1. BARISAN dan DERET

(1)

Barisan 

Kekonvergenan Barisan 

Deret 

Kekonvergenan Deret 

oleh Marwan Macam-macam Deret 

1.1. Barisan

Definisi 1

Barisan (sequence) yang dimaksud adalah barisan bilangan Real, yaitu

suatu daftar terurut bilangan-bilangan real :

a1, a2, a3, ..., an, an+1, ....

disimbolkan

{ }

an ∞n=1 atau {an}.

Suatu barisan dapat dipandang sebagai suatu fungsi bernilai real

dengan domain bilangan Asli N={1,2,3,...} dengan konstruksi sebagai berikut:

f : N → R

n •→ f(n)=an

Contoh

1. {n+2} : 3,4,5,6, ... 1

2. {1/n} : 1, ½, 1/3, ¼, ...

3. { (-1)n ⋅_{3} : -3,3,-3,3,-3, ...}

4. { ??} : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Barisan bilangan prima.

5.

(

) (

)

   

 

   



 ₊ n ₋ ₋ n

n 1 5 1 5

5 2

1

: 1,1,2,3,5,8,13,.... Barisan ini disebut

barisan bilangan Fibonaci

6. {(1+1/n)n_{}: 2 , 2,25 , 2,37 , ...}

Dari contoh di atas terlihat bahwa tidak semua barisan dapat ditentukan

(2)

1.2. Kekonvergenan Barisan

Definisi 2

Barisan {an} dikatakan konvergen ke suatu bilangan real L, ditulis

{an} → L, jika lim an L

n→∞ = yaitu :

(∀ε>0)(∃n0∈N), ∀n>n0⇒an-L<ε

Barisan yang tidak konvergen disebut barisan divergen.

Contoh

1. {1/n} : 1,½,1/3,¼, .... → 0 (konvergen), sebab 2

0 n 1 lim n→∞ =

2. {n+2} : 3,4,5,6,... divergen, dalam ini lim_→_∞(n+2)= ∞

n .

3. {(-1)n ⋅_{3} : -3,3,-3,3,-3,.... divergen, dalam hal ini}

ada tidak )

3 ((-1) lim n

n→∞ ⋅ = .

4.

   

 

+ −

− +

19 n 4 n 3

1 n 10 n 2

2 2

→ 2/3, sebab

19 n 4 n 3

1 n 10 n 2

lim ₂

2

n − +

− +

∞

→ =2/3

5.

    

  

   



 + n

n 1

1 → e, sebab e

n 1 1 lim

n

n  =

    + ∞

→ ≈ 2,71828

Teorema 1 (Teorema Limit Barisan)

Diketahui lima_n L

n→∞ = dan limn→∞bn =M, maka

a. limka_n kL, k suatukonstanta n→∞ =

b. lim

(

an bn

)

L M

n→∞ ± = ±

c. lim

(

a_n b_n

)

LM n→∞ ⋅ =

d. lim

(

a_n/b_n

)

L/M

(3)

Contoh

Diperhatikan {1/n} → 0 dan {(1+1/n)n_}→_{e, maka berdasarkan}

teorema no.2 di atas, barisan : 3

{ (1+1/n)n _{+ 1/n}}→_e+0=e.

Definisi 3

a. Barisan {an} dikatakan naik monoton jika

a1a2a3…anan+1...

b. Barisan {an} dikatakan turun monoton jika a1a2a3…anan+1....

Contoh

1. {n+2} : 3,4,5,6,... barisan naik monoton 4

2.

    

  

   



 + n

n 1

1 barisan naik monoton

3. {1/n} : 1,½,1/3,¼, .... barisan turun monoton

Definisi 4

Barisan {an} dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real M>0

sedemikian hingga anM, untuk setiap n=1,2,3,....

Contoh

1. {1/n} barisan terbatas, sebab 1/n≤2 5

2.

    

  

   



 + n

n 1

1 barisan terbatas, sebab 3

n 1 1

n ≤       +

Teorema 2

Setiap barisan naik (atau turun) monoton dan terbatas akan konvergen.

Contoh

Barisan 6

   

 

+1 n

n

(4)

- Naik monoton, yaitu :

untuk n=1,2,3,... berlaku n an 1 2

n 1 n 1 n

n

a = ₊

+ + < +

= . Hal ini dapat

dibuktikan sebagai berikut:

0 ) 1 n )( 2 n (

1 1

n n 2 n

1 n 2

n 1 n 1 n

n

> + +

= + − + + ⇔ + + <

+ .

- Terbatas, yaitu :

untuk n=1,2,3,... berlaku 1 1 n

n _<

+

1.3. Deret

Definisi 5

Jumlahan suku-suku barisan : a1+a2+a3+…+an+…=

∑

∞

=1 n

n a

disebut deret (series). Untuk sederhananya disimbolkan ∑an

Definisi 6

Diketahui deret ∑an . Barisan {Sn} dengan

S1=a1

S2=a1+a2

S3=a1+a2+a3



Sn=a1+a2+a3+…+an

disebut Barisan Jumlah Parsial n Suku Pertama (first nth_{partial sum)}

deret ∑an .

Contoh

1. , maka

7:

(5)

1.4. Kekonvergenan Deret

Definisi 7

Deret ∑an dikatakan konvergen ke bilangan real L, jika barisan

{Sn} → L , yaitu limSn L

n→∞ = . Deret yang tidak konvergen disebut

deret divergen.

Contoh

1. Periksa kekonvergenan deret 8

(

)

∑

_n_n1₊₁

Penyelesaian:

Karena

(

)

1 n 1 n 1 1 n n 1 a_n + − = +

= , maka

1 n n 1 n 1 n 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 S_n + =       + − + +       − +       − +       − =  1 1 n n lim S lim n n

n→∞ = →∞ + = , berarti deret tersebut konvergen ke 1.

2. Buktikan deret geometri

∑

_n 2

1

konvergen.

Penyelesaian

Ambil

∑

= = = = = n 1 k k n 1 k k n n n 2 1 a S dan 2 1 a

(

)

(

)

( )

        − − = − − + + + + =       ₊ ₊ ₊ ₊ = + + + + = = − − =

∑

2 1 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 n 2 n 3 2 n 1 k k n 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 S 1 n 2   

( )

1 1 1 2 1 lim S lim 2 1 n 2 1 n n

n =

       − − = ∞ → ∞ → .

Jadi deret geometri

∑

_n 2

1

(6)

Catatan: Secara umum dapat dibuktikan bahwa deret geometri

∑

n-1

ar dengan |r|<1 akan konvergen ke r 1

a

− . Ingat dalam hal ini

(

)

r -1

a r

-1

r -1 a lim S

lim

n

n n

n→∞ = →∞ = .

3. Buktikan deret ∑(-1)n+1_divergen

Penyelesaian:

∑(-1)n+1_{=1-1+1-1+1-1+...}

diperoleh {Sn} : 1,0,1,0,1,.... suatu barisan divergen, sebab

( )

1 tdk ada lim

a

lim n 1

n n

n = − =

+ ∞

→ ∞

→ . Jadi deret ∑(-1)n+1 divergen.

Teorema 3

Jika lima_n 0

n→∞ ≠ , maka deret ∑an divergen.

Contoh

∑

₁₀_nn₊₁₅ 9

divergen, sebab 110 0

15 n 10

n lim

n→∞ + = ≠

Teorema 3 di atas juga ekuivalen dengan pernyataan :

“Jika ∑an konvergen, maka liman 0 n→∞ = ”

Pernyataan terakhir tersebut mudah dibuktikan dengan mengambil

an=Sn-Sn-1 . Mengingat ∑an konvergen, maka dapat dimisalkan lim Sn L n→∞ = .

Akibatnya, lima lim(S_n S_n ₁) L L 0 n

n

n→∞ = _→_∞ − − = − = .

1.5. Macam-macam Deret

Ada beberapa deret penting yang akan ditinjau : Deret Suku-suku

(7)

1.5.1. Deret Suku-Suku Positif

Definisi 8

Deret ∑an dengan an>0 untuk n=1,2,3,... disebut Deret Suku-suku

Positif.

Karena an>0, maka Sn<Sn+1. Dengan demikian suatu deret suku-suku

positif akan menghasilkan barisan {Sn} naik monoton.

Telah dikembangkan beberapa cara untuk mengetahui apakah suatu

deret suku-suku positif konvergen atau divergen. Beberapa cara dimaksud,

disusun sebagai teorema-teorema tes kekonver-genan.

Teorema 4 (Teorema Tes Integral)

Diketahui deret ∑an. Jika dapat didefinisikan fungsi f pada interval

[1,∞) sedemikian hingga f(n)=an maka deret ∑an dan integral tak sejati

( )

∫

1∞ f x dx bersama-sama konvergen atau bersama-sama divergen.

Contoh

Tinjau deret 10

∑

p

n 1

dengan p bilangan real positif, (disebut deret

harmonik order p). Jika didefinisikan fungsi f(x)=1/xp _,∀_x∈_[1,∞_{) maka}

jelas f(n)=an. Selanjutnya,

Untuk 0<p<1 :

( )

(

−

)

=∞

− =

− = =

− ∞ →

= − ∞ → ∞

→ ∞

∫

1 M lim p 1

1

x lim p 1

1 dx x

1 lim dx x

1

p 1 M

M 1 x p 1 M M

1 p M

1 p

(8)

Untuk p=1 :

(

)

=

(

)

=∞ =

=

∞ → ∞

= ∞

→ ∞

∞

∫

dx lim lnx lim lnM

x 1 dx

x 1

M 1 x M

1 1 p

Karena integral divergen, maka deret juga divergen.

Untuk p>1 :

1 p

1 x

1 lim p 1

1 dx x

1 lim dx x

1 M

1 x 1 p M M

1 p M

1 p  = −

    −

= =

= − ∞ → ∞

→ ∞

∫

Karena integral konvergen, maka deret juga konvergen.

Teorema 5 (Teorema Tes Banding)

Diketahui deret ∑an dan deret ∑bn dengan an≤bn untuk setiap n=1,2,3,....

(a). Jika deret ∑bn konvergen, maka deret ∑an juga konvergen.

(b). Jika deret ∑an divergen, maka deret ∑bn juga divergen.

Contoh

Akan diperiksa kekonvergenan deret 11

∑

_(n₊_1)(nn _-₁₎

.

Diambil n 2 2 bn

n 1 n

n 1 -n

n 1)

-1)(n (n

n

a = > = =

+ =

Diperoleh

∑

>

∑

=

∑

+

= _n

n b

n 1 1)

-1)(n (n

n

a .

Karena deret

∑

=

∑

n 1

b_n divergen, maka menurut Tes Banding dapat

disimpulkan deret

∑

+ =

1) -1)(n (n

n

an juga divergen.

Teorema 6 (Teorema Tes Kuosien)

Diketahui deret ∑an dan deret ∑bn dengan lim

(

an bn

)

L

n→∞ = .

(a). Jika L≠0 dan L<∞, maka deret ∑an dan deret ∑bn bersama-sama

(9)

(b). Jika L=0 dan deret ∑bn konvergen, maka deret ∑an juga

konvergen.

(c). Jika L=∞ dan deret ∑bn divergen, maka deret ∑an juga divergen.

Contoh

Gunakan Teorema Tes Kuosien untuk menyelidiki apakah deret 12

∑

₊+

n n

n n 3

4 2

konvergen atau divergen.

Penyelesaian:

Ambil ₄ n ₂

2

n

n 1 b dan n n

n n 3

a =

+ +

= , diperoleh

3 n n

n n 3 lim b

a lim

4 3 4

n n n

n + =

+ =

∞ → ∞

→ .

Telah diketahui bahwa deret

∑

n =

∑

₂ n

1

b konvergen. Berdasarkan

teorema tes kuosien, disimpulkan deret

∑

+ + =

n n

n n 3 a

4 2

n juga

konvergen.

Teorema 7 (Teorema Tes Ratio)

Diketahui deret ∑an dan lim

(

an 1 an

)

r n→∞ + = . (a). Jika r<1, maka deret ∑an konvergen.

(b). Jika r>1, maka deret ∑an divergen.

(c). Jika r=1, tidak dapat diambil kesimpulan.

Contoh

Akan diperiksa kekonvergenan deret 13

∑

2_n!n-1

.

Diambil an=

n! 2n-1

, diperoleh an+1=

1)! (n

2n

(10)

0 1 n

2 lim 2

! n )! 1 n (

2 lim a

a lim r

n 1 n n

n n

1 n

n = + =

 

 

⋅ + =

      =

∞ → −

∞ → +

∞

→ .

Karena r=0<1, maka berdasarkan Tes Ratio dapat disimpulkan deret

∑

2_n!n-1

konvergen.

1.5.2. Deret Berganti (Alternating Series)

Deret ∑an disebut deret berganti jika anan+1<0, ∀n. Deret berganti biasa

ditulis ∑(-1)n+1_p_n_=p₁_-p₂_+p₃_{-.... Dalam hal ini berarti p}_n_>0.

Teorema 8

Diketahui deret berganti ∑(-1)n+1_p_n_{. Jika}

(a). pn+1<pn dan

(b). limp_n 0 n→∞ =

maka deret berganti tersebut konvergen.

1.5.3. Deret Mutlak

Deret ∑|an| disebut deret mutlak dari deret ∑an. Dengan demikian,

deret mutlak merupakan suatu deret suku-suku positif.

Ditinjau deret mutlak ∑|an| dan deret ∑an. Karena an≤|an|, maka

berdasarkan Teorema Tes Banding, dapat dinyatakan bahwa jika deret

mutlak ∑|an| konvergen, maka deret ∑an juga konvergen.

Contoh

Deret 14

( )

∑

− 2+

1 n

n 1

adalah deret konvergen, sebab deret mutlaknya, yaitu

( )

∑

− =

+

2 2

1 n

n 1 n

1

(11)

1.5.4. Deret Pangkat (Power Series)

Deret ∑cn(x-x0)n, dengan x peubah real dan x0 suatu konstan disebut

deret pangkat.

Kekonvergenan deret pangkat

Dimisalkan lim c_n ₁ c_n ρ

n→∞ + = ada. Selanjutnya dari deret pangkat

∑cn(x-x0)n diketahui suku ke-n, an=cn(x-x0)n dan suku ke-n+1 adalah

an+1=cn+1(x-x0)n+1. Selanjutnya ditinjau,

0 n

1 n 0 1

n n n 1 n

n a a lim c (x x ) c (x x ) ρ x x

lim = ₊ − + − = −

∞ → +

∞ →

∗ Untuk 0<ρ<∞, berdasarkan teorema tes ratio, dapat disimpulkan

Deret ∑cn(x-x0)n konvergen bila

ρ|x-x0|<1 ⇔ |x-x0|<1/ρ ⇔ |x-x0|< n n 1

n a a

lim ₊

∞

→ :=r

dan divergen bila |x-x0|>r. r disebut jari-jari kekonvergenan.

Pada titik-titik x=x0−r dan x=x0+r kekonvergenan deret perlu diteliti

lagi.

∗ Untuk ρ=0, maka deret konvergen ∀x∈R

∗ Untuk ρ=∞, maka deret divergen ∀x≠x0.

Contoh

Akan ditinjau kekonvergenan deret 15

( ) ( )

n n

n

2 x 4 n

1 ₋

⋅ −

∑

Diperhatikan

( ) (

( )

)

4 1 4

n 1

4 1 n 1 lim c

c lim

ρ n _n

1 n 1

n

n n 1 n

n − ⋅ =

+ −

=

= + +

∞ → +

∞

→ , sehingga

disimpulkan deret konvergen bila

|x-2|<4 ⇔ -4+2<x<4+2 ⇔ -2<x<6

(jari-jari kekonvergenan r=1_/_ρ_=4).

(12)

( ) (

)

∑

( ) (

)

∑

− − = ⋅ − = − ⋅ − n 1 2 2 4 n 1 2 x 4 n 1 n n n n n n

yaitu deret deret

harmonik order 1, jadi ia divergen.

Pada titik x=6, deret menjadi

( ) ( )

∑

( ) ( )

∑

( )

∑

− = − ⋅ − = − ⋅ − n 1 2 6 4 n 1 2 x 4 n

1 n n

n n n

n n

, suatu deret

konvergen (berdasarkan teorema pada deret berganti).

Simpulan :

Deret

( ) ( )

_n n n 2 x 4 n 1 ₋ ⋅ −

∑

konvergen pada interval -2<x≤6.

Salah satu bentuk khusus deret pangkat adalah deret Taylor :

Deret Taylor

Tinjau fungsi f(x). Jika ( )

( )

_n n n dx x f d x

f = ada untuk n=0,1,2,3,.... maka

deret pangkat ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

.... a x ! 2 a f a x a f a f a x ! n a f 2 0 n n n + − ′′ + − ′ + = −

∑

∞ =

disebut deret taylor fungsi f di x=a. Dalam hal ini

( )

∑

∞ ( )

( )(

)

= − = 0 n n n a x ! n a f x f

Deret Taylor fungsi f di x=0 lebih dikenal sebagai Deret Maclaurin,

yaitu :

( )

x .... ! 3 0 f x ! 2 0 f x 0 f 0 f x ! n 0 f x f 3 2 0 n n n + ′′ ′ + ′′ + ′ + = =

∑

∞ = Contoh

Berikut adalah Deret Maclaurin beberapa fungsi 16

(13)

dan f(0)= f(n)_(0)=e0_{=1, sehingga diperoleh deret maclaurin} .... ! 3 x ! 2 x x 1 e 3 2

x ₌ ₊ ₊ ₊ ₊

konvergen pada x∈ (-∞,∞)

2. Dengan cara serupa contoh (1) diperoleh juga

.... ! 9 x ! 7 x ! 5 x ! 3 x x x sin 9 7 5 3 + − + −

= konvergen pada x∈(-∞,∞)

.... ! 8 x ! 6 x ! 4 x ! 2 x 1 x cos 8 6 4 2 + − + −

= konvergen pada x∈(-∞,∞)

.... 4 x 3 x 2 x x ) x 1 ln( 4 3 2 + − + − =

+ konvergen pada x∈(-1,1]

.... x x x 1 x 1

1 ₌ ₊ ₊ 2 ₊ 3 ₊

− konvergen pada x∈(-1,1)

Soal-Soal Latihan

1. Periksalah apakah deret berikut konvergen atau divergen

a.

∑

∞

=1 +

n 10n 17 n

b.

∑

∞

=1 n n!

1

c.

∑

∞

= + +

+

1

n (n 1) n 3 2 n

d.

∑

∞ =1 n n 2 n

e.

∑

∞ =1 n n 2 e n

2. Diketahui deret

∑

∞ = ∞ = + + + + = 1 n 1 n n n 3 2 1 1 a

 dan Sn=a1+a2+…+an.

a. Hitung S3+S4

b. Periksa kekonvergenan deret di atas.

3. Ulangi soal no.2 untuk deret

∑

(14)

4. Diketahui deret

∑

∞

= ∞

= + −

=

1 n 1

n n

1 1 n

1 a

a. Hitunglah n

n a

lim

∞

→ =...

b. Apakah deret

∑

∞

=1 n

n

a tersebut konvergen? Jelaskan !

5. Deret MacLaurin suatu fungsi didefiniskan sebagai berikut :

( )

∑

∞

( )

= =

0 n

n ) n (

x ! n

0 f x

f

Carilah deret MacLaurin fungsi f(x)=Cos(x)

6. Buktikan deret geometri

∑

∞

= −

1 n

ar dengan a konstan dan |r|<1

merupakan deret konvergen.

7. Tentukan interval kekonvergenan deret-deret berikut:

a.

∑

∞

=1

n n

n

2 nx

b.

∑

∞

=1 n

n

n x

c.

∑

∞

=1 n

n nx

8. Periksalah apakah barisan berikut konvergen atau divergen

a.

   

 

+1 n 2

n

b.

    

  

+ +

+

3 n 1) (n

2 n

9. Tentukan rumus an lalu hitunglah _n

n a

lim

∞

→ untuk masing-masing

(15)

a. 2 , 7 , 12 , 17 , 22 , 27 , ...

b. , ...

25 21 , 16 15 , 9 11 , 4 7 , 1 3

c. 5 , 10 , 5 , 10 , 5 , ...

10. Bila an dimaksudkan sebagai suku ke-n dari suatu barisan, maka

hitunglah

a. a99=...? untuk barisan : 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , ...

b. lim a_n ...?

n→∞ = untuk barisan : ₁₄ , ...

10 , 11

8 , 8 6 , 5 4 , 2 2

c. lim a_n ...?

n→∞ = untuk barisan: