GELOMBANG EKSTRIM DAN PROSES PEMBANGKITANNYA

KNM XVII

11-14 Juni 2014

ITS, Surabaya

GELOMBANG EKSTRIM DAN PROSES

PEMBANGKITANNYA

MARWAN

RAMLI

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

UNIVERSITAS SYIAH KUALA BANDA ACEH

Extended abstract

Tulisan ini memaparkan parameter penentu terjadinya peristiwa pemuncakan dan pemisahan gelombang. Parameter ini merupakan faktor penting dalam rangka efektifitas dan efesiensi proses pembangkitan gelombang di laboratorium, yang selama ini sering dilakukan dengan cara trial & error. _{Dalam kajian mengenai pemuncakan gelombang permukaan, Westhuis, dkk [8]} melakukan eksperimen di laboratorium hidrodinamika dengan membangkitkan gelombang bikromatik dengan amplitudo dan frekuensi selubung yang bervariasi serta mengamati pola perambatannya. Yang bersangkutan juga membangun model numerik yang dinamakan HUBRIS, untuk mensimulasikan pembangkitan gelombang. Usaha lain untuk memahami pemuncakan gelombang dilakukan pula oleh Cahyono [4] dengan membangun Analytical Wave Code (AWC) yang memberikan koreksi terhadap bilangan gelombang. AWC dibangun dengan menggunakan model KdV dan pendekatan orde ke tiga model tersebut. Salah satu tujuan yang hendak dicapai adalah memprediksi di posisi mana gelombang terbangkit akan mengalami pemuncakan tertinggi serta berapa amplifikasinya. Model yang ditinjau adalah persamaan Korteweg de Vries (KdV). Pendekatan solusi untuk model tersebut adalah ekspansi asimptotik orde ke tiga dan pemanfaatan keberadaan suku side band orde ke tiga. Besaran yang digunakan untuk memprediksi posisi ekstrim dan FAA adalah MTA [2,5,7]. Di sini diambil studi kasus dua grup gelombang permukaan yang periodik, yaitu gelombang bikromatik dan gelombang trikromatik bertipe Benjamin-Feir (BF) [3,6,9]. Apabila diberikan suatu sinyal bikromatik atau trikromatik di suatu posisi tertentu, diprediksi posisi ekstrim xmax dan faktor amplifikasi amplitudo (FAA) untuk model tersebut. Untuk gelombang bikromatik diperoleh bahwa xmax dipengaruhi oleh amplitudo dan frekuensi selubung sinyal gelombang bikromatik di posisi awal. Kebergantungan xmax

terhadap amplitudo dan frekuensi selubung tersebut berorde , dengan dan berturut-turut menyatakan amplitudo dan frekuensi selubung sinyal gelombang bikromatik di posisi awal. Selanjutnya, sebagaimana halnya xmax, FAA gelombang bikromatik juga dipengaruhi oleh amplitudo dan frekuensi selubung sinyal gelombang bikromatik di posisi awal. Makin

besar nilai a makin besar FAA, sebaliknya makin besar nilai ν makin kecil FAA.

Gambar 1. Elevasi, selubung dan MTA gelombang [1]

DAFTAR PUSTAKA

1. Akhmediev, N.N. and Ankiewicz, A. (1997) : Solitons-Nonlinear Pulses and Beams, Chapmann & Hall

2. Andonowati dan van Groesen, E. (2003) : Optical Pulse Deformation in Second Order Non-linear Media, Journal of Non-Non-linear Optics Physics and Materials, 12, 221-234

3. Benjamin, T.B. dan Feir, J.E. (1967) : The Disintegration of Wave Trains on Deep Water, Part 1. Theory, J. of Fluid Mech., 27, 417-430

4. Cahyono, E., “Analytical wave codes for predicting surface waves in a laboratory basin”, Ph. D Thesis, Fac. of Mathematical Sciences Univ. of Twente, The Netherlands (2002)

5. Marwan dan Andonowati (2003) : Perubahan Bentuk pada Perambatan Signal Bikromatik dan Pengaruhnya Terhadap Amplitudo Maksimum, Jurnal Matematika dan Sains FMIPA ITB, 8, 81-87

6. Ramli, Marwan (2009), The deterministics generation of extreme surface water waves based on soliton on finite background in laboratory, International Journal of Engineering, Vol. 22, No. 3, 243-249

7. Marwan (2010), On the maximal temporal amplitude of down stream running non linear water waves, Tamkang Journal of Mathematics, vol. 14 No.1, 51-69

8. Westhuis, J., Groesen, E. van, Huijsmans, R.H.M. (2001), Experiments and numerics of bichromatic wave groups, J. Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering 127, 334-342 (2001)

9. Zakharov, V.E. (1967) : Stability of Nonlinear Waves Dispersive Media, Shov. Phys. JETP., 24, 455-459

)

,

(

max

)

(

:

m

x

x

t

MTA

t

η

=

GELOMBANG EKSTRIM

PROSES PEMBANGKITANNYA DI LABORATORIUM

MARWAN

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

marwan.math@unsyiah.ac.id, http://math.unsyiah.ac.id/marwan

Universitas Syiah Kuala

Bagaimana membangkitkan

gelombang ekstrim

pada suatu posisi di kolam uji untuk menguji

kelayakan suatu benda terapung ?

PERMASALAHAN

GELOMBANG AIR

WAVE MAKER

ABSORBER

typical wave tank

200m long, 5m deep, 11m wide

GELOMBANG CURAM

BERAMPLITUDO TINGGI

Sinyal ?

"Out of nowhere... a wave twice as high as

average. The ship went down like freefall“,

Göran Persson, Caledonian Star First

Officer

New Year Wave

: On January 1

st

_1995,

an extreme wave was measured under

the Draupner platform in the North

Sea…..The maximal amplitude of 18.5

m is

more

than

three

times

the

significant amplitude for the wave train.

(Karsten Truslen et.al, Univ. of Oslo,

Norway,

http://www.math.uio.no/~karstent/wave

s/indexen.html

)

Fenomena

gelombang tak linear

Officer

Freak Wave – Program Summary, BBC Two,

14 November 2002

Kegiatan

Laboratorium

SKENARIO

PEMECAHAN MASALAH

MTA

selubung

Direct problem

_{Invers problem}

skema wave tank, panjang 200m

0

Elevasi gelombang

)

,

0

(

t

η

?

x

_max

)

,

0

( t

new

η

x

_kapal

TIDAK PECAH

W A V E G R O U P W IT H S lo w ly V a ry in g E n v e lo p e

WAVES GROUP WITH Slowly Varying Envelope

MODEL MATEMATIKA

untuk fluida ideal

UNI-DIRECTIONALISATION

NLS EQUATIONS (1D-2D)

SOLITON ON FINITE

BACKGROUND

EXACT

SOLUTION

1997

TWO DIMENSIONAL

LAPLACE EQUATIONS

BOTTOM BOUNDARY CONDITIONS BOUNDARY CONDITIONS

AT FREE SURFACE

INNER FLUID PROPERTIES

BOUSSINESQ EQUATIONS

KdV EQUATIONS

KP EQUATIONS

ONE DIMENSIONAL

Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia

AB EQUATIONS

1872

1895

1970

PERSAMAAN KdV

Gelombang

Bikromatik

A

m

p

li

tu

d

o

0

)

(

−

∂

+

₂

3

∂

=

Ω

+

∂

_t

η

i

_x

η

η

_x

η

0

)

(

4

1

))

(

(

2

1

₁

₁

₁

₂

=









+

+

∂

+

∂

_η

_η

−

_η

−

_η

−

_η

R

R

R

R

x

t

Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia

Gelombang

Trikromatik

SFB

Frekuensi

Ketidakstabilan Benjamin-Feir

A

m

p

li

tu

d

o

Frekuensi

A

m

p

li

tu

d

o

2

)

,

(

max

)

(

:

m

x

x

t

MTA

t

η

=

Posisi Ekstrim

Gelombang Bikromatik

(Marwan, dkk, 2003)

x

_max

≈

)

,

(

max

)

(

:

m

x

x

t

MTA

t

η

=

(Marwan, dkk, 2004)

x

_max

≈

Posisi Ekstrim

Gelombang Trikromatik

2

2

2

ˆ

2

ˆ

,

ˆ

,

1

4

2

ˆ

0

ˆ

2

a

A A F

a

_β

γ

ν

σ

=

γ ν

−

ν

ν

=

= +

−

ν

< <

ν

2 2

2

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(

1) cosh(

)

(2

) / 2 cos(

)

2

sinh(

)

( , )

ˆ

cosh(

)

(2

) / 2 cos(

)

( , )

ia

ia

i

A

ae

e

F

γξ

γξ

υ

σξ

υ

υτ

υ

υ

σξ

ξ τ

σξ

υ

υτ

ξ τ

−

+

−

+

−

=

−

−

=

)

,

(

max

)

(

:

m

x

x

t

MTA

t

η

=

(Marwan, dkk, 2003)

SOLITON ATAS

LATAR BERHINGGA

1

Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia

Marwan, dkk, 2009

t

P

H

A

S

E

S

I

N

G

U

L

A

R

I

T

Y

P

H

E

N

O

M

E

N

A

SOLITON ATAS

LATAR BERHINGGA

P

H

A

S

E

S

I

N

G

U

L

A

R

I

T

Y

P

H

E

N

O

M

E

N

A

Marwan, 2009, INTERNATIONAL JOURNAL OF ENGINEERING

S

E

L

F

F

O

C

U

S

I

N

G

P

H

E

N

O

M

E

N

A

FFT

SOLITON ATAS

LATAR BERHINGGA

S

E

L

F

F

O

C

U

S

I

N

G

P

H

E

N

O

M

E

N

A

Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia

SOLITON ATAS

LATAR BERHINGGA

1

HASIL

EKSPERIMEN

_{Karjanto, 2006}

LAB. MARIN BELANDA

Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia

max

ˆ

0.9,

a

4.9118

cm M

,

25

cm x

,

150

m

Perbandingan Tinggi

Gelombang di Posisi Ekstrim

Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia

Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia

Peningkatan Tinggi

Gelombang Akibat Orde Tinggi

η

=

εη

(1)

+

ε

2

η

(2)

+

ε

3

η

(3)

+

ε

4

η

(4)

+

ε

5

η

(5)

+

....

_{MTA : m(x)}

=

_max

t

η

(x, t)

Peningkatan Tinggi

Gelombang Akibat Orde Tinggi

Melalui Matematika dan Terapannya menuju Universitas Berkelas Dunia

Ekspansi Asimtotik untuk orde lebih tinggi

Penggunaan Persamaan KdV termodifikasi

....

)

4

(

4

)

3

(

3

)

2

(

2

)

1

(

+

+

+

+

=

εη

ε

η

ε

η

ε

η

η

Signal :

η

(x

=

a, t)

Terima

Kasih

sampai

Jumpa