MAKALAH PENDIDIKAN MATEMATIKA SD 1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN PECAHAN. Dosen Pengampu : Dra. Siti Kamsiyati, M.Pd.

i

Dosen Pengampu : Dra. Siti Kamsiyati, M.Pd.

Disusun oleh Kelompok 8/3C

1. Rahma Natatama K7116152 2. Rinda Suci Amalia K7116167 3. Rizkie Ika Fauziyyah K7116172 4. Sochib Yusuf Alamin K7116190

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET 2017

ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan” untuk memenuhi tugas mata kuliah Pendidikan Matematika SD 1.

Ucapan terimakasih juga ditujukan kepada pihak-pihak yang turut membantu dan memberi dukungan terhadap kepenulisan makalah ini, terutama:

1. Dra. Siti Kamsiyatu, M.Pd selaku dosen pengampu Mata Kuliah Pendidikan Matematika SD yang telah memberikan bimbingan dalam kepenulisan makalah ini.

2. Teman-teman kelompok 8 yang telah membantu dalam kepenulisan makalah ini.

Kami menyadari bahwa makalah ini masih memiliki kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun dari para pembaca sangat dibutuhkan untuk penyempurnaan makalah ini.

Sekian, semoga makalah ini dapat memberikan pengetahuan yang bermanfaat bagi pembaca

Surakarta, 21 November 2017

iii

Kata pengantar ... ii

Daftar Isi... iii

Bab I Pendahuluan ... 1 A. Latar Belakang ... 1 B. Rumusan Masalah ... 1 C. Tujuan Penulisan ... 2 D. Manfaat Penulisan ... 2 Bab II Pembahasan ... 3 A. Pengertian Pecahan ... 3

B. Lambang Bilangan Pecahan ... 3

C. Penjumlahan Pecahan ... 6

D. Pengurangan Pecahan ... 11

Bab III Penutup ... 14

A. Simpulan ... 14

B. Saran ... 14

1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang

Pecahan merupakan salah satu kajian inti dari materi matematika yang dipelajari peserta didik di Sekolah Dasar (SD). Pembahasan materinya menitikberatkan pada pengerjaan (operasi) hitung dasar yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, baik untuk pecahan biasa maupun campuran .

Pada pembelajaran matematika di Sekolah Dasar, konsep pecahan dan operasi merupakan konsep yang penting untuk dikuasai oleh siswa. Akan tetapi menurut Muhsetyo, dkk (2004:3.32) “kenyataan di sekolah dasar menunjukkan bahwa banyak siswa mengalami kesulitan memahami pecahan dan operasinya, dan banyak guru Sekolah Dasar menyatakan mengalami kesulitan untuk mengajarkan pecahan .Para guru cenderung menggunakan cara yang mekanistik, yaitu memberikan aturan secara langsung untuk dihafal, diingat dan diterapkan.”

Pembelajaran secara mekanistik berdampak pada ketidakbermaknaan proses belajar siswa karena matematika disajikan terpisah dari konteks yang bisa dipahami siswa pada awal pembelajaran.Sehingga konsep matematika akan cepat dilupakan oleh siswa dan siswa pun akan sulit menerapkan konsep tersebut.

B. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan bilangan pecahan? 2. Bagaimana lambang bilangan pecahan?

3. Bagaimana penjumlahan pada bilangan pecahan? 4. Bagaimana pengurangan pada bilangan pecahan?

C. Tujuan

1. Mengetahui pengertian dari bilangan pecahan 2. Mengetahui lambang bilangan pecahan

3. Mengetahui penjumlahan pada bilangan pecahan 4. Mengetahui pengurangan pada bilangan pecahan

D. Manfaat

1. Menginformasikan pengertian dari bilangan pecahan 2. Menginformasikan lambang bilangan pecahan

3. Menginformasikan penjumlahan pada bilangan pecahan 4. Menginformasikan pengurangan pada bilangan pecahan

3 BAB II PEMBAHASAN A. Bilangan Pecahan

Kata pecahan yang berasal dari bahasa Latin fractio yang berarti memecah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil atau bagian dari keseluruhan. Bilangan pecahan adalah bilangan yang menyatakan sebagai bilangan pecahan dari suatu pecahan. Bilangan pecahan memiliki pembilang dan juga penyebut. Pada bentuk bilangan ini, pembilang dibaca terlebih dahulu baru disusul dengan penyebut (Sukayati, 2014).

B. Lambang Bilangan Pecahan

Penulisan lambang pecahan meliputi 2 bagian yaitu pembilang dan penyebut yang dipisahkan oleh garis lurus (–) dan bukan garis miring (/). Contoh 1

2, 1 3,

1

4 dan seterusnya, bukan 1/2, 1/3, 1/4. Ketika menyebutkan suatu bilangan pecahan, diantara pembilang dan penyebut harus disisipkan kata "per". Misalkan untuk bilangan 3

5 maka dapat disebut dengan "tiga per lima" begitu juga dengan bilangan 1

4 dapat disebut "satu per empat" atau "seperempat" (Sukayati, 2014).

1. Sebuah lingkaran dibagi menjadi 2 bagian yang sama luasnya, maka daerah yang diberi bayang-bayang menyatakan 1 bagian dari 2 bagian atau “setengah” yang diberi lambang “1

2” dan dibaca “satu per dua” atau “seperdua” atau “setengah”.

2. Sebuah bujur sangkar dibagi menjadi 4 bagian yang sama luasnya, maka daerah yang diberi bayang-bayang menyatakan 1 bagian dari 4 bagian atau “seperempat” yang diberi lambang “1

4” dan dibaca “satu per empat” atau “seperempat”.

3. Sebuah bujur sangkar dibagi menjadi 4 bagian yang sama luasnya, maka daerah yang diberi bayang-bayang menyatakan 2 bagian dari 4 bagian atau “dua per empat” yang diberi lambang “ 2

4”. Terlihat bahwa nilai bilangan 2

4 sama dengan setengah. Maka 2 4 dan

1

2 merupakan dua bilangan yang ekuivalen atau seharga.

5

Jadi dua pecahan yang ekuivalen adalah dua pecahan yang lambangnya berbeda tetapi mempunyai nilai pecahan yang sama. Secara umum pecahan dilambangkan sebagai a

b dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan pecahan memiliki beberapa macam jenis, diantaranya : 1. Pecahan sederhana

Pecahan sederhana yaitu pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan-bilangan bulat.

Contoh: 2 3, 4 9, 11 15, dst. 2. Pecahan murni

Pecahan murni adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebut. Contoh: 1 2, 1 3, 3 4, dst. 3. Pecahan tidak murni

Pecahan tidak murni adalah pecahan yang pembilangnya lebih besar daripada penyebut. Contoh: 7 5, 12 10, 4 3, dst. 4. Pecahan mesir

Pecahan mesir adalah pecahan yang memiliki pembilang “1”. Contoh: 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, dst.

5. Pecahan campuran

Pecahan campuran ialah suatu bilangan yang terbentuk atas bilangan acah dan pecahan biasa.

Contoh: 4 1 2, 7 1 3, 9 3 4, dst. (Siti Kamsiyati, 2012)

C. Penjumlahan Bilangan Pecahan

Penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan memerlukan alat peraga yang lebih canggih dari pada alat peraga yang digunakan untuk bilangan cacah, sebab dalam hal ini berhubungan dengan pasangan bilangan, penamaan kembali sehingga penyebutnya sama dan penjumlahan hanya pada pembilangnya. Pengajaran perlu sama dan penjumlahan hanya pada pembilangnya. Pengajaran perlu hati-hati untuk menghindarkan murid dari kesalahpahaman, seperti yang terjadi pada penjumlahan berikut : 1

2+ 1 3= 1+1 2+1= 2 5

Pembelajaran penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan di kelas rendah, diawali dengan pecahan-pecahan yang penyebutnya sama dan dengan alat peraga daerah pecahan seperti yang telah diuraikan di muka.

1. Pecahan dengan Penyebut Sama Contohnya dalam mencari 1

3+ 1

3 , dilakukan dengan kartu bilangan pecahan bentuk persegi panjang (atau juring lingkaran) sebagai berikut :

a. Mengambil kartu bilangan pecahan yang terbagi atas 3 bagian besar dengan 1 daerah terbayang-bayang yang berlabel 1

3 dan 2 daerah lainnya kosong (putih) sebagai bilangan pecah tertambah

b. Mengambil 1 potongan daerah 1

3 yang lepas sebagai penambah kemudian letakkan pada kartu yang pertama tadi di daerah yang masih kosong

c. Terlihat bahwa kartu bilangan pecahan menunjukkan 2 3 d. Jadi 1 3+ 1 3 = 1+1 3 = 2 3

7

Cara diatas dapat juga dikerjakan dengan cara menggambar daerah pecahan berupa persegi panjang.

a. Menggambar daerah persegi panjang dan membagi menjadi 3 bagian yang sama besar

b. Memberikan baying-bayang pada 1 daerah pertiga dan menuliskan label 1

3. Daerah baying-bayang sebagai tertambah

c. Memberi bayang-bayang lagi pada 1 daerah pertiga dengan warna yang berbeda dari yang pertama. Daerah baying-bayang yang kedua sebagai penambah.

d. Hasil terakhir menyatakan jumlah yakni 2 3

Cara menerangkan tersebut dilakukan beberapa kali dengan bilangan-bilangan pecahan yang berbeda siswa memahaminya tanpa alat peraga, dan siswa mengetahui algoritma penjumlahan bilangan pecahan yang mempunyai algoritma sama, yakni:

𝑎 𝑏+ 𝑐 𝑑 = 𝑎 + 𝑐 𝑏

Penggunaan alat peraga sifatnya hanya menghantarkan siswa untuk memahami konsep. Bila siswa telah emahami, maka guru tidak perlu lagi menggunakan alat peraga

2. Pecahan dengan Penyebut Berbeda Untuk mencari 1

2+

1

3 dilakukan dengan mengarahkan kepada siswa untuk mencari lebih dahulu pecahan-pecahan yang ekuivalen dengan 1

2 dan 1 3 yang keduanya mempunyai penyebut yang sama. Kemudian siswa disuruh mengerjakannya seperti contoh-contoh yang telah diberikannya. Jadi 1 2+ 1 3 = 3 6+ 2 6= 3+2 6 = 5 6

Untuk lebih memahami algoritma, langkahnya dapat diperpanjang dengan mengacu pada hukum yang menyatakan bahwa sebuah pecahan tetap ekuivalen bila pembilang dan penyebut dikalikan denga bilangan yang sama. Jadi langkah yang akan panjang sebagai berikut :

1 2+ 1 3= 1𝑥3 2𝑥3+ 1𝑥2 3𝑥2 = 3 6+ 2 6= 3 + 2 6 = 5 6

Jika kedua pecahan mempunyai penyebut yang tidak sama dan kedua penyebut tersebut tidak koprim (FPB kedua penyebut tersebut 1), maka kedua pecahan dijadikan menjadi pecahan-pecahan yang ekuivalen dengan penyebut KPK dan kedua penyebut

5 18+ 7 27= ⋯ 18 = 2x32 24 = 2x3x4 KPK [18,24] = 2x32x4 = 74 Jadi 5 18+ 7 24= 5𝑥4 18𝑥4+ 7𝑥3 24𝑥3 = 20 74+ 21 74= 20 + 21 74 = 41 74 3. Pecahan Campuran

Bila kedua pecahan merupakan pecahan-pecahan campuran maka penyelesaiannya digunakan hukum komutatif (pertukaran) dan hukum asosiatif (pengelompokan) 23 5 18+ 31 7 24= (23 + 5 18) + (31 + 7 24) = (23 + 31) + (5 18+ 7 24) = 54 + (20 72+ 21 72) = 54 + (20+21 72 ) = 54 + 41 72 = 5441 72

9

Pada penjumlahan yang hasilnya suatu pecahan tidak murni (pembilang lebih besar dari penyebut), seyogyanya diubah menjadi pecahan campuran, agar siswa terbiasa menyerdehanakan bentuk pecahan.

7 8+ 7 10+ 7 12= ⋯ 8 = 23 10 = 2x5 12 = 22x3 KPK [8,10,12] = 120 7 8+ 7 10+ 7 12= 7𝑥15 8𝑥15+ 7𝑥12 10𝑥12+ 7𝑥10 12𝑥10 = 105 120+ 84 120+ 70 120 259 120 240 + 19 120 240 120+ 19 120 2 + 19 120 2 19 120

4. Sifat Penjumlahan Pecahan

Sifat-sifat penjumlahan bilangan pecahan sama dengan sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat, yaitu

a. Sifat Tertutup

Sifat tertutup maksudnya bahwa pada penjumlahan dan pengurangan pecahan akan selalu menghasilkan bilangan pecahan juga. Hal ini dapat dituliskan bahwa “untuk setiap bilangan pecahan a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan pecahan”

3 4+ 1 2= 5 4 b. Komutatif

Penjumlahan dan pengurangan dua bilangan pecahan selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan bahwa “untuk setiap bilangan pecahan a dan b, selalu berlaku a + b = b + a”.

Contoh : 3 4+ 1 2= 1 2+ 3 4 c. Asosiatif

Sifat asosiatif (pengelompokan) pada penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan menyatakan bahwa “untuk setiap bilangan pecahan a, b, dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

Contoh : 23 4+ 1 2= (2 + 3 4) + 1 2= 2 + ( 3 4+ 1 2) d. Unsur Identitas

Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat maupun pecahan. Artinya, untuk sebarang bilangan pecahan apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan pecahan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan bahwa “Untuk sebarang bilangan pecahan a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a.

Contoh : 1 2+ 0 = 0 + 1 2= 1 2 e. Invers

Invers suatu bilangan pecahan artinya lawan dari bilangan pecahan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas yaitu 0 (nol). Invers dari bilangan pecahan a adalah bilangan pecahan –a, sedangkan invers

11

dari bilangan pecahan –a adalah bilangan pecahan a. Dengan kata lain, untuk setiap bilangan pecahan selain nol pasti mempunyai invers, sedemikian sehingga berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0.

Contoh : 1 2+ (− 1 2) = (− 1 2) + 1 2= 0

D. Pengurangan Bilangan Pecahan 1. Pecahan dengan Penyebut Sama

Contoh lainnya yaitu mencari 1 3−

1

4 = …. dilakukan peragaan dengan kartu bilangan pecahan

a. Mengambil kartu bilangan pecahan yang terbagi atas 4 bagian yang sama besar dengan 3 daerah terbayang-bayang yang masing-masing daerah 1

4 sebagai bilangan pecahan terkurang (yang dikurangi) b. Mengambil 1 potongan daerah 1

4 yang lepas dan berwarna putih sebagai pengurang, kemudian meletakkan pada kartu yang pertama tadi di daerah yang sudah ada baying-bayangnya, tepat pada satu daerah bayang bayang

c. Sisa derah terbayang-bayang menunjukkan selisihnya (hasil pengurangnan) yakni 2 4. d. Jadi 3 4− 1 4 = 2 4 Catatan :

Cara menerangkan tersebut dilakukan beberapa kali dengan bilangan-bilangan pecahan yang berbeda siswa memahaminya tanpa alat peraga, dan siswa mengetahui algoritma penguranga bilangan pecahan yang mempunyai algoritma sama, yakni:

𝑎 𝑏− 𝑐 𝑑 = 𝑎 − 𝑐 𝑏

Penggunaan alat peraga sifatnya hanya menghantarkan siswa untuk memahami konsep. Bila siswa telah emahami, maka guru tidak perlu lagi menggunakan alat peraga.

2. Pecahan dengan Penyebut Berbeda

Bila penyebut tidak sama, maka harus menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Yaitu dengan mengacu pada hukum yang menyatakan bahwa sebuah pecahan tetap ekuivalen bila pembilang dan penyebut dikalikan denga bilangan yang sama. Jadi langkah yang akan panjang sebagai berikut 7 8− 3 5= 7𝑥5 8𝑥5− 3𝑥8 5𝑥8= 35 40− 24 40= 11 40

Jika kedua pecahan mempunyai penyebut yang tidak sama dan kedua penyebut tersebut tidak koprim (FPB kedua penyebut tersebut 1), maka kedua pecahan dijadikan menjadi pecahan-pecahan yang ekuivalen dengan penyebut KPK dan kedua penyebut

7 24− 5 18= ⋯ 18 = 2x32 24 = 2x3x4 KPK [18,24] = 2x32x4 = 74 Jadi 7 24− 5 18= 7𝑥3 24𝑥3− 5𝑥4 18𝑥4 = 21 74− 20 74= 21 − 20 74 = 1 74 3. Pecahan Campuran

Bila kedua pecahan merupakan pecahan-pecahan campuran maka penyelesaiannya digunakan hukum komutatif (pertukaran) dan hukum asosiatif (pengelompokan) 51 2− 2 3 4= (5 + 1 2) + (2 + 3 4) (5 − 2) + (1 2− 3 4)

13 = 3+ 1 2− 3 4 = 2+1 + 1 2− 3 4 = 2+1−3 4+ 1 2 = 2+ 4 4− 3 4+ 1 2 = 2+1 4+ 1 2 = 2+1 4+ 2 4 = 23 4

14 BAB III PENUTUP A. Simpulan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang menyatakan sebagai bilangan pecahan dari suatu pecahan. Bilangan pecahan memiliki pembilang dan juga penyebut. Pada bentuk bilangan ini, pembilang dibaca terlebih dahulu baru disusul dengan penyebut. Penulisan lambang pecahan meliputi 2 bagian yaitu pembilang dan penyebut yang dipisahkan oleh garis lurus (–) dan bukan garis miring (/). Contoh 1

2, 1 3,

1

4 dan seterusnya, bukan 1/2, 1/3, 1/4. Ketika menyebutkan suatu bilangan pecahan, diantara pembilang dan penyebut harus disisipkan kata "per". Misalkan untuk bilangan 3

5 maka dapat disebut dengan "tiga per lima" begitu juga dengan bilangan 1

4 dapat disebut "satu per empat" atau "seperempat". Penjumlahan dan pengurangan pada pecahan dilakukan pada penjumlahan dengan penyebut sama, penyebut berbeda, dan operasi campuran.

B. Saran

Sebagai seorang calon pendidik hendaknya setiap mahasiswa dapat memahami setiap materi yang kelak akan diajarkan di sekolah dasar termasuk materi penjumlahan dan pengurangan pecahan. Mahasiswa juga diharapkan dapat menggunakan alat peraga yang dapat memahamkan konsep pecahan dengan benar kepada siswa.

15

DAFTAR PUSTAKA

Kamsiyati, Siti. 2012. Pembelajaran Matematika I untuk Guru SD dan Calon Guru SD. Surakarta: UNS Press.

Sukayati. 2014. Pembelajaran Konsep Dasar Pecahan. (Diambil dari

www.pondokmatematikasd.com diakses pada 19 November 2017 pukul 19.55 WIB)