BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

(1)

1 BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika bersifat universal dan banyak kaitannya dengan kehidupan nyata. Matematika berperan sebagai ratu ilmu sekaligus sebagai pelayan ilmu-ilmu yang lain. Kajian matematika yang berperan sebagai pelayan ilmu-ilmu lain biasa disebut sebagai matematika terapan.

Salah satu kajian matematika yang konsep-konsepnya banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah kalkulus diferensial. Kalkulus diferensial merupakan bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan (Purcell, Varberg & Rigdon, 2004). Kalkulus diferensial dapat digunakan untuk menentukan model matematika dari peristiwa terjadinya pelangi.

Pelangi adalah salah satu gejala alam yang terjadi akibat dari sinar matahari yang memasuki butir air hujan yang mengalami proses pembiasan, pemantulan dan pendispersian cahaya. Butiran air hujan dapat membiaskan dan mendispersi cahaya seperti sebuah prisma kaca. Pembiasan ini terjadi saat cahaya berpindah dari medium satu ke medium yang lain. Prisma kaca juga dapat menguraikan cahaya putih menjadi komponen warna yang berlainan.

Warna cahaya yang berlainan memiliki frekuensi yang berbeda sehingga memiliki kecepatan tempuh yang berbeda saat memasuki prisma kaca. Cahaya yang memiliki kecepatan rendah akan dibiaskan lebih tajam ketika berpindah dari udara ke prisma kaca. Cahaya yang memasuki prisma kaca akan terbias sebanyak dua kali yaitu ketika memasuki dan keluar dari prisma kaca sehingga terjadi penyebaran cahaya (dispersi).

Proses terjadinya pelangi mirip dengan peristiwa pembiasan dan pendispersian cahaya pada prisma kaca. Cahaya matahari yang bersinar melalui butiran air hujan akan mengalami pembiasan dan pendispersian cahaya. Cahaya matahari akan diuraikan menjadi beberapa komponen warna. Komponen warna yang dihasilkan adalah merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila dan ungu. Jadi, cahaya matahari yang

(2)

2

menembus dan meninggalkan tetes air hujan akan dibiaskan dan diuraikan menjadi ketujuh komponen warna yang membentuk pelangi.

Pelangi yang terbentuk dapat dilihat dengan baik saat sudut pengamat pas dalam melihat pelangi. Sudut inilah yang disebut dengan sudut pelangi. Posisi pengamat harus berada di antara matahari dan tetesan air dengan matahari di belakang pengamat. Matahari, mata pengamat dan pusat busur pelangi harus berada dalam satu garis lurus. Sudut pelangi dari setiap warna pelangi berbeda. Hal inilah yang membuat pelangi tersusun dari tujuh warna.

Pelangi terdiri atas pelangi primer dan sekunder (Jenkins & White, 1960). Pelangi primer terbentuk saat cahaya matahari dipantulkan hanya satu kali ketika menembus tetes air hujan. Cahaya matahari diuraikan pada waktu memasuki dan meninggalkan tetes air hujan tersebut. Pelangi sekunder terbentuk saat cahaya matahari dipantulkan dua kali oleh tetes air hujan dan memancar ke luar dengan sudut yang lebih tajam ke arah tanah (Jenkins & White, 1960).

Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk mengetahui model matematika dari pelangi melalui kalkulus diferensial. Dari model matematika itu dapat dicari besarnya sudut pelangi dan besarnya sudut tiap-tiap warna pelangi tersebut. Selain itu, diharapkan makalah ini nantinya dapat bermanfaat bagi seseorang yang aktivitasnya membutuhkan interaksi dengan pelangi. Seperti fotografer, pemilik tempat wisata dan lain-lain. Sehingga penulis mengambil judul “Model Matematika Terjadinya Pelangi”

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas dapat disusun rumusan masalah yaitu sebagai berikut.

1. Bagaimanakah model matematika terjadinya pelangi? 2. Berapakah besar sudut tiap warna pelangi primer?

3. Bagaimana sudut pandang pengamat agar dapat melihat pelangi dengan optimum?

(3)

3 1.3 Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan makalah ini yaitu sebagai berikut.

1. Untuk mengetahui model matematika terjadinya pelangi. 2. Untuk mengetahui besar sudut tiap warna pelangi primer.

3. Untuk mengetahui sudut pandang pengamat agar dapat melihat pelangi dengan optimum?

1.4 Manfaat Penulisan

Adapun manfaat yang diperoleh dari penulisan makalah ini yaitu sebagai berikut.

1. Bagi Pembaca

Melalui makalah ini pembaca dapat mengetahui model matematika dari terjadinya pelangi.

2. Bagi Penulis

Penulis mendapatkan wawasan baru di bidang matematika khususnya pada matematika terapan terkait dengan bagaimana terjadinya pelangi.

1.5 Batasan Masalah

Pada makalah ini penulis hanya mengkaji model matematika dari bagaimana proses terjadinya pelangi namun hanya mengkaji warna pelangi primer, sudut pelangi primer dan sudut pelangi dari tiap warna pelangi primer.

(4)

4 BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Turunan Sebuah Fungsi

Definisi Turunan:

Turunan sebuah fungsi 𝑓 adalah fungsi lain 𝑓′ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada pada sebarang bilangan 𝑐 adalah

𝑓′_{(𝑐) = lim} ℎ→0

𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ

Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞. Teorema A (Aturan Konstanta):

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘 dengan 𝑘 suatu konstanta, maka untuk sebarang 𝑥, 𝑓′_{(𝑥) = 0;} yakni 𝐷_𝑥 = 0 Bukti: 𝑓′(𝑥) = lim ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ = limℎ→0 𝑘 − 𝑘 ℎ = limℎ→00 = 0 Teorema B (Aturan Fungsi Identitas):

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥, maka 𝑓′(𝑥) = 1; yakni 𝐷_𝑥 = 1 Bukti: 𝑓′(𝑥) = lim ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ = limℎ→0 𝑥 + ℎ − 𝑥 ℎ = limℎ→0 1 1= 1 Teorema C (Aturan Pangkat):

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, dengan 𝑛 bilangan bulat positi, maka 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1_;_yakni

𝐷_𝑥(𝑥𝑛_{) = 𝑛𝑥}𝑛−1 Bukti: 𝑓′_{(𝑥) = lim} ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ = limℎ→0 (𝑥 + ℎ)𝑛_{− 𝑥}𝑛 ℎ

(5)

5 = lim ℎ→0 𝑥𝑛+ 𝑛𝑥𝑛−1ℎ + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−1+ ℎ𝑛− 𝑥𝑛 ℎ = lim ℎ→0 ℎ[𝑛𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−2+ ℎ𝑛− 𝑥𝑛−1] ℎ

Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunya ℎ sebagai faktor , sehingga memiliki limit sama dengan nol bila ℎ mendekati nol. Jadi

𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 Teorema H (Aturan Hasilbagi):

Andaikan 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan denga 𝑔(𝑥) ≠ 0. Maka (𝑓 𝑔) ′ (𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑓 ′_{(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)} 𝑔2_(𝑥) Yakni, 𝐷_𝑥(𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝐷𝑥𝑔(𝑥) 𝑔2_(𝑥) Bukti: Andaikan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥). Maka 𝐹′_(𝑥)_{= lim} ℎ→0 𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥) ℎ = lim ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) 𝑔(𝑥 + ℎ)− 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ = lim ℎ→0 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥 + ℎ) ℎ . 1 𝑔(𝑥)𝑔(𝑥 + ℎ) = lim ℎ→0[ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥 + ℎ) ℎ . 1 𝑔(𝑥)𝑔(𝑥 + ℎ)] = lim ℎ→0{[𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ − 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) ℎ ] . 1 𝑔(𝑥)𝑔(𝑥 + ℎ)} = [𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] 1 𝑔(𝑥)𝑔(𝑥)

(6)

6 2.2 Nilai Maksimum dan Minimum

Definisi 1

Fungsi 𝑓 mempunyai maksimum mutlak (atau maksimum global) di 𝑐 jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝐷, dengan 𝐷 adalah daerah asal 𝑓 . Bilangan 𝑓 (𝑐) disebut nilai maksimum 𝑓 pada 𝐷. Secara serupa, 𝑓 mempunyai minimum mutlak di 𝑐 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝐷 dan bilangan 𝑓(𝑐) disebut nilai minimum 𝑓 pada 𝐷. Nilai maksimum dan minimum 𝑓 disebut nilai ekstrim 𝑓 (Stewart J., 1998:248). Definisi 2

Dipunyai fungsi 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅.

(a) Jika terdapat suatu selang 𝐷 ⊂ 𝑅 yang memuat 𝑐 sehingga berlaku (𝑐 ) ≥ 𝑓 ( 𝑥 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝐷 , maka 𝑓 (𝑐) disebut nilai maksimum relatif 𝑓.

(b) Jika terdapat suatu selang 𝐷 ⊂ 𝑅 yang memuat 𝑐 sehingga berlaku 𝑓 (𝑐 ) ≤ 𝑓 ( 𝑥 ) ∀ 𝑥 ∈ 𝐷, maka 𝑓 (𝑐) disebut nilai minimum relatif 𝑓.

2.3 Cahaya

Cahaya berjalan dalam lintasan yang berbentuk garis lurus yang disebut berkas cahaya (Giancoli, 2001). Laju cahaya di dalam medium dengan laju cahaya di ruang hampa adalah berbeda. Salah satu sifat cahaya adalah cahaya dapat dipantulkan dan dapat dibiaskan (Jenkins & White, 1960). Cahaya yang mengenai logam sebagian besar dipantulkan sedangkan cahaya yang mengenai benda transparan akan dibiaskan. Cahaya dapat diuraikan menjadi beberapa komponen warna apabila memasuki sebuah prisma kaca (Giancoli, 2001).

a. Indeks Bias Cahaya

Laju cahaya di dalam medium seperti kaca, air atau udara ditentukan oleh indeks bias 𝑛 yang didefinisikan sebagai perbandingan laju cahaya dalam ruang hampa 𝑐 terhadap laju tersebut dalam medium (Giancoli, 2001).

(7)

7

𝑛 = 𝑐 𝑣 dengan 𝑐 = 3 𝑥 108 𝑚/𝑠.

b. Hukum Pemantulan dan Pembiasan Cahaya

Pada gambar tersebut mengilustrasikan cahaya yang datang ke permukaan air sebagian ada yang di pantulkan dan sebagian lagi dibiaskan saat masuk ke dalam air. 𝜃1 adalah sudut datang, 𝜃1′ adalah sudut pantul, dan 𝜃2 adalah sudut bias.

Hukum tentang pemantulan dan pembiasan cahaya adalah sebagai berikut.

a. Sinar yang dipantulkan dan dibiaskan terletak pada satu bidang yang dibentuk oleh sinar datang dan normal bidang batas di titik datang.

b. Untuk pemantulan berlaku sudut datang = sudut pantul, 𝜃₁′ = 𝜃₁

c. Untuk pembiasan berlaku perbandingan sinus sudut datang dengan sinus sudut bias berharga konstan,

𝑠𝑖𝑛𝜃1 𝑠𝑖𝑛𝜃2 =

𝑛2

𝑛2 = 𝑛21

𝑛₂₁ adalah indeks bias dari medium 2 terhadap medium 1.

(8)

8

Pernyataan 1 dan 2 dinamakan hukum pemantulan Snellius, sedangkan pernyataan 1 dan 3 dinamakan hukum pembiasan Snellius. Hukum pembiasan dapat ditulis

𝑛₁sin 𝜃₁ = 𝑛₂sin 𝜃₂

c. Pembiasan oleh Prisma

Peristiwa pembiasan cahaya pada prisma kaca menghasilkan sudut deviasi (𝛿), yaitu besarnya sudut antara sinar datang (𝜃₁) dengan sinar bias (𝜃2).

Besarnya sudut deviasi yang terjadi ternyata bervariasi. Jika sudut datang diperbesar, maka besarnya sudut deviasi akan berkurang, akhirnya akan mencapai minimum, kemudian membesar lagi. Sudut deviasi mencapai minimum.

d. Dispersi Warna

Cahaya putih terdiri dari beberapa komponen warna. Di ruang hampa, semua warna mempunyai cepat rambat yang sama, yaitu sama dengan 𝑐. Ketika sebuah cahaya masuk kedalam medium lain, maka cepat rambat untuk masing-masing warna akan berbeda. Hal ini akan menyebabkan terjadinya perbedaan indeks bias masing-masing warna, sehingga sinar putih yang datang dengan sudut datang (𝜃1) akan dibiaskan menjadi berbagai warna dengan sudut bias (𝜃2) yang besarnya kontinu. Peristiwa dispersi cahaya dapat digambarkan sebagai berikut.

(9)

9

Terurainya cahaya putih tersebut adalah akibat berbedanya indeks bias, sudut deviasi dan panjang gelombang dari masing-masing warna cahaya.

(10)

10 BAB III

PEMBAHASAN

3.1Model Matematika Terjadinya Pelangi

Bagaimana terjadinya pelangi adalah contoh dari cahaya matahari yang terdispersi oleh butiran-butiran air hujan melalui pembiasan. Pelangi terlihat ketika pengamat sedang membelakangi matahari yang bersinar dan secara bersamaan juga turun hujan. Posisi pengamat haruslah berada diantara matahari dan hujan. Matahari, pengamat dan pusat busur pelangi harus berada dalam satu garis lurus. Model matematika dari proses terjadinya pelangi adalah bagaimana menemukan persamaan rumus sudut deviasi dari pelangi tersebut. Supaya lebih jelas silahkan lihat gambar dibawah ini.

Sinar matahari akan menembus butir air hujan melalui titik A. Butir air hujan tersebut berisfat seperti prisma kecil. Cahaya yang menembus butir air di A, dibiaskan menuju B, kemudian dipantulkan di B dan menuju ke C. Dari C cahaya meninggalkan butir air. Dari proses tersebut, sinar matahari terpecah menjadi spektrum warna seperti pada prisma.

(11)

11

Untuk mengetahui bagaimana sinar matahari saat menembus butir air hujan di titik A hingga meninggalkan butir air hujan di titik C, dapat dilihat pada gambar sebagai berikut.

Dari gambar tersebut terlihat bagaimana cahaya matahari masuk ke dalam butir air hujan. Sebagian sinar menembus air hujan dan sebagian lagi dipantulkan.

Sudut bias 𝜃₂ dihubungkan dengan sudut datang cahaya 𝜃₁ oleh hukum Snellius.

Menurut hukum Snellius, berlaku

𝑛_𝑢. sin 𝜃₁ = 𝑛_𝑎. sin 𝜃₂ ⇔ sin 𝜃₂ = 𝑛𝑢.sin 𝜃1 𝑛𝑎 ⇔ 𝜃₂ = sin−1₍𝑛𝑢.sin 𝜃1 𝑛𝑎 ) Keterangan:

𝑛𝑢 = indeks bias udara

𝑛_𝑎 = indeks bias air

Gambar 5. Berkas Cahaya Matahari Memasuki Butiran Air Hujan

(12)

12

𝜃₁ = sudut datang 𝜃₂ = sudut bias

Sinar yang dibiaskan dari A akan dipantulkan oleh butir air di titik B. Garis AB adalah jejak dari dari sinar yang dibiaskan. Garis AO adalah garis normal, yaitu garis yang terbentuk dari perpanjangan sinar pantul di titik A dengan pusat lingkaran (butir air hujan) di titik O. Garis OB adalah garis radial yang terbentuk dari antara pusat lingkaran di titik O dengan B. Hal itu membuat sudut 𝜃2 dengan garis OB dipantulkan dengan sudut yang sama dan terbias ke titik C. Sedangkan titik P adalah perpotongan antara garis sinar datang dan sinar keluar. Sudut 𝛷_𝑑 disebut sudut deviasi sinar.

𝛷_𝑑+ 2𝛽 = 𝜋 (i)

Dimana 2𝛽 adalah sudut pelangi tersebut Dalam △ 𝐴𝑂𝐵 berlaku 2𝜃2 + 𝛼 = 𝜋 ⇔ 𝛼 = 𝜋 − 2𝜃2 (ii) Dalam △ 𝐴𝑂𝑃 berlaku 𝜃1+ 𝛽 + 𝛼 = 𝜋 ⇔ 𝛽 = 𝜋 − 𝜃₁ − 𝛼 (iii)

Subtitusikan (ii) ke (iii)

𝛽 = 𝜋 − 𝜃1 − (𝜋 − 2𝜃2)

⇔ 𝛽 = 2𝜃₂ − 𝜃₁ (iv)

Subtitusikan (iv) ke (i)

(13)

13

⇔ 𝛷_𝑑 = 𝜋 − 4𝜃₂+ 2𝜃₁ (v)

Dari hukum Snellius 𝜃₂ = sin−1₍𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑎 ) subtitusikan ke (v) 𝛷𝑑 = 𝜋 − 4(sin−1( 𝑛𝑢.sin 𝜃1 𝑛𝑎 )) + 2𝜃1 ⇔ 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1₍𝑛𝑢.sin 𝜃1 𝑛𝑎 ) dengan 0 ≤ 𝜃1 ≤ 𝜋 2 Persamaan 𝛷𝑑 = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1( 𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑎 ) inilah yang disebut dengan model matematika dari terjadinya pelangi, dengan:

𝛷_𝑑 : sudut deviasi pelangi 𝜃₁ : sudut datangnya cahaya 𝑛𝑢 : indeks bias udara ( =1)

𝑛_𝑎 : indeks bias air ( = 4 3 )

3.2Besar Sudut Masing-Masing Warna Pelangi Primer

Setelah diketahui rumus untuk mencari sudut deviasi pelangi, maka sebelum mencari besar sudut pelangi, harus dicari terlebih dahulu sudut deviasi minimum dari pelangi tersebut. 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(𝑛𝑢. sin 𝜃1 𝑛_𝑎 ) = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1( 1.sin 𝜃1 4 3 ) = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1( 3. sin 𝜃₁ 4 )

Sudut deviasi minimum terjadi jika 𝛷′_𝑑 = 0 sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 0

(14)

14 Sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 𝑑(𝜋) 𝑑𝜃1 + 𝑑(2𝜃1) 𝑑𝜃1 − 4 ( 𝑑(sin−1(3.sin 𝜃1₄ )) 𝑑(3.sin 𝜃1₄ ) . 𝑑(3.sin 𝜃1₄ ) 𝑑𝜃1 ) ⇔ 0 = 0 + 2 − 4 ( 1 √1−(3 4sin 𝜃1) 2. 3 4cos 𝜃1) ⇔ 2 = 3 cos 𝜃1 √1−9 16 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 2√1 − 9 16 𝑠𝑖𝑛 2_𝜃 1 = 3 cos 𝜃1 ⇔ 2√1 − 9 16 𝑠𝑖𝑛 2_𝜃 1 = 3√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ √4 (1 − 9 16 𝑠𝑖𝑛 2_𝜃 1) = √9(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1) ⇔ √4 −9 4 𝑠𝑖𝑛 2_𝜃 1 = √9 − 9 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 4 −9 4 𝑠𝑖𝑛 2_𝜃 1 = 9 − 9 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 27 4 𝑠𝑖𝑛 2_𝜃 1 = 5 ⇔ 𝑠𝑖𝑛2𝜃₁ ≈ 0,740740740 ⇔ sin 𝜃₁ ≈ 0,860662965 ⇔ 𝜃₁ ≈ sin−1_0,860662965 ⇔ 𝜃₁ ≈ 59,4°

Jadi diperoleh besar sudut datang 𝜃1 ≈ 59,4°

(15)

15 𝛷_𝑑 ≈ 𝜋 + 2(59,4°) − 4 sin−1₍3. sin(59,4°) 4 ) ≈ 𝜋 + 118,8° − 4 sin−1(0,646) ≈ 𝜋 + 118,8° − 160,8° ≈ 138°

Jadi besar sudut deviasi minimum pelangi adalah 𝛷𝑑 ≈ 138° dan terjadi saat besar sudut cahaya datang 𝜃₁ ≈ 59,4°. Sudut deviasi minimum tersebut penting untuk dicari karena saat 𝜃₁ ≈ 59,4° maka 𝛷′_𝑑 = 0 dan ∆𝛷𝑑

∆𝜃1 = 0. Artinya ketika cahaya datang dengan sudut sedikit lebih besar atau sedikit lebih kecil dari 59,4° akan terbias dengan sudut deviasi yang hampir sama sehingga cahaya yang dipantulkan oleh butiran air akan dikonsentrasikan di dekat sudut deviasi minimum. Konsentrasi sinar yang datang dari dekat arah sudut deviasi minimum inilah yang mebuat pelangi terlihat cemerlang.

Dari persamaan 𝛷𝑑+ 2𝛽 = 𝜋 dengan 2𝛽 adalah sudut pelangi diperoleh sudut pelangi primer

2𝛽 = 𝜋 − 𝛷_𝑑 2𝛽 ≈ 180° − 138° 2𝛽 ≈ 42°

Jadi untuk dapat melihat pelangi secara optimum, pengamat harus berada sekitar 42° dari arah butir air hujan terhadap garis yang membelakangi matahari

Sinar matahari merupakan cahaya putih yang terdiri dari beberapa komponen warna dan memiliki panjang gelombang yang berbeda. Warna-warna tersebut adalah merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila dan ungu. Indeks bias untuk setiap warna berbeda. Warna sinar merah memiliki indeks bias terkecil daripada warna sinar yang lain, sedangkan sinar ungu memiliki indeks bias terbesar.

(16)

16

Indeks bias untuk warna-warna pelangi dapat dilihat pada tabel sebagai berikut (Jenkins & White, 1960:476).

No Warna Panjang

Gelombang Indeks bias

1 Merah 620-750 nm 1.3318 2 Jingga 590-620 nm 1.3339 3 Kuning 570-590 nm 1.3362 4 Hijau 495-570 nm 1.3389 5 Biru 450-495 nm 1.3403 6 Nila 415-450 nm 1.3429 7 Ungu 380-415 nm 1.3435

Untuk mengetahui besar sudut masing-masing warna pelangi maka dapat dicari dengan mensubtitusikan masing-masing indeks bias ke model matematika yang telah dicari persamaannya.

3.2.1 Besar Sudut Warna Merah Pelangi

Dari tabel indeks bias, sinar warna merah memiliki indeks bias sebesar 1,3318. Untuk mencari besar sudut warna merah pelangi maka terlebih dahulu dicari besar sudut deviasi minimumnya. Rumus sudut deviasi minimum pelangi adalah 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1(

𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑚 ) dimana 0 ≤ 𝜃1 ≤ 𝜋

2 dan 𝑛𝑚 adalah indeks bias sinar warna merah. Subtitusikan 𝑛𝑚 = 1,3318 ke 𝛷𝑑 = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1(

𝑛𝑢.sin 𝜃1 𝑛𝑚 ) maka diperoleh : 𝛷𝑑 = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1( 1. sin 𝜃₁ 1,3318)

(17)

17

Sudut deviasi minimum terjadi jika 𝛷′_𝑑 = 0 sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 0 Sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 𝑑(𝜋) 𝑑𝜃1 + 𝑑(2𝜃1) 𝑑𝜃1 − 4 ( 𝑑(sin−1(_1,3318sin 𝜃1)) 𝑑(sin 𝜃1 1,3318) .𝑑( sin 𝜃1 1,3318) 𝑑𝜃1 ) ⇔ 0 = 0 + 2 − 4 ( 1 √1−(_1,33181 sin 𝜃1) 2. 1 1,3318cos 𝜃1) ⇔ 2 = 3,0034 cos 𝜃1 √1−0,5638 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 ⇔ 2√1 − 0,5638 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 3,0034 cos 𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,5638 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 3,0034√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ √4(1 − 0,5638 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1) = √9,0204(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1) ⇔ √4 − 2,2552 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = √9,0204 − 9,0204 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 4 − 2,2552 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 9,0204 − 9,0204 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 6,7652 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 5,0204 ⇔ 𝑠𝑖𝑛2𝜃₁ ≈ 0,742092 ⇔ sin 𝜃1 ≈ 0,861448 ⇔ 𝜃₁ ≈ sin−1_0,861448 ⇔ 𝜃₁ ≈ 59,48°

Subtitusikan 𝜃₁ ≈ 59,48° ke persamaan 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(1.sin 𝜃1

1,3318), diperoleh:

𝛷_𝑑 ≈ 𝜋 + 2(59,48°) − 4 sin−1(1. sin(59,48°)

1,3318 )

(18)

18

≈ 𝜋 + 118,8° − 161,21° ≈ 137,75°

Maka sudut deviasi minimumnya adalah 𝛷_𝑑 ≈ 137,75° dan terjadi ketika 𝜃₁ ≈ 59,48°.

Jadi sudut warna merah pelangi adalah 180° − 137,75° = 42,25° . Maka untuk dapat melihat warna merah pelangi, pengamat harus berada sekitar 42,25° dari arah butir air hujan terhadap garis yang membelakangi matahari.

3.2.2 Besar Sudut Warna Jingga Pelangi

Dari tabel indeks bias, sinar warna jingga memiliki indeks bias sebesar 1,3339. Untuk mencari besar sudut warna jingga pelangi maka terlebih dahulu dicari besar sudut deviasi minimumnya. Rumus sudut deviasi minimum pelangi adalah 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1(

𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑗 ) dimana 0 ≤ 𝜃1 ≤ 𝜋

2 dan 𝑛𝑗 adalah indeks bias sinar warna jingga. Subtitusikan 𝑛_𝑗 = 1,3339 ke 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑗 ) maka diperoleh :

𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1₍1. sin 𝜃1

1,3339)

Sudut deviasi minimum terjadi jika 𝛷′_𝑑 = 0 sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 0 Sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 𝑑(𝜋) 𝑑𝜃1 + 𝑑(2𝜃1) 𝑑𝜃1 − 4 ( 𝑑(sin−1(_1,3339sin 𝜃1)) 𝑑(sin 𝜃1 1,3339) .𝑑( sin 𝜃1 1,3339) 𝑑𝜃1 ) ⇔ 0 = 0 + 2 − 4 ( 1 √1−(_1,33391 sin 𝜃1) 2. 1 1,3339cos 𝜃1) ⇔ 2 = 2,9987 cos 𝜃1 √1−0,5620 𝑠𝑖𝑛2_𝜃1

(19)

19 ⇔ 2√1 − 0,5620 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9987 cos 𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,5620 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9987√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ √4(1 − 0,5620 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1) = √8,9922(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1) ⇔ √4 − 2,248 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = √8,9922 − 8,9922 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 4 − 2,248 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 = 8,9922 − 8,9922 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 6,7442 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 = 4,9922 ⇔ 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 ≈ 0,7402 ⇔ sin 𝜃₁ ≈ 0,8604 ⇔ 𝜃1 ≈ sin−10,8604 ⇔ 𝜃1 ≈ 59,36°

Subtitusikan 𝜃₁ ≈ 59,36° ke persamaan 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1₍1.sin 𝜃1

1,3339), diperoleh: 𝛷_𝑑 ≈ 𝜋 + 2(59,36°) − 4 sin−1₍1. sin(59,36°) 1,3339 ) ≈ 𝜋 + 118,72° − 4 sin−1(0,645) ≈ 𝜋 + 118,72° − 160,67° ≈ 138,05°

Jadi sudut warna jingga pelangi adalah 180° − 138,05° = 41,95° . Maka untuk dapat melihat warna jingga pelangi, pengamat harus berada sekitar 41,95° dari arah butir air hujan terhadap garis yang membelakangi matahari.

(20)

20 3.2.3 Besar Sudut Warna Kuning Pelangi

Dari tabel indeks bias, sinar warna kuning memiliki indeks bias sebesar 1,3362. Untuk mencari besar sudut warna kuning pelangi maka terlebih dahulu dicari besar sudut deviasi minimumnya. Rumus sudut deviasi minimum pelangi adalah 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1(

𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑘 ) dimana 0 ≤ 𝜃1 ≤ 𝜋

2 dan 𝑛𝑘 adalah indeks bias sinar warna kuning. Subtitusikan 𝑛𝑘 = 1,3362 ke 𝛷𝑑 = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1(

𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑘 ) maka diperoleh :

𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(1. sin 𝜃1 1,3362)

Sudut deviasi minimum terjadi jika 𝛷′𝑑 = 0 sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 0 Sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 𝑑(𝜋) 𝑑𝜃1 + 𝑑(2𝜃1) 𝑑𝜃1 − 4 ( 𝑑(sin−1(_1,3362sin 𝜃1)) 𝑑(sin 𝜃1_1,3362) . 𝑑(sin 𝜃1_1,3362) 𝑑𝜃1 ) ⇔ 0 = 0 + 2 − 4 ( 1 √1−(_1,33621 sin 𝜃1)2 . 1 1,3362cos 𝜃1) ⇔ 2 = 2,9936 cos 𝜃1 √1−0,5601 𝑠𝑖𝑛2_𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,5601 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9936 cos 𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,5601 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9936√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ √4(1 − 0,5601 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1) = √8,9616(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1) ⇔ √4 − 2,2404 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = √8,9616 − 8,9616 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 4 − 2,24804𝑠𝑖𝑛2𝜃₁ = 8,9616 − 8,9616 𝑠𝑖𝑛2𝜃₁

(21)

21 ⇔ 6,7212 𝑠𝑖𝑛2𝜃₁ = 4,9616 ⇔ 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ≈ 0,7382 ⇔ sin 𝜃₁ ≈ 0,8592 ⇔ 𝜃₁ ≈ sin−10,8592 ⇔ 𝜃1 ≈ 59,23°

Subtitusikan 𝜃1 ≈ 59,23° ke persamaan 𝛷𝑑 = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1( 1.sin 𝜃1 1,3362), diperoleh: 𝛷𝑑 ≈ 𝜋 + 2(59,23°) − 4 sin−1( 1. sin(59,23°) 1,3362 ) ≈ 𝜋 + 118,46° − 4 sin−1(0,643) ≈ 𝜋 + 118,46° − 160,08° ≈ 138,38°

Jadi sudut warna jingga pelangi adalah 180° − 138,38° = 41,62° . Maka untuk dapat melihat warna jingga pelangi, pengamat harus berada sekitar 41,62° dari arah butir air hujan terhadap garis yang membelakangi matahari.

3.2.4 Besar Sudut Warna Hijau Pelangi

Dari tabel indeks bias, sinar warna hijau memiliki indeks bias sebesar 1,3389. Untuk mencari besar sudut warna hijau pelangi maka terlebih dahulu dicari besar sudut deviasi minimumnya. Rumus sudut deviasi minimum pelangi adalah 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛ℎ ) dimana 0 ≤ 𝜃1 ≤ 𝜋

2 dan 𝑛ℎ adalah indeks bias sinar warna hijau. Subtitusikan 𝑛_ℎ = 1,3389 ke 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(𝑛𝑢.sin 𝜃1

(22)

22

𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(1. sin 𝜃1 1,3389)

Sudut deviasi minimum terjadi jika 𝛷′𝑑 = 0 sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 0 Sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 𝑑(𝜋) 𝑑𝜃1 + 𝑑(2𝜃1) 𝑑𝜃1 − 4 ( 𝑑(sin−1(_1,3389sin 𝜃1)) 𝑑(sin 𝜃1 1,3389) .𝑑( sin 𝜃1 1,3389) 𝑑𝜃1 ) ⇔ 0 = 0 + 2 − 4 ( 1 √1−(_1,33891 sin 𝜃1)2 . 1 1,3389cos 𝜃1) ⇔ 2 = 2,9875 cos 𝜃1 √1−0,5578 𝑠𝑖𝑛2_𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,5578 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9875 cos 𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,5578 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9875√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ √4(1 − 0,5578 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1) = √8,9252(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1) ⇔ √4 − 2,312 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = √8,9252 − 8,9252 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 4 − 2,312 𝑠𝑖𝑛2𝜃₁ = 8,9252 − 8,9252 𝑠𝑖𝑛2𝜃₁ ⇔ 6,694 𝑠𝑖𝑛2𝜃₁ = 4,9252 ⇔ 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ≈ 0,7358 ⇔ sin 𝜃₁ ≈ 0,8578 ⇔ 𝜃₁ ≈ sin−1_0,8578 ⇔ 𝜃₁ ≈ 59,07°

Subtitusikan 𝜃1 ≈ 59,07° ke persamaan 𝛷𝑑 = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1( 1.sin 𝜃1

(23)

23 𝛷_𝑑 ≈ 𝜋 + 2(59,07°) − 4 sin−1₍1. sin(59,07°) 1,3389 ) ≈ 𝜋 + 118,14° − 4 sin−1_(0,641) ≈ 𝜋 + 118,15° − 159,37° ≈ 138,77°

Jadi sudut warna hijau pelangi adalah 180° − 138,77° = 41,23° . Maka untuk dapat melihat warna jingga pelangi, pengamat harus berada sekitar 41,23° dari arah butir air hujan terhadap garis yang membelakangi matahari.

3.2.5 Besar Sudut Warna Biru Pelangi

Dari tabel indeks bias, sinar warna biru memiliki indeks bias sebesar 1,3403. Untuk mencari besar sudut warna biru pelangi maka terlebih dahulu dicari besar sudut deviasi minimumnya. Rumus sudut deviasi minimum pelangi adalah 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1₍𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑏 ) dimana 0 ≤ 𝜃1 ≤ 𝜋

2 dan 𝑛𝑏 adalah indeks bias sinar warna biru. Subtitusikan 𝑛𝑏 = 1,3403 ke 𝛷𝑑 = 𝜋 + 2𝜃1− 4 sin−1(

𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑏 ) maka diperoleh :

𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1₍1. sin 𝜃1

1,3403)

Sudut deviasi minimum terjadi jika 𝛷′_𝑑 = 0 sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 0 Sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 𝑑(𝜋) 𝑑𝜃1 + 𝑑(2𝜃1) 𝑑𝜃1 − 4 ( 𝑑(sin−1(sin 𝜃1 1,3403)) 𝑑(sin 𝜃1_1,3403) . 𝑑(sin 𝜃1 1,3403) 𝑑𝜃1 ) ⇔ 0 = 0 + 2 − 4 ( 1 √1−(_1,34031 sin 𝜃1)2 . 1 1,3403cos 𝜃1)

(24)

24 ⇔ 2 = 2,9844 cos 𝜃1 √1−0,5567 𝑠𝑖𝑛2_𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,5567 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9844 cos 𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,5567 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9844√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ √4(1 − 0,5567 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1) = √8,9066(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1) ⇔ √4 − 2,2268 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = √8,9066 − 8,9066 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 4 − 2,2268 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 = 8,9066 − 8,9066 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 6,6798 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 = 4,9066 ⇔ 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 ≈ 0,7345 ⇔ sin 𝜃₁ ≈ 0,8571 ⇔ 𝜃1 ≈ sin−10,8571 ⇔ 𝜃1 ≈ 58,99°

(25)

25

Jadi sudut warna biru pelangi adalah 180° − 138,97° = 41,03° . Maka untuk dapat melihat warna biru pelangi, pengamat harus berada sekitar 41,03° dari arah butir air hujan terhadap garis yang membelakangi matahari.

3.2.6 Besar Sudut Warna Nila Pelangi

Dari tabel indeks bias, sinar warna nila memiliki indeks bias sebesar 1,3429. Untuk mencari besar sudut warna nila pelangi maka terlebih dahulu dicari besar sudut deviasi minimumnya. Rumus sudut deviasi minimum pelangi adalah 𝛷𝑑 = 𝜋 + 2𝜃1−

4 sin−1₍𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑛 ) dimana 0 ≤ 𝜃1 ≤ 𝜋

2 dan 𝑛𝑛 adalah indeks bias sinar warna nila. Subtitusikan 𝑛_𝑛 = 1,3429 ke 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑛 ) maka diperoleh :

𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(1. sin 𝜃1 1,3429)

Sudut deviasi minimum terjadi jika 𝛷′𝑑 = 0 sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 0 Sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 𝑑(𝜋) 𝑑𝜃1 + 𝑑(2𝜃1) 𝑑𝜃1 − 4 ( 𝑑(sin−1(_1,3429sin 𝜃1)) 𝑑(sin 𝜃1 1,3429) .𝑑( sin 𝜃1 1,3429) 𝑑𝜃1 ) ⇔ 0 = 0 + 2 − 4 ( 1 √1−( 1 1,3429sin 𝜃1) 2. 1 1,3429cos 𝜃1) ⇔ 2 = 2,9786 cos 𝜃1 √1−0,5545 𝑠𝑖𝑛2_𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,5545 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9786 cos 𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,5545 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9786√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ √4(1 − 0,5545 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1) = √8,8721(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1)

(26)

26 ⇔ √4 − 2,218 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = √8,8721 − 8,8721 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 4 − 2,218 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 = 8,8721 − 8,8721 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 6,6541 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 4,8721 ⇔ 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 ≈ 0,7322 ⇔ sin 𝜃₁ ≈ 0,8557 ⇔ 𝜃1 ≈ sin−10,8557 ⇔ 𝜃₁ ≈ 58,84°

Subtitusikan 𝜃₁ ≈ 58,84° ke persamaan 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(1.sin 𝜃1

1,3429), diperoleh: 𝛷_𝑑 ≈ 𝜋 + 2(58,84°) − 4 sin−1(1. sin(58,84°) 1,3429 ) ≈ 𝜋 + 117,68° − 4 sin−1_(0,637) ≈ 𝜋 + 117,68° − 158,34° ≈ 139,34°

Jadi sudut warna nilai pelangi adalah 180° − 139,34° = 40,66° . Maka untuk dapat melihat warna biru pelangi, pengamat harus berada sekitar 40,66° dari arah butir air hujan terhadap garis yang membelakangi matahari.

3.2.7 Besar Sudut Warna Ungu Pelangi

Dari tabel indeks bias, sinar warna ungu memiliki indeks bias sebesar 1,3435. Untuk mencari besar sudut warna ungu pelangi maka terlebih dahulu dicari besar sudut deviasi minimumnya. Rumus sudut deviasi minimum pelangi adalah 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁−

(27)

27

4 sin−1(𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑢𝑔 ) dimana 0 ≤ 𝜃1 ≤ 𝜋

2 dan 𝑛𝑢𝑔 adalah indeks bias sinar warna ungu. Subtitusikan 𝑛_𝑏 = 1,3435 ke 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑢𝑔 ) maka diperoleh :

𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(1. sin 𝜃1 1,3435)

Sudut deviasi minimum terjadi jika 𝛷′𝑑 = 0 sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 0 Sehingga ∆𝛷𝑑 ∆𝜃1 = 𝑑(𝜋) 𝑑𝜃1 + 𝑑(2𝜃1) 𝑑𝜃1 − 4 ( 𝑑(sin−1(_1,3435sin 𝜃1)) 𝑑(sin 𝜃1 1,3435) .𝑑( sin 𝜃1 1,3435) 𝑑𝜃1 ) ⇔ 0 = 0 + 2 − 4 ( 1 √1−(_1,34351 sin 𝜃1)2 . 1 1,3435cos 𝜃1) ⇔ 2 = 2,9773 cos 𝜃1 √1−0,554 𝑠𝑖𝑛2_𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,554 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9773 cos 𝜃1 ⇔ 2√1 − 0,554 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = 2,9773√1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ √4(1 − 0,554 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1) = √8,8643(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃1) ⇔ √4 − 2,216 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 1 = √8,8643 − 8,8643 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ⇔ 4 − 2,216 𝑠𝑖𝑛2𝜃₁ = 8,8643 − 8,8643 𝑠𝑖𝑛2𝜃₁ ⇔ 6,6483 𝑠𝑖𝑛2𝜃₁ = 4,8643 ⇔ 𝑠𝑖𝑛2𝜃1 ≈ 0,7317 ⇔ sin 𝜃1 ≈ 0,8554 ⇔ 𝜃₁ ≈ sin−1_0,8554

(28)

28

⇔ 𝜃1 ≈ 58,8°

Maka sudut deviasi minimumnya adalah 𝛷_𝑑 ≈ 139,42° dan terjadi ketika 𝜃₁ ≈ 58,8°. Jadi sudut warna ungu pelangi adalah 180° − 139,42° = 40,58° . Maka untuk dapat melihat warna biru pelangi, pengamat harus berada sekitar 4,58° dari arah butir air hujan terhadap garis yang membelakangi matahari.

Maka dari ketujuh warna pelangi didapatkan:

No Warna Indeks Bias Sudut Datang (Derajat) Sudut Deviasi Minimum (Derajat) Sudut Pelangi (Derajat) 1 Merah 1,3318 59,48 137,75 42,25 2 Jingga 1,3339 59,36 138,05 41,95 3 Kuning 1,3362 59,23 138,38 41,62 4 Hijau 1,3389 59,07 138,77 41,23 5 Biru 1,3403 58,99 138,97 41,03 6 Nila 1,3429 58,84 139,34 40,66 7 Ungu 1,3435 58,8 139,42 40,58

Tabel 2. Kesimpulan dari Tujuh Warna Pelangi

Perbedaan sudut dari masing-masing warna primer pelangi tersebut sangat kecil, dari warna merah hingga warna ungu. Dari perhitungan tadi diperoleh sudut pelangi untuk warna merah adalah sudut pelangi terbesar sementara warna ungu memiliki sudut pelangi terkecil.

(29)

29

Sehingga dari ketujuh warna tadi dapat di ilustrasikan terjadinya warna pelangi seperti gambar di bawah ini

3.3Sudut Pandang Pengamat agar dapat Melihat Pelangi dengan Optimum

Dari pembahasan sebelumnya terlihat bahwa agar pengamat dapat melihat pelangi, pengamat harus berada sekitar 40,58° − 42,25° dari arah butir air hujan terhadap garis yang membelakangi matahari seperti ilustrasi gambar dibawah ini.

Gambar 6. Sudut Warna Pelangi

(30)

30

Jadi jari-jari sudut pelangi adalah 42° dan inilah yang menyebabkan bentuk pelangi seperti setengah lingkaran dan tidak pernah berbentuk lingkaran penuh.

42°

Pengamat

Gambar 8. Ilustrasi Posisi Pengamat dan Pelangi

Gambar 9. Ilustrasi Sudut Pengamat dan Pelangi

(31)

31

Dari sana juga dapat kita simpulkan hal menarik bahwa ternyata ketika terjadi hujan yang sama namun pengamat berada dalam posisi berbeda pelangi yang dia lihat juga berbeda bahkan tidak terlihat tergantung dari posisi pengamat, matahari, dan air hujan. Lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini:

Pengamat 1 dan pengamat 2 berada pada posisi yang berbeda namun satu garis lurus dengan arah datangnya sinar matahari. Pelangi yang dilihat oleh pengamat 1 adalah pelangi yang berbeda dengan pelangi yang dilihat oleh pengamat 2 karena untuk dapat melihat pelangi harus memenuhi hal-hal yang sudah dijelaskan sebelumnya.

(32)

32 BAB IV

PENUTUP

4.1 Simpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya dapat disimpulkan hal-hal sebagai berikut.

1. Model matematika dari terjadinya pelangi adalah 𝛷_𝑑 = 𝜋 + 2𝜃₁− 4 sin−1(𝑛𝑢.sin 𝜃1

𝑛𝑎 ) , dengan:

𝛷_𝑑 : sudut deviasi pelangi 𝜃₁ : sudut datangnya cahaya 𝑛_𝑢 : indeks bias udara ( =1) 𝑛_𝑎 : indeks bias air ( = 4

3 )

2. Pelangi tersusun dari tujuh warna yaitu, merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, dan ungu dan memiliki indeks bias yang berbeda. Dengan indeks bias yang berbeda inilah maka sudut pelangi untuk tiap warna juga berbeda.

No Warna Indeks Bias Sudut Datang (Derajat) Sudut Deviasi Minimum (Derajat) Sudut Pelangi (Derajat) 1 Merah 1,3318 59,48 137,75 42,25 2 Jingga 1,3339 59,36 138,05 41,95 3 Kuning 1,3362 59,23 138,38 41,62 4 Hijau 1,3389 59,07 138,77 41,23 5 Biru 1,3403 58,99 138,97 41,03 6 Nila 1,3429 58,84 139,34 40,66 7 Ungu 1,3435 58,8 139,42 40,58

(33)

33

Dari tabel di atas dapat diketahui sudut pelangi dari tiap warna berbeda. Inilah yang menyebabkan pelangi tersusun dari tujuh warna yang berbeda dari warna merah sampai ungu.

3. Dari perhitungan model matematika yang didapatkan dan mensubtitusikan nilai indeks bias air (hujan) dan udara disimpulkan bahwa agar dapat melihat pelangi secara optimum, maka pengamat harus berada sekitar 42° dari arah butir air hujan terhadap garis yang membelakangi matahari. Jadi jari-jari sudut pelangi adalah 42° dan inilah yang menyebabkan bentuk pelangi seperti setengah lingkaran dan tidak pernah berbentuk lingkaran penuh.

4. Ketika terjadi hujan yang sama namun pengamat berada dalam posisi berbeda pelangi yang dia lihat juga berbeda tergantung dari posisi pengamat, matahari, dan air hujan.

4.2 Saran

Pada makalah ini hanya mengkaji warna pelangi primer. Sedangkan masih bisa dikembangkan lagi untuk mencari model matematika dan besar sudut pelangi dari warna pelangi sekunder. Selain itu butiran air diasumsikan sebagai butiran bola sedangkan bisa saja butiran air hujan yang terkena angin berubah bentuk tidak menjadi bola lagi. Makalah ini juga bisa dijadikan acuan bagi seorang photographer untuk mencari gambar pelangi yang lebih baik.