Contoh. Teknik Menghitungdan Kombinatorial. Contoh. Combinatorics

Teknik Menghitungdan

Kombinatorial

Contoh

Berapa banyak pelat nomor bisa dibuat dengan mengunakan 3 huruf dan 3 angka?

Berapa banyak pelat nomor bisa dibuat dengan menggunakan 3 huruf dan 3 angka tapi tanpa perulangan huruf?
Berapa banyak cara mengecat 6 kamar

menggunakan 4 warna cat?

Contoh

Berapa banyak cara mengurutkan 9 orang dalam barisan?

Berapa banyak cara mengatur quiz sehingga tidak satupun dari kalian mendapatkan soal yang sama?

Berapa banyak fungsi berbeda yang mungkin ada antara dua himpunan terbatas A dan B?

Combinatorics

Adl cabang dari matematika diskrit

tentang cara mengetahui ukuran himpunan terbatas tanpa harus melakukan perhitungan setiap elemennya secara aktual.

Combinatorics

Aturan Jumlah :

 Misal sebuah tugas bisa diselesaikan setelah menyelesaikan tepat satu tugas lainnya dalam sebuah kumpulan sub-tugas saling bebas yang terbatas: sub-tugas₁, sub-tugas₂, ... , sub-tugas_n;  Sekarang, misal tiap tugas mempunyai beberapa

cara untuk dilakukan, misal

• Sub-tugas1bisa dilakukan sebanyak t1cara, • Sub-tugas2bisa dilakukan sebanyak t2cara, • ...

• Sub-tugasnbisa dilakukan sebanyak tncara.

 Maka banyaknya cara untuk melakukan tugasitu adalah:

t₁+ t₂+ ... + t_n

Aturan Jumlah

Contoh:

Anna punya lima novel, empat majalah, dan tiga

buku pengetahuan umum. Berapa banyak cara bisa dilakukan Anna untuk memilih bahan bacaan sambil menunggu antrian di bank?

Nna punya tiga tugas – memilih novel, memilih

majalah, atau memilih buku. Yang pertama bisa dilakukan dengan 5 cara, yang kedua, 4 cara, dan yang ketiga dengan 3 cara. Sehingga terdapat: 5 + 4 + 3 = 12 cara untuk memilih bahan bacaaan.

Aturan Jumlah

Contoh:

 Misal salah satu dosen atau dalah satu

mahasiswa informatika harus dipilih menjadi anggota komite. Jika terdapat 4 dosen dan 16 mahasiswa, ada berapa banyak cara memilih seorang anggota komite?

Aturan Jumlah

Contoh:

Misal mahasiswa harus mengambil sebuah mata

kuliah dari program studi lain yang merupakan bagian dari kurikulum, jika terdapat 3 mata kuliah dari prodi matematika, 4 dari prodi fisika, dan 4 dari prodi kimia. Ada berapa cara memilih satu mata kuliah?

Combinatorics

Aturan Kali:

 Misal sebuah tugas harus diselesaikan, dan dalam tugas

tersebut terdapat sederetan n sub-tugas untuk menyelesaikan:

tugas = sub-tugas1, sub-tugas2, sub-tugas3, ..., sub-tugasn

dimana tiap sub-tugas mempunyai sebanyak txcara

untuk menyelesaikannya • Sub-tugas1= t1cara,

• Sub-tugas2= t2cara stlh sub-tugas1selesai, • Sub-tugas3= t3cara stlh sub-tugas1dan sub-tugas2

selesai, ... ,

• Sub-tugasn= tncara stlh sub-tugas1... sub-tugasn-1

selesai

Maka banyak cara untuk menyelesaikan tugas adl t1⋅t2⋅t3⋅... ⋅tn

Berapa cara bisa dipilih untuk mengecat 3 kamar menggunakan 4 warna?

Tugas:

• 1 - mengecat kamar 1 - 4 cara (4 warna) • 2 - mengecat kamar 2 - 4 cara (4 warna) • 3 - mengecat kamar 3 - 4 cara (4 warna) Jadi terdapat t1= 4, t2= 4, t3= 4, dan

4 ⋅4 ⋅4 = 64 cara untuk mengecat 3 kamar dengan 4 warna

Contoh - Aturan Kali

Contoh – Aturan Kali

Berapa cara bisa dipilih untuk mengecat 3

kamar menggunakan 4 warna, jika tiap kamar berbeda warna?

 tugas:

• 1 - mengecat kamar 1 - 4 cara (4 warna) • 2 - mengecat kamar 2 - 3 cara (3 warna) • 3 - mengecat kamar 3 - 2 cara (2 warna)

Contoh – Aturan Kali

Terdapat berapa cara berbeda untuk

mengurutkan 9 orang?

Terdapat 9 tugas – memilih orang pertama, memilih orang kedua, dst, …

Tugas pertama mempunyai 9 pilihan, kedua 8 pilihan, ... dan terakhir kesembilan hanya 1 pilihan, shg terdapat:

Contoh – Aturan Kali

Berapa banyak cara berbeda memilih 3

orang dalam sebuah grup yang terdiri dari 8 orang untuk menjadi ketua, wakil ketua, dan bendahara?

Contoh - Aturan Kali

Jika kartu identitas mahasiswa

merupakan perpaduan antara dua huruf dan tiga angka, berapa kartu identitas yang mungkin?

Jika hurufnya harus berbeda?

Jika huruf dan angkanya harus berbeda?

Aturan Kali:

 Jika A dan B adl dua himpunan terbatas, maka:

|A

×

B| = |A|

⋅

|B|

 Kardinalitas dari perkalian kartesian adalah perkalian dari kardinalitas kedua himpunan.

Combinatorics

Jika A = {a, b, c, d, e}, B = {1, 3, 5, 7}
Berapa banyak pasangan (x, y) yang

mungkin dimana x∈A dan y∈B?
Kardinalitas A×B = |A| ⋅|B| = 5 ⋅4 = 20

Berapa banyak pelat nomor bisa dibuat yang mengandung 3 huruf diikuti oleh 3 angka?

26⋅26⋅26⋅10⋅10⋅10 = 17576000

Contoh – Aturan Kali

Aturan Jumlah:

Jika A dan B adl dua himpunan yang terpisah, maka:

|A ∪B| = |A| + |B|

Kardinalitas dari gabungan dua

himpunan yang terpisah adalah jumlah dari kardinalitas keduanya.

Combinatorics

Contoh – Aturan Jumlah

Jika A = {a, b, c, d, e}, B = {1, 3, 5, 7}
Berapa banyak cara untuk mengambil

sebuah elemen?

|A ∪B| = |A| + |B| = 5 + 4 = 9.

Contoh – Aturan Jumlah

Andi punya lima lagu Indonesia, empat lagu Barat, dan tiga lagu Korea.

Berapa banyak pilihan yang Andi punya untuk memilih satu lagu?

Contoh

Seandainya anda punya 3 pasang sepatu, 6 pasang kaos kaki, 4 celana, dan 6 kemeja.

 Berapa banyak perpaduan pakaian yang bisa

dipilih dari persediaan anda diatas?

(pakaian terdiri dari sepatu, sepasang kaos kaki, satu celana, dan satu kemeja)

Contoh

Perhatikan graf berikut.

a)Berapa banyak cara untuk untuk bepergian dari A ke B, dan kembali ke A, tanpa melalui C? b) Berapa banyak cara dari A ke C, berhenti

sekali di B?

c)Berapa banyak cara dari A ke C jika hanya boleh berhenti sekali?

A B C

Contoh

Sebuah komplek apartemen mempunyai 26 antena televisi. Tiap pasang apartemen menggunakan satu antena. Berapa banyak apartemen dalam komplek tersebut?

Contoh

Dua kartu ditarik dari satu deck kartu, satu persatu. Berapa banyak keluaran yang mungkin jika

a) Urutan keluaran kartu diperhatikan? b) Urutan keluaran kartu tidak diperhatikan?

Contoh

Jika sebuah koin dilempar sebanyak 5 kali dan urutan keluarannya dicatat,

 Ada berapa banyak kemungkinan urutan

keluaran ini?

Contoh

Berapa banyak bilangan bulat antara 0 dan 1,000,000 mengandung angka9?

Prinsip Kandang Burung

Jika terdapat k + 1 atau lebih obyek yang ditempatkan dalam k kotak, maka paling tidak terdapat satu atau lebih kotak yang berisi dua atau lebih obyek.

Prinsip Kandang Burung

jika k + 1 atau lebih obyek ditampatkan dalam k kotak, maka terdapat sedikitnya satu kotak mengandung dua atau lebih obyek.

Prinsip Kandang Burung

jika k + 1 atau lebih obyek ditampatkan dalam k kotak, maka terdapat sedikitnya satu kotak mengandung dua atau lebih obyek.

Prinsip Kandang Burung

jika k + 1 atau lebih obyek ditampatkan dalam k kotak, maka terdapat sedikitnya satu kotak mengandung dua atau lebih obyek.

Bukti: Misal tidak satupun dari k kotak

mengandung lebih dari satu obyek. Maka banyak obyek maksimum adl k. Hal ini adl kontradiksi, krn sdh

dinyatakan maka terdapat sedikitnya k + 1 obyek.

Prinsip Kandang Burung

Diantara 367 orang, terdapat paling sedikit 2 orang yang berulang tahun dihari yg sama, karena hanya terdapat 366 hari yang mungkin.

Dalam koleksi 10 angka, terdapat paling sedikit 2 digit yang sama.

Dalam koleksi 11 angka, terdapat paling sedikit 2 digit yang sama.

Prinsip Kandang Burung

Berapa banyak orang dalam ruang yang membuat kita yakin terdapat sedikitnya dua orang mempunyai hari ulang tahun yang sama?

Prinsip Kandang Burung

Apa ada dua orang di Banda Aceh yang mempunyai jumlah rambut yg sama?
Apa ada dua orang di Informatika yang

mempunyai ulang tahun yang sama?
Apa ada dua orang di Informatika yang

berulang tahun pada tanggal 14 Juli?

Prinsip Kandang Burung

Prinsip Kandang Burung Secara Umum:

Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang mengadung paling tidak

N/kobyek.

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang mengandung paling tidak

N/kobyek.

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang mengadung paling tidak

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang mengadung paling tidak

N/kobyek.

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Bukti: Misal tidak terdapat satupun kotak

yang mengandung lebih dariN/k- 1 obyek. Maka jumlah total dari obyek adl:

k (N/k- 1).

Tapi karenaN/k< (N/k + 1), kita dapatkan: k (N/k- 1) < k (((N/k + 1) - 1) = N, maka k (N/k- 1) < N

yg merupakan kontradiksi karena jumlah total obyek seharusnya adl N.

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Diantara 100 orang terdapat paling tidak

100/12= 9 orang yang mempunyai bulan kelahiran yang sama.

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Di FMIPA paling tidak terdapat

500/366= 2 orang dengan hari ulang tahun yang sama.

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Dalam sebuah kelas yang berisi 44 siswa, berapa banyak yang akan menerima grade yang sama dalam skala {A, B, C, D, F}.

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Berapa banyak orang yang harus kita survey sdh kita yakin terdapat paling tidak 50 orang yang memilih calon gubernur yang sama?

(BuatN/5= 50)

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Diberikan n adl bilangan bulat positif.

Tunjukkan bahwa sebarang himpunan yang terdiri dari n bil bulat yang berurutan terdapat tepat satu angka yang bisa dibagi oleh n.

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Sebuah jaringan komputer terdiri dari 6 komputer.

Tiap komputer terhubung secara langsung dengan nol atau lebih komputer yang lain.

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Tunjukkan bahwa jika tujuh bil bulat dipilih dari 8 bil bulat positif yang pertama, maka terdapat pasangan bil bulat yang jumlahnya sama dengan 9.

 Apakah hal ini masih benar jika empat bil bulat dipilih?

Prinsip Kandang Burung

Secara Umum

Berapa jumlah mahasiswa minimum yang harus diterima Informatika sdh terdapat mahasiswa dari tiap kabupaten/kota di prov. Aceh?

Permutations dan

Combinations

Ada berapa cara dapat kita pilih r buah benda dalam koleksi yang berisi n buah benda?

pilih

Pilih 4 dari 9 bola berwarna

Permutasi dan Kombinasi

Ada berapa cara dapat kita pilih r buah benda dalam koleksi yang berisi n buah benda?
Pernyataan diatas ambigu (membingungkan)

dalam beberapa cara:

Apalkah n buah benda tsb berbeda atau bisa dibedakan?

Apakah benda yg dipilih dlm bentuk

himpunan(koleksi tak berurut) atau harus berupa barisan (berurut)?

Permutasi dan Kombinasi

Contoh: Menggunakan bola:

 Apakah bolanya idektik atau berbeda warna? Apakah beberapa berbeda warna, sdgkan yang lain sama?

 Apaah bola diambil tan berurutan atau berurutan?

 Apakah tiap bola dikembalikan sebelum yang selanutnya dipilih?

Permutasi

Seleksi dari objek yang terurut.
Jika terdapat koleksi yg terdiri dari n

buah obyek, dan kita memilih semua n obyek, maka setiap kemungkinan seleksi adl permutasi dari koleksi.
Pada kasus umum semua obyek

berbeda dan perulangan tidak diperbolehkan.

Permutasi

Kemungkinan permutasi dari tiga bola berbeda warna:

Permutasi

Jika himpunan S = {a, b}. Apa permutasinya?

Permutasi

Jika himpunan S = {a, b, c}. Apa permutasinya?

abc acb bca bac cab cba

Permutasi

Jika himpunan S = {a, b, c, d}. Apa permutasinya?

abcd acbd bcad bacd cabd cbad

abdc acdb bcda badc cadb cbda

adbc adcb bdca bdac cdab cdba

dabc dacb dbca dbac dcab dcba

Permutasi

Theorema: Banyaknya permutations

dari sebuah himpunan yg terdiri dari n obyek adalah perkalian dari

n(n -1) ... 1 = n

Permutasi

Justifikasi:

Mengatur n obyek dlm urutan memerlukan n tugas. Tugas 1 Pilih obyek pertama (n pilihan) Task 2 Pilih obyek kedua(n-1 pilihan) ...

Task n Pilih obyek terakhir (ke-n) (1 pilihan)

Maka, oleh aturan kali, banyaknya cara untuk mengatur n obyek adl:

Permutasi

Berapa banyak cara mengatur 9 regu dalam parade?

9 •8 •7 •6 •5 •4 •3 •2 •1 = 362880

r-Permutasi

Mengatur sebuah subset dari sebuah koleksi obyek.

Jika terdapat sebuah koleksi n obyek, dan kita memilij sebanyak r obyek dari n obyek, dimana 0<r≤n, maka setiap kemungkinan koleksi yang mungkin dinamakan r-permutasi.

r-Permutasi

Mengambil 4 bola dari 9 bola

ambil

r-Permutasi

Himpunan S = {a, b, c}.

Apa saja 2-permutasi dari S?

ab ba ac ca bc cb

r-Permutasi

Himpunan S = {a, b, c, d}.

Apa saja 2-permutasi dari S?

ab ac ad ba bc bd

ca cb cd da db dc

r-Permutasi

Himpunan S = {a, b, c, d}.

Apa saja 3-permutasi dari S?

abc acb bac bca cba cab (dari {a, b, c}) abd adb bad bda dba dab (dari {a, b, d}) adc acd dac dca cda cad (dari {a, c, d}) dbc dcb bdc bcd cbd cdb (dari {b, c, d})

r-Permutasi

Theorema: Banyaknya r-permutasi dari

sebuah himpunan berisi n obyek, ditulis P(n, r) adl:

)!

(

!

)

1

(

)

1

(

)

(

r

n

n

n-r

...

n

n, r

P

−

=

+

=

r-Permutasi

Justifikasi:

Mengatur r dari n obyek kedalam urutan memerlukan sebanyak r tugas.

Tugas 1 Ambil obyek pertama (n pilihan) Tugas 2 Ambil obyek kedua (n-1 pilihan)

…

Tugas r Ambil obyek ke-r (n - r + 1 pilihan) Maka dgn aturan kali:

! ) 1 ( ) 1 (n- ... n-r n n − = +

r-Permutasi

Sebuah balapan kuda dgn 8 ekor kuda.

Jika seorang petaruh memilih tiga kuda scr acak, dan memasang taruhan pada kuda pertama, kedua, dan ketiga scr berurutan, ada berapa cara dia bisa memilih kuda?

P(8,3) = 8 •7 •6 = 336 permutasi yg mungkin

Jadi ada 336 cara.

r-Permutasi

Untuk menyampaikan pesan rahasia, dua kapal mempunyai tiga tiang bendera dan 10 bendera yang berbeda (satu bendera tiap tiang).

Ada aberapa cara menyampaikan pesan?

r-Permutasi

Jika pelat nomor terdiri dari 3 huruf diikuti oleh 3 angka, dimana huruf dan angka tidak boleh berulang

 Ada berapa kemungkinan pelat nomor?

Kombinasi

Kombinasi – adl sebuah koleksi tak

terurut dari obyek.
Definisi:



Diberikan sebuah himp.S dgn n

obyek. Setiap subset yang

berukuran k dari obyek

Kombinasi

Himpunan A = {a, b, c}.

Apa 2-combinasi dari A?

{a, b} {a, c} {b, c}

Apa 3-combinasi dari A?

{a, b, c}

Apa 1-combinasi dari A?

{a} {b} {c}

Kombinasi

Himpunan B = {a, b, c, d}.

Apa 2- combinasi dari B?

{a, b} {a, c} {a,d} {b, c} {b, d} {c, d}
Apa 3-combinasi dari B?

{a, b, c} {a, c, d} {b, c, d} {a, b, d}

Kombinasi

Bandingkan 3-combinasi dgn 3-permutasi dari B:

3-permutasi 3-combinasi abc acb bac bca cba cab {a, b, c} abd adb bad bda dba dab {a, b, d} adc acd dac dca cda cad {a, c, d} dbc dcb bdc bcd cbd cdb {b, c, d}

Kombinasi

Menunjukkan bahwa tiap r-combinasi mempunyai kemungkinan r-permutasi. Jadi:

Theorema: Banyaknya r –combinasi

dari n obyek berbeda adl:

)!

(

!

!

!

)

,

(

)

,

(

r

n

r

n

r

r

n

P

k

n

C

−

=

=

Kombinasi

 Justifikasi: Kita dapatkan banyaknya permutasi, kemudian kita bagi dengan faktor yang kita dptkan berulang. Karena tial r-kombinasi dari n obyek bisa diurutkan kedalam P(r,r) = r! cara, maka kita bagi banyaknya r-permutations dgn r!.

)!

(

!

!

!

)

,

(

)

,

(

r

n

r

n

r

r

n

P

k

n

C

−

=

=

Kombinasi

Anka C(n,r) juga biasa dituliskan sbg:

Bisa dibaca n diambil r obyek.













=

r

n

r

n

C

(

,

)

Kombinasi

Brp banyak subset dgn ukuran 5 dari himpunan {1, 2, 3, ..., 10}? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ! 5 ! 5 ! 10 ! 5 ) 5 , 10 ( 5 10 ) 5 , 10 ( ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = =       = P C

Kombinasi

Berapa banyaknya subset dgn ukuran 7 dai himpunan {1, 2, 3, ..., 10}?

Berapa banyak subset dgn ukuran 3?
Berapa banyak subset dgn ukuran 2?
Berapa banyak subset dgn ukuran 8?

Kombinasi

Berapa banyak 5 kartu yang bisa dimabil dari deck dgn 52 kartu?

Kombinasi

Sebuah klub mempunyai anggota 5 lelaki dan 7 perempuan.

Ada berapa cara membentuk komite yang terdiri dari 7 orang dgn aturan 3 lelaki dan 4 perempuan?

• 2 tugas – pilih lelaki, kemudian pilih perempuan. • Jadi: C(7,4) · C(5,3)

Ada berapa cara membentuk komite yang terdiri dari 7 orang?

Kombinasi

Ada berapa subset ukuran 2 dari himpunan {1, 2, ..., 20} yang tidak mengandung 2 angka yg berurutan?
Solusi:

 Hitung banyaknya subset yg mengandung 2 angka yg berurutan, dankurangkan dari total jumlah subset ukuran 2yg mungkin.  Terdapat 19 subset yg mengandung 2

angka berurutan, contoh. {1,2}, {2,3}, {3,4},

Kombinasi

Berapa banyak byte mengadung tepat empat 1?

Kombinasi

Sebuah klub terdiri dari 5 lelaki dan 6 perempuan.

 Brp banyak cara utk membentuk komite dgn 3 org?  Brp banyak cara utk membentuk komite yg terdiri

dari 3 lelaki dan 4 perempuan?

 Brp banyak cara utk membentuk komite dgn 6 orang jika 2 perempuan menolak utk bekerjasama?  Brp banyak cara utk membentuk komite dgn lelaki

dan 3 perempuan jika 2 lelaki menolak bekerjasama?

Kombinasi

Solusi:  C(11,3)  C(5,3)·C(6,4)  C(11,6)-C(9,4)  (C(5,4)-C(3,2))·C(6,3)