Distribusi Tekanan pada Fluida

Distribusi Tekanan pada Fluida

Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,

Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York

Tekanan pada Fluida

•  _{Tekanan fluida (}fluid pressure_{): tegangan normal}

(gaya normal per satuan luas) yang bekerja pada suatu elemen fluida.

•  _{Gradien tekanan spasial (bukan tekanan) dapat}

menimbulkan gaya pada permukaan elemen fluida •  Resultan gaya permukaan yang bekerja pada elemen

fluida diam (fluid at rest) hanya dipengaruhi oleh gradien tekanan karena tidak ada tegangan geser yang bekerja.

Tekanan pada Fluida Diam

δx δz δs p_n p_x p_z δW = ρg(½ δx δz δy) θ 0 x z θ

Tebal elemen = δy

Σ

F

_x

= 0

p

_x

_δ

y

_δ

_{z − p}

_n

_δ

y

_δ

ssin

_θ

_{= 0}

p

_x

= p

_n •  Tidak ada perubahan tekanan _{pada arah horizontal}

Pada arah x

sin θ = δz/δs cos θ = δx/δs

Tekanan pada Fluida Diam

δx δz δs p_n p_x p_z δW = ρg(½ δx δz δy) θ 0 x z θ

Tebal elemen = δy

•  Perubahan tekanan arah vertikal dipengaruhi

sin θ = δz/δs cos θ = δx/δs

Σ

F_z = 0 p_z

_δ

y

_δ

_{x − pn}

_δ

y

_δ

scos

_θ

₋ 1 2

ρ

g

δ

y

δ

x

δ

z = 0 p _{= p +} 1

_ρ

g

_δ

z Pada arah z

Tekanan pada Fluida Diam

•  Untuk elemen yang sangat kecil, sehingga menjadi

sebuah titik (δx, δy, δz ≈ 0) maka:

•  _Kesimpulan:

Tekanan (magnitude) pada suatu titik dalam fluida diam adalah sama ke segala arah

p

_x

_{= p}

_z

_{= p}

_n

_{= p}

y

•  Diambil sembarang elemen

fluida yang sangat kecil

Gradien Tekanan pada Fluida

z x δx δy δz p −∂p ∂y δy 2 # $ % & ' ( δx δz

p = p(x, y, z,t)

p +∂p ∂y δy 2 " # $ % & ' δx δz δF = p −#_% ∂p δy₍ & δx δz − p +_%# ∂p δ y&₍δx δz = −∂pδx δ y δz •  Pada arah y

Gradien Tekanan pada Fluida

•  Dengan cara yang sama, gaya pada arah x dan z

adalah: δF_z = p − ∂p ∂z δz 2 # $ % & ' ( δ y δx − p + ∂p ∂z δz 2 # $ % & ' (δ y δx = −∂p ∂z δx δ y δz δF_x = p − ∂p ∂x δx 2 # $ % & ' ( δ y δz − p + ∂p ∂x δx 2 # $ % & ' (δy δz = −∂p ∂x δx δ y δz 7

Gradien Tekanan pada Fluida

•  Gaya yang bekerja pada elemen fluida akibat

tekanan adalah:

•  Jika f adalah gaya per satuan volume, maka:

δ

F = −

!

∂p

∂x

!

i −

∂p

∂y

!

j −

∂p

∂z

!

k

#

$

%

&

'

(

δ

x

δ

y

δ

z

!

f

_p

_{= −}

_∇p

!

_!

∇ =

∂

∂x

!

i +

∂

∂y

!

j +

∂

∂z

!

k

#

$

%

&

'

(

! ∇ = gradient operator

Keseimbangan Elemen Fluida

•  Gaya-gaya yang bekerja pada fluida (per satuan

volume)

!

f =

f

!

_p

₊

f

!

_g

₊

f

!

_visc

_{= −}

_{∇p +}

!

_ρ

_{g +}

!

f

!

_visc

₌

_ρ

a

!

δ

F

!

_g

= m

g =

!

ρ

g

δ

x

δ

y

δ

z

!

f

_g

₌

_ρ

g

!

δ

F = m

!

a =

!

ρ

a

δ

x

δ

y

δ

z

!

f =

ρ

a

!

9

Distribusi Tekanan Hidrostatis

•  Pada fluida statis, percepatan dan tegangan geser

sama dengan nol (a = 0, f_visc = 0), sehingga:

•  Arah gradien tekanan akan selalu tegak lurus

permukaan bertekanan konstan.

•  Arah gradien tekanan adalah searah gravitasi lokal

!

∇p =

ρ

g

!

!

Distribusi Tekanan Hidrostatis

•  Komponen gradien tekanan :

•  Gradien tekanan tidak terpengaruh

x dan y, sehingga:

∂p

∂x

= 0

∂p

∂y

= 0

∂p

∂z

= −

ρ

g = −

γ

p₂ p₁ z x y h = z2 – z1 z₁ z₂ Permukaan fluida (tekanan = p₀) 11 dp dz = −γ p_{2 − p1 = − −γ dz} z₁ z₂

∫

Fluida dalam Gerak Benda Tegar

Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,

Benda Tegar

•  _{Benda tegar (}rigid body_{): suatu sistem partikel yang}

tidak mengalami deformasi, sehingga jarak antar

partikel tidak berubah meskipun mendapat gaya luar (external force)

•  _{Gerak benda tegar (}rigid body motion₎

•  Gerak translasi

•  Gerak rotasi

•  Kombinasi translasi dan rotasi

Fluida dalam Gerak Benda Tegar

•  Fluida dalam gerak benda tegar: seluruh partikel

fluida bergerak bersama-sama (percepatan sama) sehingga tidak ada gerakan relatif antar partikel. •  Fluida dalam keadaan ini dapat dianggap sebagai

fluida statis (tidak mengalami tegangan dan regangan geser).

•  Contoh:

•  Zat cair yang diangkut kapal/truk tangki

•  Keseimbangan gaya pada elemen fluida

dalam gerak benda tegar (a ≠ 0, f_visc = 0)

Fluida dalam Translasi Benda Tegar

a_x a_z a_x az p = p₁ p₂ p₃ s θ

θ

Muka zat cair saat diam

!

∇p =

ρ

( !g −

a)

!

!

g

!

a

−

a

!

!

g −

a

!

z,

k

!

x,

i

!

15

Fluida dalam Translasi Benda Tegar

•  Gradien tekanan bekerja pada arah

•  Garis tekanan-konstan (serta permukaan zat cair,

jika ada) adalah tegak lurus arah gradien tekanan dengan kemiringan:

!

∇p =

ρ

( !g −

a)

!

θ

= tan

−1

a

x

g + a

!

g −

a

!

dp

ds

= ρG

G = a

x 2

+ g+a

(

_z

)

2

Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan?

Isobar p₀ p₁ p₂ p₃ p₄ ∆p Isobar p₀ p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ ∆p Isobar p₀ p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₈ p₆ p₇ ∆p

a = 0

a

a

p

_A

p

_B

> p

_A

_p

_C

_{< p}

_A 17

Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan?

Isobar p₀ p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ ∆p Isobar p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 Isobar p₀ p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆

a = 0

a

a

Contoh Soal dan Penyelesaian

Kaleng cat diletakkan pada nampan dan diseret dengan

percepatan 7 m/s2_{. Tinggi kaleng}

10 cm, diameter 6 cm dan berisi cat sedalam 7 cm pada kondisi diam. Dengan asumsi bahwa cat dalam gerak benda tegar,

(a) tentukan apakah cat akan

tumpah, (b) hitung tekanan pada titik A jika rapat massa cat

1010 kg/m3_.

A

3 cm 7 cm 3 cm 3 cm a_x = 7 m/s2

θ

∆z z x s 19

Contoh Soal dan Penyelesaian

•  Penyelesaian (a): ditentukan kemiringan berdasarkan

besar percepatan yang telah diketahui, lalu ditentukan tinggi kenaikan permukaan cat di tepi kaleng.

•  Cat tidak tumpah dari kaleng. (Solusi ini mengabaikan

goncangan pada saat awal bergerak)

θ = tan−1 ax g + a_z = tan −1 7.0 m/s 2 9.81 m/s2 + 0 = 35.5° ∆ z = (3 cm)(tan35.5°) = 2.14 cm < 3 cm

Contoh Soal dan Penyelesaian

•  Penyelesaian (b) Tekanan pada A saat diam:

Tekanan pada A saat bergerak

atau p_{A (diam) =} ρgh_rest = (1010 kg/m3)(9.81 m/s2)(0.07 m) = 694 Pa p_{A = ρ}G ∆ s = (1010 kg/m3)( (9.81)2 + (7.0)2m/s2)((0.07 + 0.0214)cos35.5°m) = 906 Pa p_{A = ρ}G(z_{surf − zA}) = (1010 kg/m3)(9.81 m/s2)((0.0214 + 0.07) m) = 906 Pa 21

Fluida dalam Rotasi Benda Tegar

Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,

Ingat kembali…

•

 

Percepatan sentripetal (

a

_c

)

m

r

m

V

_i

V

_f

θ

V

_i

V

_f

V = |V

_i

| = |V

_f

|

V

_δ

t

r

≈

δ

V

V

a =

δ

V

δ

t

=

V

2

r

= a

c

∆V

Segitiga sebangun 23

Ingat kembali…

•

 

Gaya sentripetal (

F

_c

)

F

_c

F

_c

V

V

Ω

m

r

F

_c

_{= ma}

_c

= m

V

2

r

= m

Ω

2

r

V =

Ω

r

Fluida dalam rotasi benda tegar

Apa yang terjadi jika: 1.  Piringan diputar 2.  Kecepatan putar ditambah https://www.youtube.com/ watch?v=RdRnB3jz1Yw&t=9s Piringan Air 25

Gaya-gaya yang bekerja

2

1

F

_nz

F

_nx

F

_n

F

_g Bagaimana gaya-gayanya?

z,

i

!

_z

r,

i

!

_r

Ω

F

_g

_{= F}

_nz

_{= mg}

F

_nx

_{= m}

_Ω

2

r

Distribusi Tekanan

p = p₀ p = p₁ p₂ p₃ sumbu rotasi muka air saat diam

z,

i

!

_z

r,

i

!

_r

Ω

! g

!

a = −r

Ω

2

i

!

_r

−

a

!

!

g −

a

!

!

∇p =

ρ

( !g −

a)

!

Apa yang terjadi jika plat berisi fluida digeser, tetapi masih pada diameter piringan?

Distribusi Tekanan

•  Vektor posisi, kecepatan sudut dan percepatan:

•  Keseimbangan gaya: •  Maka: dan

!r

₀

_{= r}

i

"

_r

_Ω

!

₌

_Ω

_i

!

_z

_Ω

!

_{× (}

_Ω

!

_×

_r

!

₀

_{) = −r}

_Ω

2

_i

!

r

!

∇p =

ρ

( !g −

a)

!

∂p

∂z

!

i

_z

₊

∂p

∂r

!

i

_r

₌

_ρ

_(−g

i

!

_z

_{+ r}

_Ω

2

i

!

_r

)

∂p

∂r

=

ρ

r

Ω

2

∂p

∂z

= −

ρ

g

•  p diintegralkan terhadap r dengan menganggap z konstan

•  Dengan menganggap r konstan:

•  Sehingga

Distribusi Tekanan

p =

1

2

ρ

r

2

Ω

2

+ f (z)

∂p

∂z

= 0 + f '(z) = −

ρ

g

f (z) = −

ρ

gz +C

p =

1

2

ρ

r

2

Ω

2

−

ρ

gz +C

29

•  Jika p = p₀ pada (r, z) = (0, 0) maka C = p₀, sehingga:

•  Untuk menggambar garis tekanan-konstan:

Distribusi Tekanan

p = p

₀

−

ρ

gz +

1

2

ρ

r

2

Ω

2

z =

p

0

− p

1

ρ

g

+

r

2

_Ω

2

2g

= a + br

2

•  Pada silinder yang diputar

pada sumbunya berlaku:

Distribusi Tekanan

h

2

=

Ω

2

R

2

4g

muka air saat diam

Ω

h 2 h 2 R R h Volume = π 2 R 2_h 31

Contoh soal

Kaleng dengan tinggi 10 cm dan diameter 6 cm berisi cat (ρ= 1010 kg/m3_{) dengan kedalaman 7 cm pada keadaan}

diam. Kaleng kemudian diputar pada sumbunya hingga tercapai kondisi benda tegar. Tentukan:

(a)  kecepatan sudut yang akan menyebabkan cat

mencapai bibir kaleng

Penyelesaian

_z

Ω

r

A

0 3 cm 7 cm 3 cm 3 cm h 2 = Ω2R2 4g = 0.03 m Ω2 = 1308 Ω = 36.2 rad/s = 345 rpm A(r, z) = (3 cm,−4 cm) p_{A = p0 − ρgz +} 1 2 ρΩ 2_r2 = 0 + 396 N/m2 + 594 N/m2 = 990 Pa (a) (b) 33