TAUTOLOGI
1.
Pendahuluan
Mengubah suatu argumen atau pernyataan-pernyataan menjadi suatu ekspresi logika, tentunya harus mengenali sub-subekspresinya. Salah satunya dengan membentuk Parse Tree yang memudahkan pembentukan ekspresi logika khususnya yang berbentuk proposisi majemuk.
Pembuktian validitas ekspresi-ekspresi logika dari suatu argumen dapat dilakukan dengan tabel kebenaran, yaitu terlebih dahulu memberi variabel proposisional pada setiap proposisi majemuk untuk setiap pernyataan, dan kemudian mengevaluasi dengan tabel kebenaran.
2.
Evaluasi validitas argumen
Tabel kebenaran menggunakan aturan-aturan untuk setiap perangkai, dengan setiap pasangan nilai variabel proposisional yang dimungkinkan.
Sebelum mengevaluasi suatu argumen, terlebih dahulu harus membentuk pernyataan-pernyataan menjadi ekspresi logika.
Contoh 1:
Jika Anda mengambil mata kuliah logika informatika, dan jika Anda tidak memahami
tautologi, maka Anda tidak lulus. Misal:
A = Anda mengambil mata kuliah logika informatika B = Anda memahami tautologi
C = Anda lulus
Maka ekspresi logika untuk pernyataan di atas adalah (A ∧ ¬B) → ¬C
Selanjutnya dibuat tabel kebenaran:
A B C ¬B ¬C (A ¬B) (A ¬B)→¬C
T T T F F F T
T F T T F T F memuat 2nbaris. Jadi jika ada 3 variabel proposisional, yakni A, B, dan C, maka ada 23=8 pasangan yang mungkin.
Contoh 2:
Tidak belajar, tidak lulus.
Pernyataan di atas dapat diubah menjadi:
Jika anda tidak belajar, maka anda tidak lulus.
Misal:
A = Anda belajar B = Anda lulus
Maka ekspresi logika untuk pernyataan di atas adalah
¬A → ¬B
Selanjutnya dibuat tabel kebenaran:
Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi – proposisi di dalamnya disebut tautologi.
Contoh:
1. Apakah (A ¬A) adalah tautologi?
Buatlah tabel kebenarannya
A ¬A A ¬A
T F T
F T T
Jadi (A ¬A) adalah tautologi
2. Apakah (¬(A B) B) adalah tautologi? Buatlah tabel kebenarannya
A B A B ¬( A B) ¬(A B) B
T T T F T
T F F T T
F T F T T
F F F T T
Jadi ¬(A B) B adalah tautologi
Latihan soal:
1. Buktikan bahwa (¬((A B) C) C) adalah tautologi
2. Buatlah ekspresi logikanya, dan buktikan dengan tabel kebenaran, apakah merupakan tautologi?
“Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini
pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini
4.
Kontradiksi
Kebalikan dari tautologi adalah kontradiksi, yakni jika pada semua pasangan nilai dari tabel kebenaran menghasilkan nilai Fatau suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.
Contoh: A ¬A
Tabel kebenarannya seperti berikut:
A ¬A A ¬A
T F F
F T F
Jadi A ¬A adalah kotradiksi
Latihan soal: ((A B) ¬A) ¬B
5.
Contingent
Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan dan salah di dalm tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya atau jika pada semua nilai kebenarannya menghasilkan nilai F dan T disebut
contingent atau formula campuran.
Contoh:
((A B) → C) →A
Tabel kebenarannya adalah:
A B C A B (A B) → C ((A B) → C) →A
T T T T T T
F F T F T F
F F F F T F
Latihan Soal:
Buatlah tabel kenaran dari ekpresi logika berikut:
((A→B) (¬B→C)) → (¬C→A)
6.
Pemanfaatan tautologi
Tautologi menyebabkan timbulnya implikasi secara logis dan ekuivalen secara logis yang menimbulkan hukum-hukum pada logika proposisional dan berperan penting pada masalah penyederhanaan dan berbagai pembuktian validitas argumen yang tidak memakai tabel kebenaran.
Latihan soal:
Tentukan apakah dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini termasuk tautologi, kontradiksi, atau contingent.
1. A → (B→A)
2. (B→A) → A
3. ¬¬A → A
4. (¬A → ¬B)→(B→A)
5. (A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
6. (A (A→B))→B
7. ((A→B)↔(¬A B)
