BAB I PENGANTAR PROGRAM LINIER

(1)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 1

BAB I

PENGANTAR PROGRAM LINIER

1.1. Pengertian

Program linier merupakan kata benda dari pemogramman linier (linear programming), muncul dalam penelitian operasional (operational research). Menurut George B. Dantzing yang sering disebut Bapak Linear Programming, di dalam bukunya “Linear Programming and Extension”, menyebutkan bahwa ide dari linear programming ini berasal dari ahli matematik Rusia bernama L.V. Kantorivich yang pada tahun 1939 menerbitkan sebuah karangan dengan judul “Mathematical Methods in The Organization and Planning of Production”, yang didalamnya telah dirumuskan persoalan linear programming untuk pertama kalinya. Ide ini, di Rusia tidak berkembang dan justru berkembang di dunia barat, kemudian tahun 1947 seorang ahli matematik dari Amerika Serikat yaitu George B. Dantzing menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalan linear programming tersebut dengan suatu metode yang disebut “Simplex Methods”. Setelah itu, linear programming berkembang pesat sekali, semula di bidang militer (untuk penyusunan strategi perang) maupun di bidang bussines (persoalan untuk mencapai maksimum profit, minimum loss, dll). Sekarang berkembang luas di dalam perencanaan pembangunan ekonomi nasional, misalnya di dalam penentuan “allocation of investments” ke dalam sektor-sektor perekonomian, “rotation corp policy”, peningkatan penerimaan devisa, dll.

Program linier (linear programming) merupakan meodel matematik dalam mengalokasikan sumberdaya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Program linier sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dan sistem kendala linier.

(2)

1.2. Persoalan Optimasi & Persoalan Programming

Pada dasarnya persoalan optimasi (optimazion problems) merupakan suatu persoalan membuat nilai fungsi 𝑧 = 𝑐₁𝑥₁+ 𝑐₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑐_𝑛𝑥_𝑛, dengan variabel yaitu 𝑥₁, 𝑥₂, … . , 𝑥_𝑛 menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan kendala-kendala atau pembatas-pembatas yang ada. Biasanya pembatas-pembatas tersebut meliputi tenaga kerja, uang, material yang merupakan input, serta waktu dan ruang.

Persoalan programming pada dasarnya berkenaan dengan penentuan alokasi yang optimal dari sumber-sumber yang langka (limited resources) untuk memnuhi suatu tujuan (objective). Misalnya, bagaimana mengkombinasikan beberapa sumber yang terbatas seperti tenaga kerja, material, mesin, tanah, pupuk, air sehingga diperoleh output yang maksimum.

Persoalan linear programming adalah persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variable sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau obyektif (objective function) yang linier menjadi optimum (maksimum atau

minimum) dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada yaitu

pembatasan mengenai inputnya. Pembatasan-pembatasan inipun harus dinyatakan dalam ketidaksamaan yang linier (linear inequality).

Suatu persoalan disebut persoalan program linier apabila memenuhi hal-hal berikut:

a. Tujuan (objective) yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier. Fungsi ini disebut fungsi tujuan (objective function)

b. Harus ada alternative pemecahan. Pemecahan yang membuat nilai fungsi tujuan optimum (laba yang maksimum, biaya yang minimum, dll) yang hartus dipilih

c. Sumber-sumber tersedia dalam jumlah terbatas (bahan mentah terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dll). Pembatasan-pembatasan harus dinyatakan di dalam ketidaksamaan yang linier (linear inequality)

(3)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 3 Secara teknis, ada syarat tambahan dari permasalahan program linier yang harus diperhatikan sebgai asumsi dasar yaitu:

a. Kepastian (certainty), yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dan tidak berubah selama periode analisa

b. Proporsionalitas (proportionality), yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala

c. Penambahan (additivity), yaitu aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu

d. Bisa dibagi-bagi (divisibility), yaitu solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat) tetapi bisa juga bilangan pecahan

e. Variable tidak negatif (non-negative variable), yaitu bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negative

1.3. Formulasi Model Matematika.

 Masalah keputusan yang sering dihadapi analis yaitu alokasi optimum sumber daya.

 Sumber daya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi.

 Tugas analisis adalah mencapai hasil terbaik dengan keterbatasan sumber daya tersebut.

 Setelah masalah diidentifikasikan dan tujuan ditetapkan, maka langkah selanjutnya yaitu formulasi model matematik.

 Formulasi model matematik ada 3 tahap yaitu:

a. Menentukan variable yang tidak diketahui dan dinyatakan dengan simbol b. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linear

dari variable keputusan (memaksimumkan atau meminimumkan)

c. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikannya dalam persamaan, pertidaksamaan atau fungsi

(4)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 4 Contoh:

 Suatu perusahaan menghasilkan dua barang, boneka dan mobil-mobilan. Harga masing-masing barang dan kebutuhan sumber daya terlihat pada tabel berikut. Disamping itu menurut bagian penjualan, permintaan boneka tidak akan melebihi 4 unit.

Sumber daya Boneka Mobil-mobilan Kapasitas

Bahan Mentah 1 2 10

Buruh 6 6 36

Harga per unit 4 5

Tentukan: a. Variable b. Fungsi tujuan c. Sistem kendala d. Formasi model matematik e. Solusi optimum

Soal – soal:

1. Sebuah Firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua model yaitu model A dan model B. Produksi rak buku dibatasi oleh persediaan material (papan kualitas tinggi) dan waktu yang terbatas mesin pemroses. Tiap unit A memerlukan 3 𝑚2 papan dan tiap unit B memerlukan 4 𝑚2 papan. Firma memperoleh 1700 𝑚2 papan tiap minggu dari pemasok sendiri. Tiap unit A membutuhkan 12 menit dari mesin pemroses dan tiap unit B membutuhkan 30 menit. Setiap minggu memungkinkan total waktu mesin 160 jam. Jika keuntungan (profit) tiap unit A sebesar $2 dan tiap unit B sebesar $4. Bagaimana formasi model matematik program linier dari kasus di atas?

2. Pabrik ban sepeda memproduksi ban luar dan ban dalam. Ban luar diproses melalui 3 unit mesin, sedangkan ban dalam hanya diproses di dua mesin. Setiap ban luar diproses secara berurutan selama 2 menit di mesin I, 8 menit di mesin II dan 10 menit di mesin III. Sedangkan setiap ban dalam diproses selama 5 menit di mesin I, kemudian 4 menit di mesin II. Sumbangan keuntungan dari setiap unit ban luar dan ban dalam masing-masing Rp 400,00 dan Rp 300,00. Kapasitas pengoperasian masing-masing mesin setiap harinya 800 menit. Jika setiap ban yang diproduksi senantiasa laku terjual. Tentukan model program liniernya, agar keuntungan maksimum!

(5)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 5 3. PT bank kita yang bergerak dalam usaha pembuatan makanan ternak merencanakan produksi sebesar 200 kg per bulan. Untuk mendapatkan makanan ternak nyang berkualitas tinggi, sesuai dengan persyaratan yang diminta konsumen, telah ditemukan komposisi campuran yaitu: (a) paling sedikit 8% kalsium tetapi tidak boleh melebihi 10%, (b) paling sedikit 30% protein, (c) paling banyak 8% lemak. Untuk memperoleh ketiga jenis bahan tersebut akan diolah dari jagung dan kacang kedelai. Kandungan gizi yang terdapat dalam kedua jenis bahan tersebut sebagai berikut:

Uraian Per – kg bahan

Jagung Kedelai

Kalsium 0,20 0,05

Protein 0,15 0,40

Lemak 0,05 0,05

Harga setiap kg jagung Rp 300,00 dan kacang kedelai Rp 800,00. Bagaimana rumusan model matematik program linier dari kasus di atas.

(6)

BAB II

METODE GRAFIK

2.1. Pengertian

Pada prinsipnya setiap persoalan program linier dapat dipecahkan atau menghasilkan penyelesaian. Penyelesaian dengan metode grafik sebagai berikut:  Masalah program linier diilustrasikan dan dipecahkan dengan metode grafik,

apabila hanya memiliki dua variabel keputusan  Langkah-langkah penyelesaian:

a. Gambarkan fungsi kendala dalam bentuk persamaan pada sumbu cartesius b. Tentukan daerah solusi layak (feasible solution) atau area layak (feasible

region) dengan memperhatikan tanda ketidaksamaan fungsi kendala c. Gambarkan fungsi tujuan, geser garis tersebut ke lokasi titik solusi optimal d. Selesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk menentukan

solusi optimal

Solusi optimal dapat menggunakan dua pendekatan yaitu pendekatan garis profit (isoprofit line) atau titik sudut (corner point)

Dalam program linier dengan metode grafik sering dijumpai permasalahan secara teknis, sebagai berikut:

a. Infeasibility, yaitu suatu kondisi dimana tidak area layak yang memenuhi semua kendala.

b. Unboundedness, yaitu suatu kondisi dimana area layak tidak terbatas. c. Redundancy, misalnya apabila bagian marketing tidak bisa menjual lebih

dari 4 unit maka disebut redundant

d. Alternative Optima, yaitu situasi dimana terdapat lebih dari satu solusi optimal.

(7)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 7 Beberapa contoh kasus khusus pada program linier:

1. Solusi tidak layak, jika tidak ada satu titikpun yang memenuhi fungsi kendala. Contoh: Max 𝑧 = 5𝑥₁+ 3𝑥₂

Terhadap 4𝑥₁ + 2𝑥₂ ≤ 8 , 𝑥₁ ≥ 3 , 𝑥₂ ≥ 3 , 𝑥₁, 𝑥₂ ≥ 0 2. Solusi optimum lebih dari satu (multiple optimum solution), jika fungsi tujuan

sejajar dengan fungsi kendala yang menghubungkan titik ekstrem. Contoh: Max 𝑧 = 4𝑥1+ 4𝑥2

Terhadap 𝑥₁+ 6𝑥₂ ≤ 10 , 6𝑥₁+ 6𝑥₂ ≤ 10 , 𝑥₁ ≤ 4 , 𝑥₁, 𝑥₂ ≥ 0 3. Tidak memiliki solusi optimum, jika solusi layak tidak terbentuk dan fungsi kendala tidak dapat membatasi peningkatan nilai fungsi tujuan baik kearah positif maupun negatif.

.

2.2. Masalah Maksimisasi

Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.

Contoh:

1. Maksimum 𝑧 = 4𝑥 + 5𝑦

Dengan batasan 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12 , 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 18 , 𝑥 , 𝑦 ≥ 0 a. Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan!

b. Tentukan nilai maksimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai maksimum

2. PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:

(8)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 8 Jenis bahan baku

dan tenaga kerja

Kg bahan baku & Jam tenaga kerja Maksimum penyediaan Kain sutera Kain wol

Benang sutera 2 3 60 kg

Benang wol - 2 30 kg

Tenaga kerja 2 1 40 jam

Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal?

Langkah – langkah: a) Menentukan variablel 𝑥 ∶ 𝑘𝑎𝑖𝑛 𝑠𝑢𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ∶ 𝑘𝑎𝑖𝑛 𝑤𝑜𝑙 b) Fungsi tujuan 𝑧𝑚𝑎𝑥 = 40𝑥 + 30𝑦 c) Fungsi kendala/batasan 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 60 (𝑏𝑒𝑛𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑡𝑒𝑟𝑎) 2𝑦 ≤ 30 (𝑏𝑒𝑛𝑎𝑛𝑔 𝑤𝑜𝑙) 2𝑥 + 𝑦 ≤ 40 (𝑡𝑒𝑛𝑎𝑔𝑎 𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎) 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 d) Menggambar grafik

e) Untuk mendapatkan solusi optimal yaitu mencari nilai z pada setiap titik ekstrim dengan memaksimumkan keuntungan.

2.3. Masalah Minimisasi

Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi.

Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik origin.

Contoh:

1. Minimum 𝑧 = 5𝑥 + 3𝑦

Dengan batasan 2𝑥 + 𝑦 ≥ 3 , 𝑥 + 𝑦 ≥ 2 , 𝑥 , 𝑦 ≥ 0 a. Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan!

b. Tentukan nilai minimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai minimum!

(9)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 9 2. Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis

makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:

Jenis makanan Vitamin (unit) Protein (unit) Biaya per unit (ribu rupiah)

Royal Bee 2 2 100

Royal Jelly 1 3 80

minimum kebutuhan 8 12

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi?

Langkah – langkah: a) Menentukan variable 𝑥 ∶ 𝑟𝑜𝑦𝑎𝑙 𝑏𝑒𝑒 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ∶ 𝑟𝑜𝑦𝑎𝑙 𝑗𝑒𝑙𝑙𝑦 b) Fungsi tujuan 𝑧_𝑚𝑖𝑛= 100𝑥 + 80𝑦 c) Fungsi kendala/batasan 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8 (𝑣𝑖𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛) 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 (𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒𝑖𝑛) 𝑥 ≥ 2 , 𝑦 ≥ 1 d) Menggambar grafik

e) Untuk mendapatkan solusi optimal yaitu mencari nilai z pada setiap titik ekstrim dengan meminimumkan biaya produksi.

Soal – soal:

Dengan batasan 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 60 , 2𝑦 ≤ 30 , 2𝑥 + 𝑦 ≤ 40 , 𝑥 , 𝑦 ≥ 0 a. Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan!

(10)

2. Minimum 𝑧 = 20𝑥 + 30𝑦

Dengan batasan 2𝑥 + 4𝑦 ≥ 8 , 2𝑥 + 𝑦 ≥ 4 , 𝑥 + 3𝑦 ≥ 6 , 𝑥 , 𝑦 ≥ 0 a. Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan!

b. Tentukan nilai minimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai minimum!

3. Maksimum 𝑧 = 30.000𝑥 + 50.000𝑦

Dengan kendala 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 150 , 5𝑥 + 8𝑦 ≤ 400 , 𝑥 ≥ 20 , 𝑥 , 𝑦 ≥ 0 a. Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan!

4. Suatu persoalan program linier dirumuskan sebagai berikut: Maksimumkan 𝑧 = 3𝑥 + 4𝑦

Dengan kendala 2𝑥 + 2𝑦 ≤ 80 , 2𝑥 + 4𝑦 ≤ 120 , 𝑥 , 𝑦 ≥ 0 a. Gambarlah daerah yang memenuhi system pertidaksamaan/pembatas! b. Carilah koordinat titik yang menunjukkan nilai maksimum fungsi tujuan! c. Tentukan nilai maksimumnya

5. Perhatikan persoalan program linier.

Fungsi tujuan 𝑇 = 400.000𝑥 + 300.000𝑦 (minimumkan) Pembatas 𝑥 ≥ 4.000 , 𝑦 ≥ 5.000 , 𝑥 + 𝑦 ≤ 10.000 a. Gambarlah daerah yang memenuhi system pertidaksamaan! b. Tentukan nilai optimal fungsi tujuan!

(11)

BAB III

METODE ALJABAR

3.1. Pengertian

Program linier dengan dengan metode aljabar yaitu menyelesaikan permasalahan dalam perhitungan matematika agar mendapatkan nilai yang optimum (maksimum atau minimum). Secara umum model matematika yang diselesaikan merupakan pertidaksamaan dan metode yang digunakan umtuk mengubah ketaksamaan menjadi kesamaan yaitu metode aljabar.

Adapun langkah-langkah dalam metode aljabar dengan melakukan standarisasi ketidaksamaan menjadi kesamaan, yaitu:

1. Memasukkan unsur variable semua ke ruas kiri fungsi kendala.

2. Unsur fungsi kendala bertanda ≤ dilakukan dengan penambahan slack variables.

Slack variables yaitu suatu variable yang ditambahkan disebelah kiri tanda ketidaksamaan agar ketidaksamaan menjadi persamaan.

3. Unsur fungsi kendala bertanda ≥ dilakukan dengan pengurangan atau surplus variables.

Surplus variables yaitu variable yang dikurangkan di dalam suatu ketidaksamaan agar supaya menjadi persamaan.

3.2. Menentukan Banyak Persamaan

Pada umumnya, kalau ada n variable yaitu 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑗, … , 𝑥_𝑛 , akan tetapi hanya ada m persamaan, maka dapat diperoleh sebanyak K persamaan, dengan rumus:

𝐾 = 𝑛!

(𝑛−𝑚)!𝑚!

(12)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 12 Ada beberapa istilah dalam penyelesaian program linier dengan metode aljabar, yaitu:

1. Variable yang diperoleh dari m persamaan disebut variable dasar (basic variables), sedangkan pemecahannya disebut pemecahan dasar (basic solution)

2. Pemecahan yang memenuhi semua syarat pembatasan disebut pemecahan fisibel (feasible solution)

3. Pemecahan yang menghasilkan paling sedikit satu variable yang negatif disebut tidak fisibel (not feasible)

4. Pemecahan dasar fisibel yang memenuhi optimum disebut pemecahan optimal. Contoh: 1. Menentukan 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 Fungsi 𝑧 = 8𝑥₁+ 6𝑥₂ (maksimum) Pembatas 4𝑥₁+ 2𝑥₂ ≤ 60 , 2𝑥₁+ 4𝑥₂ ≤ 48 , 𝑥₁ , 𝑥₂ ≥ 0 Cara:

Persamaan dirubah dulu menjadi standar yaitu slack variables dengan memasukkan variable yang harus ditambahkan di dalam ketidaksamaan agar menjadi persamaan, sehingga persamaan akan berubah menjadi:

a. Menentukan 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, 𝑥₄

b. Fungsi 𝑧 = 8𝑥1 + 6𝑥2+ 0𝑥3+ 0𝑥4 (maksimum) c. Pembatas 4𝑥₁+ 2𝑥₂+ 𝑥₃ = 60 , 2𝑥₁+ 4𝑥₂+ 𝑥₄ = 48

𝑥₁ ≥ 0, 𝑥₂ ≥ 0, 𝑥₃ ≥ 0, 𝑥₄ ≥ 0 d. Menentukan banyaknya solusi dengan menggunakan rumus:

𝐾 = 𝑛! (𝑛−𝑚)!𝑚! 𝐾 = 4! (4−2)!2!= 4! 2!2!= 6 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 e. Mengenolkan dua variable, dengan 6 solusi yaitu:

 𝒙_𝟏 = 𝒙𝟐= 𝟎 4𝑥1+ 2𝑥2+ 𝑥3 = 60 𝑥3 = 60 2𝑥₁+ 4𝑥₂+ 𝑥₄ = 48 𝑥₄ = 48

(13)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 13 Diperoleh:

𝑧1 = 8𝑥1+ 6𝑥2+ 0𝑥3+ 0𝑥4

𝑧1 = 8(0) + 6(0) + 0(60) + 0(48) 𝑧1 = 0 (tidak ada penjualan)  𝒙_𝟏 = 𝒙_𝟑= 𝟎 4𝑥₁ + 2𝑥₂ + 𝑥₃ = 60 𝑥₂ = 30

2𝑥₁+ 4𝑥₂+ 𝑥₄ = 48 𝑥₄ = −78 (tidak fisibel) Diperoleh: 𝑧₂ tidak dihitung, karena 𝑥₄ negatif maka pemecahan tidak fisibel  𝒙_𝟏 = 𝒙_𝟒= 𝟎 4𝑥₁ + 2𝑥₂+ 𝑥₃ = 60 𝑥₃ = 36 2𝑥₁+ 4𝑥₂+ 𝑥₄ = 48 𝑥₂ = 12 Diperoleh: 𝑧₃ = 8𝑥₁+ 6𝑥₂+ 0𝑥₃+ 0𝑥₄ 𝑧3 = 8(0) + 6(12) + 0(36) + 0(0) 𝑧3 = 72  𝒙_𝟐 = 𝒙_𝟑= 𝟎 4𝑥₁+ 2𝑥₂+ 𝑥₃ = 60 𝑥₁ = 15 2𝑥1+ 4𝑥2+ 𝑥4 = 48 𝑥4 = 18 Diperoleh: 𝑧4 = 8𝑥1+ 6𝑥2+ 0𝑥3+ 0𝑥4 𝑧₄ = 8(15) + 6(0) + 0(0) + 0(18) 𝑧₄ = 120  𝒙_𝟐= 𝒙𝟒= 𝟎 4𝑥1+ 2𝑥2+ 𝑥3 = 60 𝑥3 = −36 (tidak fisibel) 2𝑥₁+ 4𝑥₂+ 𝑥₄ = 48 𝑥₄ = 24 Diperoleh: 𝑧5 tidak dihitung, karena 𝑥3 negatif maka pemecahan tidak fisibel  𝒙_𝟑= 𝒙_𝟒= 𝟎 4𝑥₁ + 2𝑥₂ + 𝑥₃ = 60 𝑥₁ = 12 2𝑥₁+ 4𝑥₂+ 𝑥₄ = 48 𝑥₂ = 6 Diperoleh: 𝑧6 = 8𝑥1+ 6𝑥2+ 0𝑥3+ 0𝑥4 𝑧₆ = 8(12) + 6(6) + 0(0) + 0(0) 𝑧₆ = 132 (terbesar = maksimum)

(14)

Oleh karena 𝑧₆ yang memberikan nilai tujuan terbesar maka 𝑧₆ = 𝑧 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 = 𝑧_{𝑚𝑎𝑘𝑠}

Jadi pemecahan dasar ke 6 meruapakn pemecahan yang optimal. Jumlah hasil penjualan maksimum sebesar 132. Keputusan yang harus dibuat oleh pemilik perusahaan yaitu bahwa barang A dan B masing-masing harus diproduksi sebesar 12 satuan dan 6 satuan.

2. Menentukan 𝑥₁ 𝑑𝑎𝑛 𝑥₂

Fungsi 𝑧 = 5𝑥1+ 3𝑥2 (minimum)

Pembatas 2𝑥₁+ 𝑥₂ ≥ 2 , 𝑥₁+ 𝑥₂ ≥ 0 , 𝑥₁ , 𝑥₂ ≥ 0

Cara:

Persamaan dirubah dulu menjadi standar yaitu surplus variables dengan memasukkan variable yang harus dikurangkan di dalam ketidaksamaan agar menjadi persamaan, sehingga persamaan akan berubah menjadi:

a. Menentukan 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, 𝑥₄

b. Fungsi 𝑧 = 5𝑥1 + 3𝑥2− 0𝑥3− 0𝑥4 (minimum) c. Pembatas 2𝑥₁+ 𝑥₂− 𝑥₃ = 2 , 𝑥₁+ 𝑥₂− 𝑥₄ = 0

𝑥₁ ≥ 0, 𝑥₂ ≥ 0, 𝑥₃ ≥ 0, 𝑥₄ ≥ 0 d. Menentukan banyaknya solusi dengan menggunakan rumus:

𝐾 = 𝑛! (𝑛−𝑚)!𝑚! 𝐾 = 4! (4−2)!2!= 4! 2!2!= 6 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 e. Mengenolkan dua variable, dengan 6 solusi yaitu:

 𝒙_𝟏= 𝒙_𝟐= 𝟎 2𝑥₁+ 𝑥₂− 𝑥₃ = 2 𝑥₃ = −3 (tidak fisibel) 𝑥₁ + 𝑥₂− 𝑥₄ = 0 𝑥₄ = −2 (tidak fisibel) Diperoleh: 𝑧1 tidak dihitung, karena 𝑥3 𝑑𝑎𝑛 𝑥4 negatif maka pemecahan tidak fisibel.

 𝒙_𝟏= 𝒙𝟑= 𝟎 2𝑥1+ 𝑥2 − 𝑥3 = 2 𝑥2 = 3 𝑥₁ + 𝑥₂− 𝑥₄ = 0 𝑥₄ = 1

(15)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 15 Diperoleh: 𝑧2 = 5𝑥1+ 3𝑥2 − 0𝑥3 − 0𝑥4 𝑧₂ = 5(0) + 3(3) − 0(0) − 0(1) 𝑧₂ = 9  𝒙_𝟏= 𝒙𝟒= 𝟎 2𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3 = 2 𝑥3 = −3 (tidak fisibel) 𝑥1+ 𝑥2 − 𝑥4 = 0 𝑥2 = 2

Diperoleh: 𝑧₃ tidak dihitung, karena 𝑥₃ negatif maka pemecahan tidak fisibel.

 𝒙𝟐= 𝒙𝟑= 𝟎 2𝑥1+ 𝑥2 − 𝑥3 = 2 𝑥1 = 3 2

𝑥₁+ 𝑥₂ − 𝑥₄ = 0 𝑥₄ = −1 (tidak fisibel) Diperoleh: 𝑧₄ tidak dihitung, karena 𝑥₄ negatif maka pemecahan tidak fisibel.  𝒙𝟐= 𝒙𝟒= 𝟎 2𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3 = 2 𝑥3 = 1 𝑥₁+ 𝑥₂− 𝑥₄ = 0 𝑥₁ = 2 Diperoleh: 𝑧₅ = 5𝑥₁+ 3𝑥₂− 0𝑥₃− 0𝑥₄ 𝑧5 = 5(2) + 3(0) − 0(1) − 0(0) 𝑧5 = 10  𝒙_𝟑= 𝒙_𝟒= 𝟎 2𝑥₁+ 𝑥₂− 𝑥₃ = 2 𝑥₂ = 1 𝑥₁+ 𝑥₂− 𝑥₄ = 0 𝑥₁ = 1 Diperoleh: 𝑧6 = 5𝑥1+ 3𝑥2− 0𝑥3− 0𝑥4 𝑧₆ = 5(1) + 3(1) − 0(0) − 0(0) 𝑧₆ = 8 (terkecil = minimum) 𝑧₆ = 𝑧 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 = 𝑧_𝑚𝑖𝑛 karena merupakan nilai tujuan yang terkecil apabila dibandingkan dengan nilai tujuan yang lain.

(16)

Soal-soal:

1. Maksimum 𝑧 = 4𝑥₁+ 5𝑥₂

Dengan kendala 3𝑥1+ 2𝑥2 ≤ 12 , 3𝑥1+ 4𝑥2 ≤ 18 , untuk 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0 Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar!

2. Minimumkan 𝑧 = 1,5𝑥₁+ 2,5𝑥₂

Dengan pembatas 𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 3 , 𝑥1+ 𝑥2 ≥ 2 , 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0 Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar!

3. Maksimum 𝑧 = 20𝑥₁+ 30𝑥₂

Dengan pembatas 2𝑥1+ 4𝑥2 ≤ 8 , 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4 , 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0 Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar!

Dengan kendala 4𝑥 + 5𝑦 ≤ 20 , 3𝑥 + 𝑦 ≤ 6 , 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0 Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar!

(17)

BAB IV

METODE SIMPLEKS

4.1. Pengertian

Metode simpleks merupakan suatu prosedur aljabar yang bukan secara grafik untuk mencari nilai optimum dari fungsi tujuan dalam persoalan optimasi yang terkendala. Penyelesaian program linier dalam menentukan nilai optimum yang memiliki dua variable atau lebih dengan menggunakan metode simpleks. Untuk mencari nilai optimum dengan menggunakan metode simpleks dilakukan proses pengulangan (iterasi) dimulai dari penyelesaian dasar awal yang layak (feasible) hingga penyelesaian dasar akhir yang layak dimana nilai dari fungsi tujuan telah optimum, sehingga proses pengulangan (iterasi) tidak dapat dilakukan lagi. Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :

1. Iterasi yaitu tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variable non basis yaitu variable yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variable non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3. Variable basis merupakan variable yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variable basis merupakan slack variable (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤) atau variable buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variable basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).

4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

(18)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 18 5. Slack Variable adalah variable yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variable ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, slack variable akan berfungsi sebagai variabel basis.

6. Surplus Variable adalah variable yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, surplus variable tidak dapat berfungsi sebagai variable basis.

7. Variable buatan adalah variable yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variable ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variable ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variable hanya ada di atas kertas.

8. Kolom Kerja/Kolom Kunci/Kolom Pivot adalah kolom yang memuat variable masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris kerja.

9. Baris Kerja/Baris Kunci/Kolom Pivot adalah salah satu baris dari antara variable basis yang memuat variable keluar.

10. Elemen Kerja/Elemen Kunci/Elemen Pivot adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11. Variable masuk adalah variable yang terpilih untuk menjadi variable basis pada iterasi berikutnya. Variable masuk dipilih satu dari antara variable non basis pada setiap iterasi. Variable ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12. Variable keluar adalah variable yang keluar dari variable basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variable masuk. Variable keluar dipilih satu dari antara variable basis pada setiap iterasi. Variable ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

(19)

4.2. BENTUK BAKU

Pertama sekali sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimum, bentuk umum program linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks yaitu mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan dan setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variable basis awal. Variable basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variable keputusan semuanya masih bernilai nol dan meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah.

Dalam metode simpleks, ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu :

1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah

menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu slack variable.

2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah

menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu surplus variable.

3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan satu

artificial variable (variabel buatan).

Contoh:

1. Perhatikan kasus A berikut : Minimumkan 𝑧 = 2𝑥1+ 5,5𝑥2 Kendala : 𝑥₁+ 𝑥₂ = 90 0.001𝑥1+ 0.002𝑥2 ≤ 0.9 0.09𝑥₁+ 0.6𝑥₂ ≥ 27 0.02𝑥₁+ 0.06𝑥₂ ≤ 4.5 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0

(20)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 20 Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman liniernya.

Kedalam bentuk baku, model matematik tersebut akan berubah menjadi:

Minimumkan 𝑧 = 2𝑥₁+ 5,5𝑥₂+ 𝟎𝒔_𝟏+ 𝟎𝒔_𝟐− 𝟎𝒔_𝟑+ 𝟎𝒔_𝟒+ 𝟎𝒔_𝟓 Kendala : 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝒔_𝟏 = 90 0.001𝑥₁+ 0.002𝑥₂+ 𝒔_𝟐 = 0.9 0.09𝑥1+ 0.6𝑥2− 𝒔𝟑+ 𝒔𝟒 = 27 0.02𝑥₁+ 0.06𝑥₂+ 𝒔_𝟓 = 4.5 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 , 𝑠4 , 𝑠5 ≥ 0

Fungsi kendala pertama mendapatkan variable buatan (𝒔_𝟏), karena bentuk umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala kedua dan kelima mendapatkan slack variables (𝒔_𝟐 𝒅𝒂𝒏 𝒔_𝟓) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala ketiga mendapatkan surplus variables (𝒔𝟑) dan variabel buatan (𝒔𝟒) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≥.

2. Perhatikan kasus B berikut ini : Maksimumkan 𝑧 = 4𝑥₁+ 6𝑥₂ Kendala : 5𝑥₁+ 2𝑥₂ ≤ 300 3𝑥₁+ 10𝑥₂ ≤ 300 4𝑥1+ 8𝑥2 ≤ 300 𝑥₁ , 𝑥₂ ≥ 0

Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum.

Perubahan ke dalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya.

(21)

Bentuk bakunya adalah sebagai berikut:

Maksimumkan 𝑧 = 4𝑥₁+ 6𝑥₂+ 𝟎𝒔_𝟏+ 𝟎𝒔_𝟐+ 𝟎𝒔_𝟑 Kendala : 5𝑥₁+ 2𝑥₂+ 𝒔_𝟏 = 300 3𝑥1+ 10𝑥2+ 𝒔𝟐 = 300 4 + 8𝑥2+ 𝒔𝟑 = 300 𝑥₁ , 𝑥₂ , 𝑠₁ , 𝑠₂ , 𝑠₃ ≥ 0 𝒔𝟏 , 𝒔𝟐 , 𝒔𝟑 merupakan slack variables.

4.3. TABEL SIMPLEKS

Bentuk baku yang sudah diperoleh, harus dibuat dalam bentuk tabel. Semua variable yang bukan variable basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan nol dan koefisien variable basis pada baris tujuan harus sama dengan nol. Oleh karena itu harus membedakan pembentukan tabel awal berdasarkan variable basis awal dan hanya akan memperhatikan fungsi kendala yang menggunakan slack variable dalam bentuk bakunya.

Tabel simpleks sebagai berikut:

CB VDB 𝒄_𝒋 𝒄_𝟏 𝒄_𝟐 ... 𝒄_𝒋 ... 𝒄_𝒏 Rasio 𝒂𝒋 𝒃𝒊 𝒂𝟏 𝒂𝟐 ... 𝒂𝒋 ... 𝒂𝒏 𝑪𝑩𝟏 𝒔𝟏 𝒃𝟏 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ... 𝒂𝟏𝒋 ... 𝒂𝟏𝒏 𝑪𝑩_𝟐 𝒔_𝟐 𝒃_𝟐 𝒂_𝟐𝟏 𝒂_𝟐𝟐 ... 𝒂𝟐𝒋 ... 𝒂𝟐𝒏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 𝑪𝑩𝒋 𝒔𝒋 𝒃𝒊 𝒂𝒋𝟏 𝒂𝒋𝟐 𝒂𝒋𝒋 𝒂𝒋𝒏 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 0 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋

(22)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 22 Keterangan tabel:

1. CB yaitu menggambarkan koefisien ongkos relatif untuk variable dalam

basis, pada mulanya koefisien itu bernilai nol.

2. VDB yaitu berisikan variable bayangan (slack variables), variable tersebut

akan digantikan dengan variabel keputusan.

3. Kolom 𝒃_𝒊 yaitu berisikan nilai variable konstanta di ruas kanan setiap

batasan.

4. Kolom 𝒂𝒋 yaitu berisikan variable keputusan dan variable bayangan.

5. Kolom 𝒄𝒋 yaitu berisikan koefisien relatif dari fungsi tujuan dan kolom variable bayangan bernilai nol.

6. Baris 𝒛 yaitu berisikan hasil pengurangan 𝒛𝒋− 𝒄𝒋 dan baris ini akan memberikan informasi tentang tujuan apakah sudah optimum atau belum.

7. Kolom rasio yaitu berisikan hasil bagi untuk menyatakan variabel yang akan

menjadi baris kunci atau tidak.

Langkah – langkah penyelesaian tabel simpleks sebagai berikut:

1. Merubah persoalan program linier ke dalam bentuk baku standar. 2. Masukkan semua nilai pada fungsi kendala ke dalam tabel simpleks.

3. Masukkan semua nilai pada fungsi tujuan ke dalam tabel simpleks pada baris

𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 dengan menggunakan rumus 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 = 𝑪𝑩_𝒂𝒋− 𝒄_𝒋 (rumus yang digunakan saat awal memasukkan semua nilai fungsi tujuan).

4. Menentukan kolom kerja/kolom kunci/kolom pivot:

 Untuk persoalan maksimum keuntungan maka penentuan kolom kerja dalam baris zj− cj diambil nilai yang paling kecil atau paling negatif.  Untuk persoalan minimum biaya yang dirubah menjadi maksimum

maka penentuan kolom kerja dalam baris zj− cj diambil nilai yang paling besar atau paling positif.

5. Menentukan baris kerja/baris kunci/baris pivot:

 Menggunakan rumus atau perbandingan minimum dan bukan negatif. 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑏𝑖 : 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎 (dapat dilihat pada kolom rasio, diambil nilai yang paling kecil)

(23)

6. Mencari angka baru yang terdapat pada baris kunci.

 Caranya yaitu membagi semua angka yang terdapat pada baris kerja dengan angka kerja.

 Elemen kerja/elemen kunci/elemen pivot yaitu angka yang terdapat pada perpotongan baris kunci dengan kolom kunci.

7. Mencari angka baru pada baris yang lain (angka baris baru).

 Caranya yaitu:

𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑚𝑎 − 𝑝𝑒𝑟𝑘𝑎𝑙𝑖𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖

8. Apabila kondisi optimum belum tercapai maka ulangi kembali langkah ke 4

sampai langkah ke 7 sehingga pada baris 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 tidak ada lagi yang bernilai negatif.

Penggunaan tabel simpleks, misalnya gunakan kasus B di atas dengan bentuk baku yaitu: Maksimumkan 𝑧 = 4𝑥₁+ 6𝑥₂+ 𝟎𝒔_𝟏+ 𝟎𝒔_𝟐+ 𝟎𝒔_𝟑 atau 𝑧 − 4𝑥₁− 6𝑥₂+ 𝟎𝒔_𝟏+ 𝟎𝒔_𝟐+ 𝟎𝒔_𝟑= 𝟎 Kendala : 5𝑥₁+ 2𝑥₂+ 𝒔_𝟏 = 300 5𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝒔_𝟏+ 𝟎 + 𝟎 = 300 3𝑥₁+ 10𝑥₂+ 𝒔_𝟐 = 300 3𝑥₁+ 10𝑥₂+ 𝟎 + 𝒔_𝟐+ 𝟎 = 300 4𝑥₁+ 8𝑥₂+ 𝒔_𝟑 = 300 4𝑥₁+ 8𝑥₂+ 𝟎 + 𝟎 + 𝒔_𝟑 = 300 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 ≥ 0 𝒔_𝟏 , 𝒔_𝟐 , 𝒔_𝟑 merupakan slack variables.

maka tabel awal simpleks sebagai berikut:

variabel bayangan konstanta sebelah kanan fungsi tujuan variabel fungsi tujuan

CB VDB 𝒄_𝒋 4 6 0 0 0 Rasio 𝒂𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 0 𝒔_𝟏 300 5 2 1 0 0 0 𝒔_𝟐 300 3 10 0 1 0 0 𝒔_𝟑 300 4 8 0 0 1 𝒛𝒋− 𝒄𝒋 0 -4 -6 0 0 0

(24)

4.4. Kesimpulan Tabel Simpleks

Tabel simpleks merupakan bagian yang terpenting dalam mengambil keputusan, sehingga harus memperhatikan solusi optimal dalam variabel keputusan, yaitu melihat nilai pada kolom 𝒃_𝒊 dengan variabel produk pada tabel optimal

Contoh:

1. Selesaikan kasus berikut dengan metode simpleks: Maksimum 𝑧 = 8𝑥₁+ 9𝑥₂+ 4𝑥₃ Kendala: 𝑥₁+ 𝑥₂+ 2𝑥₃ ≤ 2 2𝑥1+ 3𝑥2+ 4𝑥3 ≤ 3 7𝑥₁+ 6𝑥₂+ 2𝑥₃ ≤ 8 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃ ≥ 0 Penyelesaian:

 Langkah 1 merubah menjadi bentuk baku

Maksimum 𝑧 = 8𝑥1 + 9𝑥2+ 4𝑥3+ 0𝑠1+ 0𝑠2+ 0𝑠3 atau 𝑧 − 8𝑥1 − 9𝑥2− 4𝑥3+ 0𝑠1+ 0𝑠2+ 0𝑠3 = 0 Kendala: 𝑥₁+ 𝑥₂+ 2𝑥₃+ 𝑠₁ = 2 2𝑥₁+ 3𝑥₂+ 4𝑥₃+ 𝑠₂ = 3 7𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑠3 = 8 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, 𝑠₁, 𝑠₂, 𝑠₃ ≥ 0  Langkah 2 menggunakan tabel simpleks

CB VDB 𝒄_𝒋 8 9 4 0 0 0 Rasio 𝒂_𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 0 𝒔_𝟏 2 1 1 2 1 0 0 0 𝒔_𝟐 3 2 3 4 0 1 0 0 𝒔_𝟑 8 7 6 2 0 0 1 𝒛𝒋− 𝒄𝒋 0 -8 -9 -4 0 0 0

(25)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 25  Langkah 3 menentukan kolom kunci, baris kunci dan rasio

Nilai negatif terbesar ada pada kolom 𝒙_𝟐, maka kolom 𝒙_𝟐 adalah kolom kunci (KK)

Rasio pembagi kanan dengan kolom kunci adalah bersesuaian dengan baris 𝒔_𝟐 maka baris 𝒔_𝟐 adalah baris kunci (BK) dan 𝒔_𝟐 merupakan

variabel keluar.

Elemen kunci adalah 3

CB VDB 𝒄𝒋 8 9 4 0 0 0 Rasio 𝒂_𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 0 𝒔_𝟏 2 1 1 2 1 0 0 2 1= 2 0 𝒔𝟐 3 2 3 4 0 1 0 3 3= 1 0 𝒔_𝟑 8 7 6 2 0 0 1 8 6= 4 3 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 0 -8 -9 -4 0 0 0  Langkah 4 iterasi I

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris 𝒙_𝟐 (tabel di bawah ini). Semua nilai pada 𝒔𝟐 di tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen kunci) CB VDB 𝒄_𝒋 8 9 4 0 0 0 Rasio 𝒂𝒋 𝒃𝒊 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒔_𝟏 𝒔_𝟐 𝒔_𝟑 0 𝒔_𝟏 9 𝒙_𝟐 1 2 3 1 4 3 0 1 3 0 0 𝒔𝟑 𝒛𝒋− 𝒄𝒋

Perhitungan nilai baris, sebagai berikut:

Baris Kunci Baru:

3 2 3 4 0 1 0 dibagi 3 1 𝟐 𝟑 1 𝟒 𝟑 0 𝟏 𝟑 0

(26)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 26 Baris 𝒛, yaitu: 0 -8 -9 -4 0 0 0 baris lama koefisien KK pada -9 (1 𝟐 𝟑 1 𝟒 𝟑 0 𝟏 𝟑 0) baris baru baris 𝑧 -

9 -2 0 8 0 3 0 Baris 𝒔_𝟏 , yaitu: 2 1 1 2 1 0 0 baris lama koefisien KK pada 1 (1 𝟐 𝟑 1 𝟒 𝟑 0 𝟏 𝟑 0) baris baru baris 𝑠₁ -

1 1 3 0 2 3 1 − 1 3 0 Baris 𝒔_𝟑 , yaitu: 8 7 6 2 0 0 1 baris lama koefisien KK pada 6 (1 𝟐 𝟑 1 𝟒 𝟑 0 𝟏 𝟑 0)

baris baru baris 𝑠₃

-2 3 0 -6 0 -2 1

maka tabel iterasi 1 sebagai berikut:

CB VDB 𝒄_𝒋 8 9 4 0 0 0 Rasio 𝒂𝒋 𝒃𝒊 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒔_𝟏 𝒔_𝟐 𝒔_𝟑 0 𝒔_𝟏 1 1 3 0 2 3 1 − 1 3 0 9 𝒙𝟐 1 2 3 1 4 3 0 1 3 0 0 𝒔_𝟑 2 3 0 -6 0 -2 1 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 9 -2 0 8 0 3 0

(27)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 27  Langkah 5 pemeriksaan tabel sudah optimal atau belum

Nilai baris 𝒛 di bawah variabel 𝒙_𝟏 masih negatif, maka tabel belum optimal.

Variabel masuk yaitu 𝒙_𝟏 dan variabel keluar yaitu 𝒔_𝟑, sehingga diperoleh

tabel berikut: CB VDB 𝒄𝒋 8 9 4 0 0 0 Rasio 𝒂_𝒋 𝒃𝒊 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒔_𝟏 𝒔_𝟐 𝒔_𝟑 0 𝒔_𝟏 1 1 3 0 2 3 1 − 1 3 0 1 1 3 = 3 9 𝒙𝟐 1 2 3 1 4 3 0 1 3 0 1 2 3 =3 2 0 𝒔𝟑 2 3 0 -6 0 -2 1 2 3 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 9 -2 0 8 0 3 0  Langkah 6 iterasi 2

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris 𝒙_𝟏 (tabel

berikut ini)

Semua nilai pada 𝒔𝟑 di tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen kunci)

CB VDB 𝒄_𝒋 8 9 4 0 0 0 Rasio 𝒂_𝒋 𝒃𝒊 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒔_𝟏 𝒔_𝟐 𝒔_𝟑 0 𝒔_𝟏 9 𝒙_𝟐 8 𝒙𝟏 2 3 1 0 -2 0 − 2 3 1 3 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋

2 3 0 -6 0 -2 1 dibagi 3 𝟐 𝟑 1 0 -2 0 − 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑

(28)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 28 Baris 𝒛, yaitu: 9 -2 0 8 0 3 0 baris iterasi 1 -2 (𝟐 𝟑 1 0 -2 0 − 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑) baris baru - 31 3 0 0 4 0 5 3 2 3 Baris 𝒙_𝟐 , yaitu: 1 2 3 1 4 3 0 1 3 0 baris iterasi 1 2 3 ( 𝟐 𝟑 0 -2 0 0 − 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑) baris baru - 5 9 0 1 8 3 0 7 9 − 2 9 Baris 𝒔_𝟏 , yaitu: 1 1 3 0 2 3 1 − 1 3 0 baris iterasi 1 1 3 ( 𝟐 𝟑 1 0 -2 0 − 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑) baris baru 7 9 0 0 4 3 1 − 1 9 − 1 9

CB VDB 𝒄_𝒋 8 9 4 0 0 0 Rasio 𝒂_𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 0 𝒔_𝟏 7 9 0 0 4 3 1 − 1 9 − 1 9 9 𝒙_𝟐 5 9 0 1 8 3 0 7 9 − 2 9 8 𝒙𝟏 2 3 1 0 -2 0 − 2 3 1 3 𝒛𝒋− 𝒄𝒋 31 3 0 0 4 0 5 3 2 3

(29)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 29  Langkah 7 membaca tabel optimal

Dengan tabel optimal dapat disimpulkan dengan solusi optimal, yaitu: 𝑥₁ =2 3 , 𝑥2 = 5 9 , 𝑥3 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 31 3

artinya: agar keuntungan yang diperoleh maksimum sebesar $31

3, maka sebaiknya perusahaan menghasilkan produk pertama sebesar 2

3 𝑢𝑛𝑖𝑡 dan produk kedua sebesar 5 9 𝑢𝑛𝑖𝑡 2. Selesaikan kasus berikut dengan metode simpleks:

Minimumkan 𝑧 = 10𝑥1+ 15𝑥2 Kendala 𝑥₁+ 𝑥₂ ≥ 40 𝑥₁+ 3𝑥₂ ≥ 30 3𝑥1+ 𝑥2 ≥ 30 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 Penyelesaian:

 Langkah 1 merubah menjadi bentuk baku

Minimum 𝑧 = 10𝑥₁+ 15𝑥₂+ 0𝑠₁+ 0𝑠₂+ 0𝑠₃ Kendala 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑠1 = 40 ,

𝑥₁+ 3𝑥₂+𝑠₂ = 30 , 3𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑠₃ = 30 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑠₁, 𝑠₂, 𝑠₃ ≥ 0

Bentuk baku diatas masih minimum, sehingga harus dirubah ke

bentuk maksimum Maksimumkan 𝑧 = −10𝑥1− 15𝑥2− 0𝑠1− 0𝑠2− 0𝑠3 atau 𝑧 + 10𝑥₁+ 15𝑥₂+ 0𝑠₁+ 0𝑠₂+ 0𝑠₃ = 0 Kendala: 𝑥1+ 𝑥2 − 𝑠1 = 40 𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑠2 = 30 3𝑥₁+ 𝑥₂− 𝑠₃ = 30 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑠₁, 𝑠₂, 𝑠₃ ≥ 0

(30)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 30  Langkah 2 menggunakan tabel simpleks

C B VD B 𝒄_𝒋 -10 -15 0 0 0 Rasio 𝒂_𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 0 𝒔_𝟏 40 1 1 -1 0 0 0 𝒔_𝟐 30 1 3 0 -1 0 0 𝒔_𝟑 30 3 1 0 0 -1 𝒛𝒋− 𝒄𝒋 0 10 15 0 0 0

 Langkah 3 menentukan kolom kunci, baris kunci dan rasio

Nilai positif terbesar ada pada kolom 𝒙_𝟐, maka kolom 𝒙_𝟐 adalah kolom kunci (KK)

Rasio pembagi kanan dengan kolom kunci adalah bersesuaian dengan baris 𝒔_𝟐 maka baris 𝒔_𝟐 adalah baris kunci (BK) dan 𝒔_𝟐 merupakan

variabel keluar. Elemen kunci adalah 3

CB VDB 𝒄_𝒋 -10 -15 0 0 0 Rasio 𝒂𝒋 𝒃𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 0 𝒔_𝟏 40 1 1 -1 0 0 40 1 = 40 0 𝒔_𝟐 30 1 3 0 -1 0 30 3 = 10 0 𝒔𝟑 30 3 1 0 0 -1 30 1 = 30 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 0 10 15 0 0 0  Langkah 4 iterasi I

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris 𝒙_𝟐 (pada tabel di bawah)

(31)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 31 Semua nilai pada 𝒔_𝟐 di tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen kunci)

CB VDB 𝒄𝒋 -10 -15 0 0 0 Rasio 𝒂𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 0 𝒔𝟏 -15 𝒙_𝟐 10 1 3 1 0 − 1 3 0 0 𝒔_𝟑 𝒛𝒋− 𝒄𝒋

30 1 3 0 -1 0 dibagi 3 10 𝟏 𝟑 1 0 − 𝟏 𝟑 0 Baris 𝒛, yaitu: 0 10 15 0 0 0 baris lama koefisien KK pada 15 (10 𝟏 𝟑 1 0 − 𝟏 𝟑 0)

baris baru baris 𝑧 -

-150 5 0 0 5 0 Baris 𝒔𝟏 , yaitu: 40 1 1 -1 0 0 baris lama koefisien KK pada 1 (10 𝟏 𝟑 1 0 − 𝟏 𝟑 0) baris baru baris 𝑠₁ -

30 2 3 0 -1 1 3 0 Baris 𝒔_𝟑 , yaitu: 30 3 1 0 0 -1 baris lama koefisien KK pada 1 (10 𝟏 𝟑 1 0 − 𝟏 𝟑 0) baris baru baris 𝑠₃ -

20 8

3 0 0

1

(32)

CB VDB 𝒄_𝒋 -10 -15 0 0 0 Rasio 𝒂𝒋 𝒃𝒊 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒔_𝟏 𝒔_𝟐 𝒔_𝟑 0 𝒔_𝟏 30 2 3 0 -1 1 3 0 -15 𝒙𝟐 10 1 3 1 0 − 1 3 0 0 𝒔_𝟑 20 8 3 0 0 1 3 -1 𝒛𝒋− 𝒄𝒋 -150 5 0 0 5 0

 Langkah 5 pemeriksaan tabel sudah optimal atau belum

Nilai baris z di bawah variable 𝒙_𝟏 masih positif maka tabel belum optimal. Variable masuk yaitu 𝒙𝟏 variable keluar yaitu 𝒙𝟐, sehingga diperoleh tabel berikut: CB VDB 𝒄_𝒋 -10 -15 0 0 0 Rasio 𝒂_𝒋 𝒃𝒊 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒔_𝟏 𝒔_𝟐 𝒔_𝟑 0 𝒔_𝟏 30 2 3 0 -1 1 3 0 30 2 3 = 45 -15 𝒙𝟐 10 1 3 1 0 − 1 3 0 10 1 3 = 30 0 𝒔_𝟑 20 8 3 0 0 1 3 -1 20 8 3 = 7,5 𝒛𝒋− 𝒄𝒋 -150 5 0 0 5 0  Langkah 6 iterasi 2

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris 𝒔_𝟑 (tabel berikut ini).

(33)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 33 Semua nilai pada 𝒔𝟑 di tabel solusi awal dibagi dengan

8 3 (elemen kunci) CB VDB 𝒄𝒋 -10 -15 0 0 0 Rasio 𝒂_𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 0 𝒔_𝟏 -15 𝒙_𝟐 -10 𝒔𝟑 7,5 1 0 0 8 3 − 3 8 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋

20 8 3 0 0 1 3 -1 dibagi 𝟖 𝟑 7,5 1 0 0 𝟖 𝟑 − 𝟑 𝟖 Baris 𝒛, yaitu: -150 50 0 0 5 0 baris lama koefisien KK pada 5 (7,5 1 0 0 𝟖 𝟑 − 𝟑 𝟖) baris baru baris 𝑧 -

-187,5 0 0 0 35 8 15 8 Baris 𝒔_𝟏 , yaitu: 30 2 3 0 -1 1 3 0 baris lama koefisien KK pada 2 3 (7,5 1 0 0 𝟖 𝟑 − 𝟑 𝟖)

baris baru baris 𝑠₁ - 25 0 0 -1 1 4 1 4 Baris 𝒔_𝟑 , yaitu: 30 3 1 0 0 -1 baris lama koefisien KK pada 1 3 (7,5 1 0 0 𝟖 𝟑 − 𝟑 𝟖 ) baris baru baris 𝑥₂ - 7,5 0 1 0 − 9 24 − 𝟏 𝟖

(34)

CB VDB 𝒄_𝒋 -10 -15 0 0 0 Rasio 𝒂_𝒋 𝒃𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 0 𝒔_𝟏 25 0 0 -1 1 4 1 4 -15 𝒙_𝟐 7,5 0 1 0 ₋ 9 24 − 1 8 -10 𝒙_𝟏 7,5 1 0 0 8 3 − 3 8 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 -187,5 0 0 0 35 8 15 8  Langkah 7 membaca tabel optimal

Dengan tabel optimal dapat disimpulkan dengan Solusi optimal, yaitu: 𝑥₁ = 7,5 , 𝑥₂ = 7,5 , 𝑥₃ = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = −187,5

artinya: agar memperoleh minimum biaya sebesar $−187,5 maka perusahaan sebaiknya menghasilkan produk yang pertama sebesar 7,5 unit dan produk yang kedua sebesar 7,5 unit

Soal – soal: 1. Maksimumkan 𝑧 = 4𝑥₁+ 3𝑥₂ Kendala 2𝑥1+ 3𝑥2 ≤ 6 4𝑥1+ 𝑥2 ≤ 4 dengan 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 2. Maksimumkan 𝑧 = 3𝑥₁+ 5𝑥₂ Kendala 2𝑥₁ ≤ 8 3𝑥2 ≤ 15 6𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 30 dengan 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 3. Maksimumkan 𝑧 = 5𝑥1+ 3𝑥2+ 4𝑥3 Kendala 3𝑥₁+ 6𝑥₂+ 2𝑥₃ ≤ 12 𝑥1+ 2𝑥2+ 2𝑥3 ≤ 8 4𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 ≤ 17 dengan 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

(35)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 35 4. Perusahaan genteng modern di Jakarta memproduksi 3 jenis genteng yaitu molek, jelita dan anggun. Ketiga jenis genteng tersebut menggunakan bahan mentah yang diimpor dari Swiss. Proses produksinya diulakukan dengan teknik dan peralatan yang serba modern. Pabrik ini mempunyai 3 bagian yaitu bagian cetak (bagian mentah dicapur lalu dicetak), bagian press (genteng merah dipress agar padat dan terpisah dari air) dan bagian pengeringan (genteng sudh dipress dikeringkan). Berbeda dengan genteng tradisional yang terbuat dari tanah liat. Genteng yang diproduksi perusahaan modern ini tidak memerlukan waktu yang lama untuk dikeringkan. Waktu pengeringan hanya beberapa menit saja karena memang sudah cukup dan lamanya proses masing-masing jenis genteng pada masing-masing-masing-masing bagian yaitu:

Bagian Jenis Genteng

Molek Jelita Anggun

Cetak 10,7 menit 5 menit 2 menit

Press 5,4 menit 10 menit 4 menit

Pengeringan 0,7 menit 1 menit 2 menit

Jumlah Waktu 16,8 menit 16 menit 8 menit

Dalam seminggu mesin-mesin pada setiap bagian dapat bekerja selama: bagian cetak = 2.705, bagian press = 2.210 dan bagian pengeringa = 445, sedangkan tingkat kontribusi laba masing-masing jenis genteng yaitu: molek = Rp. 10,00 dan jelita = Rp 15,00 serta anggun = Rp 10,00. Berapa banyaknya masing-masing genteng harus diproduksi agar diperoleh keuntungan yang maksimum?

(36)

BAB V

METODE BIG M (METODE M. CHARNES)

Metode Big M (metode M. Charnes) merupakan pemecahan persoalan program linier dalam menentukan solusi optimal yaitu untuk mengatasi saat fungsi kendala dengan menggunakan pertidaksamaan ≥ 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≤ maka variable basis awal adalah slack variable dan/atau variable buatan dan saat fungsi kendala dengan menggunakan persamaan sehingga ditemukan pada variable basis awal. Charnes mencoba mencari jawaban atas persoalan program linier dan menggunakan simpleks untuk memaksa variable buatan (variable semu atau variable artifisial) menjadi nol, dengan menentukan konsatan (-M) jika masalah yang dihadapi yaitu memaksimumkan fungsi tujuan dan menentukan nilai konstanta (M) pada variable buatan (variable semu atau variable artifisial) jika masalah yang dihadapi yaitu meminimimkan.

Perbedaan metode Big M dengan metode simpleks yang telah dipelajari yaitu terletak pada pembentukan table awal. Apabila fungsi kendala dengan bentuk pertidaksamaan ≥ maka perubahan dari bentuk umum ke bentuk baku memerlukan satu surplus variable yang berfungsi sebagai variable basis awal karena bertanda negatif. Sebagai variable basis pada solusi awal maka harus ditambahkan satu variable buatan dan variable buatan pada solusi optimal hartus bernilai nol (0) jarena variable tersebut memang tidak ada. Adapun teknik yang digunakan untuk memaksa variable buatan bernilai nol (0) pada solusi optimal yaitu dengan cara berikut:

a. Penambahan variable buatan pada fungsi kendala yang tidak memiliki slack variable maka penambahan variable buatan pada fungsi tujuan.

b. Apabila fungsi tujuan adalah maksimasi maka variable buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien +M dan apabila fungsi tujuan adalah minimisasi maka variable buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien –M.

c. Koefisien variable basis pada table simpleks harus bernilai nol (0) maka variable buatan pada fungsi tujuan harus digantikan nilai dari fungsi kendala yang memuat variable buatan tersebut.

(37)

Catatan:

 PL Kendala “=” atau “≥” variable buatan  Variable buatan solusi basis awa layak disingkirkan  𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑧 = − 𝑀𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑧 𝒛𝒎𝒊𝒏= −𝒛𝒎𝒂𝒌𝒔 Contoh: Minimumkan 𝑧 = 4𝑥₁+ 𝑥₂ Kendala 3𝑥1+ 𝑥2 = 3 4𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 6 𝑥₁+ 2𝑥₂ ≤ 4 𝑥₁, 𝑥₂ ≥ 0 Bentuk Baku: Minimumkan 𝑧 = 4𝑥1+ 𝑥2 − 0𝑠1 + 0𝑠2 Kendala 3𝑥₁ + 3𝑥₂ = 3 4𝑥₁ + 3𝑥₂ − 𝑠₁ = 6 𝑥₁+ 2𝑥₂+ 𝑠₂ = 4 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑠₁, 𝑠₂ ≥ 0 Pada kendala yang I dan II tidak mempunyai slack variable sehingga tidak ada variable basis awal dan agar berfungsi sebagai basis awal maka pada kendala I dan II dilakukan penambahan pada masing-masing kendala dengan satu variable buatan (artificial variable), sehingga bentuk Big M nya yaitu:

Bentuk Big M: Minimum 𝑧 = 4𝑥₁+ 𝑥₂ − 0𝑠₁ + 0𝑠₂+ 𝑀𝑄₁+ 𝑀𝑄₂ Kendala 3𝑥1+ 3𝑥2 + 𝑄1 = 3 kendala I 4𝑥₁ + 3𝑥₂ − 𝑠₁+ 𝑄₂ = 6 kendala II 𝑥₁+ 2𝑥₂+ 𝑠₂ = 4 kendala III 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑠₁, 𝑠₂, 𝑄₁, 𝑄₂ ≥ 0 Langkah-langkahnya yaitu:

1. Nilai 𝑸_𝟏 digantikan dari fungsi kendala I 𝑄₁ = 3 − 3𝑥₁− 𝑥₂ 𝑀𝑄1 = 𝑀 (3 − 3𝑥1− 𝑥2) 𝑀𝑄₁ = 3𝑀 − 3𝑀𝑥₁− 𝑀𝑥₂

(38)

2. Nilai 𝑸𝟐 digantikan dari fungsi kendala II 𝑄2 = 6 − 4𝑥1− 3𝑥2+ 𝑠1

𝑄₂ = 𝑀(6 − 4𝑥₁− 3𝑥₂+ 𝑠₁)

𝑀𝑄2= 6𝑀 − 4𝑀𝑥1− 3𝑀𝑥2+ 𝑀𝑠1

3. Fungsi tujuan berubah menjadi:

Min 𝑧 = 4𝑥₁+ 𝑥₂− 0𝑠₁+ 0𝑠₂+ 𝑀𝑄₁+ 𝑀𝑄₂ 𝑧 = 4𝑥₁+ 𝑥₂+ (3𝑀 − 3𝑀𝑥₁− 𝑀𝑥₂) + (6𝑀 − 4𝑀𝑥₁− 3𝑀𝑥₂+ 𝑀𝑠₁) 𝑧 = 4𝑥₁+ 𝑥₂+ 3𝑀 − 3𝑀𝑥₁− 𝑀𝑥₂+ 6𝑀 − 4𝑀𝑥₁− 3𝑀𝑥₂+ 𝑀𝑠₁ 𝑧 = 4𝑥₁+ 𝑥₂+ 9𝑀 − 7𝑀𝑥₁− 4𝑀𝑥₂+ 𝑀𝑠₁ 𝑧 = (4 − 7𝑀)𝑥₁+ (1 − 4𝑀)𝑥₂+ 𝑀𝑠₁+ 9𝑀 Minimum 𝑧 = (4 − 7𝑀)𝑥₁+ (1 − 4𝑀)𝑥₂ + 𝑀𝑠₁+ 9𝑀 Maksimum (−𝑧) = −(4 − 7𝑀)𝑥₁− (1 − 4𝑀)𝑥₂− 𝑀𝑠₁− 9𝑀 atau 𝑧 − (4 − 7𝑀)𝑥₁ − (1 − 4𝑀)𝑥₂− 𝑀𝑠₁ = 9𝑀 Minimum 𝑧 = 4𝑥₁+ 𝑥₂ − 0𝑠₁ + 0𝑠₂+ 𝑀𝑄₁+ 𝑀𝑄₂ Maksimum (−𝑧) = −4𝑥₁− 𝑥₂+ 0𝑠₁− 0𝑠₂− 𝑀𝑄₁− 𝑀𝑄₂ Kendala 𝑄₁ = 3 − 3𝑥₁− 𝑥₂ 3𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑄₁ = 3 𝑄₂ = 6 − 4𝑥₁− 3𝑥₂ + 𝑠₁ 4𝑥₁+ 3𝑥₂− 𝑠₁+ 𝑄₂ = 6 𝑥₁+ 2𝑥₂+ 𝑠₂ = 4

4. Tabel awal simpleks

CB VDB 𝒄𝒋 -4 -1 0 0 -m -m Rasio 𝒂𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝑄1 𝑄2 -m 𝑸_𝟏 3 3 1 0 0 1 0 -m 𝑸_𝟐 6 4 3 -1 0 0 1 0 𝑺_𝟐 4 1 2 0 1 0 0 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 9M -(4-7M)=-4+7M -(1-4M)=-1+4M -M 0 0 0

(39)

5. Menentukan kolom kunci, baris kunci dan rasio

Nilai positif terbesar ada pada kolom 𝒙_𝟏, maka kolom 𝒙_𝟏 adalah kolom kunci (KK)

Rasio pembagi kanan dengan kolom kunci adalah bersesuaian dengan baris 𝒔_𝟐 maka baris 𝑸_𝟏 adalah baris kunci (BK) dan 𝑸_𝟏 merupakan variabel keluar. Elemen kunci adalah 3.

CB VDB 𝒄_𝒋 -4 -1 0 0 -m -m Rasio 𝒂𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝑄1 𝑄2 -m 𝑸_𝟏 3 3 1 0 0 1 0 3 3= 1 -m 𝑸_𝟐 6 4 3 -1 0 0 1 6 4= 3 2 0 𝑺_𝟐 4 1 2 0 1 0 0 4 1= 4 𝒛𝒋− 𝒄𝒋 9M -4+7M -1+4M -M 0 0 0

6. Menentukan Tabel Iterasi I

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kunci baru yaitu baris 𝒙𝟏 (tabel berikut) Semua nilai pada 𝑸𝟏 di tabel solusi awal di bagi dengan 3 (elemen kunci)

CB VDB 𝒄_𝒋 -4 -1 0 0 -m -m Rasio 𝒂𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝑄1 𝑄2 -4 𝒙_𝟏 1 1 1 3 0 0 1 3 0 -m 𝑸𝟐 0 𝑺_𝟐 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋

Baris Kunci Baru: 3 3 1 0 0 1 0

dibagi 3 1 1 𝟏

𝟑 0 0 𝟏

(40)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 40 Baris 𝑸_𝟐, yaitu: 6 4 3 -1 0 0 1 1 1 𝟏 𝟑 0 0 𝟏 𝟑 0 4 -2 0 5 3 -1 0 − 4 3 1 Baris 𝒔𝟐, yaitu: 4 1 2 0 1 0 0 1 1 𝟏 𝟑 0 0 𝟏 𝟑 0 1 -3 0 5 3 0 1 - 1 3 0 Baris z, yaitu: 9M -4+7M -1+4M -M 0 0 0 1 1 𝟏 𝟑 0 0 𝟏 𝟑 0 -4+7M - 4+2M 0 1+5𝑀 3 -M 0 4−7𝑀 3 0 Diperoleh Tabel Iterasi I, yaitu:

CB VDB 𝒄_𝒋 -4 -1 0 0 -m -m Rasio 𝒂_𝒋 𝒃𝒊 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒔_𝟏 𝒔_𝟐 𝑄₁ 𝑄₂ -4 𝒙_𝟏 1 1 1 3 0 0 1 3 0 -m 𝑸_𝟐 2 0 5 3 -1 0 − 4 3 1 0 𝑺𝟐 3 0 5 3 0 1 − 1 3 0 𝒛_𝒋− 𝒄_𝒋 4+2M 0 1 + 5𝑀 3 -M 0 4 − 7𝑀 3 0

(41)

7. Pemerikasaan Tabel Iterasi I

Nilai baris 𝒛 di bawah variable 𝒙_𝟐 positif terbesar maka table belum optimal. Variabel masuk yaitu 𝒙_𝟐 dan variable keluar 𝑸_𝟐 sehingga diperoleh table berikut:

CB VDB 𝒄𝒋 -4 -1 0 0 -m -m Rasio 𝒂_𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝑄1 𝑄2 -4 𝒙_𝟏 1 1 1 3 0 0 1 3 0 1 1 3 = 3 -m 𝑸_𝟐 2 0 5 3 -1 0 − 4 3 1 2 5 3 =6 5 0 𝑺_𝟐 3 0 5 3 0 1 − 1 3 0 3 5 3 = 5 𝒛𝒋− 𝒄𝒋 4+2M 0 1 + 5𝑀 3 -M 0 4 − 7𝑀 3 0

8. Menentukan Tabel Iterasi II

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kunci baru yaitu baris 𝒙𝟐 (tabel berikut) Semua nilai pada 𝒔_𝟐 di tabel solusi awal di bagi dengan 5

3 (elemen kunci) CB VDB 𝒄𝒋 -4 -1 0 0 -m -m Rasio 𝒂_𝒋 𝒃_𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝑄1 𝑄2 -4 𝒙_𝟏 -1 𝒙_𝟐 6 5 0 1 − 3 5 0 − 4 5 3 5 0 𝑺𝟐 𝒛𝒋− 𝒄𝒋

Perhatikan nilai baris, sebagai berikut:

Baris Kunci Baru: 2 0 5

3 -1 0 − 4 3 1 dibagi 5 3 𝟔 𝟓 0 1 − 𝟑 𝟓 0 − 𝟒 𝟓 𝟑 𝟓