Modul ke: Fakultas Program Studi
MATEMATIKA DASAR
Bab
Bilangan Irasional
dan Logaritma
Drs. Sumardi Hs., M.Sc.
02
FASILKOM
Teknik
Informatika
Bagian Isi
• Bilangan Irasional
- Berbagai bentuk akar dan operasinya
• Logaritma
02.1. BILANGAN IRASIONAL
A. PENGERTIAN BILANGAN IRASIONAL
Bilangan irasional adalah bilangan tidak dapat diukur secara langsung, kebanyakan bilangan ini berbentuk akar murni ( 2 , 5 , 7 ).
Bentuk akar adalah bilangan atau akar suatu bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Misal : 4 , 9 , 16 , 49 ,... . Bukan bentuk akar murni karena hasilnya rasional yaitu 2, 3, 4 dan 7, sedangkan bentuk akar murni contohnya :
5 , 2 , 7 , 3 5 , 2 15 . Bentuk akar n
x , n disebut indeks yaitu bilangan yang lebih besar dari satu, disebut tanda akar,.notasi untuk akar pangkat tiga 3
x ,sedangkan notasi untuk akar kuadrat ditulis 2
x atau lebih sering disingkat x .
Bilangan rasional : bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau
desimal berulang .
Contoh : 1/3 = 0,33333333
2/7 = 0,285714285714...
Bilangan irasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
atau desimal berulang.
Contoh : 2 = 1,414213562.... Log 2 = 0,201029995....
B. SIFAT-SIFAT BENTUK AKAR
Jika m dan n bilangan bulat, maka: a. ! Contoh : a 2 2 a 5 a 2 a 5 3 3 2 3 2 9 3 3 n m n m a a
b. ,
n
0
Contoh :
2 2 4 4 2 1 4c
c
c
c
2 3 4 6 2 4 3 2 4 32
2
2
2
c. ,
n
0
Contoh :
4p
2
4q
3
4p
2q
315
5
3
5
3
x
.
7
=
7
x
n
m
m
n
m
n
a
a
a
1
n n nb
a
b
a
C. OPERASI ALJABAR
a. Operasi penjumlahan dan pengurangan
Bentuk aljabar hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan pada peubah-peubah yang sejenis
Contoh : 3a + 2a = ( 3 + 2 ) a = 5a 7b - 3b = ( 7 – 3 ) b = 4b
3a + 2b = tidak dapat dijumlahkan karena peubah a dan b tidak sejenis.
Begitu pula dengan bentuk akar.Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan jika sejenis. Contoh :
6
3
4
3
6
4
3
10
3
5
2
3
3
3
3
2
3
5
a
b
k
k
b
k
a
k
b
a
k
b
k
a
a. Operasi perkalian Contoh :
2
5
4
3
8
15
67
. 3x
= 187
x
5
x
3
1 5
c. Operasi pembagianb
a
b
a
Contoh :3
6
18
6
18
2
8
2
4
2
2
(
4
2
)
2
(
2
2
)
4
2
5
40
3
6
5
3
40
6
x
x
n
m
b
a
n
b
m
a
a.
Menarik akar kuadrat
Contoh :
5
2
2
5
2
2
5
2
2
22
10
2
5
(2
3
- 3
5
)
2= (2
3
)
2– 2. (2
3
). (3
5
) + (3
5
)
2= 4.3 - 12
15
+ 9.5 = 12 - 12
15
+ 45
= 57 - 12
15
2 2
22
a
b
b
a
b
a
a
2
ab
b
LATIHAN SOAL 1
1. Ubahlan ke bentuk pangkat rasional
4 3 2 a …………..
5 5 4 5 ……… 2. 7 5 6 3 5 2 3 3 5 3. 5 6
2 2 3 4
= 4.
2 5 3 4
2 = 5. Jika x = 2 3 3 5 dan y = 4 5 2 Maka x . y = ………….. 6. Jika p = 3 2 4 3 dan q = 3 5 18 Maka (p – q)2 adalah ... 7. 2 32 27 75 98 50 …….. 8. 18 72 3 12 50 2 27 …………. 9. 50 5 4 75 5 3 72 3 2 98 32 2 1 12 …… ……….D. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR
Penulisan bentuk akar dikatakan sederhana jika memenuhi syarat-syarat
tertentu, yaitu :
1. Tidak mengandung faktor yang pangkatnya lebih dari satu. Contoh :
x
, x > 0 bentuk paling sederhana
x
3dan
x
5bukan bentuk sederhana
Proses penyelesaian :
8
9 8 2 4
5
5 .5
5
5
5
5
625 5
2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut. Contoh :
x
1
bukan bentuk sederhana
x
x
3. Tidak mengandung pecahan. Contoh :
2
5
bukan bentuk sederhana
2
10
bentuk sederhana
Proses penyelesaian bentuk pecahan didalam akar :
2
1
a
a b
ab
ab
b
b b
b
b
4. Menyederhanakan Akar
(a b 2 ab ) ( a b)2 a b
Contoh: 6 4 2 (4 2 2 4.2) ( 4 2)2 4 2 2 2
Contoh menyederhanakan bentuk akar yang lain: 1. 12 4x3 4 x 3 = 2 3 2. 8x3 4.2.x2 x = 4 x2 . 2x 3. (3x 5)9 (3x 8)8 . (3x 5) (3x 5)4 3x 5 4. x 1 = x x x x x x x . 2 1 5. 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 7 2 3 6 2 6 .2 6 2 2 = 1 3 2 6 1 6 2 2 2 2 .2 4
LATIHAN SOAL 2
1.
2
5
………..
2.
x
2
2
…………
3.
38x
7
…………..
4.
5 x
(
2
)
13
………….
5.
x
3
2
………..
6
3x
y
= ………….
7.
16x y
6 4= …………..
8.
2
5
a
b
= ……….
9.
3 14
189
= …………..
10.
128
32
8
27
= ………..
E. MERASIONALKAN PENYEBUT YANG BENTUK AKARNYA JUMLAH ATAU SELISIH DARI DUA BILANGAN.
Sifat perkalian istimewa :
( a + b ) ( a – b ) = a
2- b
2( a + b ) disebut kawan (conjugate ) dari ( a – b ) dan ( a – b ) adalah kawan dari ( a + b ).Hasil kali dari pasangan sekawan seperti ini selalu menghasilkan bilangan rasional.
( a +
b
) ( a -b
) = ( a2 ) – (b
)2 = a2 - b .
2 2a
b
a
b
a
b
a
b
2 2c
a
b
c
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
=
c
a
b
a
b
2 2 2c a
b
c a
b
c
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
Contoh :
1.
2 210 4
6
10 4
6
10 4
6
10
10
4
6
4
6
16 6
10
4
6
4
6
4
6
4
6
2.
2 2 2 22
5
2
2 2
5
2
5
2
5
2
5
4 5
2
5
2
5
2
5
2
5
4
4 5
5
9
4 5
9 4 5
1
1
LATIHAN SOAL 3
1.
3
2
5
……… 2.
2
3 1
………..
3.
7
5 3 2
……… 4.
5
2
5
2
………… 5.
2 5
3 2
5 5
2 2
…………..
02.2. LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA
A. DEFINISI LOGARITMA
Untuk menyelesaikan bilangan berpangkat seperti ;
2
2= ...; 3
3= ... ; 5
2= ...
Bilangan pokok dan pangkatnya diketahui sehingga dapat menentukan hasilnya.
Bagaimana dapat menentukan pangkatnya jika bilangan pokok dan hasil
perpangkatannya diketahui ?
5
x= 125 ; 10
x= 100 ; 16
x= 4
Soal diatas dapat diselesaikan dengan logaritma
5 10 16
5
125
log125
10
100
log100
16
4
log 4
x x xditulis
x
ditulis
x
ditulis
x
Hubungan antara perpangkatan dan logaritma yaitu LOGARITMA ADALAH
INVERS DARI PERPANGKATAN, secara umum ditulis sebagai berikut :
a
x= b
Logaritma suatu bilangan b dengan bilangan pokok a adalah x
a
log b = x
a disebut bilangan pokok logaritma atau basis
b disebut yang dilogaritmakan atau numerus
x. disebut hasil logaritma
a > 0 ; a
1 ; b > 0
Mengubah bentuk ax = b menjadi a log b = x Contoh : 35 = 243 menjadi 3log 243 = 5 a 2/3 = 4 menjadi alog 4 = 3 2
Tuliskan dalam bentuk logaritma bilangan berpangkat berikut ! 2n = 8
33 = 27
Mengubah a log b = x menjadi a x = b
Contoh :
3
log 81= 4 menjadi 34 = 81
2
log 6 = x menjadi 2x = 6
Tuliskan ke dalam bentuk bilangan berpangkat ! c. log 1000 = 3
d. 2 lo g 1 1 2
A. SIFAT-SIFAT LOGARITMA SIFAT 1 : a log a = 1 , alog 1 = 0 , 3 8
log 3
1
lo g 8
1
3 log 1 = 0 SIFAT 2 : alog(b.c) = alog b + a log c
3
log 8 = 3log 2.4 = 3 log 2 + 3 log 4
2
log 10 = 2log 2.5 = 2log 2 + 2log 5
3 log
1
2
+ 3 log 6 = 3log1
2
.6 = 3 log 3 = 1SIFAT 3 : a log c b = a log b – a log c 4 log 3 2 = 4 log 2 – 4log 3 5 3 5 5 lo g lo g 3 lo g 8 8 3
log 30 - 3log 10 = 3log 3 0
1 0 =
3
log 3 = 1
5
log 50 - 5log 2 = 5log 5 0
2 =
5
log 25 = 5log 52 = 2 5log5 = 2
SIFAT 4 :
a
log bc = c . a log b
log 9 = log 32 = 2 log 3
2 2 1 1 lo g lo g lo g 5 2 lo g 5 2 5 5
SIFAT 5 :
a
log b .
blog c =
alog c
6
log 3.
3log 7 =
6log 7
5 7 5 5 2 5
log 7. log 25
log 25
log5
2 log5
2
SIFAT 6 :
alog
2b = (
alog b )
2 2log
25 = (
2log 5 )
2 5log
37 = (
5log 7 )
3SIFAT 7 : n a l og b m = n m . a log b 25 log 34 = 5 4 2 log 3 33 l o g 52 2 3 l o g 5 3 SIFAT 8 : p log a =
l o g
l o g
t ta
p
a
a
log
b
b
bukti: dg bantuan log: a log b . log a = log ba log
b log
. log a = log b log b = log b
4 log 5 = 4 log 5 log 2 2
rumus penggantian bilangan pokok logaritma t > 0; 1
3log 7 =
3
3 3
l o g 3 1 l o g 7 l o g 7
CONTOH SOAL :
1).
3log 9 +
3log 18 –
3log 2 = ?
Jawab :
3
log 9 +
3log 18 –
3log 2 =
3log
2
18
9x
=
3log 81 =
3log 3
42). Diketahui : Log 2 = 0,3010 Log 3 = 0, 4771 Log 5 = 0,6990 Log 7 = 0,8451 Hitung : a. Log 49 1 b. log 15 c. Log 6 1 4 d. log 2 Jawab : a. Log log 49 1 12 7 = log 7 – 2 = -2 log 7 = -2 (0,8451) = - 1,6902 b. Log 15 = log 3. 5 = log 3 + log 5 = 0,4771 + 0,6990 = 1,1761
c. Log
log
3
log
7
0
,
4771
0
,
8451
0
,
3680
7
3
log
14
6
d. Log
2
= log 2 ½ = 1/ 2 log 2 = 1/ 2 x 0,3010 = 0,15053. Ubahlah 2 log 6 menjadi logaritma dengan bilangan pokok 3 ! Jawab : 3 2 3 lo g 6 lo g 6 lo g 2
4. Jika
3log 5 = P
a).
5log 3 = ?
b).
9log 125 = ?
c).
9log
5
= ?
Jawab :
a).
3 3 3log 3
1
log 5
log 5
P
b).
9log 125 = 3
2log 5
3=
3
2
3
log 5 =
2
3P
c).
9log
5
= 3
2log 5
½=
2
2
/
1
3log 5 =
4
p
5.
3log 64 x
4log 36 x
6log
3
=
Jawab :
3
log 4
3x
4log 6
2x
6log 3
½=
3
3log 4 x 2
4log 6 x ½
6log 3 =
(3 x 2 x 1/2 )
3log 3 = 3.1 = 3
LATIHAN SOAL 1 : 1.4 log 6 = P 16 log 3 6 2. 5 log 7 = P 25 log 7 = 3. Diketahui : log 3 = 0,4771 Log 2 = 0,3010
Log 8 + log 6 – log 27
4. Diketahui : 4 log 3 = P 4 log 5 = q
4 log 8 = r
a. 4 log 40 =….. b. 4 log 15 = …..
5. Jika 2 log a + 2 log b = 12, Berapa a. b = …. 6. Jika 32 log x = 64, maka x =….
7. 5 log x = a 5 log y = b 5 log z = c 5 3 2 l o g x = 5 3 l o g y z = 8. 9 log 125 x 25 log 81 = ……. 9. 5 log 12 1/2 + 5 log 2 = …… 10. 2 log 1/3 + 2 log 24 = ……...
C. PENENTUAN LOGARITMA BILANGAN ANTARA 0 DAN 1
Tentukan nilai – nilai logaritma berikut !
a. log 0,528
b. log 0,0528
c. log 0,00528
Jawab :
a. log 0,528 = log 5,28 X 10
-1= log 5,28 + log 10
-1= 0,723 - 1 = - 0,277
b. log 0,0528 = log 5,28 X 10
-2= log 5,28 + log 10
-2= 0,723 - 2 = - 1,277
c. log 0,00528 = log 5,28 X 10
-3= log 5,28 + log 10
-3= 0,723 – 3 = - 2,277
D. PENENTUAN LOGARITMA BILANGAN LEBIH DARI 10
Tentukan nilai-nilai logaritma berikut !
a. log 382,6
b. log 4.008,5
c. log 27.054
Jawab :
a. log 382,6 = log 3,826 X 10
2= log 3,826 + log 10
2= 0,583 + 2 = 2,583
b. log 4.008,5 = log 4,0085 x 10
3= log 4,0085 + log 10
3= 0,603 + 3 = 3,603
c. log 27.054 = log 2,7054 x 10
4= log 2,71 + log 10
4= 0,433 + 4 = 4,433
SOAL 1 : BILANGAN AKAR
1.
96
150
54
24
= ...
a. 0
b. 1 c.
2
e. -2
6
d.
3
2.
x 2 1 1 x 42
2
2
= ...
a. 2
2xb. 2
2x+1c. 2
3xd. 2
3x+1e. 2
3x+23.
19
8
3
= ...
a. 5 +
3
b. 5 −
3
c. 4 +
3
d. 4 −
3
e. 2 +
3
4.
14
8
3
= ...
SOAL-SOAL PILIHAN GANDA 1. 2log3
16
− 3log 427
= ... a. 0 b.12
1
c.12
1
d.12
7
e.12
7
2. Jika log 2 = p, log 3 = q dan log 5 = r . Maka log 150 = ...
a. 1 + p + q c. 1 + q + r e. 2pqr
b. 1 + p + r d. pqr
3. 5log 150 − 5log 24 + 5log 4 = ...
a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1
4. Jika log 2 = x maka log 5 = ...
a. 1 – x b. 1 + x c. x d. 2x e. x2
5. Jika 2log 25 = x, maka 2log 0,04 = ...
a. −1 b. 1 c. –x d. −4x e.
4
x
SOAL 3: SOAL UAN
Materi Pokok : Bentuk akar, Eksponen, dan Persamaan eksponen
1. Bentuk sederhana dari ( 1 + 3 2 ) – ( 4 – 50 ) adalah ….
a. – 2 2 – 3 b. – 2 2 + 5 c. 8 2 – 3 d. 8 2 + 3 e. 8 2 + 5 2. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ….
a. a 2 b. ) 1 ( 2 b a ab c. 2 a d. 1 2 1 ab b e. ab b a 2 ) 1 ( 3. Nilai dari .... 1 log . 1 log . 1 log 5 3 q r p p q r a. – 15 b. – 5 c. – 3 d, 15 1 e. 5 4. Nilai dari 2 3 1 . 4 5 6 5 2 3 . 6 y 7 y x x x
untuk x = 4 dan y = 27 adalah ….
a. 1 2 2 .9 2 b. 1 2 2 .9 3 c. 1 2 2 .18 3 d. 1 2 2 .27 2 e. 1 2 2
Materi Pokok : Persamaan dan pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma
5. Akar-akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x
…
a. – 5 b. – 1 c. 4 d. 5 e. 7
6. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah …. a. 2log 3 b. 3log 2 c. – 1 atau 3 d. 8 atau ½ e.
3 2 log
8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….
Terima Kasih
Mochamad Heriyanto Permana, S.Sn.
Daftar Pustaka
1. Retno Hendrawati, “Logika Matematika”, Ir.MT, Bambang Haryanto, Penerbit Informatika Bandung, 2002.
2. Seymour Lipschutz, “Matematika Diskrit Jilid I, Seri Schaum”, Penerbit Salemba Teknika, Jakarta, 2002.
3. Jong Jek Siang,MSc, “Matematika Diskrit & Aplikasinya pd Ilmu Komputer”, ANDI Yogyakarta, 2002.