PELUANG KEJADIAN
A. Aturan Perkalian/Pengisian Tempat
Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam a cara berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dalam b cara berbeda, kejadian ketiga dapat terjadi dalam c cara berbeda, kejadian keempat dapat terjadi dalam d cara berbeda, dan seterusnya, maka keseluruhan kejadian tersebut dapat terjadi bersama dalam:
a b c d = a x b x c x d
B. Permutasi
Permutasi dari anggota-anggota suatu himpunan adalah susunan dari semua atau sebagian anggota himpunan itu dengan memperhatikan urutan (tidak boleh merangkap; dihitung dua kali jika pasangannya dibalik). )! ( ! r n n Pr n Macam-macam permutasi
1. Permutasi n unsur dari n unsur ! ! 0 ! )! ( ! n n n n n Pn n
2. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama ! ! ! ! , , r q p n Ppqr n
3. Permutasi siklis adalah permutasi yang susunannya melingkar. )! 1 ( n P C. Kombinasi
Kombinasi dari anggota-anggota suatu himpunan adalah susunan dari semua atau sebagian anggota himpunan dengan tidak memperhatikan susunan (jika pasangannya dibalik, hanya dihitung satu kali). ! )! ( ! r r n n Cr n
D. Peluang Suatu Kejadian
Peluang kejadian A dapat simbolkan sebagai: P(A) = ) ( ) ( S n A n
E. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Jika Ac adalah kejadian bukan A, maka P(Ac) = 1 – P(A)
F. Peluang Majemuk
a. Peluang Kejadian Saling Lepas
Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas, maka berlaku P(A B) = P(A) + P(B) Contoh:
Pada pengambilan sebuah kartu pada satu set kartu bridge, tentukanlah peluang terambil kartu merah atau kartu King!
Jawab:
= 52 28
P (kartu merah atau kartu King) = 13
7 b. Peluang Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya. Sehingga P(A B) = P(A) x P(B)
Contoh:
Dua dadu dilempar bersama satu kali. Tentukanlah peluang muncul mata dadu berjumlah 8 dan 5! Jawab:
+ 8 = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} sehingga n(+8) = 5 + 5 = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} sehingga n(+5) = 4 Ruang sampel 2 dadu = 62 36
P(+8 dan +5) = 36 4 . 36 5 = 9 1 . 36 5 = 324 5
c. Peluang Kejadian Bersyarat (Tidak Saling Bebas)
Kejadian A dan B dikatakan tidak saling bebas jika kejadian A dan B dapat terjadi bersama-sama dan terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Sehingga P(A B) = P(B) x P(A/B)
Contoh:
Sebuah kantong berisi 5 kelereng merah dan 4 kelereng biru. Dua kelereng akan diambil satu per satu tanpa pengembalian. Tentukanlah peluang terambil kelereng biru pada pengambilan pertama dan pada pengambilan kedua terambil kelereng merah!
Jawab:
n(merah) = 5 n(biru) = 4
diambil 2 kelereng satu per satu tanpa pengembalian P(1 biru kemudian 1 merah) =
8 5 . 9 4 = 18 5
G. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan kejadian A dapat disimbolkan sebagai: Fh(A) = n x P(A)
Contoh:
1. Banyak bilangan ratusan dengan angka berbeda yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan bilangan tersebut lebih dari 400 adalah ....
Pembahasan:
3 5 4
Keterangan:
Tempat ratusan hanya boleh diisi dengan angka 4, 5, 6 karena harus lebih 400 sehingga yang memenuhi ada 3 angka di atas.
Tempat puluhan boleh diisi angka 1, 2, 3, 4, 5, 6. Karena diminta angkanya harus berbeda, sedangkan salah satu angka sudah menempati tempat ratusan, sehingga yang memenuhi ada 5 angka.
Tempat satuan boleh diisi angka 1, 2, 3, 4, 5, 6. Karena diminta angkanya harus berbeda, sedangkan salah satu angka sudah menempati tempat ratusan dan salah satu angka lain sudah menempati tempat puluhan sehingga yang memenuhi ada 4 angka.
Jadi, banyak bilangan tersebut = 3 x 5 x 4 = 60
2. Dalam suatu kejuaraan bulutangkis tingkat nasional terdapat 10 orang peserta yang akan memperebutkan juara I, II, dan III. Banyak susunan juara yang dapat terjadi adalah ....
Pembahasan:
Terdapat keterangan memperebutkan juara I, II, dan III sehingga memperhatikan urutan, maka menggunakan aturan permutasi.
)! ( ! r n n Pr n Banyak susunan juara = 10P 3
= )! 3 10 ( ! 10 = ! 7 ! 10 = ! 7 ! 7 . 8 . 9 . 10 = 720
3. Anda dapat memesan martabak biasa dengan 2 macam isi, yaitu isi mentega dan gula. Anda juga dapat memesan martabak manis dengan 4 macam isi, yaitu isi keju, coklat, pisang, dan kacang. Pipit ingin memesan sebuah martabak manis dengan dua macam isi. Banyak jenis martabak berbeda yang dapat dipilih Pipit adalah ....
Pembahasan:
Isi keju dan coklat sama dengan isi coklat dan keju, maka soal ini dikerjakan dengan aturan kombinasi karena tidak memperjatikan urutan.
)! !.( ! r n r n Cr n
Banyak jenis martabak = 4C 2
= )! 2 4 !.( 2 ! 4 = ! 2 !. 2 ! 4 = ! 2 !. 1 . 2 ! 2 . 3 . 4 = 6
4. Sebuah kotak terdapat 3 bola hijau, 5 bola merah, dan 4 bola biru. Jika dari kotak tersebut diambil dua bola sekaligus secara acak, maka peluang terambil dua merah atau dua biru adalah ....
Pembahasan:
Diambil 2 bola sekaligus, berarti peluang yang menggunakan aturan kombinasi karena tidak memperhatikan urutan.
Peluang terambil 2 merah atau 2 biru = 2 12 2 4 2 5 C C C = )! 2 12 !.( 2 ! 12 )! 2 4 !.( 2 ! 4 )! 2 5 !.( 2 ! 5 = ! 10 !. 1 . 2 ! 10 . 11 . 12 ! 2 !. 1 . 2 ! 2 . 3 . 4 ! 3 !. 1 . 2 ! 3 . 4 . 5 = 66 6 10 = 66 16
5. Dua dadu dilempar undi bersama-sama sebanyak 216 kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 5 adalah ....
Pembahasan:
Dua dadu berjumlah 5 =
(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
Sehingga n(berjumlah 5) = 4n(ruang sampel 2 dadu) = 62 36
Frekuensi harapan = Peluang muncul mata dadu berjumlah 5 x banyak pelemparan
= x 216 dadu) 2 sampel n(ruang 5) h n(berjumla = .216 36 4 = .216 9 1 = 24
Pembahasan tipe soal UN:
1. Banyak bilangan yang terdiri atas 4 angka berbeda yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah ....
Pembahasan:
6 5 4 3
Keterangan:
Semua tempat boleh diisi angka 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tetapi diminta angkanya harus berbeda. Jadi, banyak bilangan tersebut = 6 x 5 x 4 x 3 = 360
2. Dalam suatu organisasi yang terdiri atas 20 anggota akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak susunan pengurus yang dapat dipilih adalah ....
Pembahasan:
Pemilihan pejabat yang disebutkan jabatannya harus memperhatikan urutan karena setiap orang berhak menjabat di salah satu jabatan, berarti menggunakan permutasi.
)! ( ! r n n Pr n
Banyak susunan pengurus = 20P 3 = )! 3 20 ( ! 20 = ! 17 ! 20 = ! 17 ! 17 . 18 . 19 . 20 = 20.19.18 = 6.840
3. Dari 10 orang siswa pemenang Olimpiade Sains Nasional (OSN) dibentuk satu tim yang terdiri atas 4 orang untuk mewakili Indonesia pada Olimpiade Sains Internasional. Banyak tim yang dapat dibentuk adalah ....
Pembahasan:
Pemilihan siswa tidak berdasarkan urutan, maka menggunakan kombinasi. )! !.( ! r n r n Cr n
Banyak tim yang dapat dibentuk = 10C 4 = )! 4 10 !.( 4 ! 10 = ! 6 !. 4 ! 10 = ! 6 !. 1 . 2 . 3 . 4 ! 6 . 7 . 8 . 9 . 10 = ! 1 . 3 7 . 9 . 10 = 210
4. Dua dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang muncul jumlah kedua mata dadu 5 atau 8 adalah ....
Pembahasan:
Berjumlah 5 = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} → n(berjumlah 5) = 4 Berjumlah 8 = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} → n(berjumlah 8) = 5 Ruang sampel dua dadu adalah 62 36
P(berjumlah 5 atau berjumlah 8) =
36 5 36 4 = 36 9
P(berjumlah 5 atau berjumlah 8) = 4 1
5. Dari sebuah kotak yang berisi delapan bola merah dan enam bola biru, diambil 3 bola sekaligus secara acak. Peluang terambil dua bola merah dan satu bola biru adalah ....
Pembahasan: n(merah) = 8 n(biru) = 6
Peluang terambil dua bola merah dan satu bola biru = 3 14 1 6 2 8 . C C C = ! 11 !. 3 ! 14 ! 5 !. 1 ! 6 . ! 6 !. 2 ! 8 = ! 11 !. 3 ! 11 . 12 . 13 . 14 ! 5 !. 1 ! 5 . 6 . ! 6 !. 1 . 2 ! 6 . 7 . 8 = ! 1 . 2 . 3 12 . 13 . 14 6 . 28 = 364 168 = 364 168 = 13 6
6. Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng kuning. Jika diambil dua kelereng secara acak satu per satu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama kelereng merah dan pengambilan kedua terambil kelereng kuning adalah ....
Pembahasan: n(merah) = 5 n(kuning) = 3
n(jumlah kelereng semuanya) = 5 + 3 = 8
Jika diambil dua kelereng secara acak satu per satu berturut-turut TANPA PENGEMBALIAN.
Peluang terambil pertama kelereng merah dan pengambilan kedua terambil kelereng kuning = 7 3 . 8 5 = 56 15
7. Pada percobaan lempar undi 3 keping uang logam bersama-sama sebanyak 600 kali, frekuensi harapan muncul paling sedikit dua gambar adalah ....
Pembahasan:
Lempar undi 3 keping uang logam.
muncul paling sedikit dua gambar = {AGG, GAG, GGA,GGG} → n = 4 banyak ruang sampel 3 keping uang logam = 23 8
frekuensi harapan muncul paling sedikit dua gambar = peluang x banyak pelemparan = .600 8 4 = 8 2400 = 300
