3 TEORI KONGRUENSI. Contoh 3.1. Misalkan hari ini adalah Sabtu, hari apa setelah 100 hari dari sekarang?

3 TEORI KONGRUENSI

Pada bab ini dipelajari aritmatika modular yaitu aritmatika tentang kelas-kelas ekuiv-alensi, dimana permasalahan dalam teori bilangan disederhanakan dengan cara meng-ganti setiap bilangan bulat dengan sisanya bila dibagi oleh suatu bilangan bulat tertentu n. Ini berdampak pada penggantian himpunan bilangan bulat Z dengan suatu sistem bilangan Zn yang hanya memuat n elemen. Banyak sifat yang berlaku pada Z diwarisi

oleh Zn seperti operasi penjumlahan dan perkalian. Karena hanya berhingga elemen

yang terdapat di dalam Zn maka lebih mudah ditangani. Sebelum masuk ke aritmatika

modular diperhatikan dulu masalah sederhana berikut.

Contoh 3.1. Misalkan hari ini adalah Sabtu, hari apa setelah 100 hari dari sekarang? Penyelesaian. Cara 'konyol' menjawab pertanyaan ini adalah menghitung langsung

satu per satu hari-hari pada kalender sampai dengan hari ke 100. Tetapi dengan mengingat terjadi pengulangan secara periodik setiap 7 hari maka permasalahan ini mudah diselesaikan dengan menghitung sisanya jika 100 dibagi 7, yaitu

100 = 14 × 7 + 2.

Jadi 100 hari mendatang adalah hari ke 2 dari sekarang, yaitu Senin.  Contoh 3.2. Apakah 22051946 bilangan kuadrat sempurna?

Penyelesaian. Cara umum untuk menjawab pertanyaan ini adalah dengan menghitung_√ 22051946, jika hasilnya bulat maka ia kuadrat sempurna. Cara lain adalah den-gan cara mengkuadratkan bilanden-gan-bilanden-gan bulat, apakah hasilnya ada yang sama dengan bilangan yang dimaksud. Cara yang paling sederhana adalah dengan meng-gunakan sifat bilangan kuadrat sempurna, yaitu jika bilangan kuadrat sempurna dibagi 4 maka sisanya 0 atau 1. Artinya, jika sisanya selain dari 0 dan 1 maka dipastikan ia bukan kuadrat sempurna. Diperoleh

22051946 = 220519 × 100 + 46 = 220519 × (25 × 4) + (11 × 4) + 2 = (220519 + 25 + 11) × 4 + 2,

Kedua contoh ini merupakan masalah sederhana pada aritmatika modular, masih banyak masalah rumit pada teori bilangan yang hanya dapat diselesaikan dengan mudah melalui artimatika modular.

3.1 Aritmatika Modular

Denisi 3.1. Misalkan n sebuah bilangan bulat positif tertentu. Dua bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, ditulis

a ≡ b mod(n)

jika n membagi selisih a − b, atau jika a − b = kn untuk suatu bilangan bulat k. Dibaca juga, a kongruen dengan b modulo n, atau a kongruen modulo n dengan b.

Untuk lebih memahami denisi ini kita amati contoh berikut.

Contoh 3.3. Ambil n = 7 maka diperoleh beberapa fakta berikut 3 ≡ 24 mod(7) sebab 3 − 24 = 21 terbagi oleh 7, −31 ≡ 11 mod(7)sebab −31 − 11 = −42 terbagi oleh 7, −15 ≡ −64mod(7)sebab −15 + 64 = 49 habis dibagi 7. Tetapi 25  12 mod(7)sebab 25 − 12 = 13 tidak habis dibagi 7, yaitu 25 tidak kongruen dengan 12 modulo 7.

Pada bagian lainnya relasi kongruensi ini juga terkadang menggunakan notasi a ≡ b(mod n), atau a ≡n b. Bila bilangan modulo n sudah dipahami dengan baik maka

cukup ditulis sederhana dengan a ≡ b.

Bila pada algoritma pembagian, diambil n sebagai pembagi maka sebarang bilangan bulat a selalu terdapat hasil bagi q dan sisa r sehingga

a = qn + r, 0 ≤ r < n.

Berdasarkan denisi kongruensi, relasi ini dapat ditulis sebagai a ≡ r mod(n).Karena ada n pilihan untuk r maka disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat pasti kongruen modulo n dengan salah satu bilangan 0, 1, · · · , n − 1. Khusunya n|a bila hanya bila a ≡ 0mod(n). Himpunan bilangan {0, 1, · · · , n−1} disebut residu taknegatif terkecil modulo n. Secara umum, kumpulan bilangan bulat a1, a2, · · · , an dikatakan

memban-gun himpunan lengkap residu modulo n jika setiap bilangan bulat kongruen dengan salah satu bilangan ak. Dengan kata lain jika a1, a2, · · · , an kongruen modulo n dengan

Contoh 3.4. Bilangan −12, −4, 11, 13, 22, 82, 91 membentuk himpunan lengkap residu modulo 7 sebab

−12 ≡ 2, −4 ≡ 3, 11 ≡ 4, 13 ≡ 5, 22 ≡ 1, 82 ≡ 5, 91 ≡ 0.

Jadi prinsipnya dalam suatu himpunan residu lengkap tidak ada dua bilangan yang saling modulo, misalnya a2 ≡ a5. Berikut sifat dua bilangan bulat sebarang jika mereka

saling modulo.

Teorema 3.1. Untuk sebarang bilangan bulat a dan b, a ≡n b bila hanya bila mereka

memberikan sisa yang sama bila dibagi oleh n.

Bukti. Karena a ≡n b maka berdasarkan denisi a = b + kn untuk suatu k bulat.

Misalkan b memberikan sisa r jika dibagi n, yaitu b = qn + r, dengan 0 ≤ r < n. Selanjutnya sisa a jika dibagi n dapat ditemukan sebagai berikut

a = (qn + r) + kn = (q + k)n + r,

ternyata juga memberikan sisa r. Sebaliknya, misalkan keduanya memberikan sisa yang sama jika dibagi oleh n, katakan

a = q1n + r, b = q2n + r

maka a − b = (q1− q2)n, yakni a ≡nb. 

Kongruensi dapat dipandang sebagai generalisasi dari relasi sama dengan. Bila dua bi-langan sama maka mereka kongruen terhadap sebarang modulo. Namun dua bibi-langan yang tidak sama boleh jadi mereka kongruen terhadap modulo tertentu. Sebaliknya dua bilangan yang kongruen modulo tertentu belum tentu sama. Teorema berikut mem-berikan sifat-sifat dasar kongruensi.

Teorema 3.2. Misalkan n > 1 sebagai bilangan modulo dan a, b, c, d adalah bilangan bulat sebarang. Maka pernyataan berikut berlaku :

1. a ≡ a (sifat reeksif)

2. a ≡ b bila hanya bila b ≡ a (simetris) 3. bila a ≡ b dan b ≡ c maka a ≡ c (transitif)

5. bila a ≡ b dan k bulat positif sebarang maka ak _{≡ b}k_.

Bukti. Karena a − a = 0 · n maka disimpulkan a ≡ a. Untuk pernyataan 2, gunakan denisi yaitu a ≡ b↔ a − b = q · n ↔ b − a = (−q) · n ↔ b ≡ a. Pada pernyataan 3, diketahui a ≡ b dan b ≡ c yaitu a − b = q1· n dan b − c = q2· n. Diperoleh

a − b + b − c = (q1+ q2

| {z }

q

) · n ↔ a − c = q · n,

yakni a ≡ c. Untuk pernyataan 4, diketahui a − b = q1· n dan c − d = q2· n. Bila

kedua ruas dijumlahkan diperoleh (a+c)−(b+d) = (q1+ q2) · n, yaitu a+c ≡ b+d.

Untuk sifat multiplikatif dicoba sendiri. Pernyataan terakhir dibuktikan dengan menggunakan prinsip induksi matematika. Untuk k = 1 maka jelas dipenuhi sebab diketahui a ≡ b. Misalkan berlaku untuk k: ak_{≡ b}k_{maka a}k+1 _{= a}k_{a ≡ b}k_{b = b}k+1_,

yaitu berlaku untuk k + 1. 

Contoh 3.5. Buktikan 41 membagi habis 220_{− 1.}

Bukti. Disini kita berhadapan dengan bilangan yang cukup besar sehingga sangat sulit ditangani langsung. Dengan menggunakan kongruensi, permasalahan ini dapat diselesaikan dengan mudah. Ambil bilangan modulo 41, arahkan salah satu bilan-gan kongruensinya adalah 220_{. Berangkat dari fakta sederhana 2}5 _{≡ −9 tentunya}

dalam modulo 41. Dengan Torema (3.2)(5) maka dengan mempangkatkan dengan 4diperoleh

25
4

≡ (−9)4 _{= (81)(81) ≡ (−1)(−1) = 1}

sehingga diperoleh 220 _{≡ 1, yakni 2}20_{− 1merupakan kelipatan 41. }

Contoh 3.6. Tentukan sisanya jika 1! + 2! + 3! + · · · + 100! dibagi oleh 12.

Penyelesaian. Tanpa teori kongruensi masalah ini mungkin tidak dapat diselesaikan. Mulailah dari suku pada deret tersebut yang habis dibagi 12. Dalam hal ini kita mempunyai 4! = 24 ≡ 0 modulo 12. Karena suku selanjutnya pasti memuat faktor 4! maka suku-suku tersebut juga habis dibagi oleh 12. Jadi, sisanya hanyalah 1! + 2! + 3! = 9. Karena bilangan ini tidak dapat dibagi 12 maka inilah sisa yang dimaksud, yaitu 9. 

Pada Teorema (3.2) telah dnyatakan bahwa jika a ≡ b maka ac ≡ bc terhadap modulo yang sama. Sebaliknya, belum ada sifat kanselasi atau pembagian yang membawa ac ≡ bc menjadi a ≡ b. Ternyata sifat ini tidak berlaku otomatis, seperti diberikan pada teorema berikut.

Teorema 3.3. Jika ac ≡ bc(mod n)maka a ≡ b(modn

d)dimana d = gcd(c, n).

Bukti. Berdasarkan hipotesis dapat ditulis

(a − b)c = ac − bc = k · n

untuk suatu k bulat. Karena d = gcd(c, n) maka kedua bilangan bulat r := c d dan

s := n_d adalah prima relatif. Substitusi c = dr dan n = ds ke dalam persamaan sebelumnya diperoleh

(a − b)dr = k(ds) → (a − b)r = k · s

Jadi, s|(a−b)r. Karena gcd(r, s) = 1 maka s|(a−b) yang berarti a ≡ b(mod s)atau a ≡ c(modn_d). _

Akibat 3.1. Jika ac ≡ bc(mod n)dan gcd(c, n) = 1 maka a ≡ b(mod n).

Akibat ini menyatakan bahwa kita dapat melakukan kanselasi c pada ac ≡ bc asalkan c dan n prima relatif. Amati bahwa jika p prima dan p - c maka gcd(p, c) = 1. Fakta ini menghasilkan akibat berikut.

Akibat 3.2. Jika p prima, p - c dan ac ≡ bc(mod p)maka a ≡ b(mod p).

Contoh 3.7. Sederhanakan kongruensi berikut: 33 ≡ 15(mod 9)dan −35 ≡ 45(mod 8). Penyelesaian. Kongruensi pertama diselesaikan sebagai berikut:

33 ≡ 15(mod 9) ↔ 11 · 3 ≡ 5 · 3(mod 9) ↔ 11 ≡ 5(mod 9) sebab gcd(3, 9) = 3. Untuk kongruensi kedua diselesaikan sejalan,

−35 ≡ 45(mod 8) ↔ 5 · (−7) ≡ 5 · 9(mod 8) ↔ −7 ≡ 9(mod 8) sebab 5 dan 8 prima relatif. 

3.2 Kelas-kelas Ekuivalensi

Pada Teorema (3.2), sifat reeksif, simetris dan transitif menunjukkan bahwa untuk sebarang n bulat positif, relasi kongruensi ≡nmerupakan relasi ekuivalensi pada Z.

kelas-kelas ekuivalensi. Kelas-kelas ekuivalensi ini dinyatakan dengan notasi [a]ndan

didenisikan sebagai

[a]_{n: = {b ∈ R : a ≡ b(mod n)}}

= {· · · , a − 2n, a − n, a, a + n, a + 2n, · · · } .

Jadi [a]nmerupakan himpunan semua bilangan bulat yang kongruen modulo n dengan a.

Kita memandang para bilangan di dalam [a]n ini sebagai satu kesatuan. Bila bilangan

modulo n sudah dipastikan maka cukup menggunakan notasi [a] untuk maksud [a]n.

Karena pembagian dengan n akan memberikan n kemungkinan sisa r = 0, 1, · · · , n − 1 sehingga setiap bilangan pada Z pasti kongruen dengan salah satu sisa tersebut. Jadi sesungguhnya bilangan bulat Z terpartisi atas n kelas ekuivalensi, yaitu

[0] = {· · · , −2n, n,0, n, 2n, · · · }

[1] = {· · · , 1 − 2n, 1 − n,1, 1 + n, 1 + 2n, · · · } [2] = {· · · , 2 − 2n, 2 − n,2, 2 + n, 2 + 2n, · · · }

...

[n − 1] = {· · · , −n − 1, −1,n − 1, 2n − 1, 3n − 1, · · · }

Tidak ada kelas ekuivalensi lainnya. Bila dilanjutkan maka kelas ekuivalensi berikutnya kembali ke semula. Misalnya,

[n] = {· · · − n, 0,n, 2n, 3n, · · · } = [0]. Secara umum berlaku

[a] = [b] ←→ a ≡ b(mod n). (3.1)

Contoh 3.8. Untuk n = 1 hanya terdapat 1 kelas ekuivalensi, yaitu [0] = {0 + k · 1 : k ∈ Z} = {k : k ∈ Z} = Z. Untuk n = 2 terdapat dua kelas ekuivalensi, yaitu

[0] = {0 + k · 2 : k ∈ Z} = {2k : k ∈ Z} = 2Z

Denisi 3.2. Untuk suatu n ≥ 1 yang diberikan, Zn didenisikan sebagai himpunan

kelas-kelas ekuvalensi terhadap modulo n, yaitu

Zn:= {[0], [1], · · · , [n − 1]} (3.2)

Selanjutnya, pada Zn didenisikan operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian

berikut:

[a] + [b] := [a + b], [a] − [b] = [a − b], [ab] = [a][b] (3.3) untuk setiap [a], [b] ∈ Zn.

Perbedaan Z dan Zn dapat dijelaskan sebagai berikut: Z merupakan himpunan semua

bilangan bulat sehingga banyak anggotanya takberhingga, sedangkan Zn merupakan

himpunan yang memuat kelas-kelas ekuivalensi. Jadi banyak anggota Znberhingga yaitu

hanya n anggota, sedangkan masing-masing kelas mempunyai takberhingga anggota. Setiap a ∈ Z, pasti termuat ke dalam salah satu kelas ekuivalensi di dalam Zn. Ilustrasi

kelas-kelas ekuivalensi ditunjukkan pada Gambar berikut.

[0] [1] [2] [3] . . . [n-1]

Figure 3.1: Kelas-kelas ekuivalensi pada Z

Contoh 3.9. Tentukan residu taknegatif terkecil modulo 35 dari 28 × 33.

Penyelesaian. Pertanyaan ini sama saja dengan menentukan sisa 28 × 33 jika dibagi 35. Gunakan kongruensi,

karena 0 ≤ 14 < 35 maka disimpulkan residu teknegatif terkecil yang dimaksud adalah 14. Coba cek pakai kalkulator! 

Contoh 3.10. Tentukan digit terakhir angka desimal dari 1! + 2! + 3! + · · · + 10!. Penyelesaian. Digit terakhir hanya ditentukan oleh suku-suku yang angka desimalnya

tidak 0. Perhatikan pertama bilangan 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Bilangan selanjutnya pasti kelipatan 10. Jadi dapat ditulis

1! + 2! + 3! + 4! + · · · + 10! = 1 + 2 + 6 + 24 + 10k = 33 + 10k = 3 + (3 + k)10. Karena suku kedua bilangan terakhir ini berakhir dengan 0 maka disimpulkan digit terakhir yang dimaksud adalah 3. 

3.3 Kongruensi Linier

Denisi 3.3. Sebuah persamaan yang berbentuk ax ≡ b(mod n)disebut kongruensi linier. Penyelesaiannya adalah setiap bilangan x0 yang memenuhi ax0 ≡ b(mod n).

Dengan denisi ini untuk setiap penyelesaian x0 berlaku n|(ax0 − b), ekuivalen dengan

ax0 − ny = b untuk suatu bilangan bulat y0. Jadi menyelesaikan kongruensi linier

ax ≡ b(mod n) sama saja dengan menyelesaikan persamaan Diophantine ax0− ny0 = b

Pada kongruensi linier ax ≡ b(mod n), jika x penyelesaian dan x0 _{≡ xmaka ax}0 _{≡ ax =}

b, jadi x0 juga merupakan penyelesaian. Walaupun x dan x0 berbeda dalam arti biasa namun mereka dianggap 'sama' karena membentuk kelas ekuivalensi. Sebagai contoh, x = 3 dan x = −9 keduanya memenuhi 3x ≡ 9(mod 12) sebab 3 ≡ −9(mod 12). Kedua penyelesaian ini dianggap sama. Banyaknya penyelesaian dihitung berdasarkan banyaknya penyelesaian yang tidak kongruen.

Teorema 3.4. Jika d = gcd(a, n) maka kongruensi linier ax ≡ b(mod n)

tertentu (khusus) maka penyelesaian umumnya diberikan oleh x = x0+

n

dt, t ∈ Z.

Khususnya, para penyelesaian ini membentuk tepat d kelas-kelas ekuivalensi dengan rep-resentasi x = x0, x0+ n d, x0+ n d(2), · · · , x0+ n d(d − 1).

Bukti. Karena kongruensi linier ax ≡ b(mod n) ekuivalen dengan persamaan Diophan-tine ax − ny = b maka ia mempunyai penyelesaian jika d = gcd(a, n) membagi b, yaitu d|b. Bila x0 dan y0 penyelesaian khusus persamaan ini maka penyelesaian

umumnya dapat disajikan sebagai x = x0+

n

dt, y = y0+ a dt.

Selanjutnya ditunjukkan hanya terdapat tepat d penyelesaian berdasarkan kelas-kelas ekuivalensi x = x0, x0+_dt, x0+2t_d, · · · , x0+(d−1)t_d . Untuk ini pertama

dibuk-tikan tidak ada para panyelesaian ini yang kongruen satu sama lainnya. Andaikan ada dua yang kongruen, katakan x0+ n_dt1 dan x0 +n_dt2 maka diperoleh

x0+ n dt2 ≡ x0+ n dt1(mod n), 0 ≤ t1 ≤ t2 < d n dt2 ≡ n dt1(mod n) t2 ≡ t1(mod d), sebab gcd n d, n  = n d.

Akhirnya diperoleh d|(t2 − t1). Hal in tidaklah mungkin karena t2 − t1 < d.

Kontradiksi. Jadi disimpulkan semua penyelesaian ini tidak ada yang kongruen, atau mereka dianggap penyelesaian yang berbeda. Dibuktikan juga bahwa selain dari penyelesaian tersebut yaitu x = x0 + n_dt, t = d, d + 1, · · · kongruen dengan

salah satu penyelesaian tersebut. Berdasarkan algoritma pembagian, dapat ditulis t = qd + r, 0 ≤ r < d sehingga x0+ n dt = x0+ n d (qd + r) = x0+ nq + n dr ≡ x0+ n dr(mod n).

Akibat 3.3. Bila gcd(a, n) = 1 maka kongruensi linier ax ≡ b(mod n) mempunyai tepat satu penyelesaian.

Contoh 3.11. Diperhatikan kongruensi linier 18x ≡ 30(mod 42). Apakah kongruensi ini mempunyai penyelesaian? Bila iya, ada berapa penyelesaian berbeda? Temukan penyelesaian tersebut!

Penyelesaian. Karena d = gcd(18, 42) = 6 dan ia membagi 30 maka disimpulkan kon-gruensi ini mempunyai penyelesaian, dengan banyak penyelesaian berbeda 6 buah. Untuk menyelesaikan kongruensi ini, ubah dulu ke dalam bentuk persamaan Dio-phantine berikut 18x − 42y = 30. Tapi cara ini cukup panjang. Cara lain dapat pula dengan melakukan inspeksi langsung, yaitu dapat diperiksa bahwa x0 = 4

adalah salah satu penyelesaian. Penyelesaian umumnya dapat ditulis sebagai x = 4 + 7t(mod 42), t = 0, 1, · · · , 5

atau x = 4, 11, 18, 25, 32, 39(mod 42).

Contoh 3.12. Selesaikan kongruesi linier berikut (i) 9x ≡ 21(mod 30)

(ii) 7x ≡ 3(mod 12) (iii) 10x ≡ 6(mod 12)