( ) STUDI KASUS. ò (, ) ( ) ( ) Rataan posteriornya adalah = Rataan posteriornya adalah (32)

(32)

(33)

(34) Rataan posteriornya adalah

(

)

(

) ( ) ( )

( )

| | , E x f x f f d d f x m m m t t m t m =

ò

Dalam observasi biasanya digunakan banyak data klaim. Misalkan saja terdiri dari

N grup data klaim dengan masing-masing

grup ke i untuk setiap i=1, 2,...,N yang terdiri dari n observasi berbeda, yaitu_i

1, 2,..., i

i i in

x x x .

dengan rataan m dan ragam_i ij ij

v

t , v_ij

didefinisikan sebagai pendapatan premi yang akan masuk ke perusahaan asuransi seperti rasio kerugian atau sejumlah dana yang akan diasuransikan. Premi yang dibayarkan tergantung dari intensitas klaim yang diberikan.

Rataan dan ragamnya diasumsikan saling bebas, maka fungsi likelihoodnya

(

,

)

1 1 | i n N ij i ij i j f x m t = =

ÕÕ

Setiap parameter (rataan dan ragam) dari setiap grup data klaim berbeda diasumsikan bebas, maka akan didapatkan rataan posterior yang merupakan penduga premi risiko. Namun, secara umum formula ini tidak digunakan karena dalam prosesnya dibutuhkan integrasi numerik yang rumit.

Rataan posteriornya adalah

(

)

(

)

(

)

(

)

, 1 1 1 1 | | , ,..., ,..., ,..., i i i i i n i ij i ij i i in i i in j i in E D f x f d d d f x x m m m t m t t m t = = ×

Õ

ò

dimana D adalah kumpulan untuk semua data (diuraikan pada Lampiran 7).

2. Teori Kredibilitas

Menurut Buhlmann et all. (1982) sebagaimana dikutip Rene, penduga kredibilitas tidak bisa digunakan untuk klaim yang besar.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa penduga kredibilitasnya akan sama dengan rataan posteriornya bersifat keluarga eksponensial sederhana yang merupakan statistik cukup untuk q dan fungsi priornya merupakan natural conjugate prior.

Gisler (1992) sebagaimana dikutip Rene memperkenalkan suatu model yang mengkombinasikan prosedur kredibilitas dengan suatu data trimming. Hal ini menarik karena penggunaan sebaran Laplace likelihood dan sebaran prior yang merupakan sebaran normal, maka rataan posterior yang didapat merupakan penduga robust yang akan membentuk suatu data trimming.

Kunsch (1992) sebagaimana dikutip Rene mengganti penduga kredibiltas dengan penduga robust. Gisler dan Reinhard (1993) juga memperkenalkan suatu metode khusus mencari penduga robust untuk mendapatkan penduga premi risikonya, yang akan diuraikan lebih lanjut pada studi kasus dibawah ini.

STUDI KASUS

Dalam studi kasus dibawah ini Gisler dan Reinhard (1993) memperkenalkan teori kredibilitas dan kredibilitas robust yang digunakan untuk menganalisis data-data klaim agar mendapatkan nilai premi. Nilai premi tersebut kemudian dibandingkan dengan penduga nilai premi yang dihitung menggunakan model Bayesian.

Dinotasikan :

· xij adalah intensitas klaim dari kategori risiko ke i dalam tahun ke j untuk setiap

(

i=1,..., ;N j=1,...,n

)

dinyatakan dalam ‰ dari jumlah yang akan diasuransikan. · v_ij adalah jumlah yang akan

diasuransikan dan dinyatakan dalam milyaran CHF (Confoederatio Helvetica

Franc).

· n adalah jumlah tahun dan N adalah

jumlah kategori risiko.

Premi individual setiap kategori risiko ke

i adalah 1 n ij i ij j i v x x v = =

å

,

dengan 1 n i ij j v v = =

å

.

Berdasarkan Buhlmann dan Straub (1970), premi kredibilitas dari setiap kategori risiko ke i adalah

(

)

ˆ_{i i} x_i

m = +m a -m

,

dimana m adalah rataan portofolio dan i

a adalah faktor kredibilitas dari kategori risiko ke i i i i v b v b w a = × × + dengan b danwadalah ragam.

Buhlmann dan Straub juga memperkenalkan suatu langkah untuk menduga nilai , , danm b wdari suatu sampel

(

)

(

) (

)

N i 1 i=1 2 1 1 2 1 1 ˆ dengan = 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ ₁ N i i i N n ij ij i i j N i i i x w v x x N n v w b c x x N v v a m a a a = = = -= = = -ì ü = í - - - ý î þ

å

å

åå

å

,

dengan 1 N i i v v = =

å

1 1 N i i i x v- v x = =

å

1 1 N i i i v v c v v = æ ö = _ç - _÷ è ø

å

Diberikan catatan bahwa nilai rataan portofolio berbeda dengan nilai rataan premi.

Gisler dan Reinhard (1993) mengasumsikan bahwa rataan individual

( )

i E xij| i

m q _{= ë}é qù_û adalah jumlah dari

ordinary-part dan excess-part

( )

i 0

( )

i xs m q =m q +m

dengan excess-part bebas terhadap kategori risiko individual. Ordinary-part m q0

( )

i dugaan berdasarkan dari statistik robust t ,i dan m dugaan berdasarkan observasi klaim-_xs klaim xs . Diketahui

(

)

1 min , n ij i ij ij j i v t x c v = =

å

1 2 1 1 dengan 1 1 ij ij N n ij i j v c v v v n N = = æ ö = + ç ÷_{ç ÷} è ø = ×

åå

i

t adalah observasi besar yang disederhanakan

dari setiap kategori risiko.

Berdasarkan Gisler dan Reinhard, penduga kredibilitas robust adalah

(

)

ˆ_i ˆ_{t i} t_i ˆ_t ˆ_xs m =m a+ -m +m dimana

(

)

1 1 1 1 1 ˆ min , ˆ , N n xs ij ij i j ij ij ij ij ij ij ij i i i t N N i t i i i i v xs v xs x t t x c t v b v b w t m a a m a a a = = = = = × = -= × × = × + = =

åå

å

å

Model yang telah diuraikan diatas digunakan untuk menghitung premi pada data klaim dibawah ini.

Berikut ini diberikan data-data klaim dari Swiss Association of Property Insurers. Tabel 1 Data-data klaim dari Swiss Association of Property Insurers

Kategori risiko _{diasuransikan}Jumlah yang Intensitas Klaim No

Kategori

Tahun _{( dalam CHF}

1`000 ) ( dalam ‰ )

1 Industri Batu Mulia 1 8,952,537 1.170

2 9,408,941 0.923

3 9,116,202 0.790

4 9,233,632 0.494

Kategori risiko No Kategori Tahun Jumlah yang diasuransikan ( dalam CHF 1`000 ) Intensitas Klaim ( dalam ‰ ) 2 Industri Logam 1 54,637,719 1.229 2 56,197,669 0.592 3 56,014,549 0.640 4 54,660,986 2.863 5 57,393,239 0.446 3 Industri Kayu 1 6,039,217 2.844 2 6,217,858 2.337 3 5,770,074 2.907 4 4,961,525 2.396 5 5,209,193 0.972 4 Industri Kertas 1 15,031,003 1.468 2 15,862,988 1.570 3 16,637,453 0.322 4 16,474,230 0.556 5 15,962,600 6.329 5 Industri Tekstil 1 7,690,266 0.464 2 7,817,476 1.601 3 8,489,434 2.175 4 8,298,066 0.802 5 7,810,418 0.181 6 Industri Makanan 1 13,518,262 1.122 2 14,101,545 0.985 3 13,027,446 0.763 4 12,654,978 0.395 5 12,395,113 0.564 7 Industri Kimia 1 18,033,514 0.801 2 19,599,797 1.702 3 23,505,751 0.174 4 16,665,459 0.250 5 11,548,235 0.308 8 Energi 1 21,969,611 0.466 2 23,257,289 0.413 3 21,524,998 0.369 4 21,390,824 0.194 5 23,346,584 0.251

9 Pertokoan dan_Perhotelan 1 44,119,033 0.544

2 45,321,074 0.411 3 43,405,903 0.583 4 43,309,859 0.790 5 41,759,826 0.601 Total 1 189,991,162 0.990 2 197,784,637 0.857 3 197,491,810 0.663 Lanjutan

Kategori risiko No Kategori Tahun Jumlah yang diasuransikan ( dalam CHF 1`000 ) Intensitas Klaim ( dalam ‰ ) 4 187,649,559 1.260 5 184,767,029 1.016

Data-data tersebut terdiri dari berbagai macam intensitas klaim dari sembilan kategori risiko pemegang polis berbeda

(

N=9

)

selama periode lima tahun berturut-turut

(

n=5

)

.

Intensitas klaim yang dimaksud disini adalah jumlah nilai klaimnya dibagi dengan sejumlah yang akan diasuransikan. Intensitas klaim berperan penting dalam penghitungan premi risiko.

Karya tulis ini menggunakan software Microsoft Excel dalam penghitungannya untuk mendapatkan nilai-nilai yang diinginkan berdasarkan metode yang telah diperkenalkan oleh Buhlmann dan Straub serta Gisler dan Reinhard.

Diduga nilai rataan portofolio serta nilai ragam adalah -3 -6 ˆ 0.977 10 ˆ 19.450 10 w m= × = × -3 ˆ 0.103 10 b= ×

Nilai rataan preminya adalah -3 0.949 10

x= ×

.

Nilai t yang didapati 1, ,...,2 n t =t t t 3 {0.956, 0.808, 2.290, 1.395, 1.063, 0.776, 0.632, 0.339, 0.584} 10 t -= ×

Diduga nilai klaim tambahan adalah -3 ˆ_xs 0.208 10

m = × .

Berdasarkan Gisler dan Reinhard (1993), nilai ragam yaitu b_t danw didapatkan_t

berdasarkan modifikasi dari model Buhlmann dan Straub, yaitu

6 6 10.885 10 0.061 10 t t w b -= × = ×

Rataan portofolio dari klaim ordinary adalah

-3 ˆ_t 0.838 10

m = ×

Rasio ragam yang didapat dari model Buhlmann dan Straub adalah

19.450

187.969 0.103

w

b= =

sedangkan rasio ragam yang didapat dari model Gisler dan Reinhard adalah

10.885 178.443 0.061 t t w b = =

Ternyata n=9 lebih kecil dibandingkan dengan rasio ragamnya, maka penduga Bayeslah yang akan digunakan sebagai penduga untuk membandingkan nilai premi yang sudah didapat.

Rataan posterior berdasarkan Rene Schnieper yang didefinisikan sebagai dugaan premi risiko. Tabel 2 Rataan posterior berdasarkan Rene Schnieper

Kategori Risiko untuk Industri

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Rataan Posterior

[‰] 1.03 0.80 1.61 1.30 1.13 0.91 0.77 0.63 0.69

Sehingga didapatkan premi risiko dari setiap kategori risiko.

Tabel 3 Premi risiko murni dari beberapa kategori risiko Kategori Risiko untuk Industri

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Rataan Portofolio [‰] 0.977 0.977 0.977 0.977 0.977 0.977 0.977 0.977 0.977 Premi Individual [‰] 0.956 1.141 2.320 2.032 1.063 0.776 0.667 0.339 0.584 Premi Kredibilitas [‰] 0.973 1.075 1.152 1.292 0.992 0.925 0.877 0.739 0.766 Premi Kredibilitas Robust [‰] 1.070 1.027 1.244 1.218 1.087 1.029 0.977 0.854 0.906 Rataan Posterior [‰] 1.03 0.80 1.61 1.30 1.13 0.91 0.77 0.63 0.69 Keterangan

1 = Industri Batu Mulia 5 = Industri Tekstil 9 = Pertokoan dan Perhotelan 2 = Industri Logam 6 = Industri Makanan

3 = Industri Kayu 7 = Industri Kimia 4 = Industri Kertas 8 = Energi Keterangan untuk tabel di atas :

· Industri Batu Mulia

Nilai premi kredibilitas diperoleh sebesar (0.973), premi kredibilitas robust (1.070), rataan posterior (1.03), dan premi individual (0.956). Semua nilai yang diperoleh mendekati nilai penduga, yaitu rataan posteriornya (1.03). Hal ini berarti nilai penduga premi sama dengan premi risiko. · Industri Logam

Nilai premi kredibilitas diperoleh (1.075) yang ternyata nilainya lebih besar daripada premi kredibilitas robust (1.027), dan jauh lebih besar dibandingkan dengan rataan posterior (0.80). Hal ini diakibatkan adanya pencilan yang besar dari nilai intensitas klaim, yaitu (2.863). Karena besar perbandingannya, maka premi yang digunakan adalah premi kredibilitas robust (1.027) yang mendekati nilai penduga. ·Industri Kayu

Nilai premi kredibilitas diperoleh (1.152), premi kredibilitas robust (1.244), kedua nilai tersebut dibawah nilai penduganya, yaitu rataan posterior (1.61) dan rataan individual (2.320). Premi yang didapat dengan metode kredibilitas lebih sesuai dibandingkan dengan metode kredibilitas robust.

· Industri Kertas

Nilai premi kredibilitas diperoleh(1.292) dan ternyata nilainya sedikit lebih besar dibandingkan dengan premi kredibilitas robust (1.218). Hal ini diakibatkan adanya pencilan yang besar pada intensitas klaim

yaitu (6.329). Namun pencilan tersebut dapat dihilangkan pengaruhnya dengan metode kredibilitas robust. Premi yang didapat dengan menggunakan metode kredibilitas robust lebih sesuai jika dibandingkan dengan metode kredibilitas. · Industri Tekstil

Nilai premi kredibilitas diperoleh (0.992) dan ternyata nilainya mendekati nilai premi kredibilitas robust (1.087). Namun kedua nilai tersebut lebih rendah daripada nilai penduga yaitu rataan posterior (1.13), sebab penduganya dipengaruhi adanya klaim yang rendah dalam lima tahun terakhir.

· Industri Makanan

Nilai premi kredibilitas diperoleh (0.925), premi kredibilitas robust (1.029), rataan posterior (0.91). Ternyata nilai premi kredibilitas mendekati nilai penduga, yaitu rataan posterior sebesar (0.91). Hal ini berarti nilai penduga premi sama dengan premi risiko.

· Industri Kimia

Diperoleh nilai premi kredibilitas (0.877), premi kredibilitas robust (0.977), kedua nilai tersebut lebih besar dibandingkan nilai penduga yaitu rataan posterior (0.77). Premi yang didapat dengan menggunakan metode kredibilitas lebih sesuai dibandingkan dengan metode kredibiltas robust.

·Energi

Nilai premi kredibilitas diperoleh (0.739), premi kredibilitas robust (0.854), kedua nilai tersebut lebih besar dibandingkan nilai penduganya, yaitu rataan posterior (0.63). Sebagai tambahan, terdapat suatu harga tinggi yang timbul karena adanya penduga kredibilitas robust sehingga terdapat biaya tambahan untuk risiko xs yang terdapat pada semua kategori risiko. Premi yang didapat dengan menggunakan metode kredibilitas lebih sesuai dibandingkan dengan metode kredilibilitas robust.

·Pertokoan dan Perhotelan

Diperoleh nilai premi kredibilitas (0.766), premi kredibilitas robust (0.906), kedua nilai tersebut lebih besar dibandingkan nilai penduga yaitu rataan posterior (0.69). Sebagai tambahan, terdapat suatu harga tinggi yang timbul karena adanya penduga kredibilitas robust sehingga terdapat biaya tambahan untuk risiko xs yang terdapat pada semua kategori risiko. Premi yang

didapat dengan menggunakan metode kredibilitas lebih sesuai dibandingkan dengan metode kredilibilitas robust

Rataan posterior disini memberikan nilai premi risiko murni yang berbeda dibandingkan dengan premi risiko yang dihasilkan dengan menggunakan teori kredibilitas, walaupun nilainya hampir mendekati. Namun dalam aplikasi biasanya premi risiko yang dihitung dengan menggunakan metode kredibilitas (premi kredibilitas) lebih sesuai dibandingkan dengan analisis Bayesian (rataan posterior).

Namun dalam kasus ini, rataan posterior dipengaruhi oleh intensitas klaimnya, baik yang rendah maupun yang tinggi. Penduga kredibilitas robust dapat memberikan solusi yang baik untuk intesitas klaim yang besar, dengan kata lain tidak terpengaruh secara signifikan karena adanya pencilan dalam premi risikonya.

SIMPULAN

Karya ilmiah ini menjelaskan cara penghitungan premi risiko murni dengan menggunakan metode Bayesian robust dan metode kredibilitas robust.

Dari kedua metode tersebut didapatkan rataan posterior sebagai penduga untuk menduga premi risiko.

Kemudian penduga premi yang diperoleh dengan menggunakan metode kredibilitas dan metode kredibilitas robust dibandingan dengan rataan posterior yang diperoleh dengan menggunakan analisis Bayesian

robust. Dari perbandingan tersebut didapatkan premi yang sesuai dengan klaim yang ada.

Dalam aplikasi biasanya digunakan premi yang diperoleh dengan menggunakan metode kredibilitas. Namun jika terdapat pencilan dalam data klaimnya digunakan metode kredibilitas robust agar pencilan tersebut tidak berpengaruh pada hasil yang didapat.

Rataan posterior yang merupakan penduga robust tidak terpengaruh secara signifikan karena adanya pencilan-pencilan dalam data klaim.