THEOREMA SISA, THEOREMA FAKTOR BENTUK POLINUM. Prepared by: Romli Shodikin, M.Pd sabtu., 23 November 2013 Pertemuan 7

(1)

THEOREMA SISA, THEOREMA FAKTOR

BENTUK POLINUM

Prepared by: Romli Shodikin, M.Pd

sabtu., 23 November 2013

(2)

Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Linear

Teorema Sisa :

TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR

1.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh

pembagi linear berbentuk (x – k), maka

sisanya adalah s = f(k).

2.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh

pembagi linear berbentuk (ax + b), maka

sisanya adalah s =

 

a b

f



Bukti : f(x) = (x – k).H(x) + s Jika x = k, maka f(k) = (k – k).H(k) + s f(k) = 0.H(k) + s f(k) = 0 + s _{ Sisa s = f(k) (terbukti)}

(3)

Contoh soal :

1. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4_+4x3–x2+5x– 7)

oleh (x – 2)

Jawab :

S = f(2) = 3.24 _{+ 4.2}3 – 22 + 5.2 – 7 = 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7 = 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7 = 48 + 32 – 1 = ₇₉

Jadi sisa suku banyak di atas adalah

79

2. Suku banyak (2x3 _{+ ax}2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika

dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b !

(4)

Jawab :

f(x) = (2x3 _{+ ax}2 + bx – 2) s = 7 jika dibagi (2x – 3)  s = = 7 _f

 

₂3 s = = 2 + a + b – 2 = 7 _f

 

₂3

 

3 2 3

 

2 3

 

2 2 3

 

2

7 f

s

3b₂ 4 9a 4 27 2 3









x 4 27 + 9a + 6b = 36 9a + 6b = 9 _{: 3} 3a + 2b = 3 ...(1) f(x) habis dibagi (x + 2)  s = f(– 2) = 0 s = f(– 2) = 2(– 2)3+ a(– 2)2+ b(– 2) – 2 = 0 s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0

2. Suku banyak (2x3 _{+ ax}2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b !

(5)

s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0 4a – 2b = 18 _{: 2}

2a – b = 9…...(2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita cari nilai a dan b :

(1)….3a + 2b = 3 (2)….2a – b = 9 x 1 x 2 3a + 2b = 3 4a – 2b = 18 ₊ 7a = 21 a = 3

Untuk menentukan nilai b, substitusikan a = 3 pada

persamaan (1) atau (2)  (2)…. 2 . 3 – b = 9  b = – 3

Jadi a + b = 3 + (

–

3) = 0

(6)

Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk

Kuadrat yang dapat difaktorkan (x

–

a)(x

–

b)

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – a)(x – b)

Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (x–a)(x – b),

selalu dapat dituliskan :

f(x) = p(x) . H(x) + s

f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + s(x)

f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + (px+q)

P adalah koefisien x dan q adalah konstanta

Untuk menentukan nilai p dan q lakukan kegiatan

5.2 pada hal. 173

(7)

Sehingga didapatkan :

b

a

f

b

f

a

q

dan

b

a

b

f

a

f

p









(

)

(

)

.

(

)

.

(

)

Jadi :

b

a

f

b

f

a

x

b

a

b

f

a

f

x

s









(

)

(

)

.

(

)

.

(

)

(

Contoh soal :

Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4_+4x3–x2+5x– 7)

oleh x2 + x – 6 !

Jawab :

P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)

(8)

)

3 (

2

79 ).

3 (

104 .

2 )

3 (

2

104

79 )

(









x

s

Jadi :

b

a

f

b

f

a

x

b

a

b

f

a

f

x

s









(

)

(

)

.

(

)

.

(

)

(

5

237

208

5

25 







x

89

5 





x

(9)

P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)  a = 2 dan b = - 3

Jawab :

f(a) = f(2) = 3.24 _{+ 4.2}3 – 22 + 5.2 – 7 = 48 + 32 – 4 + 10 – 7 = 79 f(b) = f(- 3) = 3.(- 3)4 _{+ 4. (- 3)}3 – (- 3)2 + 5. (- 3) – 7 = 243 – 108 – 9 – 15 – 7 = 104

b

a

f

b

f

a

x

b

a

b

f

a

f

x

s









(

)

(

)

.

(

)

.

(

)

(

Jadi :

(10)

SOAL-SOAL LATIHAN

10

.

adalah....

sisanya

)

3 (2x

dibagi

f(x)

banyak

suku

5.Jika

3)sisanya

-(2x

dibagi

jika

dan

10 sisanya

1)

(x

dibagi

f(x)

banyak

Suku

2.

2





x

(11)

SOAL-SOAL LATIHAN

11

.

adalah....

)

2

3 (x

oleh

P(x)

pembagian

sisa

1. 2)sisanya

-(x

oleh

dibagi

jika

23)dan

-(12x

sisanya

)

1 (x

oleh

dibagi

P(x)

banyak

suku

Suatu

3.

2 2





x

(12)

SOAL-SOAL LATIHAN

12

adalah....

2

2 oleh x

P(x)

pembagian

sisa

2)

-(x

dibagi

6

4 3x

P(x)

banyak

Suku

4.

2 2 3







x

k

x

(13)

SOAL-SOAL LATIHAN

13

.

adalah....

)

3

2 (x

oleh

h(x)

pembagian

sisa

maka

f(x).g(x)

h(x)

Jika

15. bersisa

3)

-(x

dibagi

jika

dan

9 -bersisa

1)

(x

dibagi

jika

g(x)

banyak

suku

4. bersisa

3)

-(x

dibagi

jika

dan

8 bersisa

1)

(x

dibagi

jika

f(x)

banyak

suku

Diketahui

5.

2







x

(14)

(15)

Teorema Faktor

1.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki

faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0.

2.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki

faktor (ax + b) jika dan hanya jika = 0

 

a b

f



Contoh soal :

Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) !

Bukti :

f(x) = (2x4 _{+ 7x}3 – 4x2 – 27x – 18)

• (x – 2) faktor dari (2x4 _{+ 7x}3 – 4x2 – 27x – 18)

(16)

Bukti :

f(x) = (2x4 _{+ 7x}3 – 4x2 – 27x – 18)

• (x – 2) faktor dari (2x4 _{+ 7x}3 – 4x2 – 27x – 18)

maka f(2) = (2.24 _{+ 7.2}3 – 4.22 – 27.2 – 18)

= (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0

Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x)

Terbukti

• (x + 3) faktor dari (2x4 _{+ 7x}3 – 4x2 – 27x – 18)

maka f(-3) = (2.(-3)4 _{+ 7.(-3)}3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18)

= (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0

Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x)

(17)

Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak

Menentukan Faktor Linear dari Suku Banyak

Jika f(x) = a

₀

x

n

+ a

₁

x

n-1

+ … + a

_n-1

x + a

_n

dan

(x – a) merupakan faktor dari f(x), maka nilai

a yang mungkin adalah faktor-faktor bulat

dari a

_n

Contoh soal :

Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)

Jawab :

Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1

Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0 f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8

(18)

Contoh soal :

Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)

Jawab :

Untuk a = -2  f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x)

Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut :

(19)

2 – 5 – 14 8 x = – 2 2 – 4 ₊ – 9 18 4 – 8 0  f(-2)

Sehingga :

f(x) = (x – k).H(x) + s 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = 2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

Jadi faktor dari

2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1)

dan (x – 4)

(x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0

(20)

Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak

Contoh soal :

Selesaikan persamaan suku banyak 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = 0

Jawab :

Untuk a = -2  f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x)

Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut :

(21)

2 – 5 – 14 8 x = – 2 2 – 4 ₊ – 9 18 4 – 8 0  f(-2)

Sehingga :

f(x) = (x – k).H(x) + s 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = 2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

Jadi faktor dari

2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1)

dan (x – 4)

(x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0

(22)

(23)

Pembagian Suku Banyak

Hitunglah 1.256 dibagi 3 dengan cara bersusun !

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k)

1. Cara bersusun

Contoh soal :

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 _{+ 4x}3 – x2 + 5x – 7

dibagi (x – 2) !

Jawab :

3x4 _{+ 4x}3 – x2 + 5x – 7 (x – 2) 3x3 3x4 – 6x3 -10x3 – x2 + 5x – 7 + 10x2 10x3 – 20x2 -19x2 + 5x – 7 + 19x 19x2 – 38x

(24)

-3x4 _{+ 4x}3 – x2 + 5x – 7 (x – 2) 3x3 3x4 – 6x3 -10x3 – x2 + 5x – 7 + 10x2 10x3 – 20x2 -19x2 + 5x – 7 + 19x 19x2 – 38x -43x – 7 + 43 43x – 86 -79  sisa  Hasil bagi pembagi

Jadi hasil baginya =

3x

3

+ 10x

2

+ 19x + 43

(25)

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis :

Contoh soal :

Jawab :

3 4 - 1 5 - 7 x = 2 3 6 ₊ 10 20 19 38 43 79 86  Sisa

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 _{+ 4x}3 – x2 + 5x – 7

dibagi (x – 2) !

Koefisien Hasil Bagi

Jadi hasil baginya = 3x3 _{+ 10x}2 _{+ 19x + 43} _{dan sisanya}

(26)

Pembagian Suku Banyak

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax+b)

1. Cara bersusun

Contoh soal :

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1

dibagi (2x + 4) !

Jawab :

6x4 _{+ 0x}3 – 4x2 + 2x – 1 (2x + 4) 3x3 6x4 + 12x3 -– 12x3 – 4x2 + 2x – 1 – 6x2 – 12x3 – 24x2 -20x2 + 2x – 1 + 10x 20x2 _{+ 40x}

(27)

-6x4 _{+ 0x}3 – 4x2 + 2x – 1 (2x + 4) 3x3 6x4 + 12x3 -– 12x3 – 4x2 + 2x – 1 – 6x2 – 12x3 – 24x2 -20x2 + 2x – 1 + 10x 20x2 _{+ 40x} -– 38x -– 1 – 19 – 38x – 76 -75  sisa

Jadi hasil baginya =

3x

3

- 6x

2

+ 10x -19

dan

sisanya adalah

75

 Hasil bagi

pembagi

(28)

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis :

Contoh soal :

Jawab :

6 0 – 4 2 – 1 x = – 2 6 – 12 ₊ – 12 24 20 – 40 – 38 75 76  Sisa

dibagi (2x + 4) !

Jadi hasil baginya : H(x) = 3x3 – 6x2 + 10x – 19 dan sisanya adalah f(– 2) = 75 H(x) =     a 38 20x 12x 6x3 2 = 3x3 – _6x2 _{+ 10x}– ₁₉ 2 38 20x 12x 6x3  2  

(29)

Pembagian Suku Banyak

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax

2

_{+ bx + c)}

1. Cara bersusun

Contoh soal :

dibagi (2x2 + x – 1) !

Jawab :

4x4 _{+ 0x}3 – 5x2 + 3x – 1 (2x2 + x – 1) 4x4 + 2x3 – 2x2 -– 2x3 – 3x2 + 3x – 1 2x2 – 2x3 – x2 _{+ x} -– 2x2 + 2x – 1 – x -– 1 – 2x2 – x + 1 3x – 2  sisa  Hasil bagi pembagi