SKIM PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT
OLEH SISWA SD
JURNAL
Diajukan untuk memenuhi syarat guna mencapai Gelar Sarjana Program Studi S1 Pendidikan Matematika
Disusun Oleh
Ayu Ostyaningsih
202013020
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2
SKIM PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT OLEH SISWA SD
Ayu Ostyaningsih1 Sutriyono2
202013020@student.uksw.edu1, sutriyono@staff.uksw.edu2 Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponogoro 52-60 Salatiga
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui secara pasti tentang skim penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki oleh siswa SD. Penelitian ini berjenis kualitatif deskriptif, untuk mengetahui skim penjumlahan bilangan bulat. Subjek dalam penelitian ini adalah siswa kelas V SD yang terdiri dari 4 siswa perempuan. Data diperoleh dari jawaban tertulis atas tes dan wawancara, ditemukan bahwa terdapat empat skim penjumlahan bilangan bulat. Empat skim tersebut antara lain skim penjumlahan bersusun, skim garis bilangan, skim menjumlah dengan jari dan skim hutang piutang. Ditemukan bahwa pada keempat subjek memiliki skim lebih dari satu dan tiap subjek memiliki skim yang berbeda-beda.
Kata Kunci: Skim, Penjumlahan Bilangan Bulat
PENDAHULUAN
Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang diajarkan di tingkat pendidikan jenjang SD, SMP, dan SMA. Pada pembelajaran matematika pada satuan pendidikan SD mempunyai tahapan-tahapan aspek yang berurutan, meliputi: bilangan, geometri dan pengukuran serta pengolahan data, (Fathani, 2012: 144). Salah satu aspek atau tahapan yang pertama dalam pembelajaran matematika adalah bilangan. Operasi bilangan pada pembelajaran matematika meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, operasi hitung campuran dan penarikan akar pangkat.
Penjumlahan adalah salah satu operasi aritmatika dasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompok bilangan yang merupakan jumlah. Penjumlahan ditulis dengan menggunakan tanda tambah “+” diantara kedua bilangan.
Operasi hitung penjumlahan bilangan bulat terdapat dua jenis yaitu penjumlahan
dua bilangan bulat bertanda sama dan penjumlahan dua bilangan bulat tanda berlawanan. Hasil dari penjumlahan bilangan bulat dapat berupa bilangan positif, negatif, atau nol.
3 Identifikasi corak berpikir siswa sangat penting untuk mengembangkan pengetahuan dalam diri siswa dengan skim yang kelih canggih dari skim yang ada dalam diri siswa sebelumnya (Afriani, 2009). Skim merupakan tindakan operasi yang digunakan untuk menggeneralisasikan obyek tertentu (Hackenberg Tillema, 2009). Pola-pola tindakan dan operasi yang berlaku secara berulang kali dan relatif tetap dalam setiap situasi yang diperhatikan, dapat menjadi dasar untuk pembetukan model skim yang dimiliki oleh siswa (Sutriyono, 2012). Skim digunakan untuk mengetahui konstruksi yang memberikan penjelasan tindakan dan model struktur kognitif siswa (McCloskey, Norton, 2009). Skim merupakan satu susunan tiga serangkai yang terdiri dari suasana pencetus, tindakan atau operasi, dan hasil yang diharapkan. Menurut Piaget (dalam Sutriyono, 2007) semua tindakan yang diulangi atau dirumuskan melalui pengalaman baru dapat dianggap sebagai skim. Skim dapat menjelaskan dan memprediksi tindakan operasi pikiran yang dimiliki siswa. Faham ini menganggap skim matematika yang dikonstruksi oleh siswa sebagai hasil dari proses refleksi dan abstraksi (Sutriyono, 2012; Sagala, 2012).
Kajian penelitian yang relevan yang menyinggung tentang penjumlahan bilangan bulat telah dilakukan oleh Steffe (1983) dengan judul “Children’s Algoritms
ass Schemes” mencoba mengkaji kualitas penyelesaian yang digunakan pada soal penambahan siswa berumur 7 tahun dengan tujuan untuk mengkaji kualitas penyelesaian yang digunakan pada soal penambahan. Hasil wawancara menunjukan bahwa dalam operasi penambahan bilangan bulat yang sama, dua siswa menggunakan skim yang berbeda. Seorang siswa menggunakan skim operatif, manakala
siswa yang lain menggunakan skim membilang figurative. Penelitian yang dilakukan Sutriyono (2012) yang berjudul “Skim Pengurangan Bilangan Bulat Siswa SD Kelas 2 & 3” menunjukkan bahwa siswa pada peringkat kognitif yang sama tidak selalu mempunyai skim pengurangan bilangan bulat yang sama pula. Kondisi tersebut menunjukkan bahwa tidak selalu pengajaran yang diberikan oleh guru dipahami secara sama pula oleh semua siswa. Oleh karena itu guru harus memberikan berbagai pendekatan dalam mengajar pengurangan bilangan bulat yang berpadukan kepada mutu skim pengurangan bilangan bulat yang mempunyai siswa guna membantu siswa mengkonstruksi skim pengurangan bilangan bulat telah diperoleh.
Begitu pentingnya mengetahui corak berpikir yang dipunyai siswa khususnya materi penjumlahan bilangan bulat dan untuk membantu guru mengajarkan materi sesuai dengan skim yang dipunyai siswa menjadi dasar pemilihan topik skim penjumlahan bilangan bulat.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui secara pasti skim pejumlahan bilangan bulat yang dimiliki oleh siswa kelas 5 SD. Penelitian ini diharapkan dapat membantu siswa dalam mengetahui skim penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki sehingga siswa dapat mengembangkan skim yang telah ada dan dapat memberikan pengetahuan bagi guru tentang skim penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki siswa, sehingga guru dapat mengetahui pola pikir yang dimiliki siswa dalam menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan penjumlahan bilangan bulat.
METODE PENELITIAN
4 kualitatif. Subjek dalam penelitian ini adalah siswa SD kelas V. Subjek penelitian ini ditentukan dengan menggunakan teknik purposive sampling, yakni suatu pengambilan sampel sebagai sumber data dengan berdasarkan pada tujuan dan pertimbangan tertentu (Sugiyono, 2010). Pengambilan sampel penelitian adalah berdasarkan pada hal-hal berikut 1) Kebersediaan subjek untuk terlibat secara aktif dalam penelitian, 2) Kesanggupan subjek untuk diwawancarai, 3) Memperoleh izin dari orang tua subjek, 4) Kepercayaan orang tua bahwa subjek akan melibatkan diri secaara aktif dalam kegiatan wawancara. Penelitian dilakukan pada bulan Februari 2017 pada semester 2.
Teknik pengumpulan data yang diperlukan dalam penelitian ini adalah dengan melakukan triangulasi, yaitu observasi, wawancara dan dokumentasi (Sugiyono, 2010). Instrumen utama dalam penelitian ini adalah peneliti sendiri, tetapi dalam penelitian ini terdapat instrumen pendukung berupa soal uraian secara simbolik.
Tahap analisis data merupakan proses penyusunan data agar dapat diinterpretasikan. Langkah-langkah yang dilakukan dalam analisis data dalam penelitian ini terdapat 4 tahap yaitu 1) data collection memindahkan video dan hasil rekaman wawancara, 2) data reduction yaitu mendiskripsikan identitas subjek, memilih hal-hal pokok, memfokuskan pada hal-hal yang penting, 3) data display yaitu menyajikan data dengan mengelompokkan pola-pola perilaku yang ditunjukkan siswa dalam menyelesaikan soal, 4) conclution drawing/ verification yaitu merumuskan skim berdasarkan pola tingkah laku yang telah dikenal pasti (Huberman dalam Sugiyono, 2007: 337). Analisis ini hanya
membahas jenis-jenis skim penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki oleh siswa.
HASIL
Bentuk soal a + b = □, a + (-b) = □, -a + b = □, dan -a + (-b) = □ diberikan dalam 3 soal secara simbolik. Keempat bentuk soal tersebut terdiri dari tiga kriteria soal berdasarkan pada jenis sukunya. Kriteria pertama adalah penjumlahan 1 digit dengan 1 digit, kriteria kedua adalah penjumlahan 2 digit dengan 1 digit, dan kriteria ketiga adalah penjumlahan 2 digit dengan 2 digit.
1. Bentuk Penjumlahan a + b = □
Subjek menyelesaikan bentuk penjumlahan a + b = □ dengan menunjukkan bahwa terdapat 4 subjek yang menggunakan model menjumlah dengan cara bersusun. Pada kriteria 2 digit + 1 digit mereka menjumlahkan bilangan bernilai satuan dengan satuan lalu menurunkan bilangan bernilai puluhan. Sedangkan pada kriteria 2 digit + 2 digit mereka menjumlahkan bilangan bernilai satuan dengan satuan lalu menjumlahkan bilangan bernilai puluhan dengan puluhan.
b. Menjumlah dengan
5 hasil penjumlahan bilangan bulat positif ini mereka menggambarkan garis bilangan beserta menuliskan bilangan yang dijumlahkan. Bilangan yang dijumlahkan digambarkan dengan setengah lingkaran tepat diatas garis bilangan.
c. Menjumlah dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat 1 subjek yang menggunakan model menjumlah dengan menggunakan jari. Mereka menjumlahkan kedua bilangan tersebut dengan menggunakan 10 jari jika hasil dari kedua bilangan itu tidak lebih dari 10. Tetapi, pada saat mereka menjumpai soal yang hasilnya melebihi 10, mereka menjumlahkan dengan angka yang bernilai besar dengan cara mengucapkan dengan mulut sedangkan angka yang lebih kecil menggunakan jari, kemudian dijumlahkan degan cara meneruskan angka yang telah diucapkan dengan angka yang di jari.
2. Bentuk Penjumlahan a + (-b) = □ Subyek menyelesaikan bentuk penjumlahan a + (-b) = □ dengan menunjukkan bahwa terdapat 4 subjek yang menggunakan model menjumlah dengan cara bersusun. Mereka menghitung dengan mengurangkan bilangan
penjumlahan pertama yang bernilai positif dengan bilangan kedua yang bernilai negatif dengan memperhatikan nilai tempat.
b. Menjumlah dengan
menggunakan garis bilangan Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat 3 subjek yang menggunakan model menjumlah dengan menggunakan garis bilangan. Dalam menghitung hasil penjumlahan bilangan bulat positif dengan negatif ini mereka menggambarkan garis bilangan beserta menuliskan bilangan yang dijumlahkan. Bilangan yang dijumlahkan digambarkan dengan bentuk setengah lingkaran tepat diatas garis bilangan yang berjalan ke arah kiri.
c. Menjumlah dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat 1 subjek yang menggunakan model menjumlah dengan menggunakan jari. Subjek menghitungnya dengan menyebutkan bilangan pertama atau bilangan yang lebih besar di sebutkan sedangkan untuk bilangan kedua subjek menggunakan jarinya. Kemudian, mengurangkan kedua bilangan tersebut.
d. Menjumlah dengan
menggunakan konsep hutang piutang
6 sedangkan bilangan yang bernilai negatif itu sebagai hutang. Jadi, jika bilangan yang bernilai positif itu lebih besar daripada angka yang bernilai negatif hasil penjumlahan tersebut pasti bernilai positif.
3. Bentuk Penjumlahan -a + b = □ Subjek menyelesaikan bentuk penjumlahan -a + b = □ dengan menunjukkan bahwa terdapat 4 subjek yang menggunakan model menjumlah dengan cara bersusun. Pada penjumlahan ini mereka menempatkan bilangan terbesar pada baris pertama dan bilangan terkecil di baris kedua, kemudian mengurangkan kedua bilangan tersebut. Bilangan pertama benilai negatif dan lebih besar daripada bilangan kedua yang bernilai positif, maka hasil dari penjumlahan bilangan tersebut akan bernilai negatif.
b. Menjumlah dengan
menggunakan garis bilangan Hasil dari penelitian ini menunjukan bahwa terdapat 3 subjek yang menggunakan model menjumlah dengan menggunakan garis bilangan. Dalam menghitung hasil penjumlahan bilangan bulat negatif dengan positif ini mereka menggambarkan garis bilangan beserta menuliskan bilangannya dan menetapkan angka pertama dalam soal tersebut lalu dijumlahkan dengan angka kedua
dan digambarkan dengan bentuk setengah lingkaran tepat diatas garis bilangan yang berjalan ke arah kiri.
c. Menjumlah dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat 1 subjek yang menggunakan model menjumlah dengan menggunakan jari. Subjek menghitungnya dengan menyebutkan bilangan pertama atau bilangan yang lebih besar di sebutkan sedangkan untuk bilangan kedua subyek menggunakan jarinya. Kemudian, mengurangkan kedua bilangan tersebut.
d. Menjumlah dengan
menggunakan konsep hutang piutang
Hasil dari penelitian ini menunjukan bahwa terdapat 2 subjek yang menggunakan konsep hutang piutang. Subjek mengumpamakan jika bilangan pertama bernilai negatif itu sebagai hutang dan bilangan kedua bernilai positif sebagai alat untuk melunasi hutang tersebut. Jadi, jika bilangan pertama bernilai negatif lebih besar dari penjumlahan bilangan kedua yang benilai positif maka hasil dari penjumlahan tersebut dikatakan sebagai sisa hutang yang masih harus dibayarkan maka hasil tersebut bernilaikan negatif.
7 a. Menjumlah dengan cara
bersusun
Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat 4 subjek yang menggunakan model menjumlah dengan cara bersusun. Pada kriteria 2 digit + 1 digit mereka menjumlahkan bilangan bernilai satuan dengan satuan lalu menurunkan bilangan bernilai puluhan. Sedangkan pada kriteria 2 digit + 2 digit mereka menjumlahkan bilangan bernilai satuan dengan satuan lalu menjumlahkan bilangan bernilai puluhan dengan puluhan. Jika pada penjumlahan satuan dengan satuan tersebut hasilnya lebih dari 9 maka hasil penjumlahan itu hanya ditulis bilangan belakangnya saja atau bilangan yang sebagai satuan dan bilangan pertama yang sebagai puluhan ditambahkan dengan puluhan dengan puluhan.
b. Menjumlah dengan
menggunakan garis bilangan Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat 4 subjek yang menggunakan model menjumlah dengan menggunakan garis bilangan. Dalam menghitung hasil penjumlahan bilangan bulat negatif dengan negatif ini mereka menggambarkan garis bilangan beserta menuliskan bilangannya dan menetapkan bilangan pertama dalam soal tersebut lalu dijumlahkan dengan bilangan kedua dan digambarkan dengan bentuk setengah lingkaran yang berjalan ke arah kiri.
c. Menjumlah dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat 1 subjek yang menggunakan model menjumlah dengan menggunakan jari. Subjek menjumlahkan kedua bilangan tersebut dengan menggunakan 10 jari jika penjumlahan dari kedua bilangan tersebut memungkinkan menggunakan 10 jari. Tetapi, saat subjek menjumpai soal yang salah satu bilangannya melebihi 10 jari, mereka menjumlahkan dengan bilangan yang bernilai besar dengan cara mengucapkan dengan mulut sedangkan bilangan yang lebih kecil menggunakan jari, kemudian dijumlahkan degan cara mneruskan bbilangan yang telah diucapkan dengan bilangan di jari. Karena kedua bilangan tersebut sama-sama bernilai negatif maka hasil dari penjumlahan tersebut juga bernilai negatif.
d. Menjumlah dengan
menggunakan konsep hutang piutang
8 PEMBAHASAN
Berdasarkan analisis pekerjaan subjek dan wawancara, terdapat empat skim penjumlahan bilangan bulat telah teridentifikasi dalam penelitian ini. Skim terdapat 3 urutan komponen dasar diantaranya adalah pencetus, tindakan dan operasi, serta hasil yang diharapkan. Melalui kajian ini diketahui bahwa semua subjek mempunyai lebih dari satu skim, akan tetapi tetap ditemukan skim yang dominan yang dimiliki oleh subjek.
a. Skim Penjumlahan Bersusun
Skim penjumlahan bersusun ini digunakan subjek untuk menyelesaikan soal yang bersifat simbolik. Pencetus skim ini adalah dua bilangan yang disusun dalam bentuk bersusun, dimana penjumlahan dilakukan mengikuti nilai tempat. Tindakan dan operasi dalam skim ini melibatkan aktivitas penjumlahan mengikuti nilai tempat. Hasil yang diharapkan dari skim ini adalah keseluruhan penjumlahan yang dilakukan disetiap nilai tempat.
Berikut contoh pekerjaan subjek dengan menggunakan penjumlahan bersusun dapat dilihat pada gambar 1 beserta petikan wawancara.
Gambar 1
Skim Penjumlahan Bersusun
P : Peneliti
S : Subjek
P : Pada soal, lima belas ditambah dua
belas hasilnya berapa? S : Dua puluh tujuh
P : Mengerjakan soal tersebut menggunakan cara apa?
S : Dengan menggunakan cara bersusun
P : Jelaskan bagaimana cara menghitung dengan menggunakan cara bersusun!
S : Lima belas ditambah dua belas. Lima ditambah dua hasilnya tujuh. Kemudian, satu ditambah satu hasilnya dua. Jadi, hasil dari lima belas ditambah dua belas adalah dua puluh tujuh
b. Skim Garis Bilangan
9 titik 0 (nol) atau yang lain. Tindakan dan operasi dalam skim ini dengan beberapa pergerakan melibatkan aktivitas berikut melukis garis lurus dengan menandakan titik yang berkaitan, melukis garis dari titik 0 (nol) ke kanan jika bilangan tertambah bernilai positif, melukis garis dari titik 0 (nol) ke kiri jika bilangan tertambah negatif, melukis garis ke kiri atau ke kanan sejauh bilangan penjumlahnya, dan menentukan titik akhir dari pergerakan atau bilangan diantara dua titik terakhir dari dua pergerakan ke kanan atau ke kiri yang bermula dari titik 0 (nol). Hasil yang diharapkan adalah titik terakhir dari pergerakan atau banyaknya unit diantara dua titik pergerakan tersebut.
Berikut contoh pekerjaan subjek dengan menggunakan penjumlahan bersusun dapat dilihat pada gambar 2 beserta petikan wawancara.
Gambar 2 Skim Garis Bilangan
P : Peneliti
S : Subjek
P : Berapakah hasil penjumlahan dari sebelas ditambah empat?
S : Lima belas
P : Mengerjakan soal itu dengan cara apa?
S : Dengan garis bilangan
P : Bagaimana cara menghitung dengan menggunakan garis bilangan?
S : Dari nol berjalan kearah kanan ke bilangan sebelas lalu ditambah empat ke kanan. Jadi, hasil dari dsebelas ditambah empat yaitu lima belas
c. Skim Menjumlah dengan Jari
Skim menjumlah dengan jari ini digunakan subjek untuk menyelesaikan soal yang bersifat simbolik. Pencetus skim ini adalah membetuk jari sejumlah kedua bilangan penjumlahan tersebut. Tindakan dan operasi untuk skim ini melibatkan aktivitas dengan menjumlah kedua bilangan tersebut dengan jari. Hasil yang diharapkan jumlah bilangan terakhir pada penjumlahan bilangan yang telah di bentuk dengan jari.
Berikut adalah petikan wawancara subjek tentang menjumlah dengan menggunakan jari.
P : Peneliti
S : Subjek
P : Pada soal no 1, tiga ditambah lima hasilnya berapa?
S : Hasilnya delapan
P : Mengerjakan soal itu dengan cara apa?
S : Dengan jari
P : Jadi bagaimana cara menghitung dengan menggunkan jari?
S : Jadi, lima di mulut dan pada tangan membentuk jari sebanyak tiga. Kemudian, enam, tujuh, delapan (melanjutkan dengan menjumlahkan bilangan pada jari)
d. Skim Hutang Piutang
10 bernilai negatif sebagai hutang dan bilangan yang bernilai positif sebagai bilangan yang digunakan untuk membayar hutang tersebut. Tindakan dan operasi ini melibatkan aktivitas penjumlahan kedua bilangan tersebut dengan memisalkan bilangan yang bernilai negatif sebagai hutang. Hasil yang diharapkan dari skim ini adalah jika bilangan yang bernilai negatif yang dianggap sebagai hutang lebih besar daripada bilangan positif maka hasilnya akan bernilai negatif, dan jika bilangan yang bernilai positif lebih besar daripada bilangan yang bernilai negatif yang dianggap sebagai hutang maka hasilnya akan bernilai positif.
Berikut adalah petikan wawancara subjek tentang menjumlah dengan menggunakan model hutang piutang.
P : Peneliti
S : Subjek
P : Pada soal nomor 2. Negatif empat ditambah negatif lima hasilnya berapa? dengan cara hutang-hutangan? S : Misalkan negatif itu sebagai
hutang. Jadi hutang empat lalu hutang lagi sebanyak lima. Jadi hutang nya bertambah sembilan P : Sembilan itu hutang atau bukan? S : Iya hutang. Jadi hasilnya negatif
sembilan
Skim penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki siswa yang satu dengan yang lainnya berbeda. Penggunaan skim dalam
berbagai bentuk soal yang dilakukan oleh setiap subjek dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1
Penggunaan Skim Tiap Siswa
Subjek Skim yang Digunakan
AZ 1. Skim Penjumlahan Bersusun
2. Skim Garis Bilangan 3. Skim Hutang Piutang TT 1. Skim Penjumlahan
Bersusun
2. Skim Garis Bilangan 3. Skim Menjumlah dengan
Jari
4. Skim Hutang Piutang CN 1. Skim Penjumlahan
Bersusun
2. Skim Garis Bilangan DV 1. Skim Penjumlahan
Bersusun
2. Skim Garis Bilangan
PENUTUP
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dalam penelitian yang telah dilaksanakan, dapat disimpulkan bahwa terdapat empat skim penjumlahan bilangan bulat siswa SD yang dimiliki oleh 4 subjek. Keempat skim tersebut adalah skim penjumlahan bersusun, skim garis bilangan, skim menjumlah dengan jari dan skim hutang piutang. Dan skim yang banyak digunakan oleh subjek adalah skim penjumlahan bersusun dan skim garis bilangan.
Skim yang telah disebutkan diatas merupakan bagian dari skim penjumlahan bilangan bulat. Dimungkinkan bahwa masih terdapat skim-skim lain yang dimiliki oleh subjek serta masalah-masalah yang diberikan kepada subjek.
SARAN
11 berbagai pendekatan kepada siswa yang memiliki jenis dan kualitas penjumlahan bilangan bulat yang berbeda dengan skim penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki oleh guru. Bagi siswa, diharapkan siswa dapat mengembangkan skim yang dimiliki menjadi skim yang canggih dengan bimbingan dari guru dan menyelesaikan soal penjumlahan bilangan bulat dalam berbagai bentuk serta menggunakan cara yang bervariasi. Sedangkan bagi peneliti lain, melihat keberagaman skim yang dimiliki oleh sejumlah siswa yang menjadi subjek penelitian hendaknya dilakukan penelitian lanjut mengenai berbagai skim yang dimiliki siswa dalam menyelesaikan soal penjumlahan bilangan bulat pada tingkat sekolah dasar agar menjadI evaluasi bagi proses berpikir siswa lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Darhim, 1993. Pendidikan Matematika II. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan
Hackenberg, A. J., & Tillema, E. S. 2009. Students’Whole Number
Multiplicatcative Concepts: A Critical Constructive Resource for Faction Composition Schemes. The Journal of Mathematics Behavior, 1-18
http://eprints.ung.ac.id/554/3/2013-2- 86206-151409469-bab2-10012014124620.pdf
Karso, 1998. Pendidikan Matematika I. Jakarta: CV. Ricardo
Kismiantini, 2008. BSE Dunia Matematika. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional
Kristanto, Faustinus Adven. 2014. Skim Perkalian Bilangan Pecahan Kelas
VI SD Negeri Lopait 02 Tuntang.
Salatiga: Universitas Kristen Satya Wacana
Lexy J, Moleong. 2007. Metodologi
Penelitian Kualitatif. Bandung: Remaja Rosdakarya
Mulyoto. 2010. Perolehan dan Penerapan Pengetahuan. Jurnal Ilmiah Inkoma
Volume 21 Nomor 2, 81-95 Nur Akhsin, 2006. Matematika Untuk
Kelas IV SD/MI. Klaten: Cempaka
Putih
Riska, Kumalasari, Agustina. 2008. Skim Penambahan Bilangan Pecahan.
Salatiga: FKIP Matematika UKSW Smith, Mark K. 2009. Teori Pembelajaran
dan Pengajaran. Jogjakarta: Mirza Media Pustaka
Soewito, Paul. 1991. Pendidikan Matematika I. Jakarta: Departemen
Pendidikan dan Kebudayaan Steffe. 1983. Children’s Algorithms As
Schemes. Educational Studies in
Mathematics pp. 109-125 Sugiyono. 2010. Metode Penelitian
Pendidikan (Pendekatan
Kuantitatif, Kualitatif, dan R&D).
Bandung: Alfabeta
Sugiyono. 2014. Metode Penelitian Kuantitatif, Kualitatif, dan R&D.
12 Sutriyono. 2002. Satya Widya: Skim
Penambahan Bilangan Cacah.
Jurnal Penelitian Pengembangan Kependidikan. Salatiga: FKIP-UKSW
Sutriyono. 2007. Konstruktivisme dalam Pendidikan Matematika. Salatiga: UKSW
Sutriyono. 2012. Skim Pengurangan Bilangan Bulat Siswa SD Kelas 2
