BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI. Andaikan anda menghadapi suatu integral tak tentu. Jika ini bentuk baku

BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI

8.1. Integral dengan Substitusi

Andaikan anda menghadapi suatu integral tak tentu. Jika ini bentuk baku maka cukup tuliskan jawabannya. Jika tidak, cari tahu substitusi yang akan

mengubahnya ke dalam bentuk baku. Jika substitusi pertama yang anda coba tidak berhasil, cobalah yang lain. Keterampilan dalam hal ini akan terlatih bila anda banyak latihan.

Contoh 1:

Carilah

∫

^dx

x x

) ( cos^{2 2} Jawab:

Perhatikan integral tersebut sejenak, karena sec ( ) )

( cos

1 ₂

2 x

x

= maka anda

diingatkan pada bentuk baku

∫

^{sec2(u) du.}

Andaikan u = x² maka du = 2x dx

∫

_cos^2x_(x²₎ ^dx= ₂¹

∫

^{sec2(u) du=} ₂^{1tan(u)+C =} ₂^1tan(x2)+C

Dengan Derive:

Int_subst(y(x), x, u(x)) adalah integrasi substitusi y = f(x) dengan mensubstitusikan x oleh u(x)..

Tulislah: Int_subst(

) ( cos² x²

x , x, x² ) enter, sama dengan.

Klik f4, lalu tulis: + C enter.

Contoh 2:

Carilah

∫

₋ ^dx

x² 9 5

3

Jawab:

Ingatlah bentuk

∫

₋ ^du

u a

du

2 2

Andaikan u = 3x maka du = 3 dx

∫

₋ ^dx

x² 9 5

3 = x C

u C u

du = + = +

−

−

∫

− ⁾

5 (3 sin )

5 ( sin 5

1 1

2

Dengan Derive:

Tulislah: Int_subst( x x x

3 , , 9 5

3

− 2 ) enter, sama dengan.

Klik f4, lalu tulis: +C enter

Contoh 3:

Hitunglah

∫

⁵t t ⁻ dt

2

2 4

Jawab:

Andaikan u = t²-4 maka du = t dt

Perhatikan untuk t = 2 maka u = 0 dan t = 5 maka u = 21

dt t

∫

⁵t ⁻

2

2 4 = (21) 32,08

3 ) 1 3 (2 2 1 2

1 ²¹ _3/2

0 2 / 3 21

0

]

[

^{= =}

∫

^{u du} = ^u

Dengan Derve:

Tulislah: t t² −4 enter,

Klik icon integral, aktifkan definite, masukkan lower limitnya 2 dan upper limitnya 5, lalu klik OK.

Soal-Soal Latihan

Hitunglah integral yang ditunjukkan.

1.

∫

^{(x+2)5 dx}

2.

∫

^{x(x2 +1)5 dx}

3.

∫

2 _{+ 4}

x dx

4.

∫

^{6z 4+z2 dz}

5. dx

y

∫

₋y ₄

9 16

6. dt e e

t

∫

₋³t ₆

4

7. dx

x e

x ^x

∫

⁺

) sec(

) (

sec^{3 sin( )}

8. dx

z

∫

_cos^tan(2₍z⁾₎

9. dt

t

∫

^sin( t⁾

10. dx

x x

∫

³x²₊⁺₁²

11. dx

x

∫

^sin(ln(4x²⁾⁾

12. dx

e e

x

∫

₋x₂

1 6

13. ³

∫

^/4 ₊

0

2( ) sin 1

)

cos( dx

x x

14.

∫

¹

0

3 2

. t dt t

15.

∫

^/6

0 )

2cos(

π

x dx

16.

∫

^/2 ₊

0

2( ) cos 16

)

π sin(

x dx x

17.

∫

¹ ₊^{− −−}

0

2 2

2 2

e dx e

e e

x x

x x

8.2. Beberapa Intergral Trigonometri

Bila kita mengkombinasikan metode substitusi dengan pemakaian esamaan trigonometri yang tepat, maka kita dapat mengintegralkan banyak bentuk

trigonometri. Tinjaulah jenis integral berikut.

1.

∫

^sinn(x⁾ dx dan

∫

^cosn(x⁾ dx

2.

∫

^sinm(x^{) sinn(}x⁾ dx

3.

∫

^sin(mx^)cos(nx⁾ dx^,

∫

^sin(mx^)sin(nx⁾ dx^, dan

∫

^cos(mx^)cos(nx⁾ dx

Contoh 4:

Carilah

∫

^{sin5(x) dx}

Jawab:

∫

^{sin5(x) dx =}

∫

^{sin4(x)sin(x) dx=}

∫

^{(1−cos2(x))2sin(x) dx}

=

∫

^{(1−2cos2(x)+cos4(x))sin(x) dx}

Misalkan u = cos(x) maka du = -sin(x) dx

∫

^{sin5(x) dx =}

∫

^{(1−2cos2(x)+cos4(x))sin(x) dx= −}

∫

^{(1−2u2 +u4) du}

= −u+ u − u +C =− x + x − cos (x)+C 5

) 1 ( 3cos ) 2 5 cos(

1 3

2 _{3 5 3 5}

Dengan Derive: Int_subst(sin⁵(x), x, cos(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Contoh 5:

Carilah

∫

^{sin4(x) dx}

Jawab:

∫

^{sin4(x) dx =}

∫

_^{ −1 cos(}₂ ^2x)_^{ dx=} ₄¹

∫

^{(1+2cos(2x)+cos2(2x)) dx}

2

= ₄¹

∫

^dx+₄¹

∫

^{2cos(2x) dx+}₈¹

∫

^{(1+cos(4x)) dx}

=

∫

^dx+

∫

^{x dx+}

∫

^{4cos(4x)) dx}

32 ) 1

2 cos(

4 2 1 8

3

= x+ x + sin(4x)+C 32

) 1 2 4sin(

1 8 3

Dengan Derive: Int_subst(sin⁴(x), x, cos(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Contoh 6:

Carilah

∫

^{sin2(x)cos4(x) dx}

Jawab:

∫

^{sin2(x)cos4(x) dx =}

∫

∫

_^{ −1 cos(}₂ ^2x)_^{ +}_^{ +1 cos(}₂ ^2x)_^{ dx=}₈^{1 (1+cos(2x)−cos2(2x)−cos3(2x)) dx}

2 2

∫

^{+ − + − −}

= x (1 cos(4x)) (1 sin (2x))cos(2x)) dx 2

) 1 2 cos(

2 1 8 (

1 ₂

∫

^{− +}

= cos(4x) sin (2x)cos(2x)) dx 2

1 2 1 8

1 ₂

C x x

x +



 − +

= sin (2 )

6 ) 1 4 8sin(

1 2 1 8

1 ₃

Dengan Derive:Int(sin²(x)cos⁴(x), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Tunjukkan bahwa

1. 



 



 +

−

−

=

− +

−

3 1 3

) ( sin ) 2 5 cos(

) ( ) cos

( 5cos ) 1 ( 3cos ) 2 cos(

2 5

5

3 x

x x x

x x

2. sin(4 )

32 ) 1 2 4sin(

1 8

3x+ x + x =

8 3 8

) cos(

) sin(

3 4

) ( cos )

sin(x ³ x + x x + x

3. 

 − + sin (2 )

6 ) 1 4 8sin(

1 2 1 8

1 ₃

x x

x =

16 16

) cos(

) sin(

24 ) ( cos ) sin(

6 ) ( cos )

sin(x ⁵ x + x ³ x + x x + x

−

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-8, hitunglah integral yang ditunjukkan.

1.

∫

^{sin2(x) dx}

2.

∫

^{sin3(x) dx}

3.

∫

^/2

0

) cos(

π

θ θ _d

4.

∫

− 10

10

10 ) sin(2 10 )

sin(3πx πx dx

5.

∫

^{sin5(4x)cos2(4x) dx}

6.

∫

^{cos3(3θ)sin−2(3θ) dθ}

7.

∫

^{sin(4y)cos(5y) dy}

8.

∫

^sin4(w₂^)cos2(w₂^{) dw}

Dalam soal-soal 9-10, Carilah volume benda putar bila, 9. y = x + sin(x), y = 0, x = π diputar mengelilingi sumbu-x

10. y = sin²(x²), y = 0, x = 2

π diputar menglilingi sumbu-y

8.3. Substitusi yang Merasionalkan

Bentuk akar dalam integran selalu menimbulkan kesulitan dan biasanya kita berusaha menghindarinya, seringkali substitusi yang tepat akan merasionalka integran tersebut.

Integral yang Melibatkan ⁿ ax +b Contoh 7:

Carilah

∫

₋

x x

dx

Jawab:

Misalkan u = √x maka u² = x dan 2u du = dx

∫

₋

x x

dx =

∫

_u2 ₋^u_u ^du

2 = 2ln(u-1) + C = 2ln(√x + 1) + C

Dengan Derive: Int( x c x x 1 , ,

− ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Integral yang melibatkan a −² x² , a +² x² , dan x −² a²

1. jika bentuknya a −² x² maka substitusi x = a sin(t) 2. jika bentuknya a +² x² maka substitusi x = a tan(x)

3. jika bentuknya x −² a² maka substitusi x = a sec(t) Contoh 8:

Carilah

∫

x dx

−

−

2

2

2 2

Jawab:

Misalkan x = √2 sin(t) maka dx = √2 cos(t) dt

dx

∫

x

−

−

2

2

2 2 =

∫

t t dt

−

−

2

2

2( ). 2cos( ) sin

2

2 =

∫

t dt

− 2

2 2( ) cos 2

= ²₂ ²₂

2

2

)]

cos(

) sin(

[ )]

2 2sin(

[ 1 ) 2 cos(

1

( _{− −}

−

+

= +

=

∫

+ ^{t dt t t t t t}

Dari pemisalan dipeoleh t = sin^-1( 2

x ) sehingga

cos(t) = cos(sin^-1( 2

x )) = )²

2 (

1− x = 2 ²

2

1 −x

Jadi:

dx

∫

x

−

−

2

2

2 2 = ²

2 2 1

2 2 2

1 2 ]

) 2 2 ( [sin ]

2 2 . 1 2 ) 2 (

[sin⁻ + − ₋ = ⁻ x + x −x ₋

x x x

= sin^-1(1) - sin^-1(-1) = π π π

= +

2 2

Dengan Derive: Int( 2−x² , x, √-2, √2) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Untuk gambar: Plotint( 2−x² , x, √-2, √2)

Contoh 9:

Carilah

∫

_{+ 2}

9 x dx

Jawab:

Misalkan x = 3 tan(t) maka dx = 3 sec²(t) dt

t dt

∫

x

) sec(

) ( sec²

= dt

t

∫

x

+9tan ( ) 9

) ( sec 3

2 2

= dt

t

∫

x ) sec(

) ( sec²

=

∫

^sec(t⁾ dt = ln(sec(t) + tan(t)) + C

Dari pemisalan dipeoleh tan(t) =x/3 sehingga sec(t) = 3 9+x²

Jadi,

t dt

∫

^sec_sec(²⁽x₎^{) = ln ( 9+}₃^{x +2} ₃^x) + C = ln ( 9+x +² x) - ln(3) + C

= ln ( 9+x +² x) + K

Dengan Derive: Int(

9 2

1

+x , x, c) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Contoh 10:

Carilah dx

x

∫

⁴ x ⁻

2

2 4

Jawab:

Misalkan x = 2sec(t) maka dx = 2sec(t)tan(t) dt Untuk x = 2 maka t = 0 dan untuk x = 4 maka t = π/3

x dx

∫

⁴ x ⁻

2

2 4

= t t dx

t

∫

^/3 t

0

) tan(

) sec(

2 ). sec(

2 ) tan(

π 2

=

∫

^/3 t dx

0

2( ) tan 2

π

=

∫

^/3 t dx

0

2( ) tan 2

π

=

∫

^/3 t ⁻ dx

0

2( ) 1 sec

2

π

=2[tan(t −) t]₀^π/3 = 2√3 - 3 2π

≈ 1,37

Dengan Derive:

Dengan Derive: Int(

x x² −4

, x, 2, 4) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Untuk gambar: Plotint(

x x² −4

, x, 2, 4)

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-10, hitunglah integral tak-tentu yang ditunjukkan.

1.

∫

^{x x+1 dx}

2.

∫

₊ ^dt

t t

4 3

3.

∫

_{+ 4}

t dt

4.

∫

^{t(3t+2)3/2 dx}

5.

∫

^{− dx}

x x² 4

6.

∫

2 ₊ 3/2

) 4 (x

dt

7.

∫

^{− dt}

t t

3

2 1

8.

∫

₋^{− dz}

z z 1 2

3 2

9.

∫

₋ ^dx

x x

2 2

16

10.

∫

₋ ^dt

t t 1 2

Dalam soal-soal 11 -15, hitunglah integral tentu yang ditunjukkan.

11.

∫

² ₊

1 t 4

dt

12.

∫

₊

1

0 1 dt

t t

13.

∫

³ ₋

2 2 2

1 t t

dt

14. dt

t

∫

t

−

− 3 −

2 3

2 1

15. dx

x

∫

x +

π −

π π

0 2 2

1

8.4. Integrasi Parsial

Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, dimungkinkan menggunakan substitusi ganda, yang disebut dengan integral parsial. Metode ini didasarkan pada integrasi rumus untuk turunan hasilkali dua fungsi.

Andaikan u = u(x) dan v = v(x), maka

Dx[u(x).v(x)] = u(x).v’(x) + u’(x).v(x), atau u(x)v’(x) = D_x[u(x).v(x)] - u’(x).v(x)

dengan mengintegrasikan kedua ruas persamaan diperoleh:

∫

∫

^{u(x).v'(x) dx=u(x).v(x)− v(x).u'(x) dx}

Karena dv = v’(x) dx dan du = u’(x) dx, maka dapat ditulis,

∫

^{u dv=u.v−}

∫

^{v du} (integral tak tentu)

∫

^{= −}

∫

^b

a b

a

b

a

du v v u dv

u [ . ] (integral tertentu)

Contoh 1:

Carilah

∫

^{xcos(x) dx}

Jawab:

Misalkan, u = x, maka du = dx

dv = cos(x) dx, maka v = sin(x) sehingga,

∫

^{xcos(x) dx}= x.sin(x) -

∫

^{sin(x) dx}= x.sin(x) + cos(x) +C

Dengan Derive:

Int_parts(u(x), v(x), x) adalah integrasi parsial u = u(x) dan v = v(x) yang mengandung variabel x.

1. Tulislah: Int_parts(x, cos(x), x) enter, sama dengan.

2. Klik F4, tulis + c enter.

Jadi,

∫

^{xcos(x) dx}= cos(x) + x.sin(x) + C Contoh 2:

Carilah

∫

^{x2sin(x) dx}

Jawab:

Misalkan, u = x², maka du = 2x dx

dv = sin(x) dx, maka v = -cos(x)

sehingga,

∫

^{x2sin(x) dx= -x2}.cos(x) - 2

∫

^{xcos dx}

= -x².cos(x) – 2(x.sin(x) +cos(x) +C)

= -x².cos(x) – 2x.sin(x) + 2cos(x) + K Pengerjaan dengan Derive:

1. Tulislah: Int_parts(x², sin(x), x) enter, sama dengan.

2. Klik F4, tulis + c enter.

Jadi,

∫

^{x2sin(x) dx= (2 -x2}).cos(x) – 2x.sin(x) + K

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-5, Gunakan integrasi parsial untuk menentukan integral berikut.

1.

∫

^{xex dx}

2.

∫

^{xcos(x) dx}

3.

∫

^{t t+1 dt}

4.

∫

^{arctan(x) dx}

5.

∫

^dx

x x

2

) ln(

Dalam soal-soal 6-8, Hitunglah integral tentu berikut.

6. t t dt

e

) ln(

1

∫

7.

∫

x ec x dx

2 /

6 /

2( ) cos

π

π

8.

∫

^/4x x dx

6 /

2( ) sec

π

π

Dalam soal-soal 9-12, Gunakanlah integrasi parsial dua kali untuk menghitung integral berikut.

9.

∫

^{x2ex dx}

10.

∫

^{etcos(t) dt}

11.

∫

^{sin(ln(x))xex dx}

12.

∫

^{(ln(x))3 dx}

DAFTAR PUSTAKA

Dudley, U. (1993). Reading for Calculus: Resources for Calculus collection volume 5. USA: MAA

Freese, S.F; Stegenga, D.A (1999). Calculus Concepts Using Derive for Windows.

University of HawaiiL R & D Publishing.

Kutzler, B. (2003). Introduction for Derive 6.0. Texas USA: Texas Instruments.

Sanchis, G.R. (2004). A Calculus Laboratory Manual Using Derve. Eric Digest Schiavone, P. (1997. Calculus Solutions. Scarborough, Ontario: Prentice Canada

Inc.

Schoenfeld, A.H. (1995). Student Assessment in Calculus: A Report of the NSF orking Group on Assessment in Calculus. USA: MAA

Thomas, G.B. (1985). Calculus and Analytic Geometri (terjemahan oleh Akhmad Sundjaya). Bandung: M2S.

Varberg, D; Purcell, E,J; Rigdon, S.E. (2003). Calculus 8^th Edition (Terjemahan oleh I Nyoman Susila). Erlangga Bandung.