II. MOMEN INERSIA BIDANG DATAR

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 8 II. MOMEN INERSIA BIDANG DATAR

1. Pendahuluan

Momen inersia dapat disebut juga Momen Kedua atau Momen Kelembaman. Data momen inersia suatu penampang dari komponen struktur akan diperlukan pada perhitungan-perhitungan tegangan lentur, tegangan geser, tegangan torsi, defleksi balok, kekakuan balok/kolom dan sebagainya. Luasan A pada gambar 2.1. merupakan bidang datar yang menggambarkan penampang dari suatu komponen struktur, dengan dA merupakan suatu luasan/elemen kecil.

y

A x dA r y

x O

Gambar 2.1 Potongan Penampang

Secara metematis momen inersia ditentukan dengan persamaan-persamaan berikut : Momen Inersia terhadap sumbu x :

Ix =



^{y2 dA (2.1)}

Momen Inersia terhadap sumbu y :

Iy =



^{x2 dA (2.2)}

Momen Inersia kutub :

Ip =



^{r2 dA (2.3)}

Momen Inersia Perkalian (Product of Inertia) :

Ixy =



^{xy dA (2.4)}

Momen inersia pada Persamaan 2.1, Persamaan 2.2, dan Persamaan 2.3 selalu bertanda positif, sedangkan momen inersia perkalian pada Persamaan 2.4 dapat bertanda negatif.

Momen inersia pada keempat persamaan diatas penggunaannya terbatas pada momen inersia bidang tunggal, sedangkan secara umum banyak bidang/penampang merupakan gabungan dari beberapa penampang tunggal. Misalnya penampang yang berbentuk L adalah gabungan dari dua penampang segi empat. Untuk menyelesaikan

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 9 momen inersia pada penampang gabungan diperlukan pengembangan dari Persamaan 2.1, 2.2, 2.3 dan 2.4 yang disebut dengan Teori Sumbu Sejajar.

2. Teori Sumbu Sejajar

x y^o

dA x’ x

r y

x^o A O

r’ O = titik berat luasan A y’

y

Gambar 2.2 Penampang dengan Sumbu Transformasi Momen inersia terhadap sumbu x :

Ix =

 

^{y y'}



^2dA

Ix =



^y2dA



^2yy'dA



^y'2dA

Ix =



^y2dA2y'



^{ydA y'2}



^dA

Sumbu x^o melalui titik berat bidang A, maka



^ydA0, sehingga : Ix = Ixo + Ay’² (2.5) Momen inersia terhadap sumbu y :

Iy =

 

^xx'



^2dA

Iy =



^x2dA



^2xx'dA



^x'2dA

Iy =



^x2dA2x'



^xdAx'2



^dA

Sumbu y^o melalui titik berat bidang A, maka



^xdA0, sehingga :

Iy = Iyo + Ax’² (2.6)

Momen inersia polar :

Ip =

_  

^xx'

 

^{2  yy'}



²



^.dA

Ip =

_ 

^{x2 2xx'x'2y2 2yy'y'2}



^.dA

Ip =

_ 

^{x2 y2}

 

^{dA x'2y'2}

 _

^dA2x'

_

^xdA2y'

_

^ydA

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 10 Sumbu x^o dan sumbu y^o melalui titik berat luasan A, maka



^{xdA= 0 dan}



^{ydA= 0}

Sehingga :

Ip = Ipo + Ar’² (2.7)

Momen inersia perkalian : Ixy =

 

^xx'



^{y y'}



^dA

Ixy =



^xydAy'



^xdAx'



^ydAx'y'



^dA

Sumbu x^o dan sumbu y^o melalui titik berat luasan A, maka



^{xdA= 0 dan}



^{ydA= 0}

Sehingga :

Ixy = Ixyo + Ax’y’ (2.8)

3. Contoh-Contoh Contoh 2.1

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi empat dengan lebar b dan tinggi h terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang.

y

dy y

h x

b Penyelesaian :

dA = bdy Ix =



^y2dA

Ixo =



 h

h 2 1

2 1

y²bdy

Ixo = b

 

y ^12hh

12

3 13



Ixo = b



18 ³



13 3 18

13. h  . h

Ixo = ¹₁₂bh ³

Dengan cara yang sama dapat dihitung Iy^o, dengan dA = h dx, sehingga dapat diperoleh:

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 11 Iyo = ¹₁₂b³h

Momen Inersia polar, Ip^o =



^r2dA=

_ 

x^{2 }y²



dA^Iy ^Ix= ¹₁₂(bh³ + b³h) Menghitung momen inersia perkalian Ixy :

y

dy

h y

x b

Ixy =



^xydA

Ixy =



^{h bybdy}

0 12

Ixy =



^{h b ydy}

0 2 12

Ixy =



^{b y}



^h

0 2 12 2 12

Ixy = ¼ b²h²

Untuk menghitung Ixyo gunakan rumus 2.8.

Ixy = Ixyo + Ax’y’

¼ b²h² = Ixyo + bh.½b.½h Ixyo = 0

Maka Momen Inersia perkalian segi empat Ixyo = 0

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 12 Contoh 2.2

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi tiga dengan alas b dan tinggi h terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

dA

dy

y h

x

b’

b Penyelesaian :

dA = b’dy

23b: b’ = ²₃h: (²₃h-y) b’ = (23h y)

bh  dA = (23h y)

bh  dy Ix =



^y2dA

Ixo =



 h

h

y

23

13

2 (²₃h y) bh  dy

Ixo =







h

h

hy by b

23

13

3 2

23 )

( dy

Ixo =

 

^h

h

h y y b b

23

13 4 14 3

13

23 . .





Ixo =



^{23b.13.827h3 b}_h^.14.1681h4

 

^{ 23b.13.127h3 b}_h^.14.181h4



Ixo =

  

3 1324 ³



2243 3

324 3 16 243

16 bh  bh   bh  bh

Ixo =



3 15324 ³



18243bh  bh

Ixo = ¹₃₆bh ³

Dengan cara yang sama dapat dihitung Iy, dengan dA = h’ dx, sehingga dapat diperoleh Iyo = 136b³h

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 13 Momen Inersia polar, Ip^o =



^r2dA=

_ 

x^{2 }y²



dA^Iy ^Ix= ¹₃₆(bh³ + b³h)

y

dA

h h’

x

x dx b

h’: h = (b-x) : b h’ =

b x b h(  )

Ixy =



^xydA

Ixy =



^b b^x hb ^{bx dx} hb

x

0

12 ( ) ( )

Ixy =



^bx _b^{h bx dx}

0

2 2

2

12 ( )

Ixy =



^{b h}_b ^{b x bx x}

0

3 2 2

2 2

) 2

2 ( dx

Ixy =



^{b h xh}_b^{x h}_b^{x dx}

0

2 3 2 2 2 2

2 ) ( 2

Ixy =

b

b x x h bh x h

0 4 2 2 3 2 2

2 14

8 3

1 



 



  

Ixy = 2 2 18 ^{2 2}

13 2 2

14b h  b h  b h

Ixy = 124b²h² Ixy = Ixyo + Ax’y’

2 2

124b h = Ixyo + ¹₂bh.¹₃b.¹₃h Ixyo = ¹₇₂b²h²

Momen Inersia perkalian segitiga pada gambar diatas, Ixyo = ¹₇₂b²h².

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 14 Contoh 2.3

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang lingkaran dengan jari-jari r terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

d dA 

d

 x

Penyelesaian : dA = d d

Ix =



^y2dA

Ixo = ^ dd

r

. . sin

0 2

0

2

 

2

Ixo = ^ dd

r

. . sin

0 2

0

2

 

3

Ixo = ^{ 2}



^{  }

6 2

0 4

14 sin .d

r

Ixo = ²



^{   }

0 12 12 4

14r ( cos2 )d

Ixo =



 



^2

0 14

12 4

14r  sin2

Ixo = 14r⁴( 0)(00) Ixo = ¼ r⁴

Momen inersia penampang lingkaran terhadap sumbu yang melalui pusat lingkaran akan bernilai sama yaitu ¼ r⁴.

Sehingga : Iyo = ¼ r⁴ Ipo = Ixo + Iyo Ipo = ¼ r⁴ + ¼ r⁴ Ipo = ½ r⁴

Apabila sumbu x atau sumbu y merupakan sumbu simetri penampang maka Ixy = 0 Dengan demikian untuk penampang lingkaran Ixyo = 0.

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 15 Contoh 2.4

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang setengah lingkaran dengan jari- jari r terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang.

y

d dA 

d 

x Penyelesaian :

Momen inersia penampang setengah lingkaran terhadap sumbu x, prinsipnya sama dengan momen inersia lingkaran penuh terhadap sumbu x. Kalau pada lingkaran penuh batas-batas sudutnya dari  = 0 sampai  = 2, namun pada penampang setengah lingkaran batas-batas sudutnya dari  = 0 sampai  = .

Ix =



^y2dA

Ix = ^  dd

r

. . sin

0 0

2



2

Ix = ^  dd

r

. . sin

0 0

2



3

Ix = ^



^{  }

6 2 0 4

14 sin .d

r

Ix =



^{   }

0 12 12 4

14r ( cos2 )d

Ix =



^{ }



^

0 14

12 4

14r  sin2

Ix = ¹₄r⁴(¹₂ 0)(00) Ix = ¹₈r⁴

Selanjutnya dengan Persamaan 2.5. dapat dihitung Ixo sebagai berikut : Ix = Ixo + Ay’²

4

18r = Ixo +

2 2 12

3 4 



 





r ^r Ixo = ¹₈r⁴-

2 2 12

3 4 



 





r ^r Ixo = ¹₈r⁴-

 9 8r⁴

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 16

Ixo = _



 

 18 ₂ 4

9 8

r 

Momen inersia terhadap sumbu y : Iy =



^x2dA

Iyo = ^   dd

r

. . . cos²

0 0



2

Iyo = ^   dd

r

. . cos

0 0

2



3

Iyo = ^{ }



^{ }

6 2

0 4

14 cos .d

r

Iyo =



^{   }

0 12 12 4

14r ( cos2 )d

Iyo =



 



^

0 14

12 4

14r  sin2

Iyo = 4[(12 0) (0 0)]

14r    

Iyo = ¹₈r⁴ Ipo = Ixo + Iyo

Ipo = _



 

 18 ₂ 4

9 8

r  + ¹₈r⁴

Ipo = _



 

 ¹_{4 2}

4

9 8

r 

Karena sumbu y merupakan sumbu simetris, maka Ixyo = 0

Rangkuman momen inersia penampang sederhana (umum) yang telah dibahas diatas dapat dilihat pada Tabel 2.1. Momen inersia ini dapat dipakai untuk menyelesaikan momen inersia penampang gabungan (komposit).

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 17 Tabel 2.1 Momen Inersia Bidang Datar Penampang Umum

segiempat

Y

h x O

b

Ix = ¹₁₂bh ³ Iy = 112b³h

Ip = 112(bh³ b³h) Ixy = 0

segitiga

y b/3 h

h/3

O x

b

Ix = ¹₃₆bh ³ Iy = ¹₃₆b³h

Ip = ¹₃₆(bh³ b³h) Ixy = ¹₇₂b²h²

lingkaran

y

D = 2r x

O

Ix = 14r⁴ Iy = 14r⁴ Ip = 12r⁴ Ixy = 0

setengah lingkaran

Y

4r/3

O

y 2 r

Ix = _



 

 18 ₂ 4

9 8

r  Iy = ¹₈r⁴

Ip = _



 

 14 ₂ 4

9 8

r  Ixy = 0

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 18 4. Contoh soal penampang komposit

Contoh 2.5

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang baja siku terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang.

12,7 mm 152 mm

12,7 mm 102 mm

Penyelesaian :

1. Hitung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada contoh 1.4.

2. Gambarkan salib sumbu x dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut:

y

12,7 mm 1

152 mm x O 12,7 mm

50,22 mm

2 102 mm

25,22 mm

3. Bagi penampang menjadi bidang 1 dan bidang 2 seperti pada gambar.

4. Hitung momem inersia terhadap sumbu x sebagai berikut : Ix = Ixo + Ay’²

Ix = ¹₁₂.12,7.152³ 12,7.152.(7650,22)² ¹₁₂.89,3.12,7³ 89,3.12,7.(50,226,35)² Ix = 3716663,467 + 1282960,055 + 15243,383 + 2182681,908 = 7197548,813 mm⁴ 5. Hitung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut :

Iy = Iyo + Ax’²

Iy =¹₁₂.12,7³.15212,7.152.(25,226,35)² ¹₁₂.89,3³.12,789,3.12,7.(57,3525,22)² Iy = 25946,185 + 687370,848 + 753662,404 + 1170783,602 = 2637763,093 mm⁴ 6. Hitung momen inersia polar sebagai berikut :

Ip = Ix + Iy

Ip = 7197548,813 + 2637763,093 = 9835311,906 mm⁴

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 19 7. Hitung momen inersia perkalian sebagai berikut :

Menghitung momen inersia perkalian, perhatikan tanda jarak, jarak dapat bertanda negatip sesuai dengan posisinya pada salib sumbu. Hal ini berbeda dengan perhitungan Ix dan Iy yang mana jarak dipangkatduakan sehingga tetap bertanda positif.

Ixy = Ixyo + Ax’y’

Ixy = 0 + 12,7. 152. [-(25,22- 6,35).(76- 50,22)]

+ 0 + 89,3.12.7.(57,35-25,22)[-(50,22-6,35)]

= - 939078,985 - 1598576,925 = - 2537655,91 mm⁴

Contoh 2.6

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang tergambar terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

25 mm

225 mm

25 mm 150 mm 25 mm Penyelesaian :

1. Hitung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada contoh 1.5.

2. Gambarkan salib sumbu x dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut :

y

1 25 mm 99,04 x 2 2

225 mm 150,96

25 mm 150 mm 25 mm

3. Bagi penampang menjadi 3 bagian yaitu bidang1 dan 2 bagian bidang 2 seperti pada gambar.

4. Hitung momem inersia terhadap sumbu x sebagai berikut : Ix = Ixo + Ay’²

Ix1 = ¹₁₂.200.25³ 200.25.86,54² = 37706274,67 mm⁴ Ix2 = 2.112.25.225³2.25.225.38,46² = 64101618,00 mm⁴ +

Ix = 101807892,67 mm⁴

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 20 5. Hitung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut :

Iy = Iyo + Ax’²

Iy1 = 112.200³.250 = 16666666,67 mm⁴ Iy2 = 2.112.25³.2252.25.225.87,5² = 86718750,00 mm⁴ +

Iy = 103385416,67 mm⁴ 6. Hitung momen inersia polar sebagai berikut :

Ip = Ix + Iy

Ip = 101807892,67 + 103385416,67 = 205193309,34 mm⁴ 7. Hitung momen inersia perkalian sebagai berikut : Ixy = Ixyo + Ax’y’

Ixy1 = 0 + 0 = 0

Ixy2 = 25.225.(- 87,5)(- 38,46) + 25.225.(87,5)(- 38,46) = 0 Ixy = Ixy1 + Ixy2 = 0

Momen inersia perkalian akan bernilai 0 apabila salah satu sumbu yang melalui titik berat penampang adalah sumbu simetri.

Contoh 2.7.

Penampang seperti tergambar dibawah, O adalah titik berat penampang. Hitung a supaya Ix = Iy

y

10 mm

x 200 mm O

10 mm 120 10 a 10 120 mm

Penyelesaian

Ix = 4(¹₁₂.120.10³ + 120. 10. 105² ) + 2. ¹₁₂.10. 220³ Ix = 52960000 + 17746666,67 = 70706666,67 mm⁴

Iy = 4[¹₁₂.10.120³ + 10.120 (70 + ¹₂a)²] + 2.¹₁₂.10³.220 + 2.10.220 (5+¹₂a)²

Iy = 4[1440000 + 1200 (4900 + 70a + 0,25 a²)] + 36666,67 + 4400 (25 +5a + 0,25 a²) Iy = 5760000 + 23520000 + 336000a + 1200 a² + 36666,67 + 110000 + 22000a + 1100a²

Iy = 2300 a² + 358000a + 29426666,67 Ix = Iy

70706666,67 = 2300 a² + 358000a + 29426666,67 2300 a² + 358000a – 41280000 = 0

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 21 a² + 155,65 a – 17947,83 = 0

a12 =

2

83 , 17947 . 4 65 , 155 65

,

155  ² 



a1 =

2

86 , 309 65 ,

155 

 = 77,105 mm

Maka nilai a = 77,105 mm Soal-soal :

1. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang trapezium berikut ini : 50 mm

120 mm

90 mm

2. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang kombinasi segi empat dengan setengah lingkaran berikut ini :

60 mm

60 mm

120 mm

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 22 3. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang berikut ini :

10 mm 80 mm 10 mm

120 mm

5. Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama

Sumbu utama adalah sumbu yang saling tegak lurus dan akan memberikan momen inersia, I maksimum dan I minimum pada suatu penampang. Pada komponen struktur yang mengalami gaya aksial/normal tekan maka kecenderungannya batang akan tertekuk terhadap sumbu dengan momen inersia yang paling lemah (minimum).

Dengan demikian penentuan sumbu utama dan momen inersia utama menjadi penting.

y y’

y sin 

x dA x’

y cos  y’

y x’

 x cos 

x sin 

 x

Gambar 2.3 Sumbu Utama

Sumbu x dan sumbu y diputar sehingga menjadi sumbu x’ dan dan sumbu y’ dengan sudut putar sebesar . Dengan demikian dapat diperoleh hubungan sebagai berikut :

x’ = x cos  + y sin  y’ = y cos  - x sin  Ix’ =



^y'2dA

Ix’ =



^{(ycos xsin)2dA}

Ix’ = Ix cos² + Iy sin² - 2 Ixy sin cos

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 23 Iy’ =



^x'2dA

Iy’ =



^{(xcos ysin)2dA}

Iy’ = Iy cos² + Ix sin² + 2 Ixy sin cos

Ix’y’ =



^{x ''y dA}

Ix’y’ =



(x cos  + y sin )(y cos  - x sin ) dA Ix’y’ = (Ix –Iy) sin  cos  + Ixy (cos² - sin²) Catatan :

sin 2 = 2 sin cos

cos 2 = cos² - sin² cos² = ¹₂+¹₂cos 2

sin² = ¹₂-¹₂cos 2

Ix’ = Ix (¹₂+¹₂cos 2) + Iy (¹₂-¹₂cos 2) - Ixy sin2

Ix’ = ¹₂Ix + ¹₂Ix cos 2 + ¹₂Iy - ¹₂Iy cos 2 - Ixy sin2

Ix’ = cos2 sin2

2

2 ^xy

y x y

x I I I I

I  

 

(2.9) Dengan cara yang sama dapat ditentukan Iy’ dan Ix’y’ sebagai berikut :

Iy’ = cos2 sin2

2

2 ^xy

y x y

x I I I I

I  

 

(2.10) Ix’y’ = sin2 cos2

2 ^xy

y

x I I

I  

(2.11) Dari Persamaan 2.9.

Ix’ - cos2 sin2

2

2 ^xy

y x y

x I I I I

I  

 

(2.12) Persamaan 2.11 dan Persamaan 2.12 masing-masing dikuadratkan kemudia dijumlahkan sehingga diperoleh :

2 2 2

' ' 2

' 2 2 ^xy

y x y

x y

x

x I I I

I I

I I  



 



 

 



 



 

 (2.13)

Persamaan 2.13 adalah persamaan lingkaran dengan bentuk (x-a)² + y² = r²

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 24 Ix’y’

r

Ix’

O N C M

a

Gambar 2.4 Lingkaran dengan Salib Sumbu Ix’ dan Sumbu Ixy’

Dari Gambar 2.4. diatas dapat ditentukan Momen inersia maksimum dan momen inersia minimum

Imaks = OM = OC +CM Imin = ON = OC – CM Sehingga :

2 2

2

2 ^xy

y x y

x

maks I I I I I

I  

 



 

 



2 2

min 2 2 ^xy

y x y

x I I I I

I I  



 



 

 



Pada saat terjadi Imaks dan Imin maka Ix’y’ = 0, sehingga dari Persamaan 2.11 diperoleh:

0 2 cos 2

2 sin  

 ^y  _xy 

x I I

I

y x

xy

I I tg I

 

 2

2

http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 25 Contoh 2.8

Penampang seperti tergambar,

1. Tentukan Ix, Iy, Ixy terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

2. Tentukan sumbu utama dan momen inersia utama y

10 mm

x 100 mm

10 mm 60 mm 10 mm 60 mm

Penyelesaian :

Ix = ¹₁₂.60.10³ + 60.10.55² + ¹₁₂.10.120³ + 120.10. 0² + ¹₁₂.60.10³ + 60.10.(-55)² Ix = 5,08.10⁶ mm⁴

Iy = ¹₁₂.10.60³ + 60.10.(-35)² + ¹₁₂.120.10³ + 120.10.0² + ¹₁₂.10.60³ + 10.60.35² Iy = 1,84. 10⁶ mm⁴

Ixy = 60.10.(55)(-35) + 120.10.(0)(0) + 60.10.(-55)(35) Ixy = -2,31. 10⁶ mm⁴

Momen inersia utama :

2 2

2

2 ^xy

y x y

x

maks I I I I I

I  



 



 

 





⁶



²

6 2 6

6 6

10 . 31 , 2 2

10 . 84 , 1 10 . 08 , 5 2

10 . 84 , 1 10 . 08 ,

5   

 



 

 

maks  I

Imaks = 6,281. 10⁶ mm⁴

2 2

min 2 2 ^xy

y x y

x I I I I

I I  



 



 

 



http://mahasiswasipilunila.wordpress.com 26



⁶



²

6 2 6

6 6

10 . 31 , 2 2

10 . 84 , 1 10 . 08 , 5 2

10 . 84 , 1 10 . 08 ,

5   

 



 

 

maks  I

Imin = 0,639. 10⁶ mm⁴ Sumbu Utama

y x

xy

I I tg I

 

 2

2

4259 , 10 1 . 84 , 1 10 . 08 , 5

) 10 . 31 , 2 (

2 2 _{6 6}

6 



 

  tg

 = 27,48 (berlawanan jarum jam) sumbu min y

sumbu maks

27,48 x