Laporan Praktikum
Penyelesaian Masalah Integrasi Numerik
Menggunakan Metode Simpson dan Trapesium
Diajukan untuk memenuhi laporan kegiatan Praktikum Komputasi Fisika
Disusun Oleh :
Nama : Yedija Yosua NIM : 14/366738/PA/16249 Hari,Tanggal Praktikum : 13 April 2016
Asisten : Rizky Zul Ashari Hasibuan Muhammad Yusrul Hanna
LABORATORIUM FISIKA KOMPUTASI
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
YOGYAKARTA
1.
Pendahuluan
1.1
Latar Belakang
Dalam dunia sains dan teknik sudah sangat dikenal bahwa bentuk model bagi sistem fisis sering kali dapat berupa persamaan integral. Untuk beberapa kasus, permasalahan integral ini tidak bisa diselesaikan secara analitik. Sehingga pada keadaan demikian diperlukan pendekatan numeric. Pada analisis numeric, Integrasi numerik membentuk sebuah cabang yang luas mengenai algoritma untuk menghitung nilai numeric dari integral tentu dan dengan adanya perluasan, maka hasil yang didapatkan tersebutkan juga terkadang digunakan untuk mendeskripsikan penyelesaian numeric dari persamaan diferensial.
Untuk beberapa kasus yang bisa diselesaikan secara analitik, melalui penyelesaian numeric seringkali dapat dihasilkan perhitungan operasi integral dengan cepat dan dengan akurasi yang dapat diterima. Oleh karena itu, perhitungan integral bisa dikatakan sebagai permasalahan umum yang elementer dalam komputasi numerik. Seiring dengan itu terdapat banyak pendekatan numeric yang bisa dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan integral. Pada penyelesaian masalah fisis berikut, digunakan metode trapesium dan metode simpson. Kedua metode tersebut akan diterapkan untuk mendapatkan nilai numeric dari hasil perhitungan komputasi. Kemudian, dari kedua metode tersebut akan diperoleh perbandingan hasil antara dua metode dan hasil analitik menggunakan program atau perhitungan praktikan.
1.2
Tujuan
1. Menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan metode trapesium dan metode simpson
2. Menentukan nilai kecepatan massa dari sistem pegas dari hasil perhitungan percepatan massa dengan menggunakan metode trapesim dan simpson
3. Menentukan nilai integrasi fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye dengan menggunakan metode simpson
2.
Dasar Teori
Pada bagian ini akan dijelaskan metode untuk menyelesaikan masalah integrasi numeric suatu fungsi matematis dengan metode Simpson. Dalam analisis numerik, metode simpson digunakan untuk menyelesaikan integral tentu melalui aproksimasi numerik . Metode simpson juga merupakan salah satu jenis rumus dari 3 titik Newton-Cotes “tertutup”. Metode tersebut
merupakan salah satu metode integrasi fungsi yang berbentuk sederhana namun memiliki keakuratan yang cukup tinggi.
Dengan cara tersebut, kemudian dapat dinyatakan integral tersebut sebagai fungsi bobot nilai dari fungsi tersebut di tiga titik yaitu :
∫
∫ ∫ ∫
Metode Simpson membutuhkan integrasi elementer untuk memiliki lebih banyak pasangan interval, dimana hal tersebut membutuhkan yaitu keseluruhan jumlah angka dari interval tersebut dapat bernilai genap atau jumlah titik N tersebut bernilai ganjil. Agar metode simpson tersebut dapat berlaku pada seluruh interval, kemudian akan ditambahkan kontribusi nilai dari setiap pasangan sub-interval, yaitu dinyatakan sebagai berikut :
∫
Sehingga, didapatkan ungkapan metode simpson yang utuh dari penurunan di atas yaitu di bagian halaman selanjutnya tersebut :
∫ adalah cacah interval dan h adalah ukuran langkah atau lebar interval yang diberikan oleh kaitan
Perlu ditekankan bahwa dalam menerapkan metode simpson tersebut maka cacah interval yaitu N harus berupa bilangan genap.
metode trapesium.Metode trapesium bekerja dengan melakukan pendekatan nilai luasan di bawah grafik fungsi sebagai trapesium. Berikut merupakan perumusan dari metode trapesium yaitu
∫ [ ]
Meskipun metode trapesium merupakan bagian dari rumus integrasi numeric Newton-Cotes, namun berdasarkan karakteristik berbeda dengan metode simpson. Metode Simpson memiliki karakteristik konvergensi yang lebih cepat daripada metode trapesium, untuk fungsi yang secara kontinu terdiferensiabel dua kali. Namun untuk fungsi yang sederhana, metode trapesium memiliki konvergensi nilai yang lebih cepat daripada metode simpson.
Berikut ini merupakan beberapa contoh permasalahan integrasi numerik laporan tersebut yaitu :
1) Masalah sistem massa pegas yang bergerak pada batang mendatar dinyatakan dalam bentuk percepatan massa :
√
Dengan kecepatan massa di x = 0 diberikan oleh
√ ∫
2) Perumusan Debye untuk panas spesifik pada padatan dimana
3.
Metode Eksperimen
Listing 1: Program pertama saat menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas
dengan menggunakan metode trapesium (n=20 dan n=40)
Program integrasi IMPLICIT NONE
Real :: x0,xn,h,sum,x2i1,integ,m,myu,k,g,b,v0
Integer :: n,i
!---
!Tentukan batas bawah dan batas atas integral
!serta cacah interval
!Jumlahkan nilai fungsi pada batas bawah
!dan batas atas
!---
sum=fung(x0)+fung(xn)
!Jumlahkan bagian ganjil
!---
Do i=1,(n-1) x2i1=x0+i*h
sum=sum+2.0*fung(x2i1)
write (*,*) sum
End Do
!---
!Nilai integral adalah jumlah semua nilai
!---integ = h*sum/2.0
Write (*,*) "Nilai integral numerik adalah ",integ
v0=sqrt(2*integ)
!---
!Nilai kecepatan awal massa sistem pegas
!---Write (*,*) "Kecepatan awal massa",v0
CONTAINS
FUNCTIONfung(x)
Real :: fung
Real, INTENT(in) :: x
fung=(myu*g)+k/m*(myu*b+x)*(1-(b/sqrt(b**2+x**2)))
End Function fung
Listing 2.Menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan
menggunakan metode simpson (n=20 dan n=40)
Program integrasi IMPLICIT NONE
Real :: x0,xn,h,sum,x2i1,x2i,integ,m,myu,k,g,b,v0
Integer :: n,i
!---
!Tentukan batas bawah dan batas atas integral
!serta cacah interval
!Jumlahkan nilai fungsi pada batas bawah
!dan batas atas
!---
sum=fung(x0)+fung(xn)
!---
!---
!Nilai integral adalah jumlah semua nilai
!---
integ = h*sum/3.0
Write (*,*) "Nilai integral numerik adalah ",integ v0=sqrt(2*integ)
!---
!Nilai kecepatan awal massa sistem pegas
!---Write (*,*) "Kecepatan awal massa",v0
CONTAINS
FUNCTION fung(x)
Real :: fung
fung=(myu*g)+k/m*(myu*b+x)*(1-(b/sqrt(b**2+x**2)))
End Function fung
End Program integrasi
Listing 3. Menentukan nilai integrasi fungsi nisbah temperature absolut dan temperature
debye dengan menggunakan metode simpson (n=20; h=0.05)
Program numerik IMPLICIT NONE
Real :: x0,xn,h,sum,x2i1,x2i,integ,u,a,b,c
Integer :: n,i
!---
!Tentukan batas bawah dan batas atas integral
!serta cacah interval
!---
x0=0.0
xn=1.0
n=20
u=1.0
!---
!Hitung ukuran langkah
!---h=(xn-x0)/n
!---
!Jumlahkan nilai fungsi pada batas bawah
!dan batas atas
!---
!---
!Nilai integral adalah jumlah semua nilai
!---integ = h*sum/3.0
Write (*,*) "Nilai integral numerik adalah ",integ
c=(exp(x)-0.999999)**2
fung=((a*b)/c)
End Functionfung
End Program numerik
4.
Hasil Eksperimen
Setelah dilakukan pembuatan listing program dan mengcompilenya sehingga didapatkan hasil sebagai berikut :
1. Menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan metode trapesium
- n=20
- Nilai integral numerik adalah 3.12170 - Kecepatan awal massa 2.49868 m/s
2. Menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan metode simpson
- n=20
- Nilai integral numerik adalah 3.11919 - Kecepatan awal massa 2.49767 m/s
- n=40
- Nilai integral numerik adalah 3.11982 - Kecepatan awal massa 2.49793 m/s
4. Menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan metode simpson
- n=40
- Nilai integral numerik adalah 3.11919 - Kecepatan awal massa 2.49767 m/s
-5. Menentukan nilai integrasi fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye dengan menggunakan metode simpson
- n=20 ; h=0.05
- Nilai integral numerik adalah 0.317243
6. Menentukan hasil integrasi fungsi nisbah temperatur absolut dan temperature debye melalui plotting grafik dengan wolfram alpha
5.
Pembahasan
Pada praktikum “Penyelesaian masalah integrasi numeric menggunakan metode simpson dan
trapesium” ini menggunakan bahasa pemrograman fortran 90 pada saat berlangsungnya praktikum dan fortran 95 pada saat pengerjaan program di laporan ini. Praktikum tersebut terbagi menjadi 2 bagian yaitu menyelesaikan masalah integrasi percepatan massa dari sistem pegas dan masalah integrasi fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye dengan menggunakan metode simpson dan trapesium. Pada permasalahan sistem massa pegas, nantinya hasil yang diperoleh akan digunakan untuk menentukan nilai dari massa tersebut.
Pada percobaan program pertama ini yaitu menghitung nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan metode trapesium dan simpson. Pertama, praktikan akan menghitung nilai integrasi numeric tersebut dengan perhitungan analitik melalui program
Wolfram alpha. Setelah dilakukan perhitungan analitik tersebut diperoleh hasil yaitu 3.11919. Kemudian, dari nilai tersebut disubstitusikan ke dalam rumus dan didapatkan nilai 2.49767 m/s. Nilai tersebut merupakan hasil dari perhitungan analitik integral tentu. Selanjutnya, praktikan akan menghitung nilai integrasi numeric tersebut dengan metode trapesium. Listing program metode trapesium dinyatakan dalam program dan dilakukan proses compile program. Jumlah iterasi yang ditentukan adalah n=20 dengan ukuran langkah 0.05. Maka, dari proses compile program tersebut diperoleh nilai integrasi numeric yaitu 3.12170 dan nilai adalah 2.49868 m/s. Kemudian, untuk metode simpson dengan jumlah iterasi dan ukuran langkah yang sama diperoleh nilai integrasi numeric yaitu 3.11919 dan nilai adalah 2.49767 m/s.
dengan perhitungan analitik yaitu 3.11919. Dari hasil yang didapatkan dari metode simpson dengan n=20, tampak bahwa dengan metode simpson nilai yang didapatkan jauh lebih baik daripada metode trapesium karena konvergensi menuju hasil analitik yang sebenarnya jauh lebih cepat. Konvergensi dengan metode simpson tersebut juga berpengaruh karena dengan ukuran langkah yang sama diperoleh hasil yang mendekati dengan hasil perhitungan analitik.
Kemudian, praktikan juga ingin membandingkan hasil yang diperoleh dari metode trapesium dan simpson pada n=40. Pada nilai n=40 dengan metode trapesium diperoleh hasil compile program yaitu 3.11982. Pada nilai n=40 dengan metode trapesium diperoleh hasil compile program yaitu 3.11919. Dari kedua hasil yang didapatkan dengan metode yang berbeda tersebut, diperoleh bahwa dengan metode simpson diperoleh hasil yang sama dengan hasil analitik. Sedangkan, pada metode trapesium nilai yang didapatkan lebih baik pada n=40 terhadap hasil analitik. Hasil yang didapatkan tersebut memiliki arti bahwa untuk metode simpson dengan nilai n bernilai genap dengan urutan nilai n yaitu 20,40,60 diperoleh jawaban yang relatif sama. Sedangkan untuk metode trapesium dengan nilai n yang sama diperoleh kekonvergensian yang sangat lambat daripada metode simpson. Sebagai contoh saja yang didapatkan praktikan, untuk metode trapesium, nilai n yang dibutuhkan untuk mencapai hasil yang sama dengan hasil analitik adalah 500. Hal tersebut menunjukkan bahwa metode simpson lebih baik untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat.
Pada percobaan program kedua ini yaitu menentukan nilai integrasi fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye. Metode yang digunakan praktikan yaitu metode simpson 1/3. Tujuan praktikan menggunakan metode simpson dalam menyelesaikan masalah tersebut agar didapatkan hasil yang lebih akurat dengan nilai n yang tidak terlalu besar. Pertama, praktikan akan menghitung nilai integrasi fungsi tersebut dengan perhitungan analitik melalui program
Berdasarkan hasil compile program dari fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye diperoleh bahwa nilai integrasi numeric pada metode simpson dengan n=20 memiliki perbedaan selisih nilai dengan hasil analitik sebesar 1.00 x 10-6. Hasil yang didapatkan tersebut menunjukkan bahwa dengan perhitungan menggunakan metode simpson pada n=20 diperoleh nilai yang sangat mendekati dengan perhitungan analitik. Selain karena metode simpson yang memiliki nilai konvergensi yang sangat cepat dan tidak membutuhkan nilai n yang besar, pada fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye memiliki karakteristik fungsi eksponensial yang sesuai dengan metode simpson. Kemudian, praktikan juga telah melakukan plotting hasil dari fungsi masalah fisis di atas dan didapatkan bahwa bentuk grafik fungsi tersebut berbentuk grafik eksponensial. Praktikan menganalisis berdasarkan grafik tersebut didapatkan bahwa luasan yang terdapat di bawah kurva grafik fungsi tersebut merupakan nilai integrasi dari fungsi tersebut. Sehingga, dapat ditampilkan bentuk penyelesaian masalah fisis tersebut dalam bentuk integrasi numerik dan plot grafik fungsi.
6.
Kesimpulan
Dari pemaparan diatas dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Untuk nilai integrasi percepatan massa dari sistem pegas dengan menggunakan metode trapesium dan metode simpson didapatkan hasil sebagai berikut :
2. Untuk nilai kecepatan massa sistem pegas yang didapatkan dari hasil perhitungan numerik menggunakan metode trapesium dan metode simpson diperoleh hasil sebagai berikut :
-Untuk metode trapesium dengan n=20 diperoleh yaitu 2.49868 m/s -Untuk metode trapesium dengan n=40 diperoleh yaitu 2.49793 m/s -Untuk metode simpson dengan n=20 diperoleh yaitu 2.49767 m/s -Untuk metode simpson dengan n=40 diperoleh yaitu 2.49767 m/s
3. Untuk nilai integrasi fungsi nisbah temperature absolut dan temperature debye dengan menggunakan metode simpson didapatkan hasil sebagai berikut :
-Untuk metode simpson dengan n=20 dan h=0.05 diperoleh hasil numerik yaitu 0.317243
7.
Daftar Pustaka
[1] Pekik Nurwantoro, 2001. Petunjuk Praktikum Fisika Komputasi, Universitas Gadjah Mada:Yogyakarta
[2] Chapra Steven, Canale R.P, 2010. Numerical Methods for Engineers, Sixth Edition, Mcgraw hill: USA.
