Model Lapisan Fluida Viskos Tipis Akibat
Gaya Gravitasi
II.1 Gambaran Umum Model
Pada bab ini, kita akan merumuskan model matematika dari masalah keti-dakstabilan lapisan fluida tipis yang bergerak turun pada suatu bidang inkli-nasi, dibawah pengaruh gaya gravitasi, seperti pada Gambar II.1. Ketebalan lapisan fluida, h(x,y), diasumsikan sangat kecil dibandingkan panjang bidang, serta fluida yang mengalir diasumsikan adalah fluida viskos dan bersifat tak mampat (incompressible).
Gambar II.1: Model dari lapisan fluida tipis yang mengalir pada suatu bidang inklinasi, dibawah pengaruh gaya gravitasi.
Model matematika dari lapisan fluida tipis dibangun dari Persamaan Konti-nuitas (continuity equation) dan Persamaan Navier-Stokes, serta melibatkan faktor gravitasi sebagai gaya eksternal.
Kondisi batas yang terlibat dalam masalah lapisan fluida tipis adalah kondisi batas pada dua lapis batas (interface), yaitu lapis batas fluida dengan per-mukaan padat(solid) dan fluida dengan udara (permukaan bebas). Pada lapis batas fluida-permukaan padat (z = 0), akan digunakan kondisi batas tidak-slip untuk model prekursor dan penggunaan parameter slip untuk model slip.
Kondisi batas untuk lapis batas fluida-udara (permukaan bebas) adalah kekon-tinuan tegangan geser (shear stress). Hal ini dikarenakan fase udara diasum-sikan tidak viskos. Kondisi batas lain yang digunakan yaitu bahwa terdapat suatu lompatan tekanan melewati lapis batas. Ukuran dari lompatan ini se-banding dengan tegangan permukaan. Jika lapis batas datar, maka lompatan tekanan adalah nol, sedangkan jika lapis batas adalah suatu kurva tak datar, maka lompatan tekanannya adalah suatu fungsi linier dari kurvatur pada per-mukaan bebas.
II.2 Hampiran Lubrikasi
Teori tentang aliran lapisan fluida tipis dikenal sebagai teori lubrikasi, dan merujuk kepada suatu rumus matematika standar yang dikenal sebagai ham-piran lubrikasi [1]. Adapun titik awal untuk memodelkan hamham-piran lubrikasi adalah Persamaan Navier-Stokes.
Perhatikan persamaan Navier-Stokes untuk fluida yang tak mampat, dengan gaya gravitasi sebagai gaya luar :
∂u ∂t + (u· ∇3)u=− 1 ρ∇p+ µ ρ∇ 2 3u+gsinαi−gcosαk, (2.1)
dengan u=u(x, y, z, t) = (u, v, w) adalah vektor kecepatan fluida, dan ∇2 3 = ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2
adalah operator Laplace, p adalah tekanan, g adalah gravitasi, ρ densitas fluida, µ adalah viskositas fluida, dan α adalah sudut inklinasi, serta i dan
k adalah vektor satuan dalam arah x dan z (lihat Gambar II.1). Bagian ke-dua dari ruas kiri menyatakan gaya inersia, sedangkan bagian keke-dua dari ruas kanan menyatakan gaya viskositas dari fluida. Adapun pengaruh gravitasi dinyatakan oleh dua suku terakhir dari ruas kanan.
Untuk memudahkan analisis selanjutnya, kita akan menormalkan (2.1). Mi-salkan = hc/L dengan hc adalah skala untuk z (ketinggian dari lapisan), L adalah skala untuk komponenx dan y, serta U, P, T berturut-turut adalah skala untuk kecepatan, tekanan, dan waktu. Jika diasumsikan hc/L 1,
maka kondisi tak mampat dari fluida , ∇3·u = 0,menyebabkan skala dari w
haruslah Uhc L.
Misalkan t∗ adalah variabel waktu tak berdimensi (hal yang sama untuk va-riabel lainnya), maka diperoleh skala dan vava-riabel tak berdimensi :
t =T t∗, p=P p∗, x=Lx∗, y =Ly∗, z =hcz∗, u=U u∗, v =U v∗, w =Uhc Lw
∗ ,
sehingga dengan menggunakan penskalaan T =L/U dan P = µLU
h2
c
diperoleh persamaan tak berdimensi berikut :
2ReDu ∗ Dt∗ = − ∂p∗ ∂x∗ + 2 ∂2u∗ ∂x∗ + ∂2u∗ ∂y∗2 + ∂ 2u∗ ∂z∗2 + h2 cρ µUgsinα, 2ReDv ∗ Dt∗ = − ∂p∗ ∂y∗ + 2 ∂2v∗ ∂x∗2 + ∂2v∗ ∂y∗2 +∂ 2v∗ ∂z∗2, 4ReDw ∗ Dt∗ = − ∂p∗ ∂z + 4 ∂2w∗ ∂x∗2 + ∂2w∗ ∂y∗2 +2∂ 2w∗ ∂z∗2 − hc Ltanα h2 cρ µUgsinα, dimana D Dt∗ = ∂ ∂t∗ +u ∗ ∂ ∂x∗ +v ∗ ∂ ∂y∗ +w ∗ ∂ ∂z∗
adalah turunan total, dan Re = U Lρ
µ adalah bilangan Reynold, yaitu bilangan
yang menyatakan perbandingan antara gaya inersia dengan gaya viskositas dari fluida. Dalam teori lubrikasi, diasumsikan bahwa Re 1.
Misalkan u= (v, w) dengan v = (u, v), serta diasumsikan tanα =O hc L ,
maka diperoleh hampiran lubrikasi dalam bentuk berdimensi : ∇2p = µ ∂2v ∂z2 +ρgsinαi, (2.2) ∂p ∂z = −ρgcosα, (2.3) dengan ∇2 = (∂x, ∂y).
Selanjutnya, p akan dihitung sebagai fungsi dari (x, y). Dengan menginte-gralkan Persamaan (2.3), diperoleh :
p=p(z) =−(ρgcosα)z+C,
denganC adalah suatu konstanta. Jikap dihitung pada z=h(x, y) diperoleh
p(h) = −(ρgcosα)h+C,
sehingga
p=−ρg(z−h) cosα+p(h).
Dengan menggunakan kondisi batas Laplace-Young p(h) =−γκ+p0, dengan
κ adalah kurvatur dari batas, γ adalah tegangan permukaan, dan p0 adalah
tekanan atmosfir dalam fase udara, maka :
p=−ρg(z−h) cosα−γκ+p0. (2.4)
Selanjutnya, kita akan menghitungvdengan mengintegralkan Persamaan (2.2) dua kali, diperoleh :
v= 1 µ∇2p z2 2 − ρg µ (sinα) z2 2 i+Az+B. (2.5)
Nilai A dan B dapat diperoleh dengan mensubstistusi kondisi batas dari model. Kondisi batas pada lapis batas fluida-udara, z =h(x, y), adalah :
∂v
Adapun kondisi batas untuk lapis batas fluida-permukaan padat, z = 0, ter-gantung kepada pemilihan model. Pada model prekursor digunakan kondisi batas tidak slip, yaitu
v= 0, (2.7)
sedangkan pada model slip digunakan kondisi batas : v= β 3hµ ∂v ∂z , (2.8)
dengan β adalah konstanta slip.
Misalkan P =ρghcosα−γκ, maka dengan mensubstitusi kondisi batas (2.6) dan (2.7) diperoleh nilai A dan B untuk model prekursor, yaitu:
A =− 1 µ∇2P − ρg µ sinαi h dan B= 0.
Dengan demikian, diperoleh kecepatan aliran fluida untuk model prekursor: v= 1 µ∇2P − ρg µ sinαi z2 2 −hz . (2.9)
Adapun untuk model slip, dengan menggunakan kondisi batas (2.6) dan (2.8) diperoleh kecepatan aliran fluida:
v= 1 µ∇2P − ρg µ sinαi z2 2 −hz− βµ 3 . (2.10)
Definisikan rata-rata v sebagai :
hvi= 1 h h Z 0 vdz =−h 2 3µ(∇2P −ρgsinαi).
Selanjutnya, dengan menggunakan konservasi massa :
∂h
∂t +∇ ·(hv) = 0
dengan v = hvi, dan ∇ = ∇2, serta menggunakan hampiran untuk kurvatur
• Untuk model prekursor ∂h ∂t =− 1 3µ∇ · γh3∇∇2h−ρgh3∇hcosα+ρgh3sinαi . (2.11)
• Untuk model slip
∂h ∂t = − 1 3µ∇ · γ h3+µβh∇∇2h−ρg h3+µβh ∇hcosα +ρg h3+µβhsinαii. (2.12) Persamaan (2.11) dan (2.12) adalah persamaan differensial parsial (PDP) orde empat yang menyatakan dinamika dari ketebalan fluida, h(x, y, t). Suku orde empat dari persamaan ini menyatakan pengaruh tegangan permukaan, sedang-kan dua suku terakhir menyatasedang-kan pengaruh dari gravitasi.
II.3 Persamaan Lapisan Fluida Tipis Tak Berdimensi
Langkah pertama untuk mencari solusi dari Persamaan (2.11) dan (2.12) adalah membawa persamaan tersebut ke bentuk tak berdimensi. Misalkan tinggi fluida, h, diskalakan oleh hc yaitu tinggi fluida pada bagian belakang garis
kontak (lihat Gambar II.2). Misalkan pula xc skala untuk x dan y, serta tc
adalah skala untuk t, maka diperoleh variabel-variabel tak berdimensi: ¯ h= h hc ,x¯= x xc ,y¯= y xc ,¯t= t tc . (2.13) a c h c x
Gambar II.2: Model dari lapisan fluida tipis yang diskalakan.
Didefinisikan panjang kapiler a = pγ/ρg, dan bilangan kapiler Ca = µU/γ.
Panjang kapiler a menyatakan seberapa besar pengaruh tegangan permukaan terhadap gravitasi, sedangkan bilangan kapiler Ca menyatakan perbandingan antara kekentalan fluida dengan tegangan permukaan.
Misalkan U adalah skala untuk kecepatan, maka dengan menggunakan skala xc = a2h c sinα 1/3 , tc = 3µ γ a2x c h2 csinα , dan U = xc tc = 1 3µh 2 cρgsinα, (2.14)
diperoleh persamaan lapisan fluida tipis tak berdimensi untuk model prekursor yaitu : ∂h ∂t =−∇ · h 3∇∇2h +D(α)∇ · h3∇h − ∂h 3 ∂x , (2.15)
dengan D(α) = (3Ca)1/3cotα, yang menyatakan ukuran dari komponen gra-vitasi (normal).
Adapun untuk model slip, digunakan skala tambahan yaitu β = h
2 c µ ¯ β, dimana ¯
β adalah parameter slip tak berdimensi. Dengan demikian, persamaan lapisan fluida tipis tak berdimensi untuk model slip adalah (ditulis dengan menghi-langkan tanda garis) :
∂h ∂t =−∇ · h 3+βh ∇∇2h+D(α)∇ · h3+βh ∇h−∂(h 3+βh) ∂x . (2.16)
Persamaan (2.15) dan (2.16) yang selanjutnya akan digunakan untuk menga-nalisis kestabilan dari aliran fluida yang mengalir pada bidang inklinasi.
Perhatikan bahwa dalam hampiran lubrikasi yang digunakan dalam penu-runan persamaan lapisan fluida tipis, mensyaratkan bahwa kemiringan dari permukaan bebas adalah kecil. Syarat ini mengakibatkan
[(hc/a)√sinα]2/3 1.
Dengan demikian, ketebalan maksimum dari lapisan fluida yang masih meme-nuhi syarat hampiran lubrikasi tergantung kepadaα. Jika αkecil maka syarat ini selalu dipenuhi, tetapi untuk α yang besar maka syarat ini hanya dipenuhi untuk lapisan fluida yang sangat tipis.
