• Tidak ada hasil yang ditemukan

MATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "MATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika"

Copied!
31
0
0

Teks penuh

(1)

Modul ke: Fakultas Program Studi

MATEMATIKA DASAR

Bab

Bilangan Irasional

dan Logaritma

Drs. Sumardi Hs., M.Sc.

02

FASILKOM

Teknik

Informatika

(2)

Bagian Isi

• Bilangan Irasional

- Berbagai bentuk akar dan operasinya

• Logaritma

(3)

02.1. BILANGAN IRASIONAL

A. PENGERTIAN BILANGAN IRASIONAL

Bilangan irasional adalah bilangan tidak dapat diukur secara langsung, kebanyakan bilangan ini berbentuk akar murni ( 2 , 5 , 7 ).

Bentuk akar adalah bilangan atau akar suatu bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Misal : 4 , 9 , 16 , 49 ,... . Bukan bentuk akar murni karena hasilnya rasional yaitu 2, 3, 4 dan 7, sedangkan bentuk akar murni contohnya :

5 , 2 , 7 , 3 5 , 2 15 . Bentuk akar n

x , n disebut indeks yaitu bilangan yang lebih besar dari satu, disebut tanda akar,.notasi untuk akar pangkat tiga 3

x ,sedangkan notasi untuk akar kuadrat ditulis 2

x atau lebih sering disingkat x .

Bilangan rasional : bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau

desimal berulang .

Contoh : 1/3 = 0,33333333

2/7 = 0,285714285714...

Bilangan irasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan

atau desimal berulang.

Contoh : 2 = 1,414213562.... Log 2 = 0,201029995....

(4)

B. SIFAT-SIFAT BENTUK AKAR

Jika m dan n bilangan bulat, maka: a. ! Contoh : a 2 2 a 5 a 2 a 5   3 3 2 3 2 9 3 3   n m n m a a

(5)

b. ,

n

0

Contoh :

2 2 4 4 2 1 4

c

c

c

c

2 3 4 6 2 4 3 2 4 3

2

2

2

2

c. ,

n

0

Contoh :

4

p

2

4

q

3

4

p

2

q

3

15

5

3

5

3

x

.

7

=

7

x

n

m

m

n

m

n

a

a

a

1

n n n

b

a

b

a

(6)

C. OPERASI ALJABAR

a. Operasi penjumlahan dan pengurangan

Bentuk aljabar hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan pada peubah-peubah yang sejenis

Contoh : 3a + 2a = ( 3 + 2 ) a = 5a 7b - 3b = ( 7 – 3 ) b = 4b

3a + 2b = tidak dapat dijumlahkan karena peubah a dan b tidak sejenis.

Begitu pula dengan bentuk akar.Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan jika sejenis. Contoh :

6

3

4

3

6

4

3

10

3

5

2

3

3

3

3

2

3

5

a

b

k

k

b

k

a

k

b

a

k

b

k

a

(7)

a. Operasi perkalian Contoh :

2

5

4

3

8

15

6

7

. 3

x

= 18

7

x

5

x

3

1 5

c. Operasi pembagian

b

a

b

a

Contoh :

3

6

18

6

18

2

8

2

4

2

2

(

4

2

)

2

(

2

2

)

4

2

5

40

3

6

5

3

40

6

x

x

n

m

b

a

n

b

m

a

(8)

a.

Menarik akar kuadrat

Contoh :

5

2

  

2

5

2

2

5

2

 

2

2

2

10

2

5

(2

3

- 3

5

)

2

= (2

3

)

2

– 2. (2

3

). (3

5

) + (3

5

)

2

= 4.3 - 12

15

+ 9.5 = 12 - 12

15

+ 45

= 57 - 12

15

  

2 2

 

2

2

a

b

b

a

b

a

a

2

ab

b

(9)

LATIHAN SOAL 1

1. Ubahlan ke bentuk pangkat rasional

 4 3 2 a …………..

 5 5 4 5 ……… 2. 7 5  6 3  5  2 3  3 5  3. 5 6

2 2  3 4

= 4.

2 5  3 4

2 = 5. Jika x = 2 3  3 5 dan y = 4 5 2  Maka x . y = ………….. 6. Jika p = 3 2  4 3 dan q = 3 5 18  Maka (p – q)2 adalah ... 7. 2 32  27  75  98  50  …….. 8. 18  72  3 12  50  2 27  …………. 9.      50  5 4 75 5 3 72 3 2 98 32 2 1 12 …… ……….

(10)

D. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR

Penulisan bentuk akar dikatakan sederhana jika memenuhi syarat-syarat

tertentu, yaitu :

1. Tidak mengandung faktor yang pangkatnya lebih dari satu. Contoh :

x

, x > 0 bentuk paling sederhana

x

3

dan

x

5

bukan bentuk sederhana

Proses penyelesaian :

8

9 8 2 4

5

5 .5

5

5

5

5

625 5

2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut. Contoh :

x

1

bukan bentuk sederhana

x

x

(11)

3. Tidak mengandung pecahan. Contoh :

2

5

bukan bentuk sederhana

2

10

bentuk sederhana

Proses penyelesaian bentuk pecahan didalam akar :

2

1

a

a b

ab

ab

b

b b

 

b

b

(12)

4. Menyederhanakan Akar

(a  b  2 ab )  ( a  b)2  a  b

Contoh: 6  4 2  (4  2  2 4.2)  ( 4  2)2  4  2  2  2

Contoh menyederhanakan bentuk akar yang lain: 1. 12  4x3  4 x 3 = 2 3 2. 8x3  4.2.x2 x = 4 x2 . 2x 3. (3x  5)9  (3x  8)8 . (3x  5)  (3x  5)4 3x  5 4. x 1 = x x x x x x x .  2  1 5. 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 7 2 3 6 2 6 .2 6 2 2      = 1 3 2 6 1 6 2 2  2  2 .2  4

(13)

LATIHAN SOAL 2

1.

2

5

………..

2.

x

2

2

…………

3.

3

8x

7

…………..

4.

5 x

(

2

)

13

………….

5.

x

3

2

………..

6

3

x

y

= ………….

7.

16x y

6 4

= …………..

8.

2

5

a

b

= ……….

9.

3 14

189

= …………..

10.

128

32

8

27

= ………..

(14)

E. MERASIONALKAN PENYEBUT YANG BENTUK AKARNYA JUMLAH ATAU SELISIH DARI DUA BILANGAN.

Sifat perkalian istimewa :

( a + b ) ( a – b ) = a

2

- b

2

( a + b ) disebut kawan (conjugate ) dari ( a – b ) dan ( a – b ) adalah kawan dari ( a + b ).Hasil kali dari pasangan sekawan seperti ini selalu menghasilkan bilangan rasional.

( a +

b

) ( a -

b

) = ( a2 ) – (

b

)2 = a2 - b .

 

    

2 2

a

b

a

b

a

b

a

b

   

2 2

c

a

b

c

c

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

=

c

a

b

a

b

 

 

2 2 2

c a

b

c a

b

c

c

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

(15)

Contoh :

1.

 

2 2

10 4

6

10 4

6

10 4

6

10

10

4

6

4

6

16 6

10

4

6

4

6

4

6

4

6

 

2.

 

2 2 2 2

2

5

2

2 2

5

2

5

2

5

2

5

4 5

2

5

2

5

2

5

2

5

 

4

4 5

5

9

4 5

9 4 5

1

1

  

LATIHAN SOAL 3

1.

3

2

5

……… 2.

2

3 1

………..

3.

7

5 3 2

……… 4.

5

2

5

2

………… 5.

2 5

3 2

5 5

2 2

…………..

(16)

02.2. LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

A. DEFINISI LOGARITMA

Untuk menyelesaikan bilangan berpangkat seperti ;

2

2

= ...; 3

3

= ... ; 5

2

= ...

Bilangan pokok dan pangkatnya diketahui sehingga dapat menentukan hasilnya.

Bagaimana dapat menentukan pangkatnya jika bilangan pokok dan hasil

perpangkatannya diketahui ?

5

x

= 125 ; 10

x

= 100 ; 16

x

= 4

Soal diatas dapat diselesaikan dengan logaritma

5 10 16

5

125

log125

10

100

log100

16

4

log 4

x x x

ditulis

x

ditulis

x

ditulis

x

(17)

Hubungan antara perpangkatan dan logaritma yaitu LOGARITMA ADALAH

INVERS DARI PERPANGKATAN, secara umum ditulis sebagai berikut :

a

x

= b

Logaritma suatu bilangan b dengan bilangan pokok a adalah x

a

log b = x

a disebut bilangan pokok logaritma atau basis

b disebut yang dilogaritmakan atau numerus

x. disebut hasil logaritma

a > 0 ; a

1 ; b > 0

(18)

Mengubah bentuk ax = b menjadi a log b = x Contoh : 35 = 243 menjadi 3log 243 = 5 a 2/3 = 4 menjadi alog 4 = 3 2

Tuliskan dalam bentuk logaritma bilangan berpangkat berikut ! 2n = 8

33 = 27

Mengubah a log b = x menjadi a x = b

Contoh :

3

log 81= 4 menjadi 34 = 81

2

log 6 = x menjadi 2x = 6

Tuliskan ke dalam bentuk bilangan berpangkat ! c. log 1000 = 3

d. 2 lo g 1 1 2  

(19)

A. SIFAT-SIFAT LOGARITMA SIFAT 1 : a log a = 1 , alog 1 = 0 , 3 8

log 3

1

lo g 8

1

3 log 1 = 0 SIFAT 2 : a

log(b.c) = alog b + a log c

3

log 8 = 3log 2.4 = 3 log 2 + 3 log 4

2

log 10 = 2log 2.5 = 2log 2 + 2log 5

3 log

1

2

+ 3 log 6 = 3log

1

2

.6 = 3 log 3 = 1

(20)

SIFAT 3 : a log c b = a log b – a log c 4 log 3 2 = 4 log 2 – 4log 3 5 3 5 5 lo g lo g 3 lo g 8 8   3

log 30 - 3log 10 = 3log 3 0

1 0 =

3

log 3 = 1

5

log 50 - 5log 2 = 5log 5 0

2 =

5

log 25 = 5log 52 = 2 5log5 = 2

SIFAT 4 :

a

log bc = c . a log b

log 9 = log 32 = 2 log 3

2 2 1 1 lo g lo g lo g 5 2 lo g 5 2 5 5     

(21)

SIFAT 5 :

a

log b .

b

log c =

a

log c

6

log 3.

3

log 7 =

6

log 7

5 7 5 5 2 5

log 7. log 25

log 25

log5

2 log5

2

SIFAT 6 :

a

log

2

b = (

a

log b )

2 2

log

2

5 = (

2

log 5 )

2 5

log

3

7 = (

5

log 7 )

3

(22)

SIFAT 7 : n a l og b m = n m . a log b 25 log 34 = 5 4 2 log 3 33 l o g 52 2 3 l o g 5 3  SIFAT 8 : p log a =

l o g

l o g

t t

a

p

 

a

a

log

b

b

bukti: dg bantuan log: a log b . log a = log b

a log

b log

. log a = log b  log b = log b

4 log 5 = 4 log 5 log 2 2

rumus penggantian bilangan pokok logaritma t > 0;  1

3log 7 =

3

3 3

l o g 3 1 l o g 7  l o g 7

(23)

CONTOH SOAL :

1).

3

log 9 +

3

log 18 –

3

log 2 = ?

Jawab :

3

log 9 +

3

log 18 –

3

log 2 =

3

log

2

18

9x

=

3

log 81 =

3

log 3

4

(24)

2). Diketahui : Log 2 = 0,3010 Log 3 = 0, 4771 Log 5 = 0,6990 Log 7 = 0,8451 Hitung : a. Log 49 1 b. log 15 c. Log 6 1 4 d. log 2 Jawab : a. Log log 49 1  12 7 = log 7 – 2 = -2 log 7 = -2 (0,8451) = - 1,6902 b. Log 15 = log 3. 5 = log 3 + log 5 = 0,4771 + 0,6990 = 1,1761

c. Log

log

3

log

7

0

,

4771

0

,

8451

0

,

3680

7

3

log

14

6

d. Log

2

= log 2 ½ = 1/ 2 log 2 = 1/ 2 x 0,3010 = 0,1505

3. Ubahlah 2 log 6 menjadi logaritma dengan bilangan pokok 3 ! Jawab : 3 2 3 lo g 6 lo g 6 lo g 2 

(25)

4. Jika

3

log 5 = P

a).

5

log 3 = ?

b).

9

log 125 = ?

c).

9

log

5

= ?

Jawab :

a).

3 3 3

log 3

1

log 5

log 5

P

b).

9

log 125 = 3

2

log 5

3

=

3

2

3

log 5 =

2

3P

c).

9

log

5

= 3

2

log 5

½

=

2

2

/

1

3

log 5 =

4

p

5.

3

log 64 x

4

log 36 x

6

log

3

=

Jawab :

3

log 4

3

x

4

log 6

2

x

6

log 3

½

=

3

3

log 4 x 2

4

log 6 x ½

6

log 3 =

(3 x 2 x 1/2 )

3

log 3 = 3.1 = 3

(26)

LATIHAN SOAL 1 : 1.4 log 6 = P 16 log 3 6  2. 5 log 7 = P 25 log 7 = 3. Diketahui : log 3 = 0,4771 Log 2 = 0,3010

Log 8 + log 6 – log 27 

4. Diketahui : 4 log 3 = P 4 log 5 = q

4 log 8 = r

a. 4 log 40 =….. b. 4 log 15 = …..

5. Jika 2 log a + 2 log b = 12, Berapa a. b = …. 6. Jika 32 log x = 64, maka x =….

7. 5 log x = a 5 log y = b 5 log z = c 5 3 2 l o g x = 5 3 l o g y z = 8. 9 log 125 x 25 log 81 = ……. 9. 5 log 12 1/2 + 5 log 2 = …… 10. 2 log 1/3 + 2 log 24 = ……...

(27)

C. PENENTUAN LOGARITMA BILANGAN ANTARA 0 DAN 1

Tentukan nilai – nilai logaritma berikut !

a. log 0,528

b. log 0,0528

c. log 0,00528

Jawab :

a. log 0,528 = log 5,28 X 10

-1

= log 5,28 + log 10

-1

= 0,723 - 1 = - 0,277

b. log 0,0528 = log 5,28 X 10

-2

= log 5,28 + log 10

-2

= 0,723 - 2 = - 1,277

c. log 0,00528 = log 5,28 X 10

-3

= log 5,28 + log 10

-3

= 0,723 – 3 = - 2,277

D. PENENTUAN LOGARITMA BILANGAN LEBIH DARI 10

Tentukan nilai-nilai logaritma berikut !

a. log 382,6

b. log 4.008,5

c. log 27.054

Jawab :

a. log 382,6 = log 3,826 X 10

2

= log 3,826 + log 10

2

= 0,583 + 2 = 2,583

b. log 4.008,5 = log 4,0085 x 10

3

= log 4,0085 + log 10

3

= 0,603 + 3 = 3,603

c. log 27.054 = log 2,7054 x 10

4

= log 2,71 + log 10

4

= 0,433 + 4 = 4,433

(28)

SOAL 1 : BILANGAN AKAR

1.

96

150

54

24

= ...

a. 0

b. 1 c.

2

e. -2

6

d.

3

2.

x 2 1 1 x 4

2

2

2

 

= ...

a. 2

2x

b. 2

2x+1

c. 2

3x

d. 2

3x+1

e. 2

3x+2

3.

19 

8

3

= ...

a. 5 +

3

b. 5 −

3

c. 4 +

3

d. 4 −

3

e. 2 +

3

4.

14 

8

3

= ...

(29)

SOAL-SOAL PILIHAN GANDA 1. 2log3

16

− 3log 4

27

= ... a. 0 b.

12

1

c.

12

1

d.

12

7

e.

12

7

2. Jika log 2 = p, log 3 = q dan log 5 = r . Maka log 150 = ...

a. 1 + p + q c. 1 + q + r e. 2pqr

b. 1 + p + r d. pqr

3. 5log 150 − 5log 24 + 5log 4 = ...

a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

4. Jika log 2 = x maka log 5 = ...

a. 1 – x b. 1 + x c. x d. 2x e. x2

5. Jika 2log 25 = x, maka 2log 0,04 = ...

a. −1 b. 1 c. –x d. −4x e.

4

x

(30)

SOAL 3: SOAL UAN

Materi Pokok : Bentuk akar, Eksponen, dan Persamaan eksponen

1. Bentuk sederhana dari ( 1 + 3 2 ) – ( 4 – 50 ) adalah ….

a. – 2 2 – 3 b. – 2 2 + 5 c. 8 2 – 3 d. 8 2 + 3 e. 8 2 + 5 2. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ….

a. a 2 b. ) 1 ( 2 b a ab   c. 2 a d. 1 2 1   ab b e. ab b a   2 ) 1 ( 3. Nilai dari .... 1 log . 1 log . 1 log 5 3q r p p q r a. – 15 b. – 5 c. – 3 d, 15 1 e. 5 4. Nilai dari 2 3 1 . 4 5 6 5 2 3 . 6 y 7             y x x x

untuk x = 4 dan y = 27 adalah ….

a. 1  2 2 .9 2 b. 1  2 2 .9 3 c. 1  2 2 .18 3 d. 1  2 2 .27 2 e. 1  2 2

Materi Pokok : Persamaan dan pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

5. Akar-akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x

a. – 5 b. – 1 c. 4 d. 5 e. 7

6. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah …. a. 2log 3 b. 3log 2 c. – 1 atau 3 d. 8 atau ½ e.

3 2 log

8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….

(31)

Terima Kasih

Mochamad Heriyanto Permana, S.Sn.

Daftar Pustaka

1. Retno Hendrawati, “Logika Matematika”, Ir.MT, Bambang Haryanto, Penerbit Informatika Bandung, 2002.

2. Seymour Lipschutz, “Matematika Diskrit Jilid I, Seri Schaum”, Penerbit Salemba Teknika, Jakarta, 2002.

3. Jong Jek Siang,MSc, “Matematika Diskrit & Aplikasinya pd Ilmu Komputer”, ANDI Yogyakarta, 2002.

Referensi

Dokumen terkait

Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis dan menjelaskan pengaruh variabel Garansi, Servis, Suku Cadang dan Konsultasi Lanjutan pada produk sepeda motor Honda Beat

→ Menjawab pertanyaan tentang materi Dampak aktivitas fisik yang tidak teratur yang terdapat pada buku pegangan peserta didik atau lembar kerja yang telah disediakan. →

Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkah, rahmat, serta karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan

Antropologi lahir atau muncul berawal dari ketertarikan orang-orang Eropa yang melihat ciri-ciri fisik, adat istiadat, budaya yang berbeda dari apa yang dikenal di

Sint asan udang windu t ert inggi pada perlakuan A (BM12= bakt eri probiot ik yang diisolasi dari m akroalga) yaitu 55,55% dan terendah pada perlakuan D (BL542= bakt eri

Perbedaan Perilaku Prososial dan Self Awareness Terhadap Nilai Budaya Lokal Jawa Ditinjau dari Jenis Kelamin pada Siswa SMA Kyai Ageng Basyariyah Kecamatan

Latar belakang penelitian ini adalah terkait dengan tingkat daya saing karet Indonesia, dimana Indonesia memiliki luas lahan perkebunan karet terluas di dunia yang didominasi

Judul : Pembuatan dan Karakterisasi Komposit Karet Alam/Monmorillonite Menggunakan Polietilen Glikol Sebagai Pemodifikasi Organik.. Kategori