MODEL LINIER BERDASARKAN SEBARAN GAMMA DENGAN REGULARISASI PERSENTIL L1 DAN L2 UNTUK PENDUGAAN
CURAH HUJAN EKSTRIM
(Linear Model based on Gamma Distribution with Percentile L1and L2 Regularizationfor Extreme Rainfall Prediction)
Aji Hamim Wigena, Anik Djuraidah, Agus Mohamad Soleh, Akbar Rizki
Dep. Statistika, Fakultas Matematika dan IPA, Institut Pertanian Bogor ABSTRAK
Pemodelan linier menggunakan regresi respons sebaran Gamma dengan metode statistical downscaling. Regularisasi persentil L1 (Lasso-least absolute shrinkage and selection operator) dan L2 (Ridge-gulud) digunakan untuk mengatasi masalah multikolinieritas. Data yang digunakan adalah curah hujan bulanan 1981–2013 di Indramayu dan presipitasi luaran GCM (Global Circulation Model) 1981–2013. Komputasi menggunakan program R paket ‘h2o’ sesuai dengan algoritme untuk model regresi respons sebaran Gamma. Hasil penelitian menunjukkan bahwa regularisasi dengan persentil L1 dan L2 pada model regresi respons Gamma dapat memprediksi curah hujan ekstrim lebih baik daripada model regresi respons Normal, terutama curah hujan ekstrim pada Januari dan Desember 2013.
Kata kunci: ekstrim, persentil L1, persentil L2, sebaran gamma, statistical downscaling. ABSTRACT
Linear modeling uses regression with Gamma distributed response based on statistical downscaling method. Regularization percentile L1 (Lasso-least absolute shrinkage and selection operator) and L2 (Ridge) are used to overcome multicolinearity problem. Data are monthly rainfall in 1981–2013 at Indramayu and precipitation of GCM (Global Circulation Model) output in 1981–2013. The computation uses package ‘h20’ in R corresponding to the algorithm to develop regression model with Gamma distributed response. The result shows that percentile L1 and L2 in regression model with Gamma distributed response can predict extreme rainfall better than those with Normal distributed response, especially the extreme rainfall in January and December 2013.
Keywords: extreme, gamma distribution, percentile L1, percentile L2, statistical down-scaling.
PENDAHULUAN
Perubahan iklim global sering menimbulkan kejadian curah hujan ekstrim, yang berdampak kerugian berupa produksi tanaman menurun atau bahkan gagal panen. Pada tahun 2010 produksi padi mengalami penurunan akibat iklim ekstrim, yaitu dari 1,58 juta ton di tahun sebelumnya menjadi sebesar 1,55 juta ton di tahun 2010 (BPS 2011).
Dalam usaha mengantisipasi akibat buruk tersebut dibutuhkan informasi mengenai kemungkinan terjadinya curah hujan ekstrim. Informasi berupa ramalan curah hujan yang akurat dan cepat sangat berguna bagi petani. Peningkatan ketepatan prediksi (ramalan) merupakan salah satu upaya untuk mengurangi dampak kejadian iklim ekstrim (Boer 2006). Hal ini sangat strategis dalam mengatasi atau mengurangi kerugian sebagai akibat kejadian ekstrim.
Teknik statistical downscaling (SD) yang selama ini berkembang meng-gunakan model statistik dengan memanfaatkan data luaran GCM (Global Circulation Model) yang dihubungkan secara fungsional dengan data lokal seperti curah hujan. Selaras dengan perkembangan ilmu pemodelan statistik, teknik SD dapat dikembangkan untuk memprediksi curah hujan ekstrim.
Beberapa pemodelan telah menggunakan teknik SD untuk pendugaan curah hujan ekstrim. Mondiana (2012) menggunakan regresi kuantil, Soleh et al. (2015) memodelkan SD dengan model linier terampat sebaran Gamma, Santri et al. (2016) mengkaji pemodelan SD dengan regresi kuantil dengan L1, Utami et al. (2016) membahas model VGAM, dan Kinanti et al. (2016) menggunakan teknik SD berda-sarkan sebaran generalized pareto.
Pemodelan SD terkendala dengan kovariat yang saling berkorelasi (multikolinier). Permasalahan ini dapat diatasi antara lain dengan regularisasi L1 (Lasso-least absolute shrinkage and selection operator), dan L2 (Ridge-gulud). Penelitian ini mengkaji pemodelan SD berdasarkan sebaran Gamma dengan regularisasi persentil L1 dan L2.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini mencakup pengembangan model SD dengan regularisasi persentil L1 dan L2. Tahapan penelitiannya adalah sebagai berikut:
1. Penyiapan data curah hujan bulanan tahun 1981–2013 di Kabupaten Indramayu dan data presipitasi dari luaran GCM CMIP5 (multi-model ensemble Phase 5 Couple Model Intercomparisson Project).
2. Identifikasi multikolinier dengan nilai korelasi antar kovariat dalam data luaran GCM atau berdasarkan nilai VIF (variation inflation factor).
3. Identifikasi metode persentil L1dan L2.
a. Pemodelan Regresi Sebaran Normal dan Gamma dengan L1 dan L2
Pada model linier dengan peubah respons 𝒚 menyebar Normal dan vektor kovariat 𝑿 = (𝑋1, ⋯ , 𝑋𝑝)′ dimodelkan sebagai berikut:
𝑦𝑖 = 𝛽0+ ∑𝑝𝑗=1𝑋𝑖𝑗𝛽𝑗+ 𝜀𝑖 untuk 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 Penduga parameternya adalah sebagai berikut:
𝜷̂ = (𝑿𝑻𝑿)−1𝑿𝑇𝒚
Jika 𝑿𝑇𝑿 adalah matriks tidak berpangkat penuh, maka pendugaan 𝜷̂ dilakukan dengan model regresi gulud (L2) berdasarkan persamaan Lagrange berikut:
argmin
𝜷 {(𝒚 − 𝑿
𝑻𝜷)𝑇(𝑦 − 𝑿𝑻𝜷) + 𝜆
𝑔𝑢𝑙𝑢𝑑𝜷𝑇𝜷} Penduga parameternya adalah sebagai berikut:
𝜷̂𝑔𝑢𝑙𝑢𝑑 = (𝑿𝑇𝑿 + 𝜆𝑰)−𝟏𝑿𝑇𝒚.
Model regresi gulud tidak dapat melakukan seleksi peubah secara otomatis karena secara simultan koefisien yang diduga mungkin tidak bernilai nol. Thibsirani (1996) mengembangkan metode L1 (lasso) dengan penalti berikut:
∑𝑝𝑗=1|𝛽𝑗|≤ 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 0
Pendugaan koefisi enregresi lasso dilakukan berdasarkan persamaan Lagrange berikut: argmin 𝜷 {(𝒚 − 𝑿𝑻𝜷)𝑇(𝑦 − 𝑿𝑻𝜷) + 𝜆 𝑙𝑎𝑠𝑠𝑜∑|𝛽𝑗| 𝑝 𝑗=1 }
Penduga koefisien regresi lasso tidak dalam bentuk tertutup, tetapi harus menggunakan pemrograman kuadratik (Tibshirani 1996). Algoritmanya adalah sebagai berikut:
1. Bakukan X
2. Ambil i = 0, 𝜷̂𝟎 = 0
3. Untuk λ = 0 sampai λ = 2 max (|𝒙𝑗𝑡𝒚|)
a. i = i+1
b. Untuk j = 1 sampai p
ii. Duga 𝛽̂𝑗(𝑖) menggunakan persamaan (3) c. Ulangi (a) dan (b) sampai (𝛽𝑗(𝑖)−𝛽𝑗(𝑖−1)) < 1e-6
4. Penduga akhir 𝜷̂ ditentukan dengan pendekatan validasi silang
Model regresi dengan regularisasi L1 dapat melakukan seleksi kovariat yang berkorelasi (Hastie et al. 2008).
b. Pemodelan Regresi dengan Persentil L1
Algoritma pemodelan ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk 𝑚 = 1 sampai dengan 𝑀
a) Secara acak masukkan data observasi berukuan 𝑛 ke dalam K-grup untuk proses VS.
b) Pengepasan model regresi dengan penalti L1.
c) Diperoleh 𝜆̂𝑚 sebagai lambda optimal dengan nilai CVE minimum.
2. Lakukan langkah 1 sebanyak M kali. Sehingga diperoleh lambda sebanyak M, Λ(𝑀) = (𝜆̂1, 𝜆̂2, … , 𝜆̂𝑀) dengan masing-masing 𝜆̂
memiliki nilai CVE.
3. Tentukan 𝜃 , yaitu persentil dari Λ(𝑀). Nilai 𝜆̂ terpilih merupakan
𝜆̂(𝜃) dengan 𝜃 adalah persentil dari Λ(𝑀). 4. Lambda optimum metode persentil adalah 𝜆̂(𝜃).
Implementasi pemodelan sebaran Gamma persentil L1 dengan program R paket ‘h2o’ dan pemodelan sebaran Gamma persentil L2.
4. Hasilnya dibandingkan dengan model sebaran Normal yang diimplementasi dengan paket ‘glmnet’. Pembandingan dilakukan berdasarkan RMSEP (Root Mean Square of Prediction) dan korelasi antara curah hujan aktual dan curah hujan prediksi.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemodelan ini mengasumsikan bahwa responsnya sebaran Normal. Ada dua model yang dikembangkan, yaitu 1) Model dengan regularisasi persentil L1 dan
2) Model dengan persentil L2. Keduanya dibangun untuk pendugaan curah hujan. Pemodelan kedua model ini menggunakan program R paket ‘glmnet’.
Nilai RMSEP dari model SD dengan persentil L1 dan L2 relatif sama (sekitar 46–74) dan korelasi sekitar 0,70–0,95. Gambar 1 memperlihatkan pola curah prediksi dan aktualnya pada tahun 2013. Prediksi curah hujan yang lebih rendah pada periode Februari, Maret, Agustus, September, Oktober, dan November, sedangkan pada bulan Januari, Juni, Juli, dan Desember, dugaan curah hujan lebih tinggi. Model SD regularisasi persentil L1 dan L2 tidak mampu menangkap pola curah hujan dengan baik, khususnya periode Januari, Februari, Maret, Juni, Juli dan Desember. Model SD regularisasi persentil L1 melakukan pendugaan curah hujan yang relatif sama dengan model SD regularisasi persentil L2. Walaupun demikian, kedua model SD ini menghasilkan pola curah hujan dengan baik pada musim hujan (April, Mei, Agustus, September, Oktober, dan November).
Pemodelan ini mengasumsikan bahwa responsnya menyebar Gamma. Ada dua model juga yang dikembangkan, yaitu 1) Model dengan regularisasi persentil L1, dan 2) Model dengan persentil L2. Keduanya dibangun untuk pendugaan curah hujan ekstrim. Pemodelan kedua model ini menggunakan program R paket ‘h2o’.
(a) (b)
Gambar 1 Pola curah hujan prediksi dan aktual dengan regresi sebaran Normal persentil L1 (a) dan persentil L2 (b).
Pemodelan SD menghasilkan pola prediksi curah hujan dengan regularisasi persentil L1 dan L2 pada tahun 2013 (Gambar 1). Pada Gambar 1 dapat dilihat bahwa curah hujan ekstrim bulan Januari dan Desember dapat dijelaskan dengan baik oleh kedua model. Curah hujan bulan April dan Mei tepat diprediksi oleh model persentil L2. Demikian juga model L1 memprediksi dengan tepat untuk
0 100 200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C ur ah h uj an (mm ) Bulan (tahun 2013) 0 100 200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C ur ah h uj an (mm ) Bulan (tahun 2013)
bulan Mei. Berdasarkan nilai RMSEP (sekitar 50–70) dan korelasi (sekitar 0,65– 0,95) tahun 2013, kedua metode menghasilkan pola curah hujan prediksi dan aktual yang hampir sama.
(a) (b)
Gambar 2 Pola curah hujan prediksi dan aktual dengan regresi sebaran Gamma persentil L1 (a) dan persentil L2 (b).
Pemodelan berdasarkan sebaran Gamma menghasilkan pola prediksi curah hujan ekstrim yang lebih baik daripada pemodelan berdasarkan sebaran Normal. Gambar 2 menunjukkan bahwa prediksi curah hujan ekstrim pada bulan Januari dan Desember lebih mendekati curah hujan aktualnya. Sedangkan pada Gambar 1 hal ini tidak terjadi, di mana pada bulan Januari dan Desember prediksi curah hujan jauh lebih rendah daripada curah hujan aktualnya. Dengan demikian pemodelan berdasarkan sebaran Gamma lebih tepat dalam pendugaan curah hujan ekstrim.
KESIMPULAN
Penggunaan regularisasi dengan persentil L1 dan L2 pada model regresi respons Gamma dapat memprediksi curah hujan ekstrim lebih baik daripada kedua regularisasi itu pada model regresi respons Normal. Hasil prediksi dengan persentil L1 dan L2 baik pada model regresi respons sebaran Normal maupun Gamma tidak berbeda.
UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih disampaikan kepada Direktorat Riset dan Pengabdian Masya-rakat, Direktorat Jenderal Penguatan Riset dan Pengembangan, Kementerian Riset,
0 100 200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C ur ah h uj an (mm ) Bulan (tahun 2013) 0 100 200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C ur ah h uj an (mm) Bulan (tahun 2013)
Teknologi, dan Pendidikan Tinggi atas bantuan dana penelitian ini, sesuai dengan Surat Perjanjian Penugasan Pelaksanaan Program Penelitian, Nomor: 079/SP2H/ LT/DRPM/II/2016, Tanggal 17 Februari 2016.
DAFTAR PUSTAKA
[BPS]. Badan Pusat Statistik. 2011. Indramayu dalam Angka 2011. Indramayu (ID): BPS Kabupaten Indramayu.
Boer R. 2006. Pendekatan dalam Mengelola Resiko Iklim. Makalah dalam Pelatihan Dosen Bidang Pemodelan dan Simulasi Komputer untuk Pertanian. Cisarua Bogor, 720 September 2006.
Hastie T, Tibshirani R, Friedman J. 2008. The Elements of Statistical Learning. Data Mining, Interfere, and Prediction. Second Edition. Stanford (US): Springer.
Kinanti SL, Wigena AH, Djuraidah A. 2016. Statistical downscaling with generalized Pareto distribution (Study case: Extreme rainfall estimation). AIP Conference Proceedings 1707, 080011; doi: 10.1063/1.4940868.
Mondiana QM. 2012. Pemodelan Statistical Downscaling dengan Regresi Kuantil untuk Pendugaan Curah Hujan Ekstrim. [Tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Santri D, Wigena AH, Djuraidah A. 2016. Statistical downscaling modeling with quantile regression using lasso to estimate extreme rainfall. AIP Conference Proceedings 1707, 080011; doi: 10.1063/1.4940862.
Soleh AM, Wigena AH, Djuraidah A, Saefudin A. 2015. Pemodelan Statistical Downscaling untuk Menduga Curah Hujan Bulanan menggunakan Model Linier Terampat Sebaran Gamma. Jurnal Informatika Pertanian. 24(2): 215222.
Tibshirani R. 1996. Regression Shrinkage and Selection via the Lasso. Journal of the Royal Statistics Society: Series B. 58: 267–288.
Utami EPN, Wigena AH, Djuraidah A. 2016. Vector generalized additive models for extreme rainfall data analysis (study case rainfall data in Indramayu). AIP Conference Proceedings 1707, 080011; doi: 10.1063/1.4940864.
