Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

(1)

Pertemuan Pertemuan keke--77

Metode

Metode Iterasi

Iterasi Gauss

Gauss--Siedel

Siedel

Persamaan

Persamaan Linier Linier SimultanSimultan

25

25 OktoberOktober 20122012

Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering 1

•• Merupakan

Merupakan metode

metode iterasi

iterasi..

•• Prosedur

Prosedur umum

umum::

-- SelesaikanSelesaikan secarasecara aljabaraljabar variabelvariabel tidaktidak diketahuidiketahui xx_ii

masing

masing--masingmasing persamaanpersamaan linierlinier

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel

Seidel

masing

masing--masingmasing persamaanpersamaan linierlinier

-- AsumsikanAsumsikan suatusuatu nilainilai awalawal padapada setiapsetiap penyelesaianpenyelesaian -- SelesaikanSelesaikan masingmasing--masingmasing xx_ii dandan ulangiulangi

-- HitungHitung nilainilai mutlakmutlak daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatif setelah

setelah masingmasing--masingmasing iterasiiterasi sehinggasehingga kurangkurang daridari nilai

nilai toleransitoleransi..

(2)

•• Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel Method

Seidel Method membolehkan

membolehkan

pengguna

pengguna untuk

untuk mengkontrol

mengkontrol round

round--off error

off error

_..

•• Metode

Metode eliminasi

eliminasi seperti

seperti Eliminasi

Eliminasi Gauss

Gauss dan

dan

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel

Seidel

•• Metode

Metode eliminasi

eliminasi seperti

seperti Eliminasi

Eliminasi Gauss

Gauss dan

dan

Dekompoisi

Dekompoisi LU

LU rentan

rentan terhadap

terhadap round

round--off error

off error

_..

•• Juga

Juga,

, bila

bila bentuk

bentuk dari

dari masalah

masalah dapat

dapat dipahami

dipahami,

,

dapat

dapat ditentukan

ditentukan nilai

nilai perkiraan

perkiraan awal

awal yang

yang lebih

lebih

dekat

dekat,

, sehingga

sehingga menghemat

menghemat waktu

waktu iterasi

iterasi.

.

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Department of Civil Engineering 3

•• nn _persamaan_{persamaan dan}_{dan n}n _bilangan_{bilangan tak}_{tak diketahui}_diketahui::

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Algoritma

Algoritma

1 1 3 13 2 12 1 11x a x a x ... a x b a + + + + _n _n = 2 3 23 2 22 1 21x a x a x ... a x b a + + + + _2n _n = n n nn n n n x a x a x a x b a ₁ ₁ + ₂ ₂ + ₃ ₃ +...+ = . . . . . .

•• JikaJika element diagonal element diagonal tidaktidak nolnol, , tuliskantuliskan kembalikembali masing masing--masing

masing persamaanpersamaan untukuntuk menyelesaikanmenyelesaikan bilanganbilangan yang yang taktak diketahui

diketahui.. •• MisalMisal: :

–

– PersamaanPersamaan keke--1, 1, untukuntuk menyelesaianmenyelesaian xx₁₁,, –

– PersamaanPersamaan keke--2, 2, untukuntuk menyelesaikanmenyelesaikan xx₂₂, , dstdst.. n n nn n n n x a x a x a x b a ₁ ₁ + ₂ ₂ + ₃ ₃ +...+ =

(3)

•• Tulis

Tulis kembali

kembali persamaan

persamaan::

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Algoritma

Algoritma

11 1 3 13 2 12 1 1 a x a x a x a c

x = − − ……− n n Dari persamaan ke- 1

nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x a x a x a c x a x a x a x a x a c x a x a x a x a c x 1 1 , 2 2 1 1 1 , 1 , 1 2 2 , 1 2 2 , 1 1 1 , 1 1 1 22 2 3 23 1 21 2 2 − − − − − − − − − − − − − − − − = − − − − = − − − = … … … … ⋮ ⋮ ⋮ … …

Dari persamaan ke-2

Dari persamaan ke-(n-1)

Dari persamaan ke- n

•• Bentuk

Bentuk umum

umum persamaan

persamaan yaitu

yaitu::

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Algoritma

Algoritma

1 1 1 1 a x c x n j j j j

∑

≠ = − = 1 1 , 1 1 − ≠ = − − −

∑

= n n j j j j n n a x c x

11 1 1 a x = j ≠ 22 2 1 2 2 2

a

x

a

c

x

j n j j j

∑

≠ =

−

=

1 , 1 1 1 − − − ≠ − = n n n j n a x nn n n j j j nj n n

a

x

a

c

x

∑

≠ =

−

=

1

(4)

•• Bentuk

Bentuk umum

umum untuk

untuk sembarang

sembarang baris

baris ke

ke--‘i‘i’’

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Algoritma

Algoritma

.

,

2 ,

1 ,

1

n

i

x

a

c

x

n i j j j ij i

…

=

−

=

∑

≠ =

.

,

2 ,

1 ,

i

n

a

x

ii i j i

=

…

≠

Bagaimana dan dimana persamaan ini dapat digunakan?

•• Selesaikan

Selesaikan bilangan

bilangan

yang

yang tidak

tidak diketahui

diketahui..

•• Asumsikan

Asumsikan suatu

suatu nilai

nilai

perkiraan

perkiraan untuk

untuk [X]

[X]

•• Gunakan

Gunakan persamaan

persamaan

yang

yang telah

telah ditulis

ditulis ulang

ulang

untuk

untuk menyelesaiakn

menyelesaiakn

masing

masing--masing

masing nilai

nilai x

x

_ii

_..

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel

Seidel

perkiraan

perkiraan untuk

untuk [X]

[X]

•• Penting

Penting::

–

– GunakanGunakan nilainilai terbaruterbaru x

x_ii untukuntuk setiapsetiap iterasiiterasi persamaan

persamaan berikutnyaberikutnya. .

                n -n 2 x x x x 1 1 ⋮

(5)

•• Hitung nilai absolut dari kesalahan relatif (|

Hitung nilai absolut dari kesalahan relatif (|εε

_a_a

|):

•• Kapan jawaban akan diperoleh?

Kapan jawaban akan diperoleh?

Metode Gauss

Metode Gauss--Seidel

Seidel

100 ×

−

=

∈

_new i old i new i i a

x

•• Kapan jawaban akan diperoleh?

Kapan jawaban akan diperoleh?

–

– Hentikan iterasi bila nilai Hentikan iterasi bila nilai ||εε_a_a| kurang dari nilai | kurang dari nilai

kesalahan yang ditoleransikan untuk semua bilangan kesalahan yang ditoleransikan untuk semua bilangan tidak diketahui tersebut.

tidak diketahui tersebut.

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 1

1

Time, t (s) Kecepatan, v (m/s) Kecepatan dorong sutau roket untuk tiga waktu berbeda adalah :

Table 1 Velocity vs. Time data.

Time, t (s) Kecepatan, v (m/s)

5 106.8

8 177.2

12 279.2

Data kecepatan pada Tabel 1 dapat didekati dengan persamaan polinomial berikut :

( )

t

=

a

₁

t

2

+

a

₂

t

+

a

₃

,

5 ≤

t

≤

12.

(6)

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 1

1

          =                     3 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 1 1 1 v v v a a a t t t t t t 3 2 1

1. Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks:

       t3 t3 1 a3 v3           =                     2 . 279 2 . 177 8 . 106 1 12 144 1 8 64 1 5 25 3 2 1 a a a           =           5 2 1 3 2 1 a a a

2. Sistem persamaan menjadi:

3. Perkirakan nilai awal:

          =                     2 . 279 2 . 177 8 . 106 1 12 144 1 8 64 1 5 25 2 1 a a a

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 1

1

Tulis ulang persamaan:

25

5

8 .

106

₂ ₃ 1

a

=

−

     144 12 1 a₃ 279.2

8

64

2 .

177

₁ ₃ 2

a

=

−

1 12 144 2 . 279 ₁ ₂ 3 a a a = − −

(7)

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 1

1

Gunakan nilai perkiraan awal untuk menghitung a_i

      =       2 1 1 a a ₂₅ 3.6720 ) 5 ( ) 2 ( 5 8 . 106 a₁ = − − =

(

3.6720

) ( )

5 64 2 . 177 − − Nilai awal:

Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

      =       5 2 3 2 a a

₍

_{) ( )}

8510 . 7 8 5 6720 . 3 64 2 . 177 a₂ = − − = −

(

)

(

)

36 . 155 1 8510 . 7 12 6720 . 3 144 2 . 279 a₃ = − − − = −

Untuk menghitung a₂, berapa banyak nilai perkiraan awal yang diperlukan? 13    a 3.6720

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 1

1

100 × − = ∈ _new i old i new i i a x x x

Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif Hasil iterasi ke-1 :

          − − =           36 . 155 8510 . 7 6720 . 3 3 2 1 a a a

% 76 . 72 100 6720 . 3 0000 . 1 6720 . 3 1 a = − = ∈ x % 47 . 125 100 8510 . 7 0000 . 2 8510 . 7 2 a = − − − = ∈ x % 22 . 103 100 36 . 155 0000 . 5 36 . 155 3 a = − − − = ∈ x

Nilai terbesar |ε_a| adalah 125.47%

(8)

          − − =           36 . 155 8510 . 7 6720 . 3 3 2 1 a a a

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 1

1

Iterasi ke-2

Gunakan hasil dari iterasi ke-1:

Diperoleh nilai ai :

(

)

056 . 12 25 36 . 155 8510 . 7 5 8 . 106 1 = − − − = a

(

)

882 . 54 8 36 . 155 056 . 12 64 2 . 177 2 =− − − = a

(

)

(

)

34 . 798 1 882 . 54 12 056 . 12 144 2 . 279 3 =− − − − = a 15

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 1

1

Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif pada iterasi ke-2 % 543 . 69 100 056 . 12 6720 . 3 056 . 12 1 a = − =

∈ x Hasil iterasi ke-2 :

      − =       882 . 54 056 . 12 1 a a ( ) % 695 . 85 100 x 882 . 54 8510 . 7 882 . 54 2 ₋ = − − − = ∈_a ( ) % 540 . 80 100 34 . 798 36 . 155 34 . 798 3 a = − − − − = ∈ x        − − =         798.54 882 . 54 3 2 a a

Nilai terbesar |ε_a| adalah 85.695%

(9)

Iterasi a 1 a2 a3 1 2 3 3.6720 12.056 47.182 72.767 69.543 74.447 −7.8510 −54.882 255.51 125.47 85.695 78.521 −155.36 −798.34 3448.9 103.22 80.540 76.852

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 1

1

Hasil beberapa kali iterasi adalah sebagai berikut:

% 1 a ∈ _% 2 a ∈ ∈a ₃% 3 4 5 6 47.182 193.33 800.53 3322.6 74.447 75.595 75.850 75.906 −255.51 −1093.4 −4577.2 −19049 78.521 76.632 76.112 75.972 −3448.9 −14440 −60072 −249580 76.852 76.116 75.963 75.931

          =           0857 . 1 690 . 19 29048 . 0 a a a 3 2 1

Catatan– Nilai kesalahan relatif tidak banyak berkurang pada setiap iterasi, termasuk pula tidak konvergen pada nilai sebenarnya.

Gauss

Gauss--Seidel Method:

Seidel Method: Kelemahan

Kelemahan

Apa yang menyebabkan salah ?

Walaupun penghitungan dilakukan dengan benar, hasilnya belum konvergen. Contoh 1 menunjukkan kelemahan dari Metode Gauss-Siedel: tidak semua sistem persamaan menghasilkan jawaban yang konvergen.

menghasilkan jawaban yang konvergen.

Apakah solusinya?

Satu dari sistem persamaan selalu konvergen dimana koefisien matriks adalah dominan diagonal, yaitu jika [A] dalam [A] [X] = [C] memenuhi kondisi :

∑

≠ = ≥ n j j ij a a i 1 ii

∑

≠ =

>

n i j j ij ii

a

1

Untuk semua ‘i’ dan paling tidak untuk

(10)

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 2

2

Diberikan persamaan berikut:

1 5 3 12x₁ + x₂- x₃ = 28 3 5 ₂ ₃ 1 x x x + + = 76 13 7 3x + x + x = Koefisien matriksnya adalah :

76 13 7 3x₁ + x₂ + x₃ =           =           1 0 1 3 2 1 x x x

Gunakan nilai perkiraan awal untuk iterasi ke-1 :

[ ]

          − = 13 7 3 3 5 1 5 3 12 A

Apakah Metode Gauss-Siedel akan memberikan hasil yang konvergen?

20

[ ]

_     − = 1 5 3 5 3 12 A

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 2

2 Cek apakah koefisien matriks dominan diagonal.

4

3

1

5

₂₁ ₂₃ 22

=

≥

a

+

a

=

+

=

a

8 5 3 12 12 ₁₂ ₁₃ 11 = = ≥ a + a = + − = a      3 7 13 23 21 22 10 7 3 13 13 ₃₁ ₃₂ 33 = = ≥ a + a = + = a

Semua koefisien matriks tidak sama, dan salah satu baris bernilai lebih besar.

Oleh karen itu: Penyelesaian dengan Metode Gauss-Siedel akan konvergen.

(11)

          =                     − 76 28 1 13 7 3 3 5 1 5 3 12 3 2 1 a a a           =           1 0 1 3 2 1 x x x

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 2

2

Tulis kembali persamaan: Dengan nilai awal, lakukan

iterasi ke-1:       3

12 5 3 1 ₂ ₃ 1 x x x = − + 5 3 28 1 3 2 x x x = − − 13 7 3 76 1 2 3 x x x = − −

( )

50000 . 0 12 1 5 0 3 1 1 = + − = x

(

)

( )

9000 . 4 5 1 3 5 . 0 28 2 = − − = x

(

)

(

)

0923 . 3 13 9000 . 4 7 50000 . 0 3 76 3 = − − = x 22

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 2

2

Nilai absolut kesalahan relatif:

% 00 . 100 100 50000 . 0 0000 . 1 50000 . 0 1 × = − = ∈_a

0 9000

.

4 −

%

00 .

100

100 9000

.

4

0 9000

.

4

2 a

×

=

−

=

∈

% 662 . 67 100 0923 . 3 0000 . 1 0923 . 3 3 a × = − = ∈

(12)

          =           0923 . 3 9000 . 4 5000 . 0 3 2 1 x x x

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 2

2

Hasil iterasi ke-1

Substitusi nilai x ke persamaan :

          =           8118 . 3 7153 . 3 14679 . 0 3 2 1 x x x

(

)

(

)

14679 . 0 12 0923 . 3 5 9000 . 4 3 1 1 = + − = x

(

)

(

)

7153 . 3 5 0923 . 3 3 14679 . 0 28 2 = − − = x

(

)

(

)

8118 . 3 13 900 . 4 7 14679 . 0 3 76 3 = − − = x

Substitusi nilai x ke persamaan :

Hasil Iterasi ke-2

24

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 2

2

Nilai absolut dari kesalahan relatif pada Iterasi ke-2

% 61 . 240 100 14679 . 0 50000 . 0 14679 . 0 1 a × = − = ∈ % 889 . 31 100 9000 . 4 7153 . 3 = × − = ∈ 100 31.889% 7153 . 3 9000 . 4 7153 . 3 2 a × = − = ∈ % 874 . 18 100 8118 . 3 0923 . 3 8118 . 3 3 a × = − = ∈

Nilai terbesar dari kesalahan relatif adalah 240.61%, yaitu lebih besar dari hasil Iterasi ke-1.

(13)

Iterasi a 1 a2 a3 1 2 0.50000 0.14679 100.00 240.61 4.9000 3.7153 100.00 31.889 3.0923 3.8118 67.662 18.876

Metode

Metode Gauss

Gauss--Seidel:

Seidel: Contoh

Contoh 2

2

Lanjutkan Iterasi dan diperoleh hasil:

% 1 a ∈ % 2 a ∈ % 3 a ∈ 2 3 4 5 6 0.14679 0.74275 0.94675 0.99177 0.99919 240.61 80.236 21.546 4.5391 0.74307 3.7153 3.1644 3.0281 3.0034 3.0001 31.889 17.408 4.4996 0.82499 0.10856 3.8118 3.9708 3.9971 4.0001 4.0001 18.876 4.0042 0.65772 0.074383 0.00101

Department of Civil Engineering 26           =           4 3 1 3 2 1 x x x           =           0001 . 4 0001 . 3 99919 . 0 3 2 1 x x x