Bagian
3
Differensiasi
Bagian 3 Differensiasi berisi materi tentang penerapan konsep limit untuk menghitung turunan dan berbagai teknik differensial. Pada penerapan konsep limit, Anda akan diperkenalkan dengan konsep dasar mencari turunan sebuah fungsi dengan menggunakan limit. Sedangkan pada teknik differensial, Anda akan mempelajari 6 (enam) teknik dasar untuk mencari turunan sebuah fungsi.
Differensiasi merupakan materi penting untuk mengikuti materi dalam seri matematika berikutnya, yaitu Matematika II dan Matematika III. Untuk itu penguasaan yang sempurna terhadap teknik differensial menjadi hal yang mutlak.
Kompetensi yang diharapkan setelah menyelesaikan bagian 3 Differensiasi adalah Anda diharapkan mampu :
1. Menghitung turunan fungsi dengan menggunakan konsep limit
2. Menghitung turunan fungsi dengan menggunakan 7 (tujuh) teorema dasar turunan
3. Menghitung turunan fungsi trigonometri
4. Menghitung turunan dengan menggunakan aturan rantai 5. Menghitung turuanan fungsi implisit
6. Menghitung turunan fungsi transenden
7. Menghitung turunan kedua dan turunan ketiga
3.1 Garis Singgung dan Perubahan Nilai
Telah dijelaskan pada bagian sebelumnya bahwa garis singgung sebuah kurva didapat dengan cara menggeser garis potong secara perlahan-lahan hingga menuju suatu limit tertentu. Pada gambar di bawah, garis potong PQ kurva f(x) diputar sehingga menjadi garis singgung di titik P. Kedua garis, yaitu garis singgung dan garis potong, mempunyai kemiringan yang disebut
slope. Kemiringan garis potong dinamakan msec dan kemiringan garis singgung dinamakan mtan. Kemiringan garis potong adalah selisih jarak vertikal dibagi dengan selisih jarak horizontal, atau
0 1 0 1 sec ) ( ) ( x x x f x f m − − = 3.1
Jika kita misalkan x1 menuju x0 maka f(x1) akan menuju f(x0). Jadi kemiringan sebuah garis singgung dapat didefinisikan
0 1 0 1 tan ) ( ) ( lim 0 1 x x x f x f m x x − − = → 3.2
sb. y
sb. y
sb. x
tangent line secant line secant line Q (x1) f f(x1) – f(x0)P
P
f(x0) Qsb. x
0 1 0 1 sec
x
x
)
x
(
f
)
x
(
f
m
−
−
=
0 1 tan
x
x
lim
m
→
=
2 1 0 1x
x
)
x
(
f
)
x
(
f
−
−
Rata-rata dan Kecepatan Seketika
Hal sama juga berlaku untuk kecepatan pada sebuah gerakan perpindahan benda. Jika dimisalkan sebuah benda bergerak dari s0 ke s1 pada waktu t0 ke t1, maka kecepatan didefinisikan
0 1 0 1 0 1 0 1 ( ) ( ) t t t f t f t t s s vave − − = − − = 3.3
Jika dilihat pada gambar di bawah ini, vave adaslah kemiringan dari kurva gerakan benda. S
S = f(t)
t
Rata-rata kecepatan =tempuh
waktu
tempuh
jarak
Meskipun kecepatan rata-rata digunakan penuh untuk beberapa kepentingan hal tersebut tidak selalu mempunyai arti yang sama dalam masalah-masalah fisika. Sebagai contoh jika mobil menabrak pohon, kerusakan tidak ditentukan oleh kecepatan rata-rata hingga waktu bertubrukan tapi oleh kecepatan seketika pada saat kejadian tepat pada saat tubrukan
.
S S V
inst.V
ave tS = f(t) (t
1,S
1)
S
1S
1S
0(t
0,s
0) S
0 tt
0t
1t
0t
1 0 1 0 1 avct
t
S
S
V
−
−
=
V
ave 0 1 instt
t
lim
V
→
=
0 1 0 1 avct
t
)
t
(
f
)
t
(
f
V
−
−
=
0 1 inst
t
t
lim
V
→
=
0 1 0 1t
t
)
t
(
f
)
t
(
f
−
−
Rata-rata dan Perubahan Nilai Seketika
m
tansb.y S
y = f(x) y = f(x)
f(x
1)
f(x
0)
x
0x
1x
0x
1m
sec=
0 1 0 1x
x
)
x
(
f
)
x
(
f
−
−
0 1 inst
t
t
lim
V
→
=
0 1 0 1x
x
)
x
(
f
)
x
(
f
−
−
Contoh 3.1 Misalkan y = x2 + 1a. Tentukan rata-rata perubahan pada interval [3,5] b. Tentukan kecepatan perubahan pada x = - 4
c. Tentukan kecepatan perubahan pada sembarang x. Penyelesaian: a. 8 3 5 10 26 3 5 ) 3 ( ) 5 ( ) ( ) ( 0 1 0 1 sec = − − = − − = − − = f f x x x f x f m b.
4
17
)
1
(
lim
)
(
)
(
lim
1 2 1 4 0 1 0 1 tan 1 0 1+
−
+
=
−
−
=
− → →x
x
x
x
x
f
x
f
m
x x x8
)
4
(
lim
4
16
lim
1 4 1 2 1 4 tan 1 1−
=
−
=
+
−
=
− → − →x
x
x
m
x xc. 0 1 2 0 2 1 0 1 0 1 tan
)
1
(
)
1
(
lim
)
(
)
(
lim
0 1 0 1x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
m
x x x x−
+
−
+
=
−
−
=
→ → 0 0 1 0 1 2 0 2 1tan
lim
lim
(
)
2
0 1 0 1
x
x
x
x
x
x
x
m
x x x x−
=
+
=
−
=
→ →Latihan Soal 3.1
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk soal berikut, a) carilah kemiringan pada sembarang titik x0, b) gunakan hasil bagian a untuk mencari kemiringan pada titik x0 yang dberikan.
1.
(
)
1
...
...
02
2+
=
=
x
x
x
f
2.(
)
3
2
...
...
02
2+
+
=
=
x
x
x
x
f
3.2 Turunan
Definisi turunan :a. Jika P(x0 , y0) adalah titik pada grafik sebuah fugsi f(x), maka garis singgung fungsi f(x) pada P didefinisikan sebagai garis penerus di P dengan kemiringan h x f h x f m h ) ( ) ( lim 0 0 tan − + = → 3.4
b. Fungsi f’(x) didefinisikan dengan rumus
h ) f(x h) f(x lim m (x) f' 0 0 0 h tan − + = = → 3.5
adalah disebut derivatif/turunan yang nilainya pada sembarang x dari fungsi f(x). Daerah asal/domain dari f’(x) berlaku untuk sembarang x yang mana limit ini ada.
Contoh 3.1
Carilah nilai turunan untuk fungsi f(x) = x2 + 1 dengan menggunakan konsep limit. Penyelesaian : f’(x) = lim
h
x
f
h
x
f
(
+
)
−
(
)
h 0= lim
[
] [
]
h
x
h
x
)
1
1
(
+
2+
−
2+
h 0 = limh
x
h
xh
x
2+
2
+
2−
2−
1
h 0 = limh
h
xh
22
+
h 0 = lim2
x
+
h
h 0 = 2x Contoh 3.2Carilah nilai turunan untuk fungsi f(x) = mx + b dengan menggunakan konsep limit Penyelesaian : f’(x) = lim
h
x
f
h
x
f
(
+
)
−
(
)
h 0 = lim[
] [
]
h
b
mx
b
h
x
m
(
+ )
+
−
+
h 0 = limh
b
mx
b
mh
mx
+
+
−
−
h 0 = limh
mh
= m h 0 Contoh 3.3Carilah nilai turunan untuk fungsi f(x) =
x
dengan menggunakan konsep limit.Penyelesaian: f’(x) = lim
h
x
f
h
x
f
(
+
)
−
(
)
h 0 = lim[
]
h
x
h
x
+ )
−
(
h 0 = lim[
[
][
]
]
x
h
x
h
x
h
x
x
h
x
+
+
+
+
−
+
)
(
(
)
(
h 0 = limx
h
x
+ )
+
(
1
h 0 =x
2
1
Notasi Turunan
Penulisan notasi turunan dilakukan dengan berbagai simbol, yaitu
[
(
)
]
)
(
'
'
f
x
dx
d
x
f
dx
dy
y
=
=
=
Persamaan di atas dibaca turunan fungsi y terhadap x. Berdasarkan notasi di atas maka:
[
x
]
x
dx
d
2
1
2+
=
[
mx
b
]
m
dx
d
+
=
[ ]
x
x
dx
d
2
1
=
Proses untuk mendapatkan turunan, seperti yang dilakukan pada contoh di atas, disebut differensiasi.
Latihan Soal 3.2
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk setiap soal di bawah ini, carilah turunan fungsi f(x) dengan menggunakan konsep limit.
1.
f
(
x
)
= x
x
(
+
1
)
2.x
x
f
−
=
2
1
)
(
3.7
7
)
(
−
=
x
x
f
4.2
1
)
(
+
=
x
x
f
5.f
(
x
)
=
(
x
+
1
)(
x
−
4
)
3.3 Teknik-teknik Differensial
Persamaan untuk mencari turunan yang diberikan oleh persamaan 3.5 dapat digunakan secara luas untuk semua fungsi. Walaupun demikian, untuk fungsi yang lebih rumit pemakaian tidak menjadi sederhana. Dengan kata lain, penyelesaian memerlukan langkah yang sangat panjang dan rumit.
Untuk menentukan turunan sebuah fungsi, untuk fungsi-fungsi yang lebih rumit, digunakan teknik differensial. Ada 7 (tujuh) teorema dasar yang dapat digunakan untuk mencari turunan sebuah fungsi aljabar. Tujuh teorema di bawah ini merupakan dasar dalam menguasai teknik differensial.
Teorema 1 :
Jika f adalah sebuah fungsi konstan, dikatakan f(x) = C untuk semua nilai x, maka :
[ ]
C
=
0
dx
d
3.6 Teorema 2 :Jika n adalah bilangan bulat positif, maka :
[ ]
n=
n−1nx
x
dx
d
3.7 Teorema 3 :Misalkan C adalah konstanta. Jika f adalah differensiabel pada x maka c.f juga differensiabel pada x, maka :
[
(
)
]
[
f
(
x
)
dx
d
C
x
Cf
dx
d
=
]
3.8 Teorema 4 :Jika f dan g adalah differensiabel pada x, maka f + g juga differensiabel pada x :
[
(
)
(
)
]
[
(
)
]
[
g
(
x
)
dx
d
x
f
dx
d
x
g
x
f
dx
d
+
=
+
]
3.9aDengan asumsi (-1).g, maka :
[
(
)
(
)
]
[
(
)
]
[
g
(
x
)
dx
d
x
f
dx
d
x
g
x
f
dx
d
−
=
−
]
3.9b Teorema 5 :Jika f dan g adalah differensiabel, maka f.g juga differensiabel pada x :
[
(
).
(
)
]
(
)
[
(
)
]
(
)
[
f
(
x
)
dx
d
x
g
x
g
dx
d
x
f
x
g
x
f
dx
d
+
=
]
3.10 Teorema 6 :Jika f dan g adalah fungsi yang differensiabel pada x dan g(x) ≠ 0, maka f/g differensiabel pada x :
[
]
[
]
[
]
2)
(
)
(
).
(
)
(
).
(
)
(
)
(
x
g
x
g
dx
d
x
f
x
f
dx
d
x
g
x
g
x
f
dx
d
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3.11 Teorema 7 :Jika g differensiabel pada x dan g(x) ≠ 0, maka 1/g(x) adalah differensiabel pada x :
[
]
[
]
2)
(
)
(
)
(
1
x
g
x
g
dx
d
x
g
dx
d
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3.12Turunan Tingkat Tinggi
Jika turunan f’ dari fungsi f adalah differensiabel, maka turunan dari f’ dinotasikan f’’ dan dinamakan turunan kedua dari f: Jika turunan kedua diturunkan lagi, kita akan mendapatkan turunan ketiga, dan seterusnya. Turunan yang lebih dari satu kali dinamakan turunan tingkat tinggi. Kaidah-kaidah teorema di atas tetap berlaku untuk turunan tingkat tinggi.
[
]
[
]
[
f
x
dst
]
dx
d
x
f
dx
d
x
f
dx
d
→
→
→
)
(
)
(
)
(
3 3 2 2 Contoh 3.4 Carilah turunany
=
(
x
7−
x
5)
Penyelesaian:
[
7 5]
[ ]
7[ ]
5 6 45
7
)
(
)
(
)
(
x
x
x
dx
d
x
dx
d
x
x
dx
d
dx
dy
−
=
−
=
−
=
Contoh 3.5 Carilah turunany
=
x
Penyelesaian: 2 / 1x
x
y
=
=
( )
x
x
x
x
dx
d
dx
dy
x
f
y
2
1
2
1
2
1
)
(
'
'
=
=
=
1/2=
1/2−1=
−1/2=
Contoh 3.6 Carilah turunany
=
(
x
2−
4
)(
3
x
3−
9
)
Penyelesaian:[
(
2−
4
)(
3
3−
9
)
]
=
(
2−
4
)
[
(
3
3−
9
)
]
+
(
3
3−
9
)
[
(
2−
4
)
]
=
x
dx
d
x
x
dx
d
x
x
x
dx
d
dx
dy
)
2
)(
9
3
(
)
9
)(
4
(
x
2x
2x
3x
dx
dy
−
+
−
=
)
18
6
(
)
36
9
(
x
4x
2x
4x
dx
dy
=
−
+
−
x
x
x
dx
dy
18
36
15
4−
2−
=
Latihan Soal 3.3
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk setiap fungsi berikut, carilah turunan pertama dan sederhanakan jawaban yang didapat.
1.
1
1
)
(
4 2+
−
=
x
x
x
f
2.(
7
)
2
1
)
(
x
=
x
4+
f
3.(
)
31
7x
x
x
f
=
−
−+
4.x
x
x
f
(
)
=
+
1
5.(
)
1
(
21
b
c
)
x
x
a
x
f
=
+
+
3.4 Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan fungsi trigonometri dapat dicari dengan menggunakan persamaan 3.5. Hasil dari penyelesaiannya dapat dilihat dalam persamaan berikut.
[
Sin
(
x
)
]
Cos
(
x
)
dx
d
=
[
Cos
(
x
)
]
Sin
(
x
)
dx
d
=
−
[
(
)
]
2(
)
x
Sec
x
Tan
dx
d
=
[
(
)
]
2(
)
x
Csc
x
Cotg
dx
d
=
−
[
Sec
(
x
)
]
Sec
(
x
)
Tan
(
x
)
dx
d
=
[
Csc
(
x
)
]
Csc
(
x
)
Cotg
(
x
)
dx
d
=
−
Contoh 3.7Carilah turunan fungsi Sin (x) Penyelesaian :
[
Sin
(x
)
]
=
dx
d
= limh
Sinx
h
x
Sin
(
+ )
−
0
→
h
= limh
Sinx
h
Sin
x
Cos
h
Cos
x
Sin
.
+
.
−
0
→
h
= limh
h
Sin
x
Cos
h
h
Cos
x
Sin
(
1
)
(
)
+
−
0
→
h
= Cos xLatihan Soal 3.4
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!
Dengan menggunakan konsep limit, buktikan persamaan turunan fungsi trigonometri di atas.
3.5 Aturan Rantai
Aturan rantai untuk mencari turunan, digunakan jika kita menjumpai komposisi fungsi atau fungsi yang dinyatakan dalam bentuk f o g.
Misalkan terdapat dua fungsi f(x) dan g(x), maka y = (fog)(x) = f(g(x)) Jika u = g(x) maka y = f(u)
Jadi fungsi y = f(u) dapat dicari turunannya
f
' u
(
)
dx
dy =
. Dengan cara lain dapat ditulis:dx
du
du
dy
dx
dy
.
=
Contoh 3.8Carilah turunan fungsi y = 4Cos x3
Penyelesaian: y = 4Cos x3 misalkan x3 = u ………. du = 3x2 y = 4Cos u
dx
du
du
dy
dx
dy
.
=
=[
4
(
)
]
.
[ ]
x
3dx
d
x
Cos
du
d
= -4Sin u. 3x2 Contoh 3.9Carilah turunan fungsi w = Tan (4t3 + t)
Penyelesaian : w = Tan (4t3 + t) misalkan (4t3 + t) = x ………...dx = 12t2 + 1 w = tan x
dt
dx
dx
dw
dt
dw
.
=
=
[
]
[
t
t
]
dx
d
x
Tan
dx
d
+
34
.
)
(
=Sec
2x
.(
12
t
2+
1
)
= (12t2 + 1) Sec2 (4t3+ t)Rumus-rumus umum untuk mencari turunan fungsi dengan menggunakan aturan rantai diberikan dalam persamaan di bawah ini.
[ ]
dx
du
U
n
U
dx
d
n n.
.
−1=
[ ]
dx
du
x
U
dx
d
.
2
1
=
[
]
dx
du
U
Cos
U
Sin
dx
d
).
(
)
(
=
[
]
dx
du
U
Sin
U
Cos
dx
d
).
(
)
(
=
−
[
]
dx
du
U
Sec
U
Tan
dx
d
).
(
)
(
=
2[
]
dx
du
U
Csc
U
Cot
dx
d
).
(
)
(
=
−
2[
]
dx
du
U
Tan
U
Sec
U
Sec
dx
d
)
(
).
(
)
(
=
[
]
dx
du
U
Cot
U
Csc
U
Csc
dx
d
)
(
).
(
)
(
=
−
Contoh 3.10Carilah turunan fungsi y = (1 + x5 Cot x)-8 Penyelesaian : Misalkan (1 + x5 Cot x) = U ……….. y = U –8
[
5 8]
)
(
.
1
+
x
Cot
x
−dx
d
=[ ]
U
−8dx
d
= -8U-9
[
1
x
.
Cot
(
x
)
]
dx
d
+
= -8U-9.[
(
.
)
5
.
(
)
]
4 2 5x
Cot
x
x
Csc
x
+
= (1+ x5Cot x)-9[
−
8
x
5.
Csc
2(
x
)
−
40
x
4.
Cot
(
x
)
]
Notasi Differensial
[ ]
C
=
0
dx
d
[ ]
0
=
C
d
[ ]
dx
df
C
f
C
dx
d
.
.
=
d
[ ]
C
.
f
=
C
.
df
[
]
dx
dg
dx
df
g
f
dx
d
±
=
±
d
[
f
±
g
]
=
df
±
dg
[ ]
dx
df
g
dx
dg
f
g
f
dx
d
.
.
.
=
+
d
[ ]
f
.
g
=
f
.
dg
+
g
.
df
[
]
2.
.
/
g
dx
dg
f
dx
df
g
g
f
dx
d
−
=
[
/
]
.
2.
g
dg
f
df
g
g
f
d
=
−
Latihan Soal 3.5
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Gunakan aturan rantai untuk mencari turunan pertama fungsi berikut.
1.
y
=
cos
23
x
2.y
=
sin(
1
+
cos
2
x
3. 5 9)
9
(
1
+
−
=
x
x
y
4.⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
1
sin
3x
x
y
5. 2 37
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
x
x
y
3.6 Differensiasi Implisit
Pada bagian sebelumnya kita selalu menulis fungsi dengan menempatkan unsur y di sisi kiri persamaan dan unsur x di sisi kanan persamaan. Ada beberapa fungsi yang tidak bisa dipisahkan secara tegas antara x dan y. Sebagai contoh, fungsi yx2 +x2y2 = 10 tidak bisa dipisahkan antara nilai x dan y. Dengan kata lain kita tidak bisa menuliskan unsur y saja di kiri persamaan dan unsur x saja di kanan persamaan. Fungsi-fungsi yang tidask bisa dipisahkan antara unsur x dan unsur y dalam penulisannya, disebut fungsi implisit.
Pandang suatu persamaan: x.y = 1
Satu cara untuk mendapatkan dy/dx adalah dengan menulis kembali persamaan di atas menjadi y =1/x kemudian menurunkannya terhadap x.
2
1
1
x
x
dx
d
dx
dy
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
Bagaimanapun cara tersebut merupakan satu metode yang benar. Cara lain yang dapat digunakan adalah dengan menurunkan kedua sisi persamaan x.y = 1 sebelum menyelesaikan setiap y dalam bentuk x.
Dengan pendekatan ini akan diperoleh:
[ ]
.
[ ]
1
dx
d
y
x
dx
dy
=
[ ]
[ ]
0
.
+
x
=
dx
d
y
y
dx
dy
x
0
.
+ y
=
dx
dy
x
……….x
y
dx
dy
−
=
Hasil ini kelihatannya tidak sama dengan cara pertama, tapi dengan menggantikan nilai y maka akan diperoleh:
2
1
x
dx
dy
−
=
Metode kedua untuk mendapat turunan ini dinamakan differensiasi implisit. Metode ini terutama digunakan saat sukar atau tidak mungkin menyelesaikan secara tegas fungsi y dalam bentuk x.
Contoh 3.11
Carilah turunan dari 5y2 + Sin (y) = x Penyelesaian:
[
+
]
=
[ ]
x
→
dx
d
y
Sin
y
dx
dy
)
(
5
2[ ]
+
[
]
=
[ ]
x
→
dx
d
y
Sin
dx
d
y
dx
dy
)
(
5
21
)
(
2
.
5
+
=
dx
dy
y
Cos
dx
dy
y
[
10
y
+
Cos
(
y
)
]
=
1
dx
dy
)
(
10
1
y
Cos
y
dx
dy
+
=
Contoh 3.12Carilah turunan fungsi 7y2 + x3y = 4 Penyelesaian:
[
7
2 3]
[ ]
4
dx
d
y
x
y
dx
d
=
+
[ ]
7
2[ ]
3[ ]
4
dx
d
y
x
dx
d
y
dx
d
+
=
0
3
14
2 3=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
dx
dy
x
y
x
dx
dy
y
[
14
y
+
x
3] [ ]
+
3
x
2y
=
0
dx
dy
[ ]
[
3]
214
3
x
y
y
x
dx
dy
+
−
=
Latihan Soal 3.6
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!!
Carilah turunan fungsi implisit di bawah ini. 1.
x
3y
2−
5
x
2y
+
x
=
1
2.
(
x
2+
3
y
2)
35=
x
3.
sin(
x
2y
2)
=
x
4.
tan
5(
xy
2+ )
y
=
x
3.7 Turunan Fungsi Transenden
Fungsi transenden adalah fungsi yang mengandung unsur logaritma (log), logaritma alami (ln), dan bilangan eksponensial (e). Turunan fungsi transenden dapat dicari dengan menggunakan persamaan di bawah ini.
(
x
)
dx
d
blog
=
...,
0
ln
1
>
x
b
x
(
x
dx
d
ln
)
=
1
...,
x
>
0
x
(
U
)
dx
d
blog
=
dx
dU
b
U
ln
.
1
(
U
dx
d
ln
)
=
dx
dU
U
.
1
(
x
dx
d
ln
)
=
1
...,
x
≠
0
x
)
(
e
xdx
d
= e
x)
(
e
Udx
d
=dx
dU
e
U.
Teknik aturan rantai sering digunakan dalam mencari turunan fungsi transenden. Contoh 3.13 Carilah turunan
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ x
x
x
1
sin
ln
2 Penyelesaian:⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ x
x
x
dx
d
1
sin
ln
2⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
)
1
ln(
2
1
)
ln(sin
ln
2x
x
x
dx
d
=
(
x
)
x
x
x
+
−
2
1
+
1
sin
cos
2
=
x
x
x
2
2
1
cot
2
+
−
+
=
x
x
x
2
(
1
)
cot
1
2
+
+
−
Contoh 3.14Carilah turunan fungsi
(
2)
4 3 21
14
7
x
x
x
y
+
−
=
Penyelesaian :(
2)
4 3 21
14
7
x
x
x
y
+
−
=
Logaritma alami (ln) kita kerjakan di kedua sisi persamaan, sehingga menjadi:
)
1
ln(
4
)
14
7
ln(
3
1
ln
2
ln
2x
x
x
y
=
+
−
−
+
21
8
14
7
3
/
7
2
1
x
x
x
x
dx
dy
y
=
+
−
−
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
−
+
+
−
=
2 3 2 21
8
6
3
1
2
)
1
(
14
7
.
x
x
x
x
x
x
x
dx
dy
Contoh 3.15Carilah turunan fungsi y=eln(x3+1)
Penyelesaian:
[
ln( 3+1)]
=
xe
dx
d
dx
dy
[
ln( 3 1)]
.
[ln(
3+
1
)]
=
+x
dx
d
e
dx
dy
x[
]
.
(
1
)
)
1
(
1
.
3 3 ) 1 ln( 3+
+
=
+x
dx
d
x
e
dx
dy
x[
]
2 3 ) 1 ln(3
.
)
1
(
1
.
3x
x
e
dx
dy
x+
=
+[
ln( 1)]
3 2 3.
)
1
(
3
++
=
xe
x
x
dx
dy
Latihan Soal 3.7
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan
sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!!
Carilah turunan pertama untuk soal berikut. 1.
