METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ]

(1)

1

METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [ , ]

Zulfaneti dan Rahimullaily*

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumbar

Abstract: There is a value of Riemann integral from a function that cannot be calculated. In this case, approximate method can be used to interpret the value.

One of the approximate method of integral Riemann is tangent line method that is a compound method between the sum of Riemann and trapezoid method. The tangent line method uses the tangent line approach. In this writing, the topic discussed is the tangent line method in deciding the approximacy of Riemann integral of a function.

Kata kunci : Riemann integral, approximate method, sum of Riemann, trapezoid method, tangent line method

(2)

2 1. Metode Garis Singgung

Misal f suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup I = [a,b]dan mempunyai

turunan di I. P adalah suatu partisi I memakai titik – titik x0 = a < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b. Untuk setiap i = 1, 2, …, n, misalkan

∈ = [ , ], ∆ = − , dan panjang P ditulis ‖ ‖ didefinisikan

‖ ‖ = maks ∆ . Suatu persamaan garis singgung dari y = f(x) yang melalui titik (ξi,f(ξi)) adalah

g( ) = = ( ) + ( )( − )

Titik potong garis g dengan garis x = xi-1 dan x = xi adalah , ( ) + ( )( − ) dan , ( ) + ( )( − ) .

Y

(ξi, f(ξi))

g(x) y = f(x) a x_i-1ξ_ix_i b X

∆

Gambar 1. Hampiran integral tentu dengan metode garis singgung

Berdasarkan Gambar 1, daerah yang dibatasi oleh garis

= g( ) = ( ) + ′( )( − ), x = xi-1, x = xi, dan y = 0 berbentuk trapesium yang luasnya

_;[ _{, ]}=1

2 ( ) + ( )( − ) + ( ) + ( )( − ) ∆

= ( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆

Jumlah luas _;[ _{, ]}untuk semua i = 1, 2, …, n adalah ;[ , ]= ;[ , ] = ( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆ Jika _{;[ , ]} mempunyai limit untuk n menuju tak terhingga (sama artinya dengan

‖ ‖ menuju 0), maka fungsi f terintegralkan dalam metode garis singgung pada I.

Definisi 1

Misalkan fungsi f kontinu pada selang tertutup I = [ , ], mempunyai turunan di , dan a = x₀ < x₁< x₂< … < x_n-1< x_n= b adalah suatu partisi , tulis P. Untuk setiap i = 1, 2, …, n, misalkan ∈ = [ , ], ∆ = − , dan panjang P ditulis ‖ ‖ didefinisikan ‖ ‖= maks ∆ . Jika

( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆ . . . 1

(3)

3 memiliki limit n menuju tak terhingga (sama artinya dengan ‖ ‖ menuju 0) maka limit tersebut disebut integral garis singgung dan f terintegralkan dalam metode garis singgung f pada I, ditulis

[ , ] = lim

→ ( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆ … 2

Definisi 2

Fungsi f yang terdefinisi pada satu titik a maka ∫_{[ , ]} = 0.

Misalkan ∫_{[ , ]} maka ∫_{[ , ]} = − ∫_{[ , ]} .

Dalam hal ini ∫[ , ] menyatakan batas integrasinya dari b ke a, bukan integral pada [b,a].

Teorema 3

Misalkan ∫_{[ , ]} dan ∫_{[ , ]} dan misalkan C1 dan C2 sebarang konstanta, maka:

(i) _∫_{[ , ]} dan _∫_{[ , ]}

(ii) ∫_{[ , ]}( + )= ∫[ , ] + ∫[ , ]

Bukti:

(i) Menurut Definisi 1, maka

[ , ] = lim

→ ( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆ Jika kedua ruas dikalikan C1, maka

_{[ , ]} = lim

→ ( ) +1

2 ′( )( + − 2 ) ∆

= lim

→ ( ) +1

2 ′( )( + − 2 ) ∆

=

[ , ]

Hal yang sama untuk membuktikan ∫_{[ , ]}

(ii) Menurut Definisi 1, maka

( + )

[ , ]

= lim

→ ( ) + ( ) +1

2 ( ) + ( ) ( + − 2 ) ∆

= lim

→ ( ) +1

2 ′( )( + − 2 ) ∆

+ lim

→ ( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆

(4)

4

= _{[ , ]} + _{[ , ]}

2. Kaitan Metode Garis Singgung dengan Integral Riemann dan Metode Trapesium

(i) Misalkan f sebarang fungsi kontinu pada selang tertutup = [ , ] dan mempunyai turunan di I, dan misalkan = ( + ) dengan i = 1, 2,

…, n maka

[ , ] = _{[ , ]} Bukti:

Misalkan f sebarang fungsi kontinu pada selang tertutup = [ , ] dan mempunyai turunan di I, dan misalkan = ( + ) dengan i = 1, 2,

…,n maka diperoleh + − 2 = 0.

Menurut Definisi 1 maka

[ , ] = lim

→ ( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆

= lim

→ ( ) +1

2 ( )(0) ∆

= lim

→ ( ) ∆ =

[ , ]

(ii) Misalkan ( )= + dengan t dan s merupakan konstanta dan sebarang dengan i = 1, 2, …,n, maka

[ , ] = _{[ , ]} Bukti :

Misalkan ( ) = + dengan t dan s merupakan konstanta, f(x) fungsi polynomial maka f(x) kontinu pada setiap bilangan riil, dan mempunyai turunan yaitu

( ) = ( + ) = ( ) + ( ) = ( ) + 0 =

untuk semua x di I = [a,b]. Misalkan juga sebarang dengan i = 1, 2,

…,n, sehingga menurut Definisi 1

[ , ] = lim

→ ( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆

= lim

→ ( + ) +1

2 ( + − 2 ) ∆

= lim

→ 1

2 ( + ) + (t + ) ∆

(5)

5

= lim

→

1

2 ( ) + ( ) ∆

= _{[ , ]}

(iii) Misalkan f merupakan fungsi konstan dan misalkan sebuah titik sampel sebarang dari Ii yaitu dengan i = 1, 2, …,n, maka

[ , ] = _{[ , ]} Bukti :

Misalkan f merupakan fungsi konstan. Fungsi konstan merupakan fungsi polynomial, maka kontinu pada setiap bilangan riil akibatnya turunan dari f yaitu ’( ) = 0. Misalkan juga sebarang dengan i = 1, 2, …,n. Menurut Definisi 1, maka

[ , ] = lim

→ ( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆

= lim

→ ( ) +1

2(0)( + − 2 ) ∆

= lim

→ ( )∆

= _{[ , ]} Teorema 4

Jika fungsi f terintegralkan ∫_{[ , ]} maka fungsi f terintegralkan ∫_{[ , ]} Bukti:

Fungsi f terintegralkan _∫_{[ , ]} . Menurut Definisi 1 _{[ , ]} = lim

→ ( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆

= lim

→ ( )∆ + 1

2 ′( ) ( + − 2 ) ∆

= lim

→ ( )∆ + lim

→

1

2 ′( ) ( + − 2 ) ∆ Karena nilai lim

→ ∑ ( ) ( + − 2 )∆ = 0 maka diperoleh

_{[ , ]} = lim

→ ( )∆ + 0

= lim

→ ( )∆

= _{[ , ]} Pembuktian lim

→ ∑ ( ) ( + − 2 )∆ = 0

→ ∞ sama artinya dengan ‖ ‖ → 0, sehingga

(6)

6 lim→

1

2 ( )( + − 2 )∆ = lim

‖ ‖→

1

2 ( )( + − 2 )∆

= lim

‖ ‖→

1

2 ( )( + − 2 )∆ +1

2 ( )( + − 2 )∆ + ⋯

+1

2 ( )( + − 2 )∆

= lim

‖ ‖→

1

2 ( )( + − 2 )∆

= 1 2 lim

‖ ‖→ ( ) ∙ lim

‖ ‖→ ( + − 2 ) ∙ lim

‖ ‖→ ∆ = 0 Akan dibuktikan lim

‖ ‖→ ( + − 2 ) = 0. Ambil > 0 dan pilih δ = > 0 maka, 0 < ‖ ‖ < berarti

| + − 2 | = | + − 2 | = | − + − |

≤ | − | + | − |

≤ 2‖ ‖

≤ 2 ∙

2= 0 < ‖ ‖ < ⇒ | + − 2 | <

Teorema 5

Jika fungsi f terintegralkan ∫_{[ , ]} dan mempunyai turunan pada [ , ], maka fungsi f terintegralkan _∫_{[ , ]}

Bukti:

Fungsi f terintegralkan ∫_{[ , ]} , maka

[ , ] = lim

n→ ( )∆

Fungsi f mempunyai turunan pada [a,b]. Misalkan ∈ [ , ], maka turunan fungsi f ada nilainya pada (dengan kata lain ′( ) ada). akibatnya f kontinu pada [ , ].

Kedua ruas pada 3 ditambah dengan lim→

1

2 ′( ) ( + − 2 )∆

maka

[ , ] + lim

→

1

2 ′( ) ( + − 2 )∆

= lim

n→ ( )∆ + lim

→

1

2 ′( ) ( + − 2 )∆

= lim

→ ( )∆ + 1

2 ′( ) ( + − 2 ) ∆

= lim

→ ( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆

(7)

7

= _{[ , ]} Pada Teorema 4 telah dibuktikan bahwa

lim→

1

2 ′( ) ( + − 2 )∆ = 0

sehingga diperoleh

[ , ] + lim

→

1

2 ( )( + − 2 )∆ = _{[ , ]} + 0 = _{[ , ]}

Teorema 6

Misalkan f suatu fungsi yang terintegralkan ∫_{[ , ]}

(i) jika < ( + ), ′( ) > 0 atau > ( + ), ′( ) < 0 untuk setiap Ii dengan i = 1, 2, …, n maka

( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆ > ( )∆

dengan kata lain, nilai hampiran integral tentu dari fungsi f menggunakan dengan metode garis singgung lebih besar dibandingkan dengan nilai hampiran jumlah Rieman.

(ii) jika > ( + ), ′( ) > 0 atau < ( + ), ′( ) < 0 untuk setiap Ii , i = 1, 2, …, n maka

( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆ < ( )∆

dengan kata lain, nilai hampiran nilai integral tentu dari fungsi f menggunakan hampiran jumlah Riemann besar dibandingkan dengan nilai hampiran dengan metode garis singgung.

Bukti:

(i) Perhatikan bahwa <1

2( + ) atau 1

2( + ) >

sehingga 1

2( + ) − > − atau 1

2( + − 2 ) > 0 dan ′( ) > 0 maka ′( ) ⋅ ( + − 2 ) > 0 sehingga

( )∆ + ′( ) ⋅ 1

2( + − 2 )∆ > ( )∆

( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆ > ( )∆

(ii) Perhatikan bahwa >1

2( + ) atau 1

2( + ) < atau 1

2( + − 2 ) < 0

dan ′( ) > 0 maka ( ) ⋅ ( + − 2 ) < 0 sehingga

(8)

8 ( )∆ + ′( ) ⋅ 1

2( + − 2 )∆ < ( )∆

( ) +1

2 ( )( + − 2 ) ∆ < ( )∆

3. Contoh Perhitungan Hampiran Integral Tentu dengan Metode Garis Singgung

Telah diketahui bahwa terdapat 3 jenis fungsi yang dapat terintegralkan Riemann pada selang tertutup [a,b] dan menurut Teorema 5 maka fungsi tersebut harus memiliki turunan pada [a,b] untuk dapat diintegralkan dengan metode garis singgung. Pada bagian ini akan dibahas contoh dari 3 jenis fungsi tersebut dan satu contoh yang sulit diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Penyelesaian hampiran integral tentu dari fungsi diselesaikan dengan bantuan komputer menggunakan software Matlab versi 5.3.1.

Misalkan ξi = (2 xi-1+ xi)/3 dengan i = 1, 2, …, n, sehingga

< ( + ) dan misalkan ∆ = ∆ = ⋯ = ∆ sehingga ∆ = dengan i = 1, 2, …, n

4. Fungsi Polinom

Perhatikan beberapa contoh berikut:

a. Mencari suatu nilai hampiran integral tentu berikut:

( − 3)

dengan n = 100, kemudian hasilnya dibandingkan dengan jumlah Riemann dan metode trapesium.

Penyelesaian:

Misalkan ( ) = − 3, maka

( ) = ( − 3) = ′( ) − ′(3) = ′( ) − ′(3) = 4 − 0 = 4 Karena ( ) memiliki turunan pada [1,4], maka hampiran dari ∫ ( − 3) dapat dihitung menggunakan metode garis singgung, dan ′( ) > 0

Nilai eksak berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus

− 3 =1

5( ) − 3 = 195.6000

 menggunakan (1) dalam metode garis singgung dengan n = 100 maka

∫ ( − 3) ≈ 195.5874

 menggunakan jumlah Riemann dengan n = 100 maka

∫ ( − 3) ≈ 194.3187

 menggunakan metode trapesium dengan n = 100 maka

∫ ( − 3) ≈ 195.6189 Dengan

(9)

9

̅ metode garis singgung = ^| ^. ^. ^|

| . | = 6.4417 × 10

̅ jumlah Riemann = ^| ^. ^. ^|

| . | = 660 × 10

̅ metode trapesium = ^| ^. ^. ^|

| . | = 9.6625 × 10

̅ metode garis singgung < _̅ metode trapesium < _̅ jumlah Riemann dan disimpulkan bahwa nilai hampiran dengan metode garis singgung lebih baik dari nilai hampiran jumlah Riemann dan metode trapesium.

b. Mencari suatu nilai hampiran integral tentu berikut:

| |

Penyelesaian:

Misalkan ( ) = | |, tetapi ( ) tidak memiliki turunan di x = 0, maka f’(0) dihitung dengan

(0) =

→

( ) − (0)

− 0 =

→

| | − |0|

= →

| | Limit ini tidak ada karena

→

| |=

→ = 1

sedangkan

→

| |=

→

− = −1

maka nilai hampiran dari _{∫ | |} tidak dapat dihitung dengan metode garis singgung

c. Fungsi Sinus dan Cosinus

Mencari suatu nilai hampiran integral tentu berikut:

sin

Penyelesaian:

Misalkan ( ) = sin maka ( ) = cos

Karena ( ) memiliki turunan pada [0, ], maka hampiran dari ∫ sin dapat dihitung menggunakan metode garis singgung, dan ′( ) > 0

Nilai eksak

sin = −cos | = 1

 Menggunakan dalam (1) metode garis singgung dengan n = 10 maka

∫ sin ≈ 1.0014

 menggunakan jumlah Riemann dengan n = 10 maka ∫ sin ≈ 0.9745

(10)

10

 menggunakan metode trapesium dengan n = 10 maka ∫ sin ≈ 0.9979 dengan

̅ metode garis singgung = ^| ^. ^|

| | = 0.0014

̅ jumlah Riemann = ^| ^. ^|

| | = 0.0255

̅ metode trapesium = ^| ^. ^|

| | = 0.0021

̅ metode garis singgung < _̅ metode trapesium < _̅ jumlah Riemann dan disimpulkan bahwa nilai hampiran dengan metode garis singgung lebih baik dari nilai hampiran jumlah Riemann dan metode trapesium.

d. Fungsi rasional

Mencari suatu nilai hampiran integral tentu berikut:

1 +

dengan n = 100, kemudian hasilnya dibandingkan dengan hampiran jumlah Riemann dan metode trapesium.

Penyelesaian:

Misalkan ( )= , maka ( ) = −

Karena ( ) memiliki turunan pada [2,4], maka hampiran dari ∫ dapat dihitung menggunakan metode garis singgung, dan ′( ) < 0

Nilai eksak

1 + = ln( ) + | = 2.6931

 menggunakan dalam (1) metode garis singgung dengan n = 100 maka

∫ ≈ 2.6931

 menggunakan jumlah Riemann dengan n = 100 maka

∫ ≈ 2.6940

 menggunakan metode trapesium dengan n = 100 maka

∫ ≈ 2.6932

Dengan

̅ metode garis singgung = ^{| .} ^. ^|

| . | = 0

̅ jumlah Riemann = ^{| .} ^. ^|

| . | = 0.00033419

̅ metode trapesium = ^{| .} ^. ^|

| . | = 0.000037132

̅ metode garis singgung < _̅ metode trapesium < _̅ jumlah Riemann dan disimpulkan bahwa hampiran nilai dengan metode garis singgung lebih baik dari hampiran jumlah Riemann dan metode trapesium.

e. Contoh Integral Tentu Suatu Fungsi yang Sulit Diselesaikan dengan Teorema Dasar Kalkulus

(11)

11 sin

Menggunakan metode garis singgung dengan n = 100 maka sin ≈ 0.1528