BAB III PEMBAHASAN. pemrograman nonlinear dan penerapannya dalam penetapan jumlah produksi

(1)

BAB III

PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai langkah penyelesaian masalah pemrograman nonlinear dan penerapannya dalam penetapan jumlah produksi optimal pada biaya produksi perbulan di Tempe Murni dengan pendekatan

separable programming menggunakan hampiran fungsi linear sepotong-sepotong

dengan algoritma genetika.

A. Penyelesaian Masalah Nonlinear Menggunakan Pendekatan Separable

Programming

Separable programming merupakan metode penyelesaian model nonlinear yang khusus karena fungsi tujuan dan fungsi kendalanya harus dinyatakan sebagai jumlahan fungsi satu variabel dan bukan perkalian dua variabel berbeda atau lebih. Separable programming selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan hampiran fungsi linear sepotong-sepotong. Adapun langkah penyelesaiannya yaitu :

a. Membentuk model nonlinear

Model nonlinear dibentuk berdasarkan data yang diperoleh dari objek penelitian.

b. Membentuk Masalah P ( Fungsi Separable)

c. Mentransformasikan fungsi nonlinear menjadi fungsi linear dengan hampiran linear sepotong-sepotong formulasi Lambda dan membuat titik kisi.

(2)

d. Membentuk masalah AP e. Membentuk masalah LAP f. Menyelesaikan masalah LAP.

Masalah LAP yang diperoleh merupakan pemrograman linear yang selanjutnya dapat diselesaikan dengan metode penyelesaian pemrograman linear. Skripsi ini menggunakan algoritma genetika untuk menyelesaikan pemrograman linear yang telah diperoleh.

Secara umum, langkah penyelesaian pemrograman nonlinear menggunakan pendekatan separable programming dengan hampiran fungsi linear sepotong-sepotong formulasi lambda menggunakan algoritma genetika dapat diilustrasikan seperti pada Gambar 3.1 berikut :

Gambar 3.1 Bagan penyelesaian model nonlinear menggunakan separable

programming metode hampiran fungsi linear

sepotong-sepotong formulasi lambda dengan Algoritma Genetika

a

b

Fungsi Nonlinear Membentuk Masalah P

Mentransformasikan Fungsi Nonlinear menjadi Fungsi Linear dengan hampiran linear sepotong-sepotong formulasi Lambda dan membuat titik

kisi

Membentuk Masalah AP Membentuk Masalah LAP Menyelesaikan Masalah LAP dengan

Algoritma Genetika Solusi Optimal

(3)

Keterangan :

a : Nilai Lambda disubstitusikan ke fungsi tujuan linear.

b : Nilai lambda disubstitusikan ke persamaan variabel x untuk selanjutnya disubstitusi ke fungsi tujuan nonlinear.

B. Penerapan Model Nonlinear pada Produksi Tempe Murni

Pada sub bab ini akan dibahas bagaimana pembentukan model nonlinear untuk optimisasi biaya produksi di Tempe Murni untuk selanjutnya akan dibahas langkah penyelesaian model dengan menggunakan pendekatan separable

programming dengan hampiran fungsi linear sepotong-sepotong. Pada

penyelesaian akhir separable programming setelah terbentuk fungsi linear dengan kendala linear selanjutnya akan diselesaikan dengan algoritma genetika.

1. Pembentukan Model

Indusri Tempe Murni setiap harinya memproduksi ratusan bungkus tempe dengan berbagai harga/bungkus. Terdapat empat variasi harga yang diproduksi, yaitu harga Rp 5.000,00, harga Rp 3.500,00, harga Rp 2.500,00 dan harga Rp 2.000,00. Dari keempat varian tempe yang diproduksi, tempe dengan harga Rp 5.000,00/bungkus menjadi jenis produk yang paling banyak diminati sehingga jumlah produksinya paling banyak di antara yang lain. Selain produksi harian tetap yang akan dijual langsung, industri Tempe Murni juga menerima jasa pemesanan untuk konsumennya. Sehingga saat tejadi pemesanan tambahan dari konsumen, jumlah produksi/bulan yang dibuat akan mengalami kenaikan sehingga total produksi bulanan di Tempe Murni tidak selalu tetap.

(4)

Berdasarkan latar belakang tersebut, maka akan disusun model untuk meminimumkan biaya produksi bulanan yang harus dikeluarkan industri Tempe Murni agar keuntungan yang dihasilkan menjadi optimal. Adapun yang dimaksud biaya produksi total di sini yaitu biaya pembelian bahan baku, upah tetap pekerja, biaya distribusi dan biaya tambahan lain. Biaya – biaya seperti biaya pembelian bahan baku, upah tetap pekerja, biaya distribusi telah dikalkulasi oleh pemilik produksi dan dijadikan biaya modal untuk setiap bungkus tempe yang dihasilkan sehingga tidak dinotasikan dalam suatu variabel. Biaya tambahan lain yang dimaksud adalah biaya yang dikeluarkan saat terjadi pemesanan dalam jumlah besar. Pada kondisi tersebut tenaga kerja akan mengalami penambahan jam kerja sehingga terdapat pengeluaran tambahan untuk upah jam tambahan pekerja. Tabel 3.1 – Tabel 3.3 berikut adalah data produksi tetap, data jumlah pemesanan dan data biaya produksi bulanan Tempe Murni.

Tabel 3.1 Jumlah Produksi Tetap (Tanpa Pesanan) Tempe Murni Periode April 2016 – Juni 2016

Bulan Jenis Produk (dengan satuan bungkus) A (5.000/bungkus) B (3.500/bungkus) C (2.500/bungkus) D (2.000/bungkus) April 2016 6000 3600 1000 1500 Mei 2016 6000 3600 900 1800 Juni 2016 6000 3600 900 1800

Jumlah produksi tetap ini merupakan jumlah tempe yang habis terjual setiap bulannya, yang belum merupakan kapasitas maksimal produksi. Kapasitas

(5)

maksimal produksi berupa jumlah tempe maksimal yang dapat diproduksi pekerja tanpa adanya biaya tambahan.

Tabel 3.2 Jumlah Pemesanan Tempe Murni Periode April 2016 – Juni 2016

Bulan Jenis Produk (dengan satuan bungkus) A (5.000/bungkus) B (3.500/bungkus) C (2.500/bungkus) D (2.000/bungkus) April 2016 120 150 240 300 Mei 2016 200 150 240 320 Juni 2016 300 180 210 360

Jumlah pemesanan merupakan jumlah tempe yang diproduksi diluar produksi tetap. Jika jumlah pemesanan sedikit dan tidak melebihi kapasitas maksimal produksi maka pemilik tidak akan mengeluarkan biaya tambahan.

Tabel 3.3 Data Biaya Produksi Tempe Murni Periode April 2016 – Juni 2016

Bulan Jenis Produk (dengan satuan bungkus) A (5.000/bungkus) B (3.500/bungkus) C (2.500/bungkus) D (2.000/bungkus) April 2016 Rp 17.433.500,00 Rp7.518.500,00 Rp1.802.900,00 Rp1.980.000,00 Mei 2016 Rp 17.665.200,00 Rp7.518.500,00 Rp1.657.600,00 Rp2.332.000,00 Juni 2016 Rp 17.957.000,00 Rp7.578.200,00 Rp1.616.800,00 Rp2.378.500,00

(6)

Tabel 3.3 merupakan data biaya produksi yang dikeluarkan untuk produksi total Tempe Murni (tetap dan pesanan) selama periode yang ditentukan. Naik turunnya jumlah biaya membuat produsen Tempe Murni masih kesulitan dalam hal menentukan jumlah produksi minimal untuk setiap varian tempe yang diproduksi, sehingga diharapkan nantinya industri Tempe Murni dapat memperkirakan biaya produksi minimal yang harus dikeluakan setiap bulannya.

Dalam penelitian ini diasumsikan beberapa hal, yaitu : 1. Produksi tetap setiap bulan selalu habis terjual.

2. Pola jumlah pemesanan tidak berbeda secara signifikan. 3. Tidak ada perubahan biaya modal.

Selanjutnya, berdasarkan tujuan yang ingin dicapai yaitu meminimumkan biaya produksi Tempe Murni untuk empat varian harga, maka dibentuk variabel keputusan yang akan digunakan yaitu :

= banyak produksi tempe varian A yaitu tempe dengan harga Rp 5.000,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).

= banyak produksi tempe varian B yaitu tempe dengan harga Rp 3.500,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).

= banyak produksi tempe varian C yaitu tempe dengan harga Rp 2.500,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).

= banyak produksi tempe varian D yaitu tempe dengan harga Rp 2.000,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).

Adapun langkah – langkah dalam pembentukan model matematika untuk permasalahan Tempe Murni adalah sebagai berikut :

(7)

a. Membentuk Fungsi Tujuan

Melihat data biaya produksi dari Tempe Murni tiap bulannya berubah-ubah, maka fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah fungsi dengan bentuk nonlinear. Biaya produksi total merupakan jumlahan dari biaya produksi untuk masing – masing varian produk. Oleh karena itu, fungsi tujuan dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari biaya produksi untuk setiap varian produk.

Pada permasalahan Tempe Murni ini digunakan data biaya produksi bulan April 2016 hingga Juni 2016 tiap produk. Fungsi tujuan dibentuk dengan menjadikan jumlah produksi total tiap varian sebagai nilai , dan biaya produksi setiap varian produk sebagai nilai . Fungsi biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi setiap varian tempe diperoleh dengan mencari regresi polynomial yang akan ditentukan dengan software Geogebra melalui perintah Fitpoly.

1) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi

Langkah yang digunakan untuk mencari fungsi biaya yaitu dengan menginput data jumlah produksi total Tempe Murni Varian A dan biaya produksi Tempe Murni Varian A. Selanjutnya dengan bantuan menu Spreadsheet dalam

software Geogebra lalu diolah menggunakan command Fitpoly dengan orde 2,

(8)

Gambar3.2 Tampilan hasil fitpoly untuk

Berdasarkan pengolahan dari software Geogebra maka biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi yaitu

0,12 2408,07 4292917,02 (3.1)

Setelah menginput data jumlah produksi total dan biaya produksi Tempe Murni Varian B dengan bantuan menu Spreadsheet lalu diolah dengan menggunakan command Fitpoly, maka didapatkan Gambar 3.3 sebagai berikut :

(9)

Gambar 3.3 Tampilan hasil fitpoly untuk

0,19 1378,58 374355,88 (3.2)

Setelah menginput data jumlah produksi total dan biaya produksi Tempe Murni varian C dengan bantuan menu Spreadsheet lalu diolah dengan menggunakan command Fitpoly, maka didapatkan Gambar 3.4 sebagai berikut :

(10)

0,72 249,62 1012447,66 (3.3)

Setelah menginput data jumlah produksi total dan biaya produksi Tempe Murni varian D dengan bantuan menu Spreadsheet lalu diolah dengan menggunakan command Fitpoly, maka didapatkan Gambar 3.5 sebagai berikut :

(11)

0,17 419,44 662500 (3.4)

Fungsi tujuan pada permasalahan ini adalah mengoptimalkan biaya produksi total yang dibentuk dari penjumlahan biaya produksi setiap varian produk, sehingga berdasarkan fungsi (3.1) – (3.4) maka didapatkan fungsi tujuan adalah meminimumkan :

, , , 0,12 2408,07 4292917,02 0,19 1378,58 374355,88 0,72 249,62 1012447,66

(12)

Persamaan (3.5) Tersebut dapat disederhanakan menjadi : , , , 0,12 2408,07 0,19 1378,58 0,72 249,62 0,17 419,44 5593508,8 (3.6) b. Membentuk Fungsi Kendala

Berdasarkan informasi dari pemilik industri Tempe Murni, kapasitas minimal produksi untuk tempe jenis A ( adalah 6200 bungkus, tempe jenis B ( sebanyak 3760 bungkus, tempe jenis C ( sebanyak 1180 bungkus dan tempe jenis D ( sebanyak 2100 bungkus.

Fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah meminimumkan biaya produksi, maka jumlah produksi yang dapat dibuat diharapkan merupakan jumlah produksi yang maksimal agar tidak terlalu banyak penambahan produksi saat terjadi pemesanan dalam jumlah besar. Fungsi kendala dari permasalahan ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

6200 (3.7a) 3760 (3.7b) 1180 (3.7c) 2100 (3.7d)

, , , 0 (3.7e)

Jadi, permasalahan industri Tempe Murni dapat dimodelkan menjadi model nonlinear dengan fungsi tujuan sesuai dengan Persamaan (3.6) dan fungsi kendala sesuai dengan Persamaan (3.7).

(13)

2. Penyelesaian Model Nonlinear Menggunakan Separable Programming Metode Hampiran Fungsi Linear Sepotong-sepotong

Penyelesaian model nonlinear dengan pendekatan separable programming selanjutnya dikerjakan menggunakan metode hampiran fungsi linear sepotong-sepotong (piecewise linear approximation). Adapun langkah – langkah penyelesaiannya yaitu sebagai berikut :

a. Membentuk Masalah P

Berdasarkan Persamaan (3.6), maka diperoleh :

0,12 2408,07 (3.8a)

0,19 1378,58 (3.8b)

0,72 249,62 (3.8c)

0,17 419,44 5593508,8 (3.8d)

Persamaan (3.6) yang telah dijabarkan dalam Persamaan (3.8) tersebut dapat dinyatakan sebagai fungsi separable seperti persamaan (2.18) untuk

1,2,3,4 yaitu :

∑ (3.9)

Berdasarkan fungsi kendala (3.7) dan Persamaan (2.19), maka fungsi kendala tersebut dapat diubah menjadi :

; 0 ; 0 ; 0 (3.10a)

0; ; 0 ; 0 (3.10b)

0; 0 ; ; 0 (3.10c)

(14)

Pada pembentukan fungsi kendala dengan pendekatan separable

programming perlu ditambahkan satu kendala lagi yaitu interval nilai untuk

1, 2, 3, 4. Berdasarkan kendala (3.7) maka kendala baru yang ditambahkan

yaitu 0 6300 (3.10e)

Batas atas dalam permasalahan ini digunakan 6300 karena yang mendekati nilai kendala yang paling besar.

Selanjutnya, untuk masalah meminimumkan harus dipenuhi bahwa Persamaan (3.6) dan Persamaan (3.7) merupakan jumlahan dari fungsi – fungsi cembung. Fungsi cembung dapat diidentifikasi dengan menentukan turunan keduanya. Berdasarkan Teorema 2.1., maka :

0,24 0

0,38 0

1,44 0

0,34 0

Turunan kedua dari setiap fungsi > 0 sehingga merupakan fungsi cembung sempurna. Dengan cara yang sama dapat diketahui pula bahwa setiap fungsi kendala (3.7) merupakan fungsi cembung.

Berdasarkan identifikasi yang telah dilakukan, maka masalah nonlinear dengan fungsi tujuan seperti pada Persamaan (3.6) dan fungsi kendala seperti

(15)

pada Persamaan (3.7) dapat diselesaikan dengan menggunakan separable

programming.

b. Menentukan jumlah titik kisi

Banyaknya titik kisi dapat ditentukan secara sembarang. Pada perhitungan awal untuk masalah ini ditetapkan jumlah titik kisi yang digunakan sebanyak empat ( 1, 2, 3, 4 . Interval setiap titik kisi pada masalah ini dibuat sama agar memudahkan dalam perhitungan. Berdasarkan (3.10e) maka nilai untuk permasalahan ini adalah sebagai berikut :

0, 2100, 4200, 6300 (3.11a)

0, 2100, 4200, 6300 (3.11b)

0, 2100, 4200, 6300 (3.11c)

0, 2100, 4200, 6300 (3.11d)

Nilai fungsi titik kisi dengan 4 titik kisi dapat dilihat pada Lampiran 3. c. Membentuk Masalah AP

Pembentukan masalah AP diperoleh dengan cara membentuk model linear dari masalah P yang dilakukan dengan hampiran fungsi linear sepotong-sepotong formulasi lambda. Berdasarkan Persamaan (2.24), (2.25) dan (2.26) maka diperoleh hampiran linearnya yaitu :

∑ (3.12a)

∑ (3.12b)

∑ (3.12c)

(16)

dengan kendala ∑ (3.13a) ∑ (3.13b) ∑ (3.13c) ∑ (3.13d) ∑ (3.13e) ∑ (3.13f) ∑ (3.13g) ∑ (3.13h) ∑ (3.13i) ∑ (3.13j) ∑ (3.13k) ∑ (3.13l) ∑ (3.13m) ∑ (3.13n) ∑ (3.13o) ∑ (3.13p) 1 (3.14a) 1 (3.14b) 1 (3.14c) 1 (3.14d) , , , 0 untuk 1,2,3, … ,4. (3.14e)

(17)

0 2100 4200 6300 (3.15a) 0 2100 4200 6300 (3.15b) 0 2100 4200 6300 (3.15c) 0 2100 4200 6300 (3.15d) Sehingga diperoleh masalah AP sebagai berikut :

Meminimumkan

∑ (3.16)

dengan kendala

∑ , 1,2, … , (3.17)

0 1,2, … , (3.18) d. Membentuk Masalah LAP

Berdasarkan Persamaan (2.30), fungsi tujuan masalah LAP dapat dituliskan sebagai berikut :

∑ . (3.19)

berdasarkan persamaan (3.12a) – (3.12d), persamaan (3.19) dapat dituliskan sebagai berikut

∑ (3.20) Berdasarkan persamaan (2.30), persamaan (3.20) dapat dituliskan

sebagai berikut

(18)

. (3.21) Berdasarkan persamaan (3.8), (3.9) dan (3.10) dalam menghitung nilai dari

, dan Tabel nilai fungsi titik kisi pada lampiran 3, diperoleh hampiran fungsi tujuan linear sebagai berikut :

0 11 3486147 21 8030694 31 13633641 41 0 12

3732918 ₂₂ 9141636 ₃₂ 16226154 ₄₂ 0 ₁₃ 2650998 ₂₃ 11652396 ₃₃ 27004194 ₄₃ 5593508,8 ₁₄ 7224032,8 ₂₄

10353956,8 34 14983280,8 44 (3.22)

Berdasarkan persamaan (2.31a), fungsi kendala untuk masalah LAP dapat dituliskan sebagai berikut

∑ 1 2 3 4 1 (3.23a)

∑ ₁ ₂ ₃ ₄ ₂ (3.23b)

∑ 1 2 3 4 3 (3.23c)

∑ 1 2 3 4 4 (3.23d)

Berdasarkan persamaan (3.13), persamaan (3.23) dapat dituliskan sebagai berikut : ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ₁ (3.24a) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3.24b) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3.24c)

(19)

∑ ∑ ∑ ∑

∑ . (3.24d)

Berdasarkan persamaan (2.31a), persamaan (3.24) dapat dituliskan sebagai berikut 11 11 21 21 41 41 12 12 12 ₁₃ ₁₃ ₁₃ ₁₄ ₁₄ ₁₄ (3.25a) 11 11 21 21 41 41 22 22 22 ₂₃ ₂₃ ₂₃ ₂₄ ₂₄ ₂₄ (3.25b) 11 11 21 21 41 41 32 32 32 33 33 33 ₃₄ ₃₄ ₃₄ (3.25c) 11 11 21 21 41 41 12 12 22 22 42 42 43 43 43 44 44 44 . (3.25d)

(20)

Berdasarkan persamaan (3.25) dan Tabel nilai fungsi titik kisi pada Lampiran 3, substitusikan nilai dari sehingga diperoleh hampiran fungsi kendala linear sebagai berikut

0 11 2100 21 4200 31 6300 41 0 12 0 22 0 32 0 42 0 13 0 23 0 33 0 43 0 14 0 24 0 34 0 44 6200 (3.26a) 0 11 0 21 0 31 0 41 0 12 2100 22 4200 32 6300 42 0 13 0 23 0 33 0 43 0 14 0 24 0 34 0 44 3760 (3.26b) 0 11 0 21 0 31 0 41 0 12 0 22 0 32 0 42 0 13 2100 23 4200 33 6300 43 0 14 0 24 0 34 0 44 1180 (3.26c) 0 ₁₁ 0 ₂₁ 0 ₃₁ 0 ₄₁ 0 ₁₂ 0 ₂₂ 0 ₃₂ 0 ₄₂ 0 ₁₃ 0 ₂₃ 0 ₃₃ 0 ₄₃ 0 ₁₄ 2100 ₂₄ 4200 ₃₄ 6300 ₄₄ 2100 (3.26d) Berdasarkan Persamaan (3.22) dan (3.26) dapat diperoleh masalah

pemrograman linear dengan fungsi-fungsi linear sebagai berikut : Meminimumkan

0 ₁₁ 3486147 ₂₁ 8030694 ₃₁ 13633641 ₄₁ 0 ₁₂

3732918 22 9141636 32 16226154 42 0 13 2650998 23

11652396 ₃₃ 27004194 ₄₃ 5593508,8 ₁₄ 7224032,8 ₂₄

(21)

dengan kendala 0 ₁₁ 2100 ₂₁ 4200 ₃₁ 6300 ₁ 0 ₁₂ 0 ₂₂ 0 ₃₂ 0 0 ₁₃ 0 ₂₃ 0 ₃₃ 0 ₄₃ 0 ₁₄ 0 ₂₄ 0 ₃₄ 0 ₄₄ 6200 (3.28a) 0 0 0 0 0 2100 4200 6300 0 0 0 0 0 0 0 0 3760 (3.28b) 0 ₁₁ 0 ₂₁ 0 ₃₁ 0 ₄₁ 0 ₁₂ 0 ₂₂ 0 ₃₂ 0 ₄₂ 0 ₁₃ 2100 ₂₃ 4200 ₃₃ 6300 ₄₃ 0 ₁₄ 0 ₂₄ 0 ₃₄ 0 ₄₄ 1180 (3.28c) 0 ₁₁ 0 ₂₁ 0 ₃₁ 0 ₄₁ 0 ₁₂ 0 ₂₂ 0 ₃₂ 0 ₄₂ 0 13 0 23 0 33 0 43 0 14 2100 24 4200 34 6300 ₄₄ 2100 (3.28d) 11 21 31 41 1 (3.28e) 12 22 32 42 1 (3.28f) 13 23 33 43 1 (3.28g) 14 24 34 44 1 (3.28h) 1, 2, 3, 4 0 dengan 1, 2, 3, 4

(22)

dan terdapat paling sedikit satu tidak nol atau paling banyak dua , tidak nol dan berdampingan.

Berdasarkan fungsi tujuan dan fungsi kendala yang telah diperoleh, maka dapat diketahui bahwa model linear yang terbentuk memiliki 16 variabel keputusan dengan 8 fungsi kendala.

e. Menyelesaikan model linear dengan Algoritma Genetika

Proses penyelesaian model linear dengan kendala linear ini akan menggunakan bantuan software Matlab yang akan dibahas dalam sub bab berikutnya.

3. Penyelesaian Model Linear dengan Algoritma Genetika

Penyelesaian model linear dengan algoritma genetika akan dilakukan menggunakan software Matlab. Optimisasi Algoritma default dari Matlab merupakan optimisasi meminimumkan. Beberapa komponen algoritma genetika yang telah diset oleh Matlab yaitu jumlah populasi sebanyak 20, seleksi menggunakan metode roulette whell, crossover probability ( = 0,8 dan mutation

probability ( = 0,2. Jadi dalam skripsi ini hanya membahas proses Algoritma Genetika dengan menggunakan proses yang telah menjadi default dari Matlab.

Meminimumkan 0 11 3486147 21 8030694 31 13633641 41 0 12 3732918 ₂₂ 9141636 ₃₂ 16226154 ₄₂ 0 ₁₃ 2650998 ₂₃ 11652396 ₃₃ 27004194 ₄₃ 5593508,8 ₁₄ 7224032,8 ₂₄ 10353956,8 34 14983280,8

(23)

dengan kendala 2100 4200 6300 6200 2100 4200 6300 3760 2100 ₂₃ 4200 ₃₃ 6300 ₄₃ 1180 2100 4200 6300 2100 1 12 22 32 42 1 13 23 33 43 1 14 24 34 44 1 1, 2, 3, 4 0 dengan 1, 2, 3, 4

Selanjutnya untuk memudahkan penginputan, variabel-variabel pada fungsi diatas akan diubah sebelum diselesaikan menggunakan Matlab. Adapun teknis pengubahannya yaitu berurutan dari 1 , 2 , ,

16 . Sehingga menjadi sebagai berikut : Meminimumkan 0 1 3486147 2 8030694 3 13633641 4 0 5 3732918 6 9141636 7 16226154 8 0 9 2650998 10 11652396 11 27004194 12 5593508,8 13 7224032,8 14 10353956,8 15 14983280,8 16 dengan kendala

(24)

2100 2 4200 3 6300 4 6200 2100 6 4200 7 6300 8 3760 2100 10 4200 11 6300 12 1180 2100 14 4200 15 6300 16 2100 1 2 3 4 1 5 6 7 8 1 9 10 11 12 1 13 14 15 16 1 0 , dengan 1,2, ,16

Langkah – langkah penyelesaiannya sebagai berikut : a. Pengkodean Fungsi Fitness

Fungsi fitness merupakan fungsi tujuan yang akan dicari nilai optimalnya. Nilai optimal yang dicari dalam Matlab adalah nilai minimum dari fungsi fitness. Input disimpan dengan nama fungsiku.m (dapat dilihat di Lampiran 4).

b. Pengkodean Fungsi Kendala

Fungsi kendala diinput dalam script Matlab dan disimpan dengan nama kendala.m(dapat dilihat di Lampiran 4).

c. Minimasi dengan Algoritma Genetika

Langkahnya yaitu melakukan input perintah pada command window untuk mengoptimalkan fungsi tujuan dengan kendala yang sudah diinput dan disimpan dengan nama fungsiku.m dan kendala.m tadi.

(25)

Tampilannya sebagai berikut :

Gambar 3.6 Tampilan perintah untuk minimasi pada command window Matlab

Selanjutnya dengan menekan enter maka akan didapatkan nilai atau yang meminimumkan fungsi tujuan linear. Namun karena sifat dasar algoritma genetika yang dimulai dengan menggunakan pembangkitan bilangan acak seperti yang sudah dijelaskan dalam Contoh 2.5, maka dalam skripsi ini digunakan 10 kali penginputan fungsi fitness dan fungsi kendala yang sama (hasil dapat dilihat pada Lampiran 5), dan dipilih satu hasil yang paling minimum sebagai berikut :

(26)

Berdasarkan Gambar 3.7 diatas didapatkan hasil yang optimal yaitu : (1) = 0,0000 (2) = 0,0000 (3) = 0,0475 (4) = 0,9525 (5) = 0,0000 (6) = 0,2094 (7) = 0,7906 (8) = 0,0000 (9) = 0,3254 (10) = 0,6746 (11) = 0,0000 (12) = 0,0000 (13) = 0,0000 (14) = 0,9761 (15) = 0,0239 (16) = 0,0000

Pada permasalahan ini membahas tentang produksi tempe yang dinyatakan dalam satuan bungkus, sehingga lambda yang diperoleh harus merupakan bilangan bulat agar didapatkan jumlah produksi tempe dalam bilangan bulat. Oleh karena itu, dilakukan pemrograman bulat untuk mengubah lambda yang telah diperoleh menjadi bilangan bulat. Pemrograman

(27)

bulat dilakukan menggunakan software WinQSB yang prosesnya dapat dilihat pada Lampiran 6 sehingga diperoleh hasil

Gambar 3.8 Hasil Pemrograman Bulat dengan WinQSB dengan lambda sudah dalam bentuk bilangan bulat.

0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

(28)

1 0 0

32.560.310

Langkah selanjutnya yaitu mensubstitusikan nilai-nilai lambda yang telah didapatkan kedalam persamaan (3.15) untuk mendapatkan nilai

, , , dan sehingga didapatkan : 0 2100 4200 6300 =(0)(0) + (2100)(0) + (4200)(0) + (6300)(1) = 6300 0 2100 4200 6300 = (0)(0) + (2100)(0) + (4200)(1) + (6300)(0) =4200 0 2100 4200 6300 = (0)(0) + (2100)(1) + (4200)(0) + (6300)(0) = 2100 0 2100 4200 6300 = (0)(0) + (2100)(1) + (4200)(0) + (6300)(0) = 2100

Hasil yang diperoleh yaitu jumlah produksi (varian A) sebanyak 6300 bungkus, (varian B) sebanyak 4200 bungkus, (varian C) sebanyak 2100 bungkus dan (varian D) sebanyak 2100 bungkus.

(29)

Sehingga nilai minimum untuk fungsi nonlinear (biaya total produksi bulan Juli) yaitu :

, , , 0,12 1408,07 0,19 1378,58 0,72 249,62 0,17 419,44 5593508,8 =(0,12)(6300)2 + (1408,07)(6300) + (0,19)(4200)2 + (1378,58)(4200) +(0,72)(2100)2 – (249,62)(2100) + (0,17)(2100)2+ (419,44)(2100) + 5593508,8 = 32.650.307,8

Selanjutnya sebagai pembanding, masalah nonlinear produksi tempe murni juga diselesaiakan langsung menggunakan software winqsb. Melalui software winqsb didapatkan hasil biaya produksi Rp 32.417.660,00 (Lampiran 7).

Hasil perhitungan fungsi tujuan linear dengan nonlinear memang sedikit berbeda karena fungsi tujuan linear merupakan suatu nilai pendekatan (Rao, 1984 : 649), namun demikian substitusi nilai bernilai benar karena adanya jaminan bahwa hanya ada dua yang bernilai positif dan lebih dari nol.

Berdasarkan Teorema 2.2 yang menjelaskan bahwa penyelesaian masalah pendekatan juga merupakan penyelesaian yang layak dari masalah P. Pada penelitian ini Masalah LAP merupakan pendekatan dari masalah nonlinear sehingga penyelesaian pendekatan pada masalah LAP merupakan penyelesaian layak dari masalah nonlinear juga.