MAKALAH TENTANG
MAKALAH TENTANG
IND
INDUKS
UKSI
I MA
MATEM
TEMA
ATIK
TIKA
A
D
D
II
S
S
U
U
S
S
U
U
N
N
OLEH KELOMPOK 1 : OLEH KELOMPOK 1 :N
NA
AM
MA
A
:: 1
1.
. N
Nuur
r A
Ad
diilla
ah
h M
Ma
attoonnd
da
anngg
2.
2. Pu
Purn
rnam
ama
a Sa
Sari
ri
3.
3. Fa
Fati
tima
mah Z
h Zah
ahro
ro
4.
4. Ri
Riza
zal Na
l Nasu
suti
tion
on
5
5.. Z
Zuulk
lkiili
li
!
!"
"#
#A
AS
S
:: $
$%
%
M
M%
%A
A
&
&
1
1
M
MA
A'
'A
A PP"
"#
#A
A(
(A
AR
RA
AN
N
:: M
MA
A'
'"
"M
MA
A'
'%
%!
!A
A
)
)*
*R
R*
* PP"
"M
M+
+%
%M
M+
+%
%N
N)
)
:: S
SA
AN
N'
'%
% M
MA
AR
R%
%A
A,
, S
S..PPd
d
SMA NEGERI 3 PANYABUNGAN
SMA NEGERI 3 PANYABUNGAN
T
A. SEJARAH INDUKSI MATEMATIKA
Induksi Matematika berawal pada akhir abad ke-19 yang dipelopori oleh dua orang matematikawan yaitu R. Dedekind dan G.Pean. Dedikind mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan bilangan bulat positif.Pean memperbaiki aksioma tersebut dan memberikannya interpretasi logis. Keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano. Postulat ini ditemukan sekitar tahun 1890 sebagai rumusan formula konsep bilangan asli.
Postulat Peano
1. 1 adalah anggota .
2. Setiap anggota mempunyai pengikut .
3. Dua bilangan di yang berbeda mempunyai pengikut yang berbeda. 4. 1 bukan pengikut bilangan yang manapun
5. Jika subhimpunan memuat 1 dan pengikut dari setiap bilangan di , maka
1.1 Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan suatu metode yang penting dalam pembuktian dan sering digunakan dalam berbagai buku. Induksi matematika merupakan suatu metode yang digunakan untuk membangun kealidan pernyataan yang diberikan dalam istilah-istilah bilangan asli !N". #alaupun kegunaannya agak dibatasi dalam konteks yang agak khusus$ namun keberadaannya merupakan suatu alat yang sangat diperlukan dalam %abang-%abang matematika.
&ianggap bahwa kita sudah mengenal bilangan asliN ' ( 1$)$*$ ... +$ baik operasi biasa pada pen,umlahan dan perkalian dan arti dari suatu bilangan asli yang satu lebih ke%il dari
yang lain. Te!ema 1.1
ika adalah subset dari N dan ,ika $ maka terdapat suatu m sedemikian sehingga m k$ untuk setiap k .
Prinsip Induksi /atematika
/isal subset dari N$ maka berlaku sifat-sifat 1. 1 .
). ika k $ maka !k1" $ dan 'N. "ukti
Anggaplah berlaku sebaliknya N. /aka himpunan N 2 tidak kosong dan selan,utnya dengan sifat terurut dengan baik ia akan memuat suatu unsur terke%il. /isal m adalah unsur terke%il dari N-. Karena 1 $ maka menurut hipotesis !1"$ kita tahu bahwa m 1. elan,utnya untuk m 3 1 mengakibatkan bahwa m 2 1 ,uga merupakan bilangan asli$ Karena m 2 1 4 m dan karena m adalah unsur terke%il dariN sedemikian sehingga m $ ia mestilah merupakan kasus bahwa m-1 .
elan,utnya kita gunakan hipotesis !)" untuk unsur ke ke k ' m 2 1 dan menyimpulkan bahwa k1 ' !m-1" 1 ' m . Kesimpulan ini bertentangan dengan pernyataan bahwa m . Karena m diperoleh dengan mengasumsikan bahwa N- tidak kosong$ hal ini ,uga bertentangan dengan kesimpulan bahwa N- kosong. &engan demikian kita telah
menun,ukkan bawa 'N.
5entuk lain dari prinsip Induksi /atematika dinyatakan sebagai berikut
6ntuk setiap n N$ misalkan P!n" merupakan suatu pernyataan tentang n$ anggaplah bahwa
1. P!1" benar
). P!k" benar maka P!k1" benar$
/aka P!n" adalah benar untuk setiap n N.
Karena rumus ini terpenuhi untuk n ' k1$ kita menyimpulkan bahwa k1 . adi dari Induksi matematika terpenuhi. 7leh karena itu dengan prinsip induksi matematika kita menyimpulkan bahwa 'N dan rumus tersebut adalah benar untuk semua n N.
1.# P!insi$ Induksi Sede!%ana
/isalkan p!n" adalah proporsi prihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p!n" benar untuk semua bilangan bulat positif n. 6ntuk membuktikan proporsi ini$
kita hanya perlu menun,ukkan bahwa
1. p!1" benar$ dan
2. ,ika p!n" benar$ maka p!n 1" ,uga benar untuk setiap n 1
sehingga p!n" benar$ maka semua bilangan bulat positif n
1.& Lan'ka%()an'ka% men*e)esaikan induksi matematika 1. "asis Induksi
6ntuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut benar bilan diganti dengan 1$ yang merupakan bilangan bulat positif terke%il.
). Induksi
Asumsi yang menyatakan bahwa p(n) benar. 5ila kita sudah menun,ukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua
bilangan bulat positif n. Kemudian kita harus menun,ukkan bahwa implikasi p(n) p(n + 1) benar untuk setiap bilangan bulat positif. al ini dapat diselesaikan dengan %ara memperlihatkan bahwa berdasarkan hipotesis p(n) benar maka p(n + 1) ,uga harus benar.
*. ipotesis Induksi
Pembuktian p(n + 1) bernilai benar.
1.+ Pene!a$an Induksi Matematika Da)am "idan' Eknmi 1. a$)ikasi da)am $en'unaan ATM
a. Konsep A/ e%ara 6mum di Indonesia
A/$ pada umumnya$ hanya memiliki satu ,enis nominal uang. :ogikanya ialah sebuah A/ hanya memiliki satu %artridge uang$ yang hanya dapat diisi oleh sebuah nominal !entah itu ;p )0.000$-$ ;p <0.000$-$ maupun ;p 100.000$-". =ah$ pengolahan berapa ,umlah uang yang dikeluarkan tidak se%ara langsung dihitung dari ,umlah nominal uang yang ditarik$ tapi dikonersikan dahulu$ pe%ahan uang yang tersedia pada %artridge harus dikeluarkan sebanyak berapa lembar agar uang yang ingin ditarik pelanggan ter%ukupi. /isal pelanggan ingin menarik uang sebanyak ;p )00.000$-. /aka ada tiga kemungkinan
- ika A/ tersebut berisi uang pe%ahan ;p )0.000$-$ maka %artridge penyimpan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak 10 lembar.
- ika A/ tersebut berisi uang pe%ahan ;p <0.000$-$ maka %artridge penyimpanan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak > lembar.
- ika A/ tersebut berisi uang pe%ahan ;p 100.000$-$ maka %artridge penyimpanan uang akan diperintahkan untuk menghitung dan mengeluarkan uang sebanyak ) lembar.
erdapat beberapa kelemahan dalam A/ yang memiliki sistem seperti ini$ antara lain Pelanggan ingin menarik uang yang tidak genap !misal ingin menarik uang sebesar ;p ?0.000$- ".
Pada kenyataannya$ masalah ini memang sudah ditanggulangi dengan mengeluarkan pernyataan @/esin ini hanya mengeluarkan uang dalam pe%ahan kelipatan ;p )0.000$-!atau ;p <0.000$- atau ;p 100.000$-". /asyarakat ,uga telah memaklumi keadaan ini. =amun$ apakah tidak ,auh lebih mudah ,ika dapat dilakukan penarikan tunai dengan nominal yang tidak genap seperti itu Apa sebenarnya keistimewaan %ara berpikir A/ /ulti Pe%ahan 6ang
b. Penerapan Induksi /atematika dalam A/ /ulti =ominal
Penerapan Induksi /atematik dalam A/ /ulti =ominal yakni dengan penggunaan Prinsip Induksi yang &irampatkan !prinsip pertama" pada proses penghitungan uang yang akan dikeluarkan dari %artrige penyimpanan uang .
Ada beberapa ketentuan dalam pengambilan uang pada A/ /ulti =ominal ini. Ketentuan tersebut antara lain
- ,umlah minimal penarikan
- ,umlah kelipatan penarikan dari ,umlah minimalnya - pe%ahan uang berapa yang ada di A/ tersebut adi$ bagaimana %ara perhitungannya
Ambil sebuah %ontoh$ dalam satu A/ terdapat pe%ahan uang ;p )0.000$- dan ;p <0.000$-. 5erapakah ,umlah kelipatan penarikan dengan ,umlah minimal yang dapat diambil pelanggan melalui A/ tersebut adalah ;p >0.000$-
Pen*e)esaian :
1. tun,ukkan bahwa f!n0" benar !berlaku"
5asis induksi 6ntuk mengeluarkan uang dengan ,umlah ;p >0.000$- dapat digunakan ) lembar uang ;p )0.000$-. f!n0" ,elas benar !berlaku" BB
). ika f!n" benar !berlaku" maka tun,ukkan f!nk" ,uga benar !berlaku" untuk semua bilangan bulat n C n0. !k ialah kelipatan pengambilan uang di A/"
:angkah induksi ika f!n" benar$ yaitu untuk mengeluarkan uang dengan ,umlah ;p >0.000 dapat digunakan e lembar uang ;p )0.000$- !hipotesis induksi". Kita harus menun,ukkan bahwa f!nk" ,uga benar$ yaitu untuk mengeluarkan uang sebesar nk ,uga dapat menggunakan pe%ahan uang ;p )0.000$- danDatau ;p <0.000$-.
Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa
a. Kemungkinan pertama$ misalkan tidak ada uang pe%ahan ;p <0.000$- yang dikeluarkan$ maka uang yang dikeluarkan senilai ;p n$- menggunakan pe%ahan ;p )0.000$- semuanya. Karena n C ;p >0.000$-$ setidaknya harus digunakan dua lembar pe%ahan ;p )0.000$-. &engan mengganti dua lembar uang ;p )0.000$- dengan
selembar uang ;p <0.000$ akan men,adikan uang yang dikeluarkan A/ sebesar ;p nk$- dengan k senilai ;p 10.000$-.
b. Kemungkinan kedua$ misalkan A/ mengeluarkan uang senilai ;p n$- dengan sedikitnya satu lembar pe%ahan ;p <0.000$-. &engan mengganti satu lembar pe%ahan ;p <0.000$- dengan tiga lembar uang pe%ahan ;p )0.000$- akan men,adikan uang yang dikeluarkan A/ sebesar ;p nk$- dengan k senilai ;p
10.000$-&ari pen,elasan di atas$$ dapat diketahui bahwa nilai k !kelipatan" uang yang dapat diambil dari A/ tersebut$ dengan minimal ,umlah pengambilan sebesar ;p >0.000$-$ ialah sebesar ;p 10.000$-.
,nt% sa) da)am ke%idu$an se%a!i - %a!i
1. 5uktikan pernyataan @6ntuk membayar biaya pos sebesar n sen !n 8" selalu dapat digunakan hanya perangko * sen dan perangko < senE benar.
Penyelesaian
(i) Basis induksi. 6ntuk membayar biaya pos 8 sen dapat digunakan 1 buah perangko * sen dan 1 buah perangka < sen sa,a. Ini ,elas benar.
(ii) Langkah induksi. Andaikan p!n" benar$ yaitu untuk membayar biaya pos sebesarn
!n 8" sen dapat digunakan perangko * sen dan < sen !hipotesis induksi". Kita harus menun,ukkan bahwa p!n 1" ,uga benar$ yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n 1 sen ,uga dapat menggunakan perangko * sen dan perangko < sen. Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa
!a" Kemungkinan pertama$ misalkan kita membayar biaya pos senilain sen dengan sedikitnya satu perangko < sen. &engan mengganti satu buah perangko < sen dengan dua buah perangko * sen$ akan diperoleh susunan perangko senilain 1 sen.
!b" Kemungkinan kedua$ ,ika tidak ada perangko < sen yang digunakan$ biaya pos senilain
sen menggunakan perangko * sen semuanya. Karenan 8$ setidaknya harus digunakan tiga buah perangko * sen. &engan mengganti tiga buah perangko * sen dengan ) buah perangko < sen$ akan dihasilkan nilai perangkon 1 sen.
,nt% Pene!a$an mate!i induksi matematika da)am ke%idu$an se%a!i(%a!i *aitu:
1. /asalah /engambil nominal uang yang diinginkan melalui A/.
olusi /enentukan nominal yang diinginkan sesuai uang yang kita ambil melalui A/
&i mana &i A/Dbank
). /asalah /enyusun keping domino
olusi /enggunakan teori induksi matematika dalam menyusun domino &i mana &i rumah
*. /asalah /emasang ubinDkeramik didalam ruangan
olusi /enggunakan teori induksi matematika yaitu menentukan pemasangan ubin
,ONTOH SOAL
1. Sa) :
5uktikan bahwa )n 3n )0 untuk setiap bilangan bulatn C <.
Pen*e)esaian :
!i" "asis induksi : 6ntuk n ' <$ kita peroleh )< 3 < )0 adalah suatu pernyataan yang benar.
!ii" Lan'ka% induksi : /isalkan bahwa )k 3 k )0 adalah benar.
ekarang kita peroleh )k1 ' ).)k 3 )!k )0" ' )k >0 3 !k 1" )0
!iii"Knk)usi :/aka disimpulkan bahwa )n 3 n )0 adalah benar untukn C <.
#. Sa) :
5uktikan bahwa semua bilangan berbentuk ?n 2 )n dapat dibagi oleh < untuk setiapn bilangan
asli.
Pen*e)esaian :
!i" "asis induksi : Pernyataan yang akan dibuktikan adalah P n ?n 2 )n dapat dibagi <. P 1
bernilai benar sebab ?1 2 )1 ' <.
!ii" Lan'ka% induksi : &engan asumsi ini kita akan menyelidiki kebenaran pernyataan P n1.
6ntuk itu kita perhatikan bahwa
?n1 2 )n1 ' ?.?n 2 ?.)n ?.)n 2 ).)n
' ?F?n 2 )nG <.)n
' ?!<m" <.)n m H = !asumsi P
n benar"
' <!?m )n"
Karena ?m )n bilangan asli$ maka dari kesamaan terakhir kita dapat menyimpulkan
bahwa ?n1 2 )n1 dapat dibagi dengan <.
!iii"Knk)usi : &engan kata lain$ pernyataan P n1 adalah benar. &engan demikian$ bilangan
berbentuk ?n 2 )n dapat dibagi oleh < untuk setiapn bilangan asli.
. Sa) :
un,ukkan bahwa 1 ) * n ' Jn !n 1"$ untuk semuan bilangan asli.
Pen*e)esaian :
!i" "asis induksi : Pertama-tama kita buktikan bahwa
P n 1 ) * n ' Jn !n 1"
adalah benar. &engan demikian P 1 adalah 1 ' J . 1.!11"$ dan untuk P ) adalah
1 ) ' J .).!)1" dan seterusnya.
!ii" Lan'ka% induksi : 6ntuk membuktikan pernyataan itu$ perhatikan bahwa P 1
adalah benar. Kemudian asumsikan bahwa
P n 1 ) * n ' Jn !n 1"
adalah benar$ dan kita harus membuktikan bahwa Pn1 adalah benar. 6ntuk ini$
kita tambahkan kedua ruas pernyataan P n dengann 1 dan diperoleh
1 ) * n !n 1" ' J n!n 1" !n 1" ' J Fn!n 1" )!n 1"G ' J !n) + *n )"
' J !n 1" !n )" ' J !n 1" F!n 1" 1G
!iii"Knk)usi : &ari sini kita peroleh bahwa Pn1 adalah benar. al ini menun,ukkan
bahwa pernyataan
P n 1 ) * n ' Jn !n 1"
adalah benar untuk setiapn bilangan asli.
&. 5uktikan untukn$ mH =$ n 3 1 berlaku identitas
nm ' n21 m n m1
Pen*e)esaian :
!i" "asis induksi : Kita umpamakan untukm ' 1$ maka
n1 ' n21 n ' n21 1 n )
n)' n1 n ' n21 + ) n ' n21 ) n *
adalah ,uga bernilai benar untuk sembarang nilain.
!ii" Lan'ka% induksi : sekarang kita asumsikan bahwa identitas berlaku untuk semua
m k $ untuk semuakH =$ k 3 1. /aka$
nk1 ' nk nk21
! n21 k n k1 n21 k21 n k
! n21 ! k k21" n ! k1 k "
! n21 k1 n k)
yang berarti identitas ,uga berlaku untuk m 'k 1. 5erdasarkan prinsip induksi kuat$ identitas berlaku untuk sebarang nilai m$ n H =$n 3 1.
!iii"Knk)usi : &ari persoalan yang baru sa,a kita selesaikan$ terdapat suatu hal yang menarik dimana terdapat lebih dari satu parameter dalam proposisi. angat
membingungkan$ tapi perhatikan bahwa dalam identitas tersebut$ kedua parameter
m dan n mun%ul se%ara simetri$ yang berarti kita bebas memilih salah satu dari keduanya untuk di,adikan parameter induksi.
+. 5uktikan bahwa
untuk semua bilangan bulat positifn.
Pem/a%asan /isalkan P !n" adalah pernyataan 1 L ) ) L * * L > n!n 1" ' Fn!n 1"!n )"GD*.
1. Kita akan tun,ukkan bahwa P !1" bernilai benar. 5erdasarkan rumus di atas$ P !1" menyatakan
yang bernilai benar.
). Anggap bahwa P !k " benar dan kita memperoleh hipotesis induksi sebagai berikut.
ipotesis ini akan kita gunakan untuk membuktikan bahwa P !k 1" benar. Pernyataan P !k 1" menyatakan
Kita mulai dari bentuk yang berada di ruas kiri$ kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada ruas kanan.
ehingga kita telah menun,ukkan bahwa P !k 1" mengikuti P !k ". ehingga kita telah membuktikan langkah induksi.
5erdasarkan :angkah 1 dan )$ kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa P !n" benar untuk semua bilangan bulat positif n.
0. Munakan induksi matematika untuk membuktikan rumus
untuk semua bilangan bulatn C 1.
Pem/a%asan Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda.
1. Pertama$ kita harus menun,ukkan bahwa rumus tersebut benar ketikan ' 1. Ketikan ' 1$ rumus tersebut benar$ karena
2. 5agian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. :angkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulatk . :angkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selan"utnya$k 1. Anggap bahwa rumus
bernilai benar$ kita harus menun,ukkan bahwa rumus k 1 ' !k 1"N benar.
&engan menggabungkan hasil pada langkah !1" dan !)"$ kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulatn C 1.
. 5uktikan bahwa
untuk semua bilangan bulat positifn C *.
1. Pernyataan P !*"$ yaitu
dengan ,elas bernilai benar.
). Anggap P !k " !k 1"N 4 )k N bernilai benar$ kita harus menun,ukkan bahwa P !k 1" ,uga bernilai benar$ yaitu F!k 1" 1GN 4 )!k 1"N. 6ntuk k C*$ kita memperoleh
ehingga kita telah menun,ukkan kebenaran pernyataan ,ika P !k " benar maka P !k 1". 7leh karena itu$ berdasarkan :angkah 1 dan )$ dengan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P !n" benar untuk semua bilangan bulat positifn C *.
2. 5uktikan bahwa * adalah faktor >n 2 1 untuk semua bilangan bulat positifn.
Pem/a%asan
1. 6ntukn ' 1$ pernyataan tersebut benar karena
ehingga$ * adalah faktor bentuk di atas.
). Anggap bahwa * adalah faktor dari >k 2 1$ kita harus menun,ukkan bahwa * adalah faktor dari >k 1 2 1. 6ntuk melakukan hal ini$ kita tulis seperti berikut.
Karena * adalah faktor dari >k L * dan * ,uga merupakan faktor >k 2 1$ maka * adalah faktor dari >k 1 2 1. &engan menggabungkan hasil pada :angkah 1 dan )$ kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa * adalah faktor >n 2 1 untuk semua bilangan bulat positifn.
3. 5uktikan bahwa
) > O 8 10 1) 1> ... )n ' n) ) Pembahasan
⇒Pertama$ buktikan terlebih dahulu nilai untuk n ' 1.
ika kita masukan nilai n ' 1$ nilai fungsi tersebut men,adi 1) 1 ' ) !benar". Kemudian kita sesuaikan dengan persamaan yang di berada di ruas kanan yaitu n) ) $ ternyata hasil yang diperoleh sama yaitu ) !dua".
⇒ Kedua$ kita buktikan untuk n ' k.
sehingga deret pen,umlahan di atas akan men,adi ) > O 8 10 1) 1> ... )n ' n) n ) > O 8 10 1) 1> ... )k ' k ) k
6ntuk n ' k ini kita anggap bahawa bernilai benar. ⇒ Ketiga$ kita buktikan untuk n ' k 1
Apabila disubstitusi nilai n ' k 1 ke persamaan maka diperoleh deret seperti berikut ) > O 8 10 1) 1> ... )n ' n) n
!k ) k" )!k1" ' !k 1") !k 1"
ingat bahwa
) > O 8 10 1) 1> ... )k ' k ) k
!k ) k" )k ) ' !k 1") !k 1"
etelah itu$ kita buktikan bahwa ruas kiri harus sama dengan ruas kanan. ebagai a%uan dalam pembuktiaan yakni persamaan yang ada disebelah kanan. Itu artinya persamaan yang ada disebelah kiri harus diusahakan sama dengan ruas kanan. ehingga
k ) )k k ) ' !k 1") !k 1"
upaya persamaan di ruas kiri berbentuk persamaan kuadrat seperti di ruas kanan$ maka persamaan di ruas kiri kita atur. penyelesaiannya sebagai berikut
!k 1") ' k ) )k 1
sehingga
k ) )k 1 k 1 ' !k 1") !k 1" !k 1") !k 1" ' !k 1") !k 1"
ampai ditahap ini dapat kita perhatikan bahawa ruas kiri sudah sama dengan ruas kanan dan bentuk persamaannya bersesuain saat kita memasukkan nilai n ' k.
Karena ketiga persamaan pen,umlahan di atas sudah benar dari ketiga langkah yang diselesaikan$ maka dapat kita simpulkan bahwa pen,umlahan diperoleh
2 + 4 + 6 +8 +10 + 12 + 14 + ... + 2n = n2 + n terbukti benar . 14.5uktikan bahwa *1 *9 >? << ... !8n )*" ' >n) )?n Pembahasan ⇒ Pertama$ untuk n ' 1
=ilai pen,umlahan deret tersebut adalah >.1) )?.1 ' > )? '*1 !5enar"
⇒ Kedua$ ganti nilai n ' k
*1 *9 >? << ... !8n )*" ' >n) )?n
*1 *9 >? << ... !8k )*" ' >k ) )?k ⇒ Ketiga$ ganti nilai n ' k1
*1 *9 >? << ... !8k )*" 8!k1" )*" ' >!k1") )?!k1" >k) )?k 8 !k1" )* ' >!k1") )?!k1" >k) )?k 8k 8 )* ' >!k1") )?!k1" >k ) 8k > )?k )? ' >!k1") )?!k1" >!k ) )k 1" )? !k 1" ' >!k1") )?!k1" >!k 1") )? !k 1" ' >!k1") )? !k1" ... erbukti
