BAB I PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET - PEMBAHASAN

BAB I PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET A.BARISAN DAN DERET BILANGAN

Defenisi Barisan : mengurutkan bilangan-bilangan menurut suatu aturan tertentu disebut barisan bilangan.

Contoh : 1,3,5,7,. . . .

1 disebut suku pertama. 5 disebut suku ketiga, dan seterusnya. Sedangkan Deret ialah jumlahdari bilangan dalam suatu barisan. Contoh : 1+3+5+7. . . ..

1. Pola bilangan

Bilangan 1,3,5,7, . . . adalah barisan bilangan dengan aturan tiap sukunya “lebih 2” dari suku di depannya. Ada bermacam-macam cara menyusun barisan bilangan. Mulai dari cara yang sederhana sampai pada cara yang kompleks, misalnya dengan menggunkan noktah-noktah sebagai berikut:

1. Pola segitiga

Pola ini dinamakan pola noktah berbentuk segitiga. Dari pola ini disusun barisan bilangan yang disebut barisan bilangan segitiga.

10=1+2+3+4 15=1+2+3+4+5 2. Pola persegi

Pola ini disebut pola bilangan persegi. Dari pola ini disusun barisan bilangan sebagai berikut:

1=1 atau 12₌₁

4=1+3 22₌₁₊₃

9=1+3+5 32₌₁₊₃₊₅

16=1+3+5+7 42_=1+3+5+7

25=1+3+5+7+9 52_=1+3+5+7+9

3. Pola Segitiga Pascal Contoh lain :

Sepasang diagonal segitiga pascal itu membentuk suatu barisan bilangan dengan aturan sebagai berikut:

3+3=6

6+4=10

Urutan barisan itu adalah: 1,3,6,10,.... Suku ke n dari suatu barisan bilangan

Bila pada suatu barisan selisih/beda antara suku ke n+1 dengan suku ke n adalah b, tetap untuk setiap n bilangan asli dan suku pertama barisan tersebut a maka barisan berbentuk:

a, a+b, a+2b, a+3b,... a+(n-1)b

jadi suku ke n=a+(n-1)b, suku ke n suatu barisan ditulis dengan notasi Un. Jadi, pada barisan diatas Un=a+(n-1)b. Barisan seperti ini disebut barisan Aritmatika.

Contoh:

Barisan aritmatika : 2,5,8,11, ...,n Berapa suku ke n barisan tersebut adalah 59.

Selain barisan aritmatika dikenal juga barisan aritmatika dikenal juga barisan geometri yang berbentuk:

a,ar,ar2_,ar3_{,..., ar}n-1 _{suku ke n barisan geometri ; Un = ar}n-1 cari suku ke n, bila n = 11 ?

jawab :

pada barisan ini a = 1 dan r = 2 sehingga

U11=ar10_{=1024. R pada barisan geometri ; bisa dicari dengan rumus} r= U n−_{U n}1 disebut ration barisan geometri.

Barisan bilangan

Jenis-jenis barisan bilangan: 1. Barisan bilangan genap

Barisan : 2,4,6,8, .... Deret : 2+4+6+8,.... Rumus suku ke-n: Un= 2n

Jumlah n suku pertama : Sn = n2_+n 2. Barisan bilangan ganjil

Barisan : 1,3,5,7,9,.... Deret : 1+3+5+7+9....

Rumus suku ke-n :Un = 2n-1 Jumlah n suku pertama : Sn=n2 3. Barisan bilangan persegi (kuadrat)

Barisan : 1,4,9,16,25,36,.... Deret : 1+4+9+25+36... Rumus suku ke-n : Un =n2

Jumlah n suku pertama : Sn = 1/6 n (n+1) (2n+1) 4. Barisan bilangan kubus (kubik)

Barisan : 1,8,27,64,125,216, .... Deret : 1+8+27+64+125+216.... Rumus suku ke-n : Un = n3

Jumlah n suku pertama : Sn = ¼ n2_(n+1)2 5. Barisan bilangan persegi panjang

Barisan : 1,3,6,10,15,21, .... Deret : 1+3+6+10+15+21... Rumus suku ke-n : Un = ½ n(n+1)

Jumlah n suku pertama : Sn – 1/6 n (n+1) (n+2) 6. Barisan bilangan persegi panjang

Barisan : 2,6,12,20,30,42,.... Deret : 2+6+12+20+30+42.... Rumus suku ke-n : Un =n (n+1)

Barisan : 6,24,60,120, ... Deret : 6+24+60+120 ....

Rumus suku ke-n : Un = n (n+1) (n+2)

Jumlah n suku pertama : Sn = ¼ n (n+1) (n+2) (n+3) 8. Barisan bilangan fibonacci

Barisan bilangan fibonacci adalah barisan yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku di depannya.

Barisan : 1,1,2,3,5,8,13,21,34, .... Deret : 1+1+2+3+5+8+13+21+34 ... Rumus suku ke-n : Un = Un – 1 +Un-2

B.Barisan dan deret aritmatika

1. Barisan Aritmatika atau Barisan Hitung

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap. Perhatikan barisan U1,U2 ,U3,…,Un1,Un. dari defenisi diatas dapat, diperoleh

hubungan sebagai berikut: U1 = a

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = a + b + b

Un = Un1 + b = a + (n2)b + b = a + (n1)b

Un = a + (n1)b dengan n = 1, 2, 3,…

Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat diuraikan sebagai berikut:

U2 = U1 + b  b = U2 U1

U3 = U2 + b  b = U3 U2

Un = Un1 + b  b = Un Un1

b = Un Un1, dengan n = 1,2,3,…

Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun Bila b  0 maka barisan aritmatika itu naik.

Contoh :

Tentukanlah suku kesepuluh ( U10) dari barisan aritmatika berikut ini dan tulis jenis

barisan aritmatika tersebut. a. 1, 3, 5, 7,…

b. 4, 2, 0, -2,… Jawab:

Gunakan rumus beda untuk menentukan suku kesepuluh ( U10) dan masing-masing

barisan aritmatika. a. Barisan 1, 3, 5, 7,…

Berdasarkan rumus Un = U1 + (n1)b diperoleh:

1 3 5 7

U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5 U4 = 7

b = U2 U1 = 2 b = U3  U2 = 5 U4 = 7

beda = b = 2  0, barisan aritmatikanya merupakan barisan naik. U10 = U1 + (101)b U10 = 1 + 9.2 = 19

Jadi, suku kesepuluh dari barisan tersebut adalah 19. b. Barisan 4, 2, 0, -2,…

4 2 0 -2

U1 = 4 U2 = 2 U3 = 0 U4 = -2

b = U2 U1 = -2 b = U3  U2 = 2 b = U4 U3 = -2 karena b = -2 < 0, maka barisan aritmatika merupakan barisan turun. Berdasarkan rumus Un = U1 + (n  1)b diperoleh:

U10 = U1 + (n 1)b U10 = 4+ 9. (-2) = -14

Apabila suku kedelapan barisan aritmatika adalah 100 dan suku pertamanya 23, maka tentukan beda dari barisan aritmatika tersebut.

Jawab:

Perhatikan rumus Un = U1 + (n  1)b, maka b = U nU_n1 1

Dari soal kita ketahui U8 = 100, U1 = 23, n = 8, maka:

b = 100₈₋−₁23 = 77₇ = 11 jadi, beda aritmatika itu adalah 11.

Suku Tengah pada Barisan Aritmatika

Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka diantara barisan tersebut ada suku tengahnya. Rumus

Ut = ½ (U1 + Un ) Sisipan dalam Barisan Aritmatika

Jika ada dua buah bilangan m dan n, kemudian sisipkan diantara dua bilangan tersebut bilangan sebanyak k buah, maka diperoleh bentuk :

m, m+b, m+2b, m+3b, m+4b, . . . , n

2. Deret Aritmatika atau Deret Hitung

Deret Aritmatika adalah jumlah yang ditunjuk oleh suku-suku dari suatu barisan bilangan.

Bentuk umum

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [ a + (n-1)b]

Sn = [a + (n-1)b] + [a + (n-2)b] + [a + (n-3)b] + … + a

+ 2 Sn = [2a + (n-1)b] + [2a + (n-1)b] + [2a + (n-1)b] + … + [2a + (n-1)b]

Sebanyak n buah 2 Sn = n . [2a + (n-1)b]

Sn = n₂ [2a + (n-1)b]

Karena Un = U1 + (n  1)b maka 2a + (n-1)b = a + (a + (n  1)b) atau 2a + (n-1)b = a +

Un. hal ini berarti formula Sn dapat ditulis pula dengan Sn = n₂ (a + Un)

Contoh :

Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertama adalah 20.

Jawab:

U1 = 20; U5 = 240; n = 5, maka:

S5 = 1₂×5×(240+20)=5×130=650

Contoh :

a. Deret dari barisan 3, 5, 7, … , (2n – 1) adalah Sn = 3 + 5 + 7+ … + (2n – 1) maka,

S1 = 3 S2 = 3 + 5 = 8 S3 = 3 + 5 + 7 = 15 b. Deret dari barisan 1 + 2 + 4 + … + 2n – 1 _adalah

Sn = 1 + 2 + 4 + … + 2n – 1 _maka,

S1 = 1 S2 = 1 + 2 = 3 S3 = 1+ 2 + 4 = 7

Hitunglah jumlah bilangan bulat antara 4 dan 99 yang habis dibagi 5. Jawab:

Deret bilangan antara 4 dan 99 yang habis dibagi 5 adalah 5 + 10 + … + 95 maka, U1 = 5; U2 = 10; b = 10  5 = 5; Un = 95 Un = U1 + (n  1)b Un = 5 + (n 1)5

95 = 5 + 5n 5  5n = 95 maka n = 19

S19 = 1₂×19×(5+95)=19×50=95

C.Barisan dan deret geometri

a. Barisan geometri

Perhatikan contoh – contoh barisan geometri adalah : a. 2, 6, 18, 54, ...

b. 5, -10, 20, -40, ... c. 27, 9, 3, 1, ...

Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan : u1,u2,u3,u4, ... un merupakan

barisan geometri jika :

u1

u1 =

u3

u2 =

u4

u3 = ... =

un

un−1 = konstanta

Konstanta tersebut dinamakan rasio (r). Pada contoh barisan tersebut, a) rasio = 6₂ = 18₆ = 54₁₈ = .... = 3

b) rasio = −₅10 = ₋20₁₀ = −₁₀40 = ... = -2

Contoh :

1. Tentukan banyak suku dalam barisan geometri 81, 27, 9, ...,₈₁1 Jawab :

Untuk menentukan banyak suku dalam suatu barisan geometri, upayakan un sama

dengan suku terakhir un = ₈₁1

jadi, banyak suku deret itu adalah 9.

2. Jika x – 8, x – 4, x + 8 ialah tiga suku berurutan dalam suatu barisan geometri, tentukan nilai x.

Jawab :

Gunakan konsep rasio untuk menyelesaikan soal ini.

x2

−8x+16= x2 – 64

8x = 80 x = 10

Suku Tengah pada Barisan Geometri

Suku tengah dari suatu barisan geometri yang memiliki banyak suku ganjil, dapat ditentukan melalui deskriptif berikut ini.

1. U1 , U2 , U3 , U4 , U5 , U6 , U7 ; banyak suku = 7 dan suku tengahnya adalah

Berdasarkan deskripsi diatas, suku tengah dari suatu barisan geometri dapat ditentukan sebagai berikut:

Rumus suku tengah pada barisan geometri

Suatu barisan geometri dengan banyak suku adalah ganjil (2k-1), dengan k ϵ bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan geometri itu adalah suku ke-k atau Uk dan rumus sku tengah Uk ditentukan oleh hubungan :

Uk = √U1U2K−1

Sisipan pada Barisan Geometri Rumus sisipan pada barisan geometri

Diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Nilai rasio barisan geometri yang ditetapkan dengan menggunakan hubungan

r = k+1

√

xy

Dengan x dan y bilangan real (x ≠ y) dan k ϵ bilangan asli. b. Deret geometri

Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan geometri maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yang disebut deret geometri.

Secara umum dapat dinyatakan bahwa : c.

d. e. f.

Jika U1,U2,U3,....,Un merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka U1 + U2 + U3 +...+ Un disebut deret geometri,

Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka rumus untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : Sn = U1 + U2 + U3 + U4 +....+Un,maka

Jadi rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah : Sn =a(1−rn)

1−r

; untuk r < 1 atau S

n =

a(rn−1)

r−1

; untuk r>1.

Soal dan pembahasan :

1.hitunglah jumlah 7 suku pertama deret geometri -2 + 1 - 1₂ +1₄ -...

D.Deret geometri tak hingga

Jika banyak suku-suku penjumlahan deret geometri itu bertambah terus mendekati tak hingga, maka deret geometri semacam ini dinamakan sebagai deret geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga di tulis sebagai berikut.

u1+u2+u3+…+un+…=a+ar+ar2+…+arn−1+…

Jumlah dari deret geometri tak hingga dilambangkan dengan S dan S = _{n → ∞}limSn ,

dikatakan S diperoleh dari Sn dengan proses limit n mendekati tak hingga. Selanjutnya nilai

S = n → ∞lim Sn di tentukan dengan menggunakan teorema limit sebagai berikut.

lim

Berdasarkan persamaan yang terakhir itu jelas bahwa _{n → ∞}limSn ditentukan oleh ada atau

tidaknya nilai _{n → ∞}lim rn.

Berdasarkan uraian di atas, ciri deret geometri tak hingga dapat ditetapkan dengan menggunakan sifat sebagai berikut.

Sifat deret geometri tak hingga :

Deret gemetri tak hingga a+ar+ar2+…+arn−1+… dikatakan

1. Mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika hanya jika |r|<1. Limit jumlah itu ditentukan oleh S=_1−ra

2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika dan hanyajika|r|>1 . Contoh:

Suku pertama suatu deret geometri 24 lebihnya dari suku kedua, dan jumlah tak hingga bagi deret geometri itu ialah 54. Tentukan rasio deret geometri tersebut.

Jawab:

U1 = U2 +24 atau U1 –U2=24

Diketahui, S∞ = 54 ↔ _1−ra = 54

Dari pernyataan 1 / 2 diperoleh :

a(1−r) a

1−r =

24 54

↔(1−r)2 = 4₉

↔1 – 2r + r2 = 4

9

↔ 9r2 _{-18r + 9 = 4}

↔ 9r2 _{-18r + 5 = 0}

(3r−5)(3r−1) = 0 r=5₃ atau r = 1₃

kare na S ∞ hanya berlaku untuk -1 < r < 1, maka nilai r yang memenuhi ialah :