Abstrak—Gelombang laut telah menjadi perhatian utama dalam catatan sejarah. Namun, sampai sekarang, pengetahuan tentang mekanisme pembentukan gelombang dan bagaimana gelombang berjalan di lautan masih belum sempurna. Ini sebagian karena pengamatan karakteristik gelombang di laut sulit dilakukan dan sebagian karena model matematika tentang perilaku gelombang didasarkan pada dinamika ideal, dan pada kenyataannya keadaan perairan laut tidak sepenuhnya ideal. Estimasi kecepatan dan ketinggian gelombang pada pantai juga dirasa sangat perlu. Karena pantai merupakan garis batas kehidupan antara laut dan daratan. Oleh karena itu, dalam tugas akhir ini diterapkan metode Ensemble Kalman Filter (En-KF) untuk estimasi kecepatan dan ketinggian gelombang pada persamaan gelombang panjang non linear. Metode ini dipilih karena dapat digunakan pada model dinamik linear maupun non linear. Setelah itu, dilakukan interpolasi linear untuk mendapatkan nilai kecepatan dan ketinggian pada titik - titik yang menghubungkan garis pantai namun tidak termasuk dalam titik pengamatan awal.
Kata Kunci—Gelombang laut, Estimasi, Ensemble Kalman Filter (EnKF), Interpolasi Linear
I. PENDAHULUAN
elombang adalah getaran yang merambat atau menjalar ke suatu tempat dalam suatu ruang. Di dalam perambatannya ada gelombang yang memerlukan medium perantara, misalnya gelombang air, gelombang bunyi. Tetapi ada juga yang tidak memerlukan medium perantara, misalnya gelombang cahaya dan gelombang elektromagnet. Gelombang laut merupakan salah satu contoh gelombang yang sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari. Ketika menyaksikan gelombang laut bergerak ke pantai, mungkin terdapat pendapat bahwa gelombang membawa air laut menuju ke pantai. Namun dalam kenyataannya yang disaksikan adalah setiap partikel air tersebut berosilasi (bergerak naik turun) terhadap titik setimbangnya. Hal ini berarti bahwa gelombang tidak memindahkan air tersebut. Kalau gelombang memindahkan air, maka benda yang terapung juga ikut bepindah. Jadi, air hanya berfungsi sebagai medium bagi gelombang untuk merambat [1].
Dinamika gelombang laut telah dipelajari sejak dulu. Pada abad ke 20 hukum-hukum praktis yang pertama ditemukan
dan model gelombang pertama dibangun. Sejak itu pengetahuan tentang gelombang laut telah meningkat secara signifikan dan model telah menjadi lebih maju guna memberikan informasi prakiraan gelombang pada skala regional atau global. Peramalan gelombang penting untuk cakupan luas dari aktivitas laut dalam kelautan dan pesisir laut [2].
Teknik asimilasi data juga telah banyak digunakan untuk melakukan estimasi pada bidang kelautan secara fisik dan meteorologi. Pengembangan penerapan teknik asimilasi data yang mengarah pada bidang dinamika kelautan akan sangat bermanfaat bagi negara kepulauan seperti Indonesia yang terdiri dari pulau pulau dan wilayah perairan yang sangat luas [3]. Oleh karena itu, studi tentang estimasi kecepatan gelombang yang menuju garis pantai yang ditentukan masih menjadi hal yang cukup penting. Dalam tugas akhir ini akan dilakukan kajian tentang aplikasi metode EnKF pada model gelombang. Metode ini dipilih karena dianggap tepat untuk digunakan pada model yang berbentuk strongly nonlinear . Sedangkan untuk mendapatkan nilai di titik titik pada bentuk garis pantai yang ditentukan, akan diinterpolasi hasil dari dua titik diantaranya. Dimana secara tidak langsung Interpolasi berfungsi atau digunakan untuk memperkirakan nilai tengah diantara titik-titik dari satu set nilai yang sudah diketahui.
Permasalahan yang akan diambil dalam tugas akhir ini adalah:
a. Bagaimana menerapkan metode Ensemble Kalman
Filter untuk mengestimasi kecepatan dan ketinggian
gelombang non linear.
b. Bagaimana menerapkan interpolasi linear untuk memperkirakan nilai tengah diantara titik-titik dari satu set nilai yang sudah diketahui.
Dalam penelitian tugas akhir yang diusulkan ini, permasalahan yang akan dibahas akan dibatasi ruang lingkup pembahasannya antara lain:
a. Model yang digunakan adalah model gelombang non
linear dua dimensi.
b. Bentuk garis pantai ditentukan.
c. Simulasi pada penelitian ini dikerjakan dengan menggunakan software Matlab.
Penerapan Metode Ensemble Kalman Filter
untuk Estimasi Kecepatan dan Ketinggian
Gelombang pada Pantai
Fadila Rahmana, Erna Apriliani, Lukman Hanafi
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
E-mail: [email protected]
Tujuan dari tugas akhir ini antara lain:
a. Estimasi kecepatan gelombang non linear dari laut
menuju pantai menggunakan metode Ensemble
Kalman Filter (EnKF).
b. Mendapatkan hasil pada titik-titik di garis pantai yang ditentukan dengan Interpolasi Linear.
Manfaat yang diharapkan dari tugas akhir ini adalah mampu memberikan informasi mengenai estimasi kecepatan dan ketinggian gelombang yang bersumber dari laut menuju pantai dengan garis pantai yang telah ditentukan menggunakan metode Ensemble Kalman Filter (EnKF) dan
Interpolasi Linear.
II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Model Persamaan Gelombang Non Linear Dua Dimensi
Model Persamaan Gelombang yang digunakan adalah persamaan gelombang panjang non linear dua dimensi [4]. Persamaan Momentum arah sumbu-
x
:D
v
u
ru
x
g
y
u
v
x
u
u
t
u
−
2+
2∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
η
Persamaan Momentum arah sumbu-
y
:D
v
u
rv
y
g
y
v
v
x
v
u
t
v
−
2+
2∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
η
Persamaan Kontinuitas:y
Dv
x
Du
t
∂
∂
−
∂
∂
−
=
∂
∂
η
(
)
(
)
Gambar 1. Gelombang dengan:η
= elevasi permukaan airr
= koefisien gesekan dasar perairanu
= kecepatan arah sumbu-x
v
= kecepatan arah sumbu-y
g
= percepatan gravitasiD
= kedalaman air total(
h
+
η
)
t
∆
= step waktu=
∆
=
∆
x
y
lebar grid ruangB. Metode Ensemble Kalman Filter
Metode Ensemble Kalman Filter adalah modifikasi dari metode Kalman Filter dengan membangkitkan sejumlah
ensemble yang dapat digunakan untuk mengestimasi berbagai
persoalan yang berbentuk model sistem linear maupun non
linear. Pada algoritma metode Ensemble Kalman Filter (EnKF) mempunyai tiga tahapan yaitu tahap inisialisasi, time update (tahap prediksi) dan tahap measurement update (tahap
koreksi). Algoritma Ensemble Kalman Filter (EnKF) adalah sebagai berikut:
Model Sistem:
x
k+1=
f
(
x
k,
u
k)
+
w
k Model Pengukuran:z
k=
Hx
k+
v
kdengan
w
k~
N
(
0
,
Q
k)
danv
k~
N
(
0
,
R
k)
1. Inisialisasi (kondisi awal)Bangkitkan N ensemble dengan tebakan awal
x
0]
[
0,1 0,2 0,3 0,,
0i
X
X
X
X
NX
=
Menentukan Nilai Awal
∑
==
=
N i ix
N
x
x
1 , 0 * 0 01
ˆ
ˆ
2. Time Update (Tahap Prediksi)
)
,
ˆ
(
ˆ
k−.i=
f
x
k−1u
k−1x
denganw
k~
N
(
0
,
Q
k)
Estimasi:∑
= − −=
N i i k kx
N
x
1 ,ˆ
1
ˆ
Kovariansi Error: T k i k k N i i k kx
x
x
x
N
P
(
ˆ
ˆ
)(
ˆ
ˆ
)
1
1
, 1 , − − − = − −−
−
−
=
∑
3. Measurement Update (Tahap Koreksi)
i k k i k
z
v
z
,=
+
, denganv
k~
N
(
0
,
R
k)
Kalman Gain:K
k=
P
k−H
T(
HP
k−H
T+
R
k)
−1 Estimasi:x
ˆ
k,i=
x
ˆ
k−,i+
K
k(
z
k,i−
H
x
ˆ
k−,i)
∑
==
N i i k kx
N
x
1 ,ˆ
1
ˆ
Kovariansi Error: −−
=
k k kI
K
H
P
P
[
]
Pada algoritma Ensemble Kalman Filter (EnKF) di atas,
noise sistem
w
k,i pada tahap prediksi dan noise pengukurani k
v
, pada tahap koreksi dibangkitkan dalam bentuk ensemble [5].C. Metode Interpolasi Linear
Untuk mendapatkan nilai kecepatan dan ketinggian pada titik - titik yang menghubungkan garis pantai menggunakan metode Interpolasi Linear sebagai pendekatan fungsi.
Interpolasi Linear dilakukan dengan menghubungkan dua
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0 0 1 0 1 0 1x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
−
−
−
+
=
III. METODOLOGIPENELITIAN
A. Studi Pendahuluan
Pemahaman tentang sistem dinamik gelombang non linear dua dimensi, mengkaji teori dasar tentang Kalman Filter yang berhubungan dengan model sistem linear, kemudian pemahaman modifikasi Kalman Filter melaui metode
Ensemble Kalman Filter (EnKF) dan juga metode Interpolasi Linear.
B. Diskritisasi Model
Model gelombang didiskritisasi dengan metode beda hingga maju untuk perubahan variabel keadaan terhadap waktu, dan beda hingga pusat untuk perubahan variabel keadaan terhadap posisi.
C. Penerapan Metode EnKF untuk Estimasi Kecepatan dan Ketinggian Gelombang
Pada tahap ini dilakukan estimasi nilai kecepatan gelombang dan ketinggian gelombang air laut pada pantai dari data kondisi awal dengan cara membuat simulasi menggunakan program Matlab yaitu diterapkannya model dinamik gelombang yang telah didiskritkan pada algoritma
Ensemble Kalman Filter. D. Interpolasi Hasil
Setelah itu mencari nilai kecepatan dan ketinggian gelombang tersebut pada titik-titik yang merupakan garis pantai dengan metode Interpolasi Linear.
E. Simulasi
Dilakukan simulasi menggunakan program Matlab yaitu diterapkannya model dinamik gelombang yang telah didiskritkan pada algoritma Ensemble Kalman Filter dan menginterpolasi untuk mendapatkan hasil di titik – titik pada garis pantai.
F. Kesimpulan dan Saran
Pada tahap terakhir ini dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil pembahasan sebelumnya. Selanjutnya diberikan saran untuk perbaikan pada penelitian berikutnya.
IV. HASIL PENELITIAN
A. Diskritisasi Model
Model persamaan gelombang non linear didiskritisasi menggunakan metode beda hingga maju untuk perubahan variabel terhadap waktu, dan beda hingga pusat untuk perubahan variabel terhadap posisi, seperti berikut ini:
k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i
u
D
v
u
tru
x
t
g
u
u
v
y
t
u
u
u
x
t
u
, , 2 , 2 , , , 1 , 1 1 , 1 , , , 1 , 1 , 1 ,)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
2
+
+
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
=
− + − + − + +η
η
k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j iv
D
v
u
trv
y
t
g
v
v
v
y
t
v
v
u
x
t
v
, , 2 , 2 , , 1 , 1 1 , 1 , 1 , , , 1 , 1 , 1 ,)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
2
+
+
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
=
− − + − + − + +η
η
k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j iD
D
v
y
t
v
v
D
y
t
D
D
u
x
t
u
u
D
x
t
, 1 , 1 , , 1 , 1 , , , 1 , 1 , , 1 , 1 , 1 ,)
(
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
η
η
+
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
=
− + − + − + − + +Dengan menjalankan persamaan sesuai dengan perubahan variabel keadaan terhadap sumbu-
x
dan sumbu-y
, kemudian digabungkan dan didapatkan matriks untuk mendapatkan nilai perubahan variabel keadaan terhadap waktu.B. Penambahan Faktor Stokastik
Model gelombang sebelumnya masih dalam bentuk deterministik. Oleh karena itu, harus ditambahkan faktor stokastik dalam bentuk noise pada masingmasing persamaan. Sehingga didapat:
Model Sistem:
x
k+1=
f
(
x
k,
u
k)
+
w
k Model Pengukuran:z
k=
Hx
k+
v
kDengan
f
(
x
k,
u
k)
adalah ketiga fungsi non linear tersebut. Secara umum variansi noise sistemw
k dinyatakan denganQ
k dan variansi noise pengukuranv
k dinyatakan denganR
k kemudian dibangkitkan.C. Implementasi Model Gelombang pada EnKF
Pertama yang dilaakukan adalah mendefinisikan
X
dan memberikan nilai awal untuk masing-masing variabel.T n n n n n n n n n n n n
v
u
v
u
v
u
X
0=
[
1, 1,η
1,
,1 ,1η
,1
, ,η
,]
Model Sistem: k k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j iw
u
D
v
u
tru
x
t
g
u
u
v
y
t
u
u
u
x
t
u
+
+
+
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
=
− + − + − + + , , 2 , 2 , , , 1 , 1 1 , 1 , , , 1 , 1 , 1 ,)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
2
η
η
k k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i
w
v
D
v
u
trv
y
t
g
v
v
v
y
t
v
v
u
x
t
v
+
+
+
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
=
− − + − + − + + , , 2 , 2 , , 1 , 1 1 , 1 , 1 , , , 1 , 1 , 1 ,)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
2
η
η
k k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j iw
D
D
v
y
t
v
v
D
y
t
D
D
u
x
t
u
u
D
x
t
+
+
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
−
∆
∆
−
=
− + − + − + − + + , 1 , 1 , , 1 , 1 , , , 1 , 1 , , 1 , 1 , 1 ,)
(
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
η
η
Digunakan matriks pengukuran
H
untuk variabel yang bisa diukur. Jika semua variabel dapat diukur maka akan membentuk matriks identitas berukurann
×
n
dimana angka 1 terdapat pada diagonalnya. Sehingga didapatkan persamaank k k
Hx
v
z
=
+
Kemudian menerapkan algoritma Ensemble Kalman Filter seperti yang dijelaskan sebelumnya yang terdiri dari tahap inisialisasi, prediksi, dan koreksi pada model yang telah didiskritkan dan ditambahkan faktor stokastik tersebut.
D. Data Gelombang Laut pada Pantai
Untuk melakukan simulasi dalam mengestimasi besar nilai kecepatan dan ketinggian gelombang pada pantai digunakan data nilai awal yang didapat dari pantai Jasri berlokasi di Bali, dimana data tersebut meliputi kecepatan, kedalaman laut serta ketinggian (elevasi) pada titik titik yang tersebar. Untuk mendukung hal ini akan digambarkan bentuk garis pantai dan titik-titik yang tersebar sebagai pengamatan.
Gambar 2. Keadaan dan Bentuk Garis Pantai Dengan garis pantai yg diamati terletak pada titik-titik A (di antara titik (5,2) dan (6,2)), B (di titik 5,3) dan C (di antara titik (4,4) dan (5,4)).
E. Interpolasi Hasil Akhir
Setelah didapat hasil akhir pada perhitungan real dan perhitungan yang menggunakan metode, selanjutnya dicari
nilai nilai pada titik pengamatan garis pantai, yaitu titik A, B, dan C. Dari ketiga titik tersebut, nilai di titik A dan C didapat dari menginterpolasi hasil dari dua titik di antaranya.
Untuk mendapatkan kecepatan sumbu-
x
di titik A:))
2
,
6
(
)
2
,
5
(
(
)
2
,
6
(
)
2
,
5
(
)
2
,
6
(
)
(
)
2
,
6
(
)
(
u
u
x
x
x
A
x
u
A
u
−
−
−
+
=
kecepatan sumbu-
y
di titik A:))
2
,
6
(
)
2
,
5
(
(
)
2
,
6
(
)
2
,
5
(
)
2
,
6
(
)
(
)
2
,
6
(
)
(
v
v
x
x
x
A
x
v
A
v
−
−
−
+
=
Ketinggian (elevasi) air di titik A:
))
2
,
6
(
)
2
,
5
(
(
)
2
,
6
(
)
2
,
5
(
)
2
,
6
(
)
(
)
2
,
6
(
)
(
η
η
η
η
−
−
−
+
=
x
x
x
A
x
A
Kecepatan sumbu-
x
titik B = Kecepatan sumbu-x
titik (5,3) Kecepatan sumbu-y
titik B = Kecepatan sumbu-y
titik (5,3) Ketinggian (elevasi) air titik B = Ketinggian (elevasi) air titik (5,3)Untuk mendapatkan kecepatan sumbu-
x
di titik C:))
4
,
5
(
)
4
,
4
(
(
)
4
,
5
(
)
4
,
4
(
)
4
,
5
(
)
(
)
4
,
5
(
)
(
u
u
x
x
x
C
x
u
C
u
−
−
−
+
=
kecepatan sumbu-
y
di titik C:))
4
,
5
(
)
4
,
4
(
(
)
4
,
5
(
)
4
,
4
(
)
4
,
5
(
)
(
)
4
,
5
(
)
(
v
v
x
x
x
C
x
v
C
v
−
−
−
+
=
Ketinggian (elevasi) air di titik C:
))
4
,
5
(
)
4
,
4
(
(
)
4
,
5
(
)
4
,
4
(
)
4
,
5
(
)
(
)
4
,
5
(
)
(
η
η
η
η
−
−
−
+
=
x
x
x
C
x
C
F. Simulasi dan Hasil
Pada sub bab ini simulasi dilakukan dengan menerapkan algoritma EnKF pada persamaan gelombang. Hasil simulasi akan dievaluasi dengan cara membandingkan keadaan real dengan EnKF. Kemudian interpolasi hasil dari titik yang ditentukan untuk mendapatkan nilai estimasi di titik pada garis pantai.
Gambar 3. Kecepatan searah sumbu dalam keadaan Real dan EnKF di titik A, N=100.
Gambar 4. Kecepatan searah sumbu dalam keadaan Real dan EnKF di titik A, N=100.
Gambar 5. Ketinggian (elevasi) air dalam keadaan Real dan EnKF di titik A, N=100.
Pada gambar 1, 2, dan 3 serta tabel a menunjukkan bahwa grafik dan nilai kecepatan sumbu , kecepatan sumbu , dan ketinggian (elevasi) air di titik A garis pantai menurun pada setiap waktunya dari keadaan awal.
Gambar 6. Kecepatan searah sumbu dalam keadaan Real dan EnKF di titik B, N=100.
Gambar 7. Kecepatan searah sumbu dalam keadaan real dan EnKF di titik B, N=100.
Gambar 8. ketinggian (elevasi) air dalam keadaan Real dan EnKF di titik B, N=100.
Pada gambar 6, 7, dan 8 serta tabel b menunjukkan bahwa grafik dan nilai kecepatan sumbu , kecepatan sumbu , dan ketinggian (elevasi) air di titik B garis pantai menurun pada setiap waktunya dari keadaan awal.
Gambar 9. Kecepatan searah sumbu dalam keadaan Real dan EnKF di titik C, N=100.
Gambar 10. Kecepatan searah sumbu dalam keadaanReal dan EnKF di titik C, N=100.
Gambar 11. Ketinggian (elevasi) air dalam keadaan Real dan EnKF di titik C, N=100.
Pada gambar 10, 11, dan 12 serta tabel c menunjukkan bahwa grafik dan nilai kecepatan sumbu , kecepatan sumbu , dan ketinggian (elevasi) air di titik C garis pantai menurun pada setiap waktunya dari keadaan awal.
Setelah itu dapat juga dilakukan simulasi dengan data awal untuk mengetahui kecepatan dan ketinggian gelombang dari titik terjauh menuju titik pada pantai,dengan sumbu-y yang sama. Serta dilakukan simulasi dengan mengubah data awal pada titik gterjauh pantai dengan nilai awal tinggi.
V. PENUTUP
Dari analisis dan pembahasan yang sudah dilakukan, dapat ditarik kesimpulan serta diberikan saran untuk pengembangan dan perbaikan penelitian selanjutnya.
A. Kesimpulan
1. Metode Ensemble Kalman Filter (EnKF) dapat digunakan untuk estimasi kecepatan dan elevasi atau ketinggian gelombang.
2. Metode Ensemble Kalman Filter dapat diterapkan pada persamaan gelombang panjang non linear tanpa harus melakukan pelinearan terlebih dulu.
3. Metode Interpolasi Linear dapat digunakan untuk mendapatkan nilai pada titik di sepanjang garis pantai yang sebelumnya bukan merupakan titik pengukuran.
4. Nilai kecepatan searah sumbu- , kecepatan searah sumbu- , dan ketinggian (elevasi) air untuk setiap waktu berikutnya menurun.
5. Dapat mendeteksi nilai kecepatan searah sumbu- , kecepatan searah sumbu- , dan ketinggian (elevasi) air pada titik-titik di sepanjang garis pantai dengan memberi nilai awal pada titik terjauh dari pantai.
B. Saran
Pada tugas akhir ini diterapkan model persamaan gelombang non linear dengan bentuk garis pantai yang ditentukan. Diharapkan pada penelitian berikutnya dapat dikembangkan untuk simulasi dengan keadaan pantai dan bentuk garis pantai yang lebih bervariasi lagi.
DAFTARPUSTAKA
[1] Ojima,Y.,dkk. 2009. Estimation of river current using reduced Kalman filter finite element method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Vol. 198, Hal. 904-911.
[2] Zamani, A. ,dkk. 2010. Non-linear wave data assimilation with an ANN-type wind-wave model and Ensemble Kalman Filter (EnKF) Journal. Applied Mathematical Modelling Vol. 34, Hal.1984-1999.
[3] Pancahayani, S. 2011.Estimasi Lintasan Misil dengan Metode Ensemble Kalman Filter (EnKF). Surabaya: Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
[4] Kowalik, Z. 2003. Workbook on Numerical Modelling. Fairbanks, Alaska. [5] Roihah, N. 2010. Penerapan Metode Ensemble Kalman Filter untuk
Mendeteksi Gangguan Konduksi Panas Pada Keping Logam Berbentuk Persegi. Surabaya: Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
