PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS

(1)

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 1

PEMBAHASAN

SOAL SESUAI

KISI-KISI

UAS

MATEMATIKA

PEMINATAN

XI -

IPA

SOAL 1

Perhatikan segitiga di bawah ini!

Tentukan nilai









cot

cosec

sec

Jawab:

INGAT definisi:

miring

depan



sin

depan

miring



sin

1 cosec

miring

samping



cos

samping

miring



cos

1 sec

samping

depan



tan

depan

samping



tan

1 cot

Pada soal di atas, sisi depan = 15 cm, sisi miring = 17 cm. Sisi samping dicari dengan rumus Pythagoras. 2 2

₁₅

17 



225

289 



cm

8

64 



(2)

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 2 Maka

8

17 sec





,

15

17 cosec





dan

15

8 cot





Sehingga

64

391

8

15

120

391

15

8

120

391

15

8

120

136

120

255

15

8

15

17

8

17 cot

cosec

sec

_



_



_

_

_







.

(Hitung-hitungan mengenai pecahan mengingatkan kenangan indah waktu sd….)

SOAL 2 Nilai dari .... 4 tan 3 cos ) 2 ( sin2    

Jawab:

Ingat tabel ini aaahhhh…..!!

O ya, untuk mengubah satuan radian ke satuan derajat, gunakan konversi:

Kembali pada soal,





2 1 1 2 1 1 45 tan 60 cos ) 90 (sin 4 180 tan 3 180 cos 90 sin 4 tan 3 cos 2 sin 4 tan 3 cos ) 2 ( sin 2 2 2 2 2                                  1 8

(3)

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 3 SOAL 3

Jika pacos330, dan qatan120 serta pq6 3 maka nilai dari a = ….

Jawab:

Untuk sudut yang lebih besar dari 90o

,

ingat kuadran-kuadran:

INGAT!! Acuan sudut adalah terhadap sumbu X bukan sumbu Y…!! INGAT….. INGAT!!!

Untuk menghitung cos330, perhatikan bahwa sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X (BUKAN sumbu Y!!!!) adalah 30o

.

Sudut 330o ada di kuadran IV, nilai cos adalah positif.

Jadi, cos 330o = cos 30o = ₃ 2 1

.

Untuk menghitung tan 120o

,

perhatikan sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X adalah 60o. Sudut 120oada di kuadran II, nilai tan adalah negatif.

Jadi, tan 120o = – tan 60o

=

 3

Dari soal, pq 6 3 3 6 120 tan 330 cos a  a 3 6 ) 3 ( 3 2 1 _ _ _  a a

(4)

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 4 3 6 ) 3 3 2 1 (   a 3 6 ) 3 2 1 (  a 12 3 2 1 3 6 _ _        a SOAL 4 Diketahui 5 2

sinx p dengan x sudut lancip. Maka nilai dari tan x = ….

Jawab:

Buat segitiga bantu. Ingat, sin = depan/miring.

Maka nilai tan x adalah:

2 4 25 2 tan p p samping depan x    . SOAL 5

Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri ₃

2 1 3 cos x untuk 0x360 adalah….

Jawab:

INGAT! Penyelesaian cosXcosA adalah X Ak.360 atau X Ak.360.

Pada soal, ₃ 2 1 3 cos x cos x3 cos60 360 . 60 3x k atau 3x60k.360 120 . 20 k x  x20k.120 2 2 2 4 25 ) 2 ( 5 p p    

(5)

2 2 1 sinx 120 . 20 k x  atau x20k.120 20 0   x

k k 0x20 (di luar batas)

140 1   x k k 1x100 260 2   x k k 2x220 380 3   x

k (di luar batas 0–360) k 3x340

Jadi, HP = {20, 100, 140, 220, 260, 340} Solusinya ada 6 buah.

SOAL 6

Himpunan penyelesaian dari persamaan ( 2sinx1)(sinx2)0 untuk 0x2 adalah….

Jawab:

0 ) 2 )(sin 1 sin 2 ( x x  0 1 sin 2 x  atau sinx20 2 1 sinx sinx2

[Tidak ada penyelesaian sebab batas nilai sin x adalah  sin45 sin x 1sinx1]    45 k.360

x x(18045)k.360 (lihat pengumuman di bawah!)    0 x 45 k x135k.360    1 x 405

k (di luar batas) k 0x135

  

1 x 485

k (di luar batas)

Jadi , HP = {45O, 135O} =       _ 4 3 , 4 SOAL 7

Banyaknya penyelesaian x dari persamaan 4tan2x40 dengan 0x360 ada berapa buah?

Jawab:

0 4 2 tan 4 x  4 2 tan 4 x 1 2 tan x

(6)

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 6    tan45 2 tan x 180 . 45 2x k 90 . 5 , 22 k x  k 0x22,5 k 1x112,5 k2x202,5 k3x292,5

k 4x382,5 (di luar batas)

HP = {22,5 ; 112,5 ; 202,5 ; 292,5} Banyak penyelesaian ada 4 buah!

CARA CEPAT:

Banyak penyelesaian x dari tanbxc pada selang 0x360 adalah 2b (asalkan c0)

Pada soal, b = 2. Maka banyak penyelesaiannya = 2b = 2 x 2 = 4 buah.

SOAL 8

Nilai dari cos 105o

= ….

Jawab:

INGAT RUMUS:        

 ) sin cos cos sin sin(        

 ) sin cos cos sin sin(        

 ) cos cos sin sin cos(        

 ) cos cos sin sin cos( ) 45 60 cos( ) 105 cos(    

cos60cos45sin60sin45

₂ 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1_ _ _  ₆ 4 1 2 4 1 _ 

(7)

Diketahui tanx15, maka tan2x....

Jawab:

Gunakan rumus: x x x 2 tan 1 tan 2 2 tan   112 15 224 30 225 1 30 15 1 15 2 2  _ _     SOAL 10

Jika diubah ke bentuk penjumlahan, maka bentuk 2cos84sin20 = ….

Jawab:

Hafalkan rumuz berikut:

) cos( ) cos( sin sin 2 ) cos( ) cos( cos cos 2 ) sin( ) sin( sin cos 2 ) sin( ) sin( cos sin 2 B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A                 

Maka 2cos84sin20sin(8420)sin(8420)

sin(104)sin(64)

SOAL 11

Jika diubah ke bentuk perkalian, maka cos8cos....

Jawab:

Hafalkan rumuz berikut:

Udah hafal belum 4 rumuz ini? Kalau belum ….. hafalkan ya…!                                                                  2 sin 2 sin 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 sin 2 cos 2 sin sin 2 cos 2 sin 2 sin sin B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A

(8)

Maka _                   2 8 sin 2 8 sin 2 cos 8 cos _                2 7 sin 2 9 sin 2 . SOAL 12 Nilai _.... 12 sin 78 sin 12 cos 78 cos _      

Jawab:

                                           45 sin 45 cos 33 cos 45 sin 2 33 cos . 45 cos 2 2 12 78 cos 2 12 78 sin 2 2 12 78 cos 2 12 78 cos 2 12 sin 78 sin 12 cos 78 cos 0 0 0 0 ₁ 2 2 2 1 2 1   . SOAL 13

Jika 3sinxcosx diubah menjadi bentuk kcos(x), tentukan nilai k dan .

Jawab:

INGAT!

       cos cos( ) sinx b x k x a 2 2 _b a k   dan b a  

tan dengan sudut  sesuai dengan tanda positif negatif

koefisien dari sin x dan cos x.

Pada soal, a 3 dan b1.

Maka k  a2b2 

 

3 2(1)2  31 42. dan ₃ 1 3 tan      b a _.

Nilai  dengan tan 3 ada 2 macam, yaitu 120 dan 300.

Yang mana yang benerr?? Lihatlah pada koefisien sin (yaitu a 3) bernilai positif, sedangkan koefisien cos (yaitu b1) bernilai negatif.

(9)

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 9 Naahhh… sudut dengan sin positif dan cos negatif ada di kuadran berapa hayoooo…??

Di kuadran II. Sehingga,

120 (karena di kuadran II). Jadi, k = 2 dan 120.

SOAL 14

Nilai maksimum dari fungsi f(x)5sin4x6cos4x adalah….

Jawab:

Yuk jadikan bentuk f(x)5sin4x6cos4x ke bentuk kcos(4x), dengan k  5262  2536 61.

Maka f(x)5sin4x6cos4x 61cos(4x)

Jelas nilai maksimum fungsi ini adalah ketika cos1. Jadi f_maks  61.

SOAL 15 Sederhanakan bentuk _x x x x x cos sin cos cos sin       _ _.

Jawab:

Samakan dulu penyebut pecahan yang ada di dalam kurung. Maka:

_x x x x x x x x x x x x x x cos sin cos cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin       _        _ x x x x x cos sin cos cos sin2 2       _ 

_       x sin 1

cosecx

(10)

Tuliskan rumus-rumus sudut ganda dong!

Jawab:

Boleh..

Ini:

    2sin cos 2 sin      _cos2 _sin2 2 cos 2cos21 12sin2      ₂ tan 1 tan 2 2 tan SOAL 17

Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini!

a) _.... 3 5 sin 0   x x Lim x b) _.... 4 tan 5 7 sin2 0   x x x Lim x c) _.... 2 sin 9 tan . 8 0   x x x Lim x

Jawab:

Gunakan rumuz-rumuz berikut:

b a bx ax Lim bx ax Lim bx ax Lim bx ax Lim bx ax Lim bx ax Lim x x x x x x             sin tan tan sin tan tan sin sin 0 0 0 0 0 0 a) _. 3 5 3 5 sin 0   x x Lim x (Mudah …. Alhamdulillah….) b) 20 49 4 7 5 7 4 tan 5 7 sin . 7 sin 4 tan 5 7 sin 0 2 0       x x x x Lim x x x Lim x x . c) _._tan₀ ₄ ₀ ₀ 2 8 9 tan 2 sin 8 2 sin 9 tan . 8 0 0        x x x Lim x x x Lim x x .

(11)

Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini!

a) _.... 3 1 ) 6 (cos 2 0    _x x Lim x b) _.... ) 3 ( ) 6 2 cos( 3 3 2 3      _x x Lim x

Jawab:

a) Rumus cos212sin2 sering digunakan dalam menghitung limit trigonometri yang mengandung fungsi cos.

Dengan mengambil 3x, maka cos6xcos2(3x)12sin2(3x).

Sehingga x x x x Lim x x Lim x x Lim x x x           3 ) 3 sin( ) 3 sin( 2 3 1 ) 3 ( sin 2 1 3 1 ) 6 (cos 0 2 2 0 2 0 ₆ 1 3 3 3 2    

b) Untuk limit x tidak mendekati nol (0), maka buat variabel baru yang mendekati nol. Misalkan ux3. Jika x3 maka u0.

Maka: 2 3 2 3 ₍ ₃₎ )] 3 ( 2 cos[ 3 3 ) 3 ( ) 6 2 cos( 3 3          _x x Lim x x Lim x x 2 0 2 cos 3 3 u u Lim u    2 2 0 ) sin 2 1 ( 3 3 u u Lim u     2 2 0 sin 6 3 3 u u Lim u     u u u u Lim u     sin sin 6 0 6 1 1 1 1 6     SOAL 19 .... cos cos 2 2_    _x _q q x Lim q x

Jawab:

(12)

Gunakan rumus selisih cos:

_

                2 sin 2 sin 2 cos cosA B A B A B Maka ) )( ( 2 sin 2 sin 2 cos cos 2 2 _x _q _x _q q x q x Lim q x q x Lim q x q x                       ) ( 2 . ) ( 2 sin 2 q x q x Lim q x q x Lim q x q x                     ) 1 ( 2 1 . ) ( 2 sin 2                 q q q q

 

_        2 1 . 2 sin 2 q q _. 2 sin q q  

Perhatikan jawabannya dalam q.

CARA CEPAT:

Gunakan teorema l’Hopital dengan turunan

) ( ) ( ) ( ) ( x g x f Lim x g x f Lim a x a x      Pada soal, _. 2 sin 2 sin cos cos 2 2 _q q x x Lim q x q x Lim q x q x        

INGAT TURUNAN FUNGSI TRIGONO:

y = sin x  y’ = cos x

y = cos x  y’ = – sin x

SOAL 20 Jika ₄ 3 cos 2 2 0    _bx x a Lim x , maka nilai a + b = ….

Jawab:

Coba masukkan x = 0, maka

0 1 2 0 . 3 0 cos 2 3 cos 2 2 2      a b a bx x a _.

(13)

Karena ₄ 3 cos 2 2 0    _bx x a Lim x , maka ₄ 0 1 2   a _.

Hal ini mengharuskan 2a10 sehingga bentuknya menjadi _.

0 0 (Jika 2a10 maka  __ 0 1 2a _{. Kontradiksi dengan} 4 0 1

2a _ _{. Sedangkan jika}₂_a_₁_₀_{, maka} persamaan ₄ 0 0 _ _{masih memungkinkan}_). Jadi, 2a10 2 1  a Masukkan 2 1 

a ke dalam limit, maka:

4 3 cos 2 2 0    _bx x a Lim x 4 3 cos 1 2 0    _bx x Lim x 4 3 ) ( 2 cos 1 2 2 1 0    _bx x Lim x 4 3 )) ( sin 2 1 ( 1 2 2 1 2 0     _bx x Lim x 4 3 ) ( sin 2 2 2 1 2 0   _bx x Lim x 4 3 ) sin( ) sin( 2 ₂1 1₂ 0    bx x x x Lim x 4 1 1 3 2 1₂ ₂1      b b 12 2 1 b  24 1 Jadi, 13₂₄. 24 1 24 12 24 1 2 1     b a

(14)

Perhatikan busur lingkaran berikut ini!

Jika jari-jari r = 8 cm dan panjang busur s = 10 cm, maka besar sudut ... radian.

Jawab:

Besar sudut dalam radian didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang

busur lingkaran (s) di hadapan sudut dengan jari-jari lingkaran (r).

Rumusnye:

r

s





Pada soal,

1 ,

25

8

10 _





r

s

radian.

Ternyata soal mengenai radian tidak sesulit membuka tutup botol dengan peniti!!

SOAL 22

Tentukan persamaan grafik fungsi trigonometri berikut ini!

Jawab:

(15)

gelombang

1

1 gelombang

Bentuk umum fungsi sinus dan cosinus adalah:

d

c

x

b

a

y



sin

(



)



d

c

x

b

a

y



cos

(



)



Dimana: a = amplitudo

b = banyaknya gelombang pada rentang 0o_{– 360}o _{(atau 0 – 2}₎

c = digeCer grafik dasar ke kiri (+) atau ke kanan (-) d =

d

iangkat grafik dasar ke atas (+) atau ke bawah (-)

Grafik pada soal:

Terlihat bahwa fungsi ini adalah fungsi cos karena mulainya dari puncak. Nilai a = 6

b = 3 (ada 3 gelombang pada rentang 0 – 2)

c = 0 d = 0

(16)

Dari gambar grafik menawan berikut ini,

tentukan himpunan penyelesaian: 8sinx4 2.

Jawab:

Karena yang ditanya daerah 8 sin xo_{yang lebih kecil sama dengan}₄ ₂_,

lihat aje bagian grafik y = 8 sin x0 _{yang berada di bawah garis y =}₄ ₂_{. Lalu arsir deh!}

(17)

Perhatikan grafik fungsi

y = 10 sin (x – 40)

oberikut ini!

Tentukan koordinat P, Q dan R!

Jawab:

Titik P dan Q adalah titik-titik ketika y = 0 Karena y10sin(x40) Maka   10sin( 40) 0 x   sin( 40) 0 x  sin(x40)sin0 360 . 0 40 k x   atau x40180k.360 360 . 40 k x  atau x220k.360 40 0   x k k 0x220 400 1   x k

Perhatikan grafik, untuk titik P nilai x yang sesuai adalah x = 40, sedangkan untuk titik Q, nilai x = 400

Jadi, koordinat titik P(40, 0) dan Q(400, 0)

Titik R adalah perpotongan grafik dengan sumbu Y, maka nilai x = 0 . Sehingga y10sin(x40)10sin(040)10sin40. Jadi, koordinat titik R(0, –10 sin40o_).

(18)

Gambarkan grafik fungsi: (a) y1sin2x (b) y4sin(x30) (c) ysinx (d) ysin2 x

Jawab:

(a) x y1sin2

Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya naik 1 satuan ke atas, dan ada 2 gelombang

pada rentang 0 – 360o_. (b)   4sin(x 30) y

Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya mempunyai amplitudo 4 dan posisinya geser

(19)

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 19 (c)

Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y = – sin x dapat diperoleh dari mencerminkan grafik y = x terhadap sumbu X.

(Komen: biasanya anak perempuan ahli deh dalam hal cermin-bercermin)

(d)

Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y = sin2 x selalu berada di atas sumbu X (karena

bentuknya kuadrat sehingga nilainya selalu positif atau nol). Grafik y = sin2 x lebih ramping

daripada grafik y = sin x.

Pembahasan selesai…. Alhamdulillah….. x ysin x ysin x ysin2 x ysin