Representasi
(Acuan: A. S. Davydov, Quantum Mechanics, Pergamon Press (1965), Bab 4.)
1
Fungsi gelombang (wave function ) dan keadaan (state)
Keadaan suatu sistem dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi gelombang. Fungsi gelombang yang dipakai untuk menyatakan keadaan sistem tersebut tidak unik, melainkan bergantung pada representasi yang dipilih. Untuk keadaan yang sama, representasi berbeda memberikan fungsi gelombang berbeda. Contoh, dalam representasi posisi r, keadaan |ψi dinyatakan sebagai fungsi gelombang ψ(r). Dalam kalimat lain, fungsi gelombang ψ(r) menyatakan keadaan |ψi dalam representasi posisi r. Posisi r dalam hal ini disebut sebagai indeks representasi (index of repre-sentation). Fungsi gelombang ψ(r) diperoleh sebagai proyeksi keadaan |ψi pada keadaan basis (basis state) |ri, atau perkalian skalar |ri dan |ψi:
ψ(r) = hr|ψi . (1)
Jika kita bekerja dengan fungsi gelombang, dengan demikian, kita telah menentukan pilihan representasi yang dipakai. Tanpa menentukan pilihan representasi, kita bekerja dengan keadaan, bekerja menggunakan notasi Dirac.
Selain representasi posisi terdapat bermacam-macam representasi lain. Satu contoh adalah representasi momentum linier p. Dalam hal ini momentum p disebut sebagai indeks represen-tasi. Fungsi gelombang ψ(p) menyatakan keadaan |ψi dalam representasi momentum p. Fungsi gelombang ψ(p) diperoleh sebagai proyeksi keadaan |ψi pada keadaan basis |pi, atau perkalian skalar |pi dan |ψi:
ψ(p) = hp|ψi . (2)
Contoh-contoh fungsi gelombang:
• Keadaan bebas dengan momentum linier q dalam representasi posisi r, disebut juga fungsi gelombang bebas dengan momentum linier q dalam ruang posisi (ruang konfigurasi / con-figuration space):
ϕq(r) = hr|qi =
1 (2π)3/2e
iq·r. (3)
• Keadaan bebas dengan momentum linier q dalam representasi momentum linier p, disebut juga fungsi gelombang bebas dengan momentum linier q dalam ruang momentum linier (linear momentum space):
• Keadaan momentum angular orbital |lmi dalam ruang konfigurasi: hˆr|lmi = Ylm(ˆr) = Ylm(θ, φ) , ˆ r = r r . (5)
Di sini vektor unit posisi ˆr menjadi indeks representasi.
• Keadaan momentum angular orbital |lmi dalam ruang momentum linier: hˆp|lmi = Ylm(ˆp) = Ylm(θp, φp) , ˆ p = p p . (6)
Di sini vektor unit momentum linier ˆp menjadi indeks representasi.
• Pada kasus partikel dalam kotak 1 dimensi, sesuai postulat ekspansi keadaan sembarang partikel |ψi dinyatakan sebagai:
|ψi =X
n
cn|ni , (7)
dengan |ni keadaan eigen (eigenstate) hamiltonian (operator energi total) H dengan nilai eigen En:
H|ni = En|ni . (8)
Keadaan |ψi dalam representasi energi diperoleh sebagai:
cn = hn|ψi , (n = 1, 2, 3, ...) . (9)
Di sini bilangan kuantum n (mewakili energi En) menjadi indeks representasi. Dalam hal
ini, fungsi gelombang bukan berupa suatu fungsi, melainkan suatu himpunan (set ) {cn}
(n = 1, 2, 3, ...), karena indeks representasi n bersifat diskrit.
2
Keadaan basis (basis state)
Telah ditunjukkan di atas sebagai contoh bahwa |ri dan |pi dapat menjadi keadaan basis. Kita tahu bahwa |ri adalah keadaan eigen operator posisi dengan nilai eigen r, |pi adalah keadaan
eigen operator momentum linier dengan nilai eigen p. Secara umum, semua keadaan eigen
operator besaran fisika dapat menjadi keadaan basis, karena memenuhi syarat keadaan basis, yaitu:
1. ortogonal, dan 2. komplit.
Namun, perhatikan bahwa keadaan basis tidaklah harus merupakan keadaan eigen operator be-saran fisika. Ortogonalitas |ri dan |pi masing-masing adalah sebagai berikut:
hr0|ri = δ(r0− r) dan hp0|pi = δ(p0− p) . (10)
Berkenaan dengan sifat komplit |ri dan |pi, dikenal relasi kekomplitan (completeness relation), yang masing-masing diberikan sebagai berikut:
Z
dr |rihr| = ˆ1 dan Z
dp |pihp| = ˆ1 , (ˆ1 = operator 1) . (11)
Perhatikan bahwa relasi kekomplitan merupakan suatu operator, sedangkan ortogonalitas meru-pakan suatu nilai, bukan operator. Di atas juga telah ditunjukkan contoh dari kasus partikel dalam kotak 1 dimensi, bahwa keadaan eigen energi |ni dapat dipakai sebagai keadaan basis. Ortogonalitas dan relasi kekomplitan |ni berturut-turut diberikan sebagai berikut:
hn0|ni = δn0n dan
X
n
|nihn| = ˆ1 . (12)
Keadaan basis |ri dan |pi adalah contoh keadaan basis, yang merupakan keadaan eigen operator besaran fisika, dengan nilai eigen kontinyu. Keadaan basis |ni adalah contoh keadaan basis, yang merupakan keadaan eigen operator besaran fisika, dengan nilai eigen diskrit. Penjelasan mengenai dua tipe keadaan basis tersebut dirangkum di bawah ini.
Ambillah keadaan basis |ni, dengan n diskrit, dan keadaan basis |αi, dengan α kontinyu. Supaya lebih umum, kita ambil sembarang normalisasi.
• ortogonalitas:
hn0|ni = Aδn0n dan hα0|αi = Aδ(α0− α) . (13)
Biasanya, agar lebih mudah, A = 1. • relasi kekomplitan: Dimulai dengan: λX n |nihn| = ˆ1 dan λ Z dα |αihα| = ˆ1 → λ =? (14) Kita cari λ: hn000|n00i = hn000|ˆ1|n00i hα000|α00i = hα000|ˆ1|α00i Aδn000n00 = λ X hn000|nihn|n00i Aδ(α000− α00) = λ Z dα hα000|αihα|α00i
= λA2X n δn000nδnn00 = λA2 Z dα δ(α000− α)δ(α − α00) = λA2δn000n00 = λA2δ(α000− α00) → λ = A−1. (15) Dengan demikian: X n
|nihn| = Aˆ1 dan Z
dα |αihα| = Aˆ1 . (16)
• ekspansi sembarang keadaan |ψi dan fungsi gelombang:
|ψi = ˆ1|ψi |ψi = ˆ1|ψi
= A−1X n |nihn|ψi = A−1 Z dα |αihα|ψi = A−1X n ψn|ni = A−1 Z dα ψ(α)|αi . (17)
Himpunan {ψn} = {hn|ψi} adalah fungsi gelombang dalam basis |ni untuk keadaan |ψi,
dan fungsi ψ(α) = hα|ψi adalah fungsi gelombang dalam basis |αi untuk keadaan |ψi. • transformasi basis (yang berarti juga transformasi representasi):
Dari basis |ni ke basis |αi:
ψ(α) = hα|ψi = hα|ˆ1|ψi = A−1X n hα|nihn|ψi = A−1X n hα|niψn, (18)
dengan perkalian skalar kedua keadaan basis, yaitu hα|ni, harus diketahui. Sebaliknya, dari basis |αi ke basis |ni:
ψn = hn|ψi = hn|ˆ1|ψi = A−1 Z dα hn|αihα|ψi = A−1 Z dα hn|αiψ(α) , (19)
dengan hn|αi = hα|ni∗. Jika hα|ni tidak diketahui, tapi kita tahu hα|βi dan hβ|ni, maka transformasi dari basis |ni ke basis |αi dapat dilakukan melalui basis |αi. Misalkan keadaan basis |βi memiliki ortogonalitas dan relasi kekomplitan:
hβ0|βi = Bδ(β0− β) dan
Z
dβ |βihβ| = Bˆ1 , (20)
maka dikerjakan sebagai berikut: ψ(α) = hα|ψi = hα|ˆ1|ψi = B−1 Z dβ hα|βihβ|ψi = A−1B−1X n Z dβ hα|βihβ|nihn|ψi = A−1B−1X n Z dβ hα|βihβ|niψn. (21)
Contoh transformasi dari basis |ri ke basis |pi untuk keadaan |ψi: ψ(p) = hp|ψi = hp|ˆ1|ψi = Z dr hp|rihr|ψi = Z dr hr|pi∗ψ(r) = 1 (2π)3/2 Z dr ψ(r)e−iq·r. (22)
3
Operator
Pada bagian sebelum ini digunakan keadaan basis yang tidak ternormalisasi, sekedar untuk mengingatkan bahwa normalisasi keadaan atau fungsi gelombang dapat sembarang. Namun, di bagian ini supaya mudah kita gunakan keadaan yang ternormalisasi. Dengan demikian, untuk keadaan basis |ni dan |αi berlaku:
hn0|ni = δn0n dan hα0|αi = δ(α0 − α) . (23)
X
n
|nihn| = ˆ1 dan Z
Sebuah operator merupakan suatu matriks. Elemen-elemen matriks operator tersebut
diny-atakan menurut representasi atau keadan basis yang dipakai. Ambillah sebuah operator ˆA.
Dalam keadaan basis |ni dan |αi, elemen matriks ˆA masing-masing adalah:
An0n= hn0| ˆA|ni dan A(α0, α) = hα0| ˆA|αi . (25)
Ekspansi operator ˆA dalam keadaan basis |ni dan |αi dapat diperoleh sebagai berikut: An000n00 = hn000| ˆA|n00i A(α000, α00) = hα000| ˆA|α00i
= hn000|ˆ1 ˆAˆ1|n00i = hα000|ˆ1 ˆAˆ1|α00i =X n0n hn000|n0ihn0| ˆA|nihn|n00i = Z dα0dα hα000|α0ihα0| ˆA|αihα|α00i =X n0n hn000|n0iAn0nhn|n00i = Z dα0dα hα000|α0iA(α0, α)hα|α00i = hn000| X n0n |n0iAn0nhn| ! |n00i = hα000| Z dα0dα |α0iA(α0, α)hα| |α00i → ˆA =X n0n |n0iAn0nhn| = Z dα0dα |α0iA(α0, α)hα| . (26)
Apabila dalam keadaan basis |ni dan |αi operator (matriks) ˆA bersifat diagonal, yaitu:
An0n= Anδn0n dan A(α0, α) = A(α)δ(α0, α) , (27)
maka ekspansi operator ˆA dalam keadaan basis |ni dan |αi menjadi:1
ˆ A =X n |niAnhn| = Z dα |αiA(α)hα| . (28)
Secara umum, sebuah operator bekerja pada suatu keadaan |ψi menghasilkan keadaan lain |υi:
|υi = ˆA|ψi . (29)
Dalam basis |ni dan |αi operasi tersebut dikerjakan sebagai berikut:
hn|υi = hn| ˆA|ψi hα|υi = hα| ˆA|ψi
=X
n0
hn| ˆA|n0ihn0|ψi =
Z
dα0hα| ˆA|α0ihα0|ψi
1Sesungguhnya, apabila operator ˆA diagonal dalam suatu keadaan basis, maka belum tentu dalam keadaan
=X
n0
Ann0ψn0 =
Z
dα0A(α, α0)ψ(α0) . (30)
Berikut ini, sebagai contoh, kita kerjakan elemen matriks momentum linier pop. Dalam basis
momentum linier |pi diperoleh elemen matriks pop sebagai berikut:
hp0|pop|pi = hp0|p|pi
= hp0|pip
= δ(p0− p)p = pδ(p0− p) , (31)
yang berarti matriks pop diagonal, karena keadaan basis |pi adalah keadaan eigen pop, dengan
nilai eigen p. Dalam basis posisi |ri diperoleh elemen matriks pop sebagai berikut:
hr0|pop|ri = hr0|popˆ1|ri = Z dp hr0|pop|pihp|ri = Z dp hr0|piphp|ri = Z dp hr0|piphr|pi∗ = Z dp hr0|pi 1 (2π)3/2pe −ip·r = Z dp hr0|pi 1 (2π)3/2i∇re −ip·r = Z dp hr0|pii∇r 1 (2π)3/2e −ip·r = Z dp hr0|pii∇rhp|ri = Z dp i∇rhr0|pihp|ri = i∇r Z dp hr0|pihp|ri = i∇rhr0|ri = i∇rδ(r0− r) . (32)
Kini, kita lihat operasi operator momentum linier, anggaplah popbekerja pada |ψi menghasilkan
|υi. Dalam basis |pi, operasi tersebut menjad: |υi = pop|ψi
= Z dp0hp|pop|p0ihp0|ψi = Z dp0δ(p − p0)p0ψ(p0) = pψ(p) . (33)
Dengan demikian, dalam basis |pi operator momentum linier pop berupa fungsi biasa, bukan
operator matematika, yaitu:
pop= p . (34)
Berikutnya, dalam basis |ri, operasi itu menjadi: |υi = pop|ψi → υ(r) = hr|υi = hr|pop|ψi = Z dr0hr|pop|r0ihr0|ψi = Z dr0 (i∇r0δ(r − r0)) ψ(r0)
= iδ(r − r0)ψ(r0)|batas integral− Z
dr0δ(r − r0)i∇r0ψ(r0)
= 0 − i∇rψ(r)
= − i∇rψ(r) . (35)
Suku pertama di Eq. (35) nol, sesuai dengan sifat fungsi gelombang di ujung-ujung jagad (daerah berlakunya). Persamaan (35) menunjukkan hal yang telah biasa kita pakai, yaitu dalam basis posisi |ri operator momentum linier pop berupa operator differensial sebagai berikut:
pop= −i∇ . (36)
Jadi, dalam menggunakan operator momentum linier dalam basis momentum |pi dan posisi |ri kita dapat mengambil elemen matriksnya masing-masing di Eqs. (31) dan (32) atau bentuk operatornya masing-masing di Eqs. (34) dan (36).
Transformasi elemen matriks ˆA dari basis |ni ke basis |αi dikerjakan sebagai berikut: A(α0, α) = hα0| ˆA|αi = hα0|ˆ1 ˆAˆ1|αi = X n0n hα0|n0ihn0| ˆA|nihn|αi = Xhα0|n0iAn0nhn|αi . (37)
Jika ˆA diagonal dalam keadaan basis |ni, tapi tidak dalam keadaan basis |αi, maka transformasi di Eq. (37) menjadi:
A(α0, α) =X
n
hα0|niAnhn|αi . (38)
Sebaliknya, transformasi elemen matriks ˆA dari basis |αi ke basis |ni dikerjakan sebagai berikut: An0n = hn0| ˆA|ni = hn0|ˆ1 ˆAˆ1|ni = Z dα0dα hn0|α0ihα0| ˆA|αihα|ni = Z dα0dα hn0|α0iA(α0, α)hα|ni . (39)
Jika ˆA diagonal dalam keadaan basis |αi, tapi tidak dalam keadaan basis |ni, maka transformasi di Eq. (39) menjadi:
An0n=
Z
dα hn0|αiA(α)hα|ni . (40)
Contoh, interaksi nuklir antar dua partikel bersifat sentral, sehingga dalam basis posisi |ri (dalam ruang konfigurasi) matriks potensial bersifat diagonal, dengan elemen matriks sebagai berikut:
V (r0, r) = hr0|V |ri = V (r)δ(r0− r) . (41)
Dalam basis momentum |ri (dalam ruang momentum) diperoleh elemen matriks potensial sebagai berikut: V (p0, p) = hp0|V |pi = Z dr0dr hp0|r0ihr0|V |rihr|pi = Z dr0dr hp0|r0iV (r)δ(r0− r)hr|pi = Z dr V (r)hp0|rihr|pi = 1 (2π)3 Z dr V (r)e−i(p0−p)·r. (42)
