Sample Size for a Simple Random Sample

(1)

SSI

STATISTICAL STUDENT OF IST AKPRIND

Sekretariat : Jln. Bimasakti No:3 Pengok Yogyakarta 55222 Tlp. (0274) 544504 E-mail : statistikaista@yahoo.com Blog : http://ssista.wordpress.com/

1

http://ssista.wordpress.com/

Sample Size for a Simple Random Sample

Pendahuluan

Secara umum, dua metode yang digunakan untuk mencari ukuran sampel yang optimal (akan kembali ke sampling tujuan) dan adalah (1) menemukan terkecil yang akan menyediakan setidaknya presisi tertentu ( ( )) atau diikat pada perkiraan kesalahan dari dengan tingkat kepercayaan tertentu atau (2) menemukan terbesar untuk suatu biaya total tetap sehingga untuk mendapatkan presisi maksimum yang kita usahakan.

Metode 1. Specified Precision.

1. Kami ingin untuk memilih ukuran n sampel yang sekecil mungkin, namun sedemikian rupa sehingga melebihi perkiraan maksimum dengan perbedaan yang diperbolehkan , Antara nilai sebenarnya dan estimasi dengan kemungkinan kecil . juga sering disebut sebagai satu batasan pada kesalahan dari estimasi B dengan kriteria − > < untuk beberapa d dan .

2. Jika adalah distribusi yang mendekati normal maka

> = − > = .

3. Kita berharap untuk memilih n seperti ≤ .

Lisensi Dokumen:

Seluruh dokumen di ssista.wordpress.com dapat digunakan dan disebarkan secara bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus atau merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam setiap dokumen. Tidak diperbolehkan melakukan penulisan ulang, kecuali mendapatkan ijin terlebih dahulu dari ssista.wordpress.com.

(2)

SSI

STATISTICAL STUDENT OF IST AKPRIND

2

4. Rumus ukuran sampel untuk memperkirakan mean populasi dengan menggunakan

sampel acak sederhana ditemukan oleh pengaturan = 1 − dan pemecahan

untuk . ini memberikan rumusan =

= dimana = . Perhatikan

bahwa adalah ukuran sampel yang akan diperlukan jika n sampling dari populasi yang

tak terbatas. Itu juga merupakan formula yang disajikan dalam banyak kursus statistik dasar untuk ukuran sampel, tapi sekali lagi, itu berlaku untuk populasi yang tak terbatas (atau hampir tak terbatas).

5. Jika ukuran populasi relatif besar maka ukuran sampel biasanya n0 dapat digunakan

sebagai perkiraan ukuran sampel.

6. Ukuran sampel untuk memperkirakan jumlah populasi dengan menggunakan sampel acak sederhana dengan presisi yang ditentukan pada kepercayaan tertentu adalah :

= = dimana =

Metode 2. Total Biaya yang Ditentukan

1. Biarkan menjadi biaya total sampling, biarkan menjadi biaya overhead (kadang-kadang disebut "biaya pergi sampling "atau" biaya awal "), dan biarkan menjadi biaya sampling dari sebuah individu sampling unit. Maka total biaya proyek sampling akan:

= +

2. Biaya overhead mungkin mencakup hal-hal seperti mendapatkan peralatan yang akan digunakan dalam pengambilan sampel, menyewa dari samplers, dll. Biaya ini diasumsikan independen dari jumlah sampel unit yang benar-benar dipilih.

3. Jika Anda diberikan dana untuk proyek sampling, maka ukuran sampel yang akan menghabiskan semua uang akan diperoleh dengan menetapkan = dan memecahkan

. n =

(3)

SSI

STATISTICAL STUDENT OF IST AKPRIND

3

kemudian dapat dihitung dengan mengganti ukuran sampel di atas ke dalam persamaan untuk varians dari perkiraan.

Compromise

Dalam prakteknya, kedua perhitungan mungkin perlu dilakukan dan kemudian yang lebih kecil dari 2 perhitungan akan digunakan sebagai ukuran sampel yang layak. Jika ukuran sampel lebih kecil menggunakan metode 1 (presisi) dan Anda menggunakan metode 2 ukuran sampel, maka Anda akan menghabiskan lebih banyak uang daripada yang diperlukan untuk mencapai ketepatan yang diminta. Di sisi lain, jika ukuran sampel kecil menggunakan Metode 2 (biaya) dan Anda menggunakan metode 1 ukuran sampel, maka Anda tidak akan memiliki cukup sumber daya untuk mencapai presisi yang diminta. Dalam contoh yang terakhir, anda tidak akan mampu mencapai yang diminta presisi dengan kepercayaan diri yang dikehendaki dan sehingga perhitungan presisi yang diharapkan dapat menunjukkan apakah atau tidak penelitian ini adalah senilai mengerucutkan dengan dana yang tersedia.

Contoh 1 :

(Soal 4,7 dari Scheaffer et al. 1990) Sampel acak sederhana dari 100 meter air dalam komunitas dimonitor untuk memperkirakan rata-rata konsumsi air harian per rumah tangga selama musim kering tertentu. Rata-rata sampel dan varians yang ditemukan

= 12.5 galon dan = 1252. Berdasarkan catatan Kota, ada = 10,000 meter air di masyarakat.

1. Perkirakan rata-rata populasi konsumsi air per meter dan tempat yang terikat pada kesalahan estimasi. Juga interval kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi konsumsi air per meter. Pengukur untuk rata-rata populasi adalah ̂ = = 12.5 galon per meter. Hitunglah varians dan standar error dari taksiran untuk menghitung satu batasan dan interval kepercayaan.

(4)

SSI

STATISTICAL STUDENT OF IST AKPRIND

4

( ̂) = ( ) = √12.3948 = 3.52 .

Batasannya adalah = 1.96(3.52) = 6.9 gallon dengan 95% C.I. dari 12.5 ± 6.9 atau (5.6, 19.4) gallon. Dengan demikian, dengan tingkat kepercayaan 95% kita yakin bahwa interval (5.6, 19.4) galon berisi rata-rata populasi konsumsi air per meter yang sebenarnya.

2. Memperkirakan populasi (masyarakat) total konsumsi air dan menempatkan batasan pada kesalahan estimasi. Juga melaporkan interval kepercayaan 95% untuk populasi (masyarakat) total konsumsi air. Gunakan pengukur inflasi sederhana untuk memperkirakan total konsumsi penduduk.

̂ = = 10000(12.5) = 125000 galon dikonsumsi oleh masyarakat. Sekali lagi, menghitung varians dan standard error dari estimasi.

( ̂) = ( ) = (10000) (12.3948) = 1239480000 ( ̂) = √1239480000 = 35206.25 gallon.

Batasan pada kesalahan estimasi oleh karena itu = 1.96(35206.25) = 69004 galon dengan 95% C.I.dari 125000 ± 69004 atau (55996, 194004) galon. Kita dapat yakin 95% bahwa interval (55996, 194004) galon berisi total populasi masyarakat yang sebenarnya mengkonsumsi air selama masa studi.

3. Apakah ukuran sampel harus diambil dalam rangka untuk memperkirakan total konsumsi air masyarakat ke dalam batasan 5.000 galon. Asumsikan ukuran sampel populasi yang tak terbatas sehingga

= = (10000) (1.96) (1252)

(5000) = 19239 yang mana ketika dikoreksi untuk ukuran populasi terbatas adalah

= = = 6580 meter air yang perlu dibaca.

4. Masyarakat hanya memiliki $ 300 untuk studi. Biaya overhead untuk studi adalah $ 50 dan biaya $ 0,25 untuk membaca meter. Apa ukuran sampel yang harus mereka ambil untuk tetap di dalam anggaran sebelum mendapatkan kemungkinan presisi terbesar? Apa

(5)

SSI

STATISTICAL STUDENT OF IST AKPRIND

5

yang diharapkan akan batasan pada perkiraan kesalahan total dalam menggunakan ukuran sampel ini?

Pertama, mengakui bahwa semakin besar ukuran sampel, semakin besar presisi, dan karena itu, mereka harus mengambil ukuran sampel terbesar bahwa mereka mampu. Karena mereka memiliki total $ 300 dan biaya $ 50 dalam overhead, maka mereka dapat mencurahkan 300 − 50 = 250 dolar untuk pengambilan sampel. Jadi, menemukan berapa banyak meter yang dapat dibaca dengan biaya $ 0,25 per meter.

= _. = 1000 meter.

Jika varians dari data yang baik diperkirakan oleh sampel pertama kami, maka perkiraan batasan pada kesalahan estimasi menggunakan ukuran sampel yang baru akan

= 1.96 ( ̂) = 1.96 1 − = 1.96 (10000) 1 − =

20806 galon.

Perkiraan koefisien variasi dari perkiraan total menjadi ( ̂) = ( ) × 100 = . (100) = 8.5 %. Contoh 2 :

Tanda tangan untuk sebuah petisi yang dikumpulkan di 676 lembar. Setiap lembar sudah cukup 42 ruang untuk tanda tangan, tetapi pada banyak sheet, sejumlah kecil tanda tangan dikumpulkan. Itu jumlah tanda tangan per lembar dihitung untuk sampel acak dari 50 lembar dengan hasil ditunjukkan dalam tabel di bawah ini.

No. Tanda Tangan Frekuensi

42 23

41 4

36 1

32 1

(6)

SSI

STATISTICAL STUDENT OF IST AKPRIND

6 http://ssista.wordpress.com/ 27 2 23 1 19 1 16 2 15 2 14 1 11 1 10 1 9 1 7 1 6 3 5 2 4 1 3 1

1. Memperkirakan jumlah tanda tangan untuk petisi dan melaporkan standard error dari estimasi. Kemudian membuat perkiraan interval keyakinan 95% perkiraan jumlah tanda tangan untuk permohonan.

Pertama menghitung dan melaporkan informasi ringkasan dengan menggunakan data dari tabel di atas.

= 676, = 50 = = 1471, = = 54497 = 1471 50 = 29.42, = 54497 −(1471)₅₀ 50 − 1 = 228.98

Gunakan pengukur inflasi sederhana untuk memperkirakan populasi total. ̂ = = 676(29.42) = 19888 tanda tangan untuk permohonan.

(7)

SSI

STATISTICAL STUDENT OF IST AKPRIND

7

( ̂) = 1 − = (679) . 1 − = 1937676.81 dengan standar error.

( ̂) = √1937676.81 = 1392 tanda tangan.

Dengan 95% perkiraan interval keyakinan kemudian akan ̂ ± (1.96) ( ̂) atau 19888 ± (1.96)1392 → 19888 ± 2728 → (17160, 22616) tanda tangan untuk permohonan.

2. Anggaplah bahwa jumlah sepenuhnya mengisi lembar (dengan masing-masing 42 tanda tangan) dihitung dan ditemukan untuk menjadi 326. Gunakan informasi ini untuk memperbarui titik dan perkiraan interval dari bagian 1.

Kita sekarang mengingat bahwa 326 lembar semua lembaran dalam populasi yang memiliki tepat 42 tanda tangan. Dengan demikian, kita dapat menghapus lembaran tersebut dari populasi (dan contoh kita) dan perkiraan berapa banyak tanda tangan yang di sisa "populasi". Kemudian, kita dapat menambahkan kembali 326 (42) = 13692 tanda tangan untuk perkiraan kami untuk mendapatkan perkiraan jumlah tanda tangan penduduk.

= 676 – 326 = 350 lembar dengan kurang dari 42 tanda tangan, = 50 – 23 = 27 lembaran dalam sampel dengan kurang dari 42 tanda tangan, ∑ = 1471 − 23(42) = 505, ∑ = 54497 – 23(42)2 = 13925, sehingga = = 18.704

dan = ( ) / = 172.29.

Menggunakan statistik ringkasan di atas sekarang kita dapat memperkirakan jumlah tanda tangan ke permohonan lembar berisi lebih sedikit dari 42 tanda tangan.

̂′_{= 350(18.704) = 6546.3 tanda tangan dan}

var( ̂′_{) = (350)2} . _{(1 −} _{) = 721399.04 dengan standar error se( ̂}′_{) =}

√721399.04 = 849,35 tanda tangan.

(8)

SSI

STATISTICAL STUDENT OF IST AKPRIND

8

̂ = 326(42) + 6546 = 20238 tanda tangan dengan standar error ( ) = 849.35. Pemberitahuan standard error tidak terpengaruh oleh informasi yang diketahui.

Interval kepercayaan 95% Oleh karena itu , ̂ ± (1.96)se( ̂) → 20238 ± 1665 → (18573, 21903) tanda tangan untuk permohonan.

Contoh 3 :

Dokter gigi A dan B membuat survei keadaan gigi dari 200 anak-anak di sebuah desa. Dr A memilih sampel acak sederhana dari 20 anak dan menghitung jumlah dari membusuk gigi untuk setiap anak dengan hasil sebagai berikut:

No. dengan gigi busuk/anak

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

No. dari anak-anak 8 4 2 2 1 1 0 0 0 1 1

Dr B, dengan menggunakan teknik gigi yang sama, mengkaji seluruh 200 anak-anak, merekam hanya orang-orang yang punya gigi membusuk. Ia menemukan 60 anak tanpa gigi membusuk.

1. Memperkirakan jumlah gigi membusuk pada anak-anak desa menggunakan hasil Dr A saja.

Meringkas data di atas: = 200, = 20, ∑ = 42, ∑ = 252, = = 2.1, dan

= ( ) / = 8.621.

̂ = 200(2.1) = 420 gigi membusuk pada anak-anak desa dengan varians dan standard error dari perkiraan var( ̂) = 200 . (1 − ) = 15517.8 dan se( ̂) = 124.6 gigi membusuk.

2. Memperkirakan jumlah gigi membusuk pada anak-anak desa menggunakan kedua hasil Dr A dan Dr B.

Karena kita sekarang tahu bahwa terdapat 60 anak-anak di desa tanpa gigi membusuk, kita dapat mendefinisi ulang populasi anak-anak dengan paling sedikit 1 gigi membusuk. Memperbarui informasi ringkasan : = 200 – 60 = 140, = 20 – 8 =

(9)

SSI

STATISTICAL STUDENT OF IST AKPRIND

9

12, ∑ = 42 − 8(0) = 42, ∑ = 252 − 8(0) = 252, = = 3.5 dan

= ( ) / = 9.545.

̂′ = 140(3.5) = 490 gigi membusuk dengan varians dan standard error

var( ̂′_{) = 140} . _{1 −} _{= 14253.9 dan ( ̂}′_{) = 119.4 gigi membusuk.}

Perhatikan bahwa perkiraan terbaru ini juga merupakan perkiraan jumlah gigi membusuk dalam populasi sejak 60 anak tanpa gigi membusuk berkontribusi apa pun untuk total ini. Jadi, ̂ = 490 gigi membusuk dan var( ̂) = 14253.9 dengan se( ̂) = 119.4 gigi membusuk.

3. Apakah perkiraan di bagian 1 dan bagian 2 tak bias? Mengapa atau mengapa tidak? Kedua penduga tak bias dari jumlah total penduduk gigi membusuk. Ini karena masing-masing populasi didefinisikan sedemikian rupa sehingga perkiraan total dapat didasarkan pada inflasi penilai sederhana dari sampel acak sederhana. Penting untuk dicatat bahwa kedua sampel merupakan sampel acak sederhana. Satu aspek, namun, yang tidak berbeda antara kedua sampel dan belum dipertimbangkan adalah bahwa untuk jawaban kedua, ukuran sampel, jumlah anak-anak dalam sampel dengan gigi membusuk, dapat dianggap sebagai variabel acak. Demikian, varians kami perkiraan hanya perkiraan varians bersyarat (pengondisian pada ukuran sampel yang tetap pada 12). Kita akan melihat ini jenis masalah lagi ketika kita membahas estimasi parameter dari subdomain dan pasca-stratifikasi dari sampel.

4. Perkiraan mana yang lebih tepat? Mengapa?

Jika kita mengabaikan bahwa ukuran sampel merupakan variabel acak dalam situasi kedua, maka Pengukur memanfaatkan kedua data Dr A dan Dr B's yang sedikit lebih baik daripada yang hanya menggunakan data Dr A's. Hal ini karena standard error dari data gabungan Pengukur lebih kecil daripada hanya menggunakan data Dr A.