BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi
Modul Barisan dan Deret ini terdiri atas 3 Kegiatan Belajar, yaitu: 1. Pola Bilangan, Barisan dan Deret
2. Barisan dan Deret Aritmatika 3. Barisan dan Deret Geometri
B. Prasyarat
Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari modul ini adalah siswa telah mempelajari dan memahami berbagai konsep sistem operasi bilangan real.
C. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari kegiatan belajar pada modul ini diharapkan siswa dapat : 1. Menunjukkan pola bilangan dari suatu barisan dan deret
2. Membedakan pola bilangan, barisan dan deret 3. Menuliskan barisan dan deret dalam Notasi Sigma 4. Menjelaskan bentuk umum barisan aritmatika
5. Menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika jika diketahui suku pertama dan bedanya 6. Menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika jika diketahui dua suku lainnya
7. Menjelaskan bentuk deret aritmatika
8. Menentukan jumlahn suku pertama suatu deret aritmatika 9. Menjelaskan bentuk umum barisan geometri
10. Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri jika diketahui suku pertama dan rasionya. 11. Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri jika diketahui dua suku lainnya.
12. Menjelaskan bentuk umum deret geometri
13. Menghitung jumlahn suku pertama suatu deret geometri 14. Menjelaskan bentuk umum deret geometri tak hingga 15. Menentukan jumlah deret geometri tak hingga
D. Glosarium
ISTILAH KETERANGAN
Barisan bilangan Kumpulan bilangan yang disusun menurut suatu pola tertentu.
Deret bilangan Penjumlahan suku-suku suatu barisan bilangan
Notasi Sigma Suatu cara untuk menyatakan bentuk penjumlahan yang singkat yang dilambangkan dengan “∑ “ (dibaca: “Sigma“)
Barisan aritmatika Suatu barisan dengan beda tiap dua suku yang berurutan selalu tetap
Barisan geometri Barisan dengan rasio dari dua suku yang berurutan selalu tetap
Rasio Perbandingan atar dua suku barisan geometri yang berurutan
E. Cek Kemampuan
NO PERTANYAAN Ya Tdk
1. Dapatkah Anda menentukan pola bilangan dari suatu barisan dan deret? 2. Dapatkah Anda mengoperasikan Notasi Sigma?
3. Dapatkah Anda Menjelaskan bentuk umum barisan dan deret aritmatika? 4. Dapatkah Anda menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika jika
diketahui suku pertama dan bedanya atau jika diketahui dua suku lainnya?
5. Dapatkah Anda menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika jika diketahui dua suku lainnya?
6. Dapatkah menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika?
7. Dapatkah Anda menentukan jumlah n suku pertama suatu deret
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
8. Dapatkah Anda menjelaskan bentuk umum barisan dan deret geometri ? 9. Dapatkah Anda menentukan suku ke-n suatu barisan geometri jika
diketahui dua suku lainnya?
10. Dapatkah Anda menghitung jumlah n suku pertama suatu deret geometri?
11 Dapatkah Anda menghitung jumlah n suku pertama suatu deret geometri?
12. Dapatkah Anda menentukan jumlah deret geometri tak hingga?
Apabila Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, pelajarilah materi tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.
BAB II. PEMBELAJARAN Kegiatan Belajar 1.
Pola Bilangan, Barisan dan Deret Tujuan Kegiatan Belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, peserta pendidikan dan pelatihan dapat : 1. Menunjukkan pola bilangan dari suatu barisan dan deret
2. Membedakan pola bilangan, barisan dan deret 3. Menuliskan barisan dan deret dalam Notasi Sigma 4. Menjumlahkan bilang dalam bentuk Notasi Sigma.
A. Pola Bilangan, Barisan dan Deret
Suatu perusahaan menerapkan sistem pemasaran berjenjang (Multi Level Marketing) yang dikembangkan dengan ketentuan bahwa setiap anggota pada suatu jenjang harus memiliki tiga orang anggota pada jenjang dibawahnya. Dengan asumsi semua anggota dapat memenuhi syarat yang ditentukan oleh perusahaan, maka banyaknya anggota pada setiap jenjang adalah sebagai berikut:
1, 3, 9, 27, 81, 243, ….
Sususnan bilangan diatas adalah sebuah contoh barisan bilangan. Dengan mengetahui pola bilangan dalam barisan tersebut kita dapat menentukan banyaknya anggota pada jenjang-jenjang berikutnya serta jumlah seluruh anggota jaringan sampai jenjang tertentu.
1. Barisan
Barisan adalah kumpulan bilangan yang disusun menurut suatu pola tertentu. Suku umum dilambangkan dengan Un dengan n menunjukkan nomor urut suku. Suku-suku suatu barisan
merupakan pemetaan dari himpunan bilangan asli ke himpunan suku-suku barisan:
n
U n
f : →
denganUn =f(n) dan n∈ A {1,2,3…}. Rumus umum untuk mencari suku-suku suatu barisan disebut
Pola Bilangan.
Contoh 1.1.
Tentukan pola bilangan untuk mencari suku-suku barisan berikut: a. 0,1,2,3,4,…
b. 1,3,9,27,81,… c. 4,9,16,25,…
d. 1,3,5,7,…. e. 2,4,9,16,…
f. 1,1,2,3,5,8,13,… (barisanFibonacci)
Jawab:
a. Un = n -1 b. Un = 3n-1 c. Un = (n+1)2 d. Un = 2n – 1 e. Un = 2n
f.
> +
≤ =
−
− , 2
2 ,
1
2
1 U untuk n
U
n untuk Un
n n
.
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
2. Deret
Deret adalah penjumlahan suku-suku suatu barisan bilangan. Dengan kata lain jika U1,U2,U3,…Un adalah barisan bilangan, maka bentuk U1+U2+U3+…+Un disebut deret. Jumlah n suku pertama dalam suatu deret dinyatakan dengan
Sn= U1+U2+U3+…+Un
Contoh 1.2.
Nyatakan barisan pada contoh 1.1. dalam bentuk deret. Jawab:
B. Notasi Sigma
Notasi sigma adalah suatu cara untuk menyatakan bentuk penjumlahan yang singkat yang dilambangkan dengan “∑“ (dibaca: “Sigma“), yaitu huruf Yunani yang merupakan huruf pertama dari kata “SUM” yang berarti jumlah.
Deret Sn= U1+U2+U3+…+Un data dinyatakan dalam Notasi Sigma berikut:
∑
a. Nyatakan dalam bentuk deretb. Nyatakan jumlah 6 suku pertama dalam bentuk notasi sigma Jawab :
n = (2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+(4-1)(4+1)+(5-1)(5+1)
= 1.3+2.4+3.5+4.6
= 50
1. Tulislah lima suku berikutnya dari barisan di bawah ini: a. 2,4,6,8,…
2. Tulislah 5 suku yang pertama dari soal berikut ini:
a. Un = 3n + 1 b. Un = 2n−1 c. Un =
3. Carilah rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut : a. 12, 14, 16, 18, … 6. Nyatakan dalam bentuk penjumlahan :
a. ∑
7. Nyatakan dengan notasi sigma : a. 1 + 4 + 9 + 16 + 25
8. Tentukan 5 suku pertama dari barisan berikut: a. U1= 5, Un = Un-1+10
b. U1=5, U2=6, Un=Un-1+Un-2 c. U1=1, U2= 2 , Un=(Un-1-Un-2)2
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
Kegiatan Belajar 2
Barisan dan Deret Aritmatika Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat: 1. Menjelaskan bentuk umum barisan
2. Menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika jika diketahui suku pertama dan bedanya 3. Menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika jika diketahui dua suku lainnya
4. Menjelaskan bentuk deret aritmatika
5. Menentukan jumlahn suku pertama suatu deret aritmatika.
A. Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah suatu barisan dengan beda antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Dengan kata lain barisan U1, U2, U3, …, Un−1,Un disebut barisan aritmatika jika:
U2-U1= U3-U2= U4-U3= Un-Un-1 = konstanta,
selanjutnya disebut beda.
Misalkan U1 = a, beda = b maka barisan aritmatika dapat dinyatakan sebagai: a, a+b, a+2b, …, a+(n-1)b
Jadi rumus suku ke-n barisan Aritmatika adalah :
Un= a + (n-1)b
Contoh 2.1:
Tentukan suku ke-35 dari barisan Aritmatika 2, 8, 14, … Jawab:
a = 2
b =8 – 2 = 6 n = 35
Jadi U35 = a + (n-1)b = 2 + (35 – 1).6 = 2 + 34 .6 = 2 + 204 = 206 Contoh 2.2:
Tentukan suku ke-21 jika diketahui suku ke-5 dan suku ke-9 barisan artimatika adalah 35 dan 43.
Jawab : dari Un = a + (n – 1)b, diperoleh: U5 = a + 4b = 35 …(1) U9 = a + 8b = 43 …(2) Eliminasi a dari pers. (1) dan pers. (2): a + 4b = 35
a + 8b = 43 -4b = - 8 b = 2
Substitusi b = 2 maka pada pers. (2) a + 8b = 43
a + 8.2 = 43 a = 43 – 16 a = 27
Jadi U21 = 27 + (21 – 1)2 = 47
B. Deret Arithmatika
Deret Aritmatika adalah jumlah suku-suku barisan Aritmatika. Jika U1, U2, U3, …, Un
merupakan barisan aritmatka, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un, disebut deret aritmatika, dengan Un adalah suku ke-n dari deret tersebut.
Jika Sn menotasikan jumlah n suku pertama deret aritmatika U1 + U2 + U3 + ... + Un, maka Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un. Sn dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:
Hitunglah jumlah 11 suku pertama dari deret 3,7,11,14,… Jawab:
Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3! Jawab :
Deret yang dimaksud adalah 3+6+9+…+99 a = 3, b = 3, Un = 99
dari Un = a + (n – 1 )b, diperoleh 99 = 3 + (n – 1)3
99 - 3 = (n – 1)3
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
3n – 3 = 96 3n = 99 n = 33
Jadi Sn = (a U ) 2
n
n
+ = (3 99)
2 33 +
= 2450
Latihan 2.
1. Tentukan suku ke-55 dari barisan 5,9,13,17,…. 2. Tentukan suku ke-63 dari barisan 10, 7, 4, 1,….
3. Tentukan suku ke-20 jika diketahui suku ke-5 dan suku ke-8 barisan aritmatika adalah masing-masing 27 dan 42.
4. Suku ke-10 barisan aritmatika adalah -60 dan suku ke-3 nya adalah -11, tentukan suku ke-21 nya! 5. Tentukan banyaknya bilangan yang habis dibagi 5 antara 1 sampai dengan 100.
6. Hitunglah jumlah 30 suku pertama dari deret 4+7+10+13+… 7. Hitunglah jumlah deret 15+10+5+…-200.
8. Tentukan suku pertama dan beda dari deret aritmatika jika diketahui S15=150 dan U15=24.
9. Sebuah kawat panjangnya 105 cm dipotong menjadi 6 bagian. Bila potongan kedua 5 cm lebih panjang dari potongan pertama, potongan ketiga 5 cm lebih panjang dari potongan kedua dan seterusnya. Tentukan panjang kawat potongan pertama dan terakhir.
10. Sebuah perusahaan sepatu mentargetkan peningkatan jumlah produksi 750 pasang sepatu perbulan. Jika pada bulan Pebruari 2006 produksinya telah mencapai 45.000 pasang, tentukan produksi pada bulan Desember 2006 dan jumlah produksi selama periode tersebut.
Kegiatan Belajar 3.
Barisan dan Deret Geometri Tujuan Kegiatan Belajar 3
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. Menjelaskan bentuk umum barisan geometri
2. Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri jika diketahui suku pertama dan rasionya. 3. Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri jika diketahui dua suku lainnya.
4. Menjelaskan bentuk umum deret geometri
5. Menghitung jumlahn suku pertama suatu deret geometri 6. Menjelaskan bentuk umum deret geometri tak hingga 7. Menentukan jumlah deret geometri tak hingga
A. Barisan Geometri
Barisan Geometri adalah suatu barisan dengan perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Barisan U1, U2, U3, …, Un−1,Un disebut barisan geometri jika: selanjutnya disebutrasio.
Misalkan U1 = a, rasio = r maka barisan geometri dapat dinyatakan sebagai: a, ar, ar2, …, arn-1
Jadi rumus suku ke-n barisan geometri adalah :
Un= arn-1
Contoh 3.1 :
Tentukan suku ke-6 dari barisan geometri 2, 4, 8, …. Jawab:
Tentukan suku ke-7 dari barisan geometri 27,9,3, …. Jawab:
Pada suatu barisan geometri diketahui U3= 2 dan U6=
4 1
. Tentukan suku ke-8. Jawab:
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
4
6 =ar =
U …. (2)
Substitusikan pers (1) ke pers (2):
4
B. Deret Geometri
Deret Geometri adalah jumlah suku-suku barisan Geometri. Jika suku-suku barisan geometri a, ar, ar2, …, arn-1dijumlahkan, maka diperoleh deret geometri:
Sn =a+ar+ar2+…+arn-1
1
Hitunglah jumlah 7 suku pertama dari deret Geometri 4 + 2 + 1 + … Jawab:
C. Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak sukunya tak berhingga. Deret tak hingga ada dua jenis :
1. Deret geometri tak hingga konvergen
Deret geometri tak hingga konvergen adalah suatu deret geometri dengan –1 < r < 1 atau. |r|<1. Jumlah deret geometri tak hingga konvergen ini dirumuskan dengan nilai pendekatan :
r
2. Deret geometri tak hingga divergen
Deret geometri tak hingga divergen adalah deret geometri dengan r>1 atau r<-1atau |r| > 1. Jumlah deret Geometri tak hingga divergen tidak didefinisikan.
Contoh 3.6 :
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 2 + 1 + ... 4 Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
2 1
=
= 4 Latihan 3.
1. Tentukan suku tiga suku berikutnya dari barisan geometri berikut: a. 1, -3, 9, -27, ….
b. 100, 50, 25, …. c. 5, 15, 45, … d. 1, ½, 1/4, 1/8, ….
2. Tentukan rumus ke-n dari barisan geometri di bawah ini: a. 1, 2, 4,…
b. 12, 6, 3 … b. 8, 4, 2, … c. -1, 2, -4, …
d. 27, −9 3, 9, −3 3, …
3. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri di bawah ini: a. U8dari barisan: 2, 6, 18, …
b. U5 dari barisan : 1, -2, 4, … c. U6dari barisan :1, 3, 9, …
d. U7 dari barisan: 5,-15, 45,….
4. Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri yang diketahui suku pertama = 6 dan suku ke-4=-48. 5. Tentukan suku ke-6 dari suatu barisan geometri yang diketahui U2= -20 dan U4 = -5.
6. Tentukan jumlah 9 suku pertama suatu deret geometri 2+4+8+ ...
7. Tentukanlah jumlah tujuh suku pertama dari deret geometri diketahui : 1 - 3 + 9 – 27 + … 8. Tentukan jumlah 5 suku pertama suatu deret geometri yang diketahui U3 = 16 dan U6 = 1024. 9. Suku pertama deret geometri adalah 7 dan rasionya 2/7, tentukan jumlah sampai tak hingga. 10. Sebuah bola dijatuhkan tegak lurus dari ketinggian 4 meter dan setiap kali memantul tingginya
4 3
tinggi semula. Tentukan panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti !
EVALUASI KOMPETENSI Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan singkat dan tepat !
1. Carilah nilai dari :
a. ∑
= +
7
3 k
1 k .
2 b. ∑
=
5
1 n
n
2
2. Nyatakan dengan notasi sigma dari deret : a. 2 + 5 + 10 + 17 + 26
b. 1 + 4 + 7 + 10 + 13
3. Suku pertama dari barisan arirmatika adalah 4, sedangkan bedanya – 3. Tentukan suku ke berapa yang nilainya sama dengan – 68.
4. Jika suku 7 suatu barisan aritmatika adalah 22 dan suku 12 adalah 37. Tentukan suku ke-14 barisan tersebut.
5. Tentukan rumus Suku ke-n dari barisan aritmatika 13, 10, 7, 4, …
6. Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari barisan : 162 + 158 + 154 + 150 + …
7. Hitunglah jumlah semua bilangan asli terdiri yang dari dua angka dan habis dibagi 5.
8. Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikkan sebesar Rp 5.000. Jika gaji pertama karyawan tersebut Rp 100.000, hitunglah jumlah gaji selama satu tahun pertama.
9. Suatu tiang akan dipancangkan ke dalam tanah. Biaya pemancangan untuk kedalaman 1 meter pertama Rp 800.000, satu meter kedua Rp 1.000.000 demikian seterusnya. Jika pertambahannya tetap menurut baris arirmatika, hitunglah biaya yang harus dikeluarkan untuk memancang tiang sedalam 7 meter.
10. Seorang pemilik kebun memetik jeruknya setiap hari dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Hitunglah jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama.
11. Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp 1.000.000 kepada 5 anaknya. Anak pertama mendapat Rp 50.000 lebih dari anak kedua, dan seterusnya. Hitunglah bagian untuk masing-masing anaknya.
12. Deret aritmatika jumlah suku kedua dan keenam adalah 26 dan jumlah suku keempat dan kedelapan adalah 38. Tentukanlah :
a. Suku pertama dan bedanya. b. Jumlah sepuluh suku pertama
13. Tentukan suku k-8 barisan Geometri : 4, 2, 1, …
14. Diketahui suku pertama suatu barisan geometri adalah 16 dan suku ketiga adalah 36. Tentukan suku kelima barisan tersebut.
15. Tentukan Un+4, jika dari suatu barisan geometri diketahui: Un = 12 dan Un+3 = 96 16. Hitunglah jumlag 6 suku pertama dari deret geometri : 1 + ...
4 1 2 1
+ +
17. Diketahui deret geometri dengan suku pertama = 4 dan suku ke-5 = 324. Hitunglah jumlah delapan suku pertama deret tersebut.
18. Jumlah penduduk sebuah kota tiap 10 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungannya pada tahun 2000 adalah 6,4 juta. Tentukan jumlah penduduk kota itu pada tahun 1950 !
19. Tentukan jumlah tak berhingga dari deret geometri : 6 2 ... 9 2 3
2+ +
+ +
20. Seorang nenek dalam 1 jam pertama dapat berjalan sejauh 8 km. Dalam 1 jam kedua mampu menempuh 4 km dan seterusnya setiap jam berikutnya menempuh jarak ½ jarak 1 jam sebelumnya. Hitunglah jarak paling jauh yang dapat ditempuh oleh nenek tersebut.
Click to buy NOW!
w w
w
.docu-track.com
Click to buy NOW!
w w
w
