang pada Jm. Maka ma

-

^mb

=

^m(a-b)

juga termasuk Jm.

Juga, untuk sembarang r e Z. kita mempunyai

r(ma)

=

^(ma)r

=

^m(ar)

sebagai elemen dari Jm,

Karenanya Jm adalah Ideal pada Z.

Contoh 4.9

Misalkan M adalah Ring dari natriks real 2x2. Kita memberikan suatu contoh Ideal Kiri, J, yang bukan merupakan Ideal Kanan, dan suatu contoh Ideal Kanan, K, yang bukan. merupakan Ideal Kiri.

o a

J = ^{0 b}

a b

K= 0 0

SIFAT IDEAL Sifat 4.5

Pandang J dan K adalah Ideal pada suatu Ring R. maka J e K adalah suatu Ideal pada R.

Bukti

KarenaJ dan K adalahIdeal,maka

OeJ

Oe K sehingga

OeJeK

Sekarang misalkan a, b e J II K dan misalkan r e R, maka a,beJ

a,beK

I(arena J clan K adalah Ideal, maka a-b, ra, ar e J

a-b, ra, ar e K Kanma itu.

a-b, ra, ar e J (J K

Jadi karena semua hat di atas, berarti J (J K adatah suatu Ideal.

Sitat 4.6

Misalkan J adalah suatu Ideal pada suatu Ring R dengansuatu elemen identitas l.Maka

(a) Jika 1 e J, maka J

=

^R

(b) Jika sembarang Unit u (J J, maka J

= ^R

Buktl

(a) Jika 1 e J, maka untuk sembarang r e R, kita mempunyai

r*1 e J, atau r e J.

Karenanya J

=

R

(b) Jika u e J, maka u-l*u e J, atau 1 e 1.

Karenanya J

=

^{R, menurut (1:\).}

RING KUOSIEN

Teorema berikut menggunakankenyataan bahwa suatu Ideal J pada suatu Ring R adalah suatu Subgrop (yang Nonnal) dari Grop aditif dari R. Karenanya koleksi Koset {a+J: a E R} membentuk suatu partisi' dari R. Selanjutnya koleksi ini membentuk Ring, yang disebut Ring Kuosien RlJ.

Teorema 4.1

Misalkan J adalah suatu Ideal pada suatu Ring R. Maka Koset {a+J: a E R}

membentuk suatu Ring di bawah operasi Koset, (a+J) + (b+J) -= (a+b)+J dan

(a+J) * (b+J)

=

^(a*b)+J

Buld;

Kita lihat Ring dari Koset, yang dinyatakan dengan RlI, dan disebut Ring Kuosien.

Analogi dari Teorema 3.1 untuk Grop, menunjukkan bahwa RlJ adalah suatu Grup komutatif di bawah penjumlahan, dengan J sebagai elemen nol. Perlcalian Koset adalah terdefmisi rapih (well-defined), karena

(a+J) * (b+J) = ab + aJ + Jb + JJ

=ab+J+J+J

= ab+J

Hokum Asosiatif dan hokum distributif terpenuhi pada RlJ, karena mereka terpenuhi pada R. Karenanya RlJ adalah suatu Ring. _

SIFAT RING KUOSIEN

Sitat 4.7

Pandang J adalah suatu Ideal pada suatu Ring Komutatif R. Ring Kuosien RI J adalah Ring Komutatif.

Buldi

Jelas bahwa

(a+J)*(b+J)

=

^{ab + J}

=ba+J

= (b+J)*(a+J)

Terbukti. _

Sitat 4.8

Pandang bahwa J adalah suatu Ideal pada suatu Ring R dengan elemen Unitas 1, dan pandang bahwa 1 Ii!:J. Maka I+J adalah suatu elemen Unitas untuk RlJ Buldi

Untuk sembarang Koset a+J, kita mempunyai (a+J)*(I+J)

=

a*I+J

=

^a+J

dan

(1 +J)*(a+J)

=

^1*a+J

=

^a+J

Karenanya I+J adalah suatu elemen Unitas pada RlJ._

HOMOMORFISMA DAN ISOMORRSMA RING

Sekarang kita defmisikan HOlDomorfismaRing, dan isomorfisma Ring.

Deflnlsi 4.7 (Homomorfisma)

Suatu pemetaanf dari suatuRing R ke dalam suatu Ring R' disebutsuatu Homomorfisma,jika berlaku

f(a+b)

=

f(a) +' f(b), dan f(a*b)

=

f(a) *' f(b) untuk setiap a, b e R.

Di sini dinotasikan operasi pada R adalah + dan *, sedangkan operasi pada R' adalah +' dan *'. Operasi Ring pada R' secara wnUffiberbeda dengari operasi padaR.

Selanjutnya, sebagai tambahan:

Definisl 4.8 (Isomorfisma)

Jika Homomorfisma f adalah satu-satu (one-to-one) dan onto, maka f.disebut suatu isomorfisma. R dan R' disebut isomorfis, ditulis R <=> R'.

Dapat dicatat bahwa terdapat hubungan antara Homomorfisma Ring dan Homomorfisma Grup (lihat Bab 2). Suatu HomomorfismaRing f : R ~ R' adalah otomatis suatu Homomorfisma Grup pada struktur aditif dari R dan R'. Karenanya seIalu berlaku

f(O)

=

0'

Selanjutnya jika R dan R' mempunyai elemen Unitas berturut- turut 1 dan 1', maka kitajuga memerlukanbahwa f(1)

= 1',agarf merupakansuatuHomomorfisma

Ring.

Dalam kaitannya dengan Homomorfisma ini, kita juga nendefmisikan kernel dari f sebagai

Definlsl

4.9 (Kernel)

Ker(t)

=

{a e R I f(a)

=

^O'l

Berikut ini adalah teorema fundamental pada Homomorfisma Ring.

Teorema 4.2

Misalkan f: R ~ R' adalah suatu HomomorfismaRing dengan Kernel J. Maka J adalah suatu Ideal pada R, dan RlJ isomorfis dengan ruang peta atau Image dari f.

CONTOH HOMOMORFISMA DAN ISOMORFISMA RING Contoh 4.10

Dibicarakan Ring R

=

^{2Z dan R'}

=

3Z. Di sini R berisi semua kelipatan 2, dan

R' berisi semua kelipatan 4. kan kita tunjukkan bahwa R tidak isomorfis dengan R'.

Jika f: R ~ R' adalah suatu Homomorfisma Ring, maka f(2)

=

3k, untuk beberapa integer k.

Karena f adaIah suatu Homomorfisma, maka

f(4)

=

^f(2+2)

=

f(2) + f(2)

= 3k + 3k

= 6k

Selanjutnya,

f(4) = f(2*2)

= f(2) · f(2)

= (3k)*(3k)

=9k2

Karena itu 9k2 = 6k, dan karena k adalah bulat, maka k

=

^O.

Karenanya f(2) =. O. Tetapi f(O) = O. Sehingga f tidak satu-satu. jadi bukan

suatu isomorfisma. ^.

Contoh 4,11

MisaJkanJ adalah suatu Ideal pada suatu RirigR. Dibicarakanpemetaankanonik f: R ~ RlJ. didefinisikan sebagai

f(a)

=

a+J (Lihat Teorema 3,1)

Akan kita tunjukkanbahwa f adaJahsuatu HomoniorfismaRing. dan merupakan suatu pemetaan onto. Kita juda akan menentukan ernel K dari pemetaan kanonik ini.

Dengan menggunakan Teorema 3.1. kita peroleh f(a+b)

=

(a+b)+J

=

(a+J) + (b+J)

=

f(a) + f(b) Sedangkan

f(a*b)

=

a*b+J

=

(a+J) * (b+J)

=

f(a) * f(b)

Jadi f adalah suatu Homomorfisma.

Sembarang Koset a+J pada RlJ ada1ahpeta dari suatu a E R.

Jadi f adalah onto.

Elemen nol dari RlJ adalah 1.

Maka K terdiri dari a E R sedemikian sehingga f(a)

=

a+J

=

J atau J

Tetapi a+J

=

J'jika dan hanya jika a E J. Karenanya J adalah Kernel dari f.