LANDASAN TEORI. x R, untuk suatu fungsi f : R [0, )

LANDASAN TEORI

Dalam bagian ini akan dibahas teori-teori yang berkaitan dengan pembahasan selanjutnya, yang diberikan dalam bentuk definisi-definisi, beberapa lema dan teorema-teorema penting.

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak)

Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama. Namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul.

[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 2 (Ruang Contoh)

Ruang contoh adalah himpunan yang beranggotakan semua hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan acak dan biasa dinotasikan dengan Ω.

[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 3 (Medan-σ)

Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat berikut: 1. F 2. Jika A A1, 2,... makaF 1 i i A F   



3. Jika AF maka _Ac , dengan_{F A}c menyatakan komplemen dari himpunan A. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 4 (Ukuran Peluang)

Suatu ukuran peluang P pada ( , )F adalah suatu fungsi P F: [0,1]yang memenuhi syarat-syarat berikut:

1. P( )  dan ( ) 10 P  

2. Jika A A₁, ₂,...F adalah himpunan -himpunan yang saling lepas, yaitu

i j

A  untuk setiap pasangan ,i jA

dengan i makaj 1 1 ( ) i i i i P A P A          







.

Pasangan ( , , )F P disebut ruang peluang.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Peubah Acak dan Sebarannya Definisi 5 (Peubah Acak)

Suatu peubah acak adalah suatu fungsi :

X R dengan sifat bahwa untuk setiap

x , {R ;X( )  .x} F

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 6 (Fungsi Sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi F_X :R[0,1], yang diberikan oleh

( ) ( )

X

F x P X  .x

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai berikut ( ) ( ) x X X F x f u du  



x , untuk suatu fungsiR f R: [0, ) yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi

f disebut fungsi kepekatan peluang bagi X.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 8 (Fungsi Kepekatan Peluang) Misalkan X adalah peubah acak. Fungsi

: [0, )

f R  sedemikian sehingga untuk

setiap himpunan AR,

( ) ( )

A

P X A



f x dx

disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Nilai Harapan, Ragam, Standar Deviasi dan Koragam

Definisi 9 (Nilai Harapan)

Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f_X( )x .

Nilai harapan dari X adalah [ ] _X( )

E X xf x

 





,

asalkan integralnya ada. Beberapa sifat dari nilai harapan

2. Jika k suatu konstanta dan X X1, 2 adalah peubah acak, maka

1 1 2 2 1 1 2 2

[ ] [ ] [ ]

E k X k X k E X k E X .

Secara umum, jika k k₁, ₂,...,k_n adalah konstanta dan X X₁, ₂,...,X_n adalah peubah acak, maka

1 1 2 2 1 1 2 2 [ ... ] [ ] [ ] ... [ ]. n n n n E k X k X k X k E X k E X k E X       

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 10 (Ragam)

Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut

2 ( ) ( [ ]) Var X E_XE X _ 2 2 [ ] ( [ ]) E X E X  

Beberapa sifat dari ragam

1. Jika k suatu konstanta, maka 2

( ) ( )

Var kX k Var X .

2. Jika k suatu konstanta dan X X₁, ₂ adalah peubah acak, maka

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( ) ( )

Var k X k X k Var X k Var X





1 2 1 1 2 2

2k k E X[ E X( )][X E X( )]

   .

[Ghahramani, 2000] Definisi 11 (Standar Deviasi)

Jika X adalah peubah acak, _X disebut standar deviasi dari X yang didefinisikan sebagai ( ) X Var X  

 





2 EX E X   _  _ [Ghahramani, 2000] Definisi 12 (Koragam)

Misalkan X dan Y dua peubah acak dengan 1 ( ) E X  dan E Y( ) , maka₂



1 2



( , ) ( )( ) Cov X Y E X  Y  1 2 ( ) E XY   

disebut koragam peubah acak X dan Y. Beberapa sifat dari koragam

1. Jika k suatu konstanta dan X Y adalah, peubah acak, maka

1 2 1 2

( , ) ( , )

Cov k X k Y k k Cov X Y

2. Jika k suatu konstanta dan X Y adalah, peubah acak, maka

1 2 3 4 1 3

( , ) ( , )

Cov k Xk k Y k k k Cov X Y

3. Jika k suatu konstanta dan X X1, 2,...,Xn adalah peubah acak, maka

1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ... ) ( , ) ( , ) ... n n Cov X k X k X k X k Cov X X k Cov X X       ( , ) n n k Cov X X  [Ghahramani, 2000] Fungsi Pembangkit Momen, Momen, Momen Pusat

Definisi 13 (Fungsi Pembangkit Momen) Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak X didefinisikan sebagai

( ) tx tx ( ) X

x

M t E e _{ }



e f x

untuk tR sehingga nilai harapan di atas ada.

Turunan pertamanya di sekitar nol sebagai nilai harapan dari peubah acak X.

' ' 0 ' ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) [ ] tx X X x t X x x X d M t M t xe f x dt M xe f x x f x M E X     







Turunan keduanya di sekitar nol sebagai nilai harapan dari peubah acak _X2

'' 2 2 '' 2 0 '' 2 ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) [ ]. tx X X x t X x x X d M t M t x e f x dt M x e f x x f x M E X     







[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 14 (Momen)

Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan massa, maka momen ke-k dari X didefinisikan sebagai

( k) k

m E X , k = 1,2,3,...

[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 15 (Momen Pusat)

Misalkan nilai harapan dari peubah acak X, 1

m , maka momen pusat ke-k dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut

1 ( ) , k k p m E_X m _ dengan k = 1,2,3,... 1

m = momen ke-1= nilai harapan dari peubah

acak X .

Deret Taylor, Metode Lagrange, dan Teorema Amplop

Definisi 16 (Deret Taylor)

Jika suatu fungsi f dengan yf x( ) memiliki turunan maka fungsi tersebut memiliki ekspansi deret Taylor

2 ( ) ( ) '( ) ''( ) 2 ! h f xh f x h f x  f x 3 '''( ) ... 3! h _{f x}   [Fisher, 1988] Definisi 17 (Metode Lagrange)

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan 1 2

( , )

f x x terhadap kendala g x x( ,_{1 2}) ,0 adalah dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut maksimumkan 1 2 ( , ) f x x , dengan kendala 1 2 ( , ) 0 g x x  .

Dari masalah tersebut, maka diperoleh fungsi

Lagrange sebagai berikut:

1 2 1 2 1 2

( , , ) ( , ) ( , )

L x x f x x g x x

Syarat perlu untuk eksistensi titik ekstrim * *

1 2 1 2

( ,x x )(x x, ) akan terpenuhi jika turunan parsial dari fungsi Lagrange sama dengan nol sehingga menghasilkan: 1 2 1 ( , , ) 0 L x x x   _  1 2 1 2 1 1 ( , ) ( , ) 0 f g x x x x x x        (a) 1 2 2 ( , , ) 0 L x x x   _  1 2 1 2 2 2 ( , ) ( , ) 0 f g x x x x x x        (b) 1 2 1 2 ( , , ) ( , ) 0 L x x  g x x   _{ }  .

Dari persamaan (a) dan (b) akan dihasilkan titik ekstrim * *

1 2

(x x, ).  yang berpadanan dengan fungsi g x x( ,_{1 2}) disebut pengali0

Lagrange.

[Rao, 1978] Teorema Amplop

Teorema Amplop adalah teorema dasar yang digunakan untuk menyelesaikan maksimisasi masalah dalam mikroekonomi. Pernyataan dari teorema ini sebagai berikut:

Diberikan masalah maksimisasi arbitrasi dengan suatu fungsi f bergantung pada parameter a:

( ) max ( , ) x

M a  f x a

dengan fungsi M a( ) memberikan nilai maksimal dari fungsi f sebagai fungsi dari parameter a. Diberikan x a nilai dari x yang( ) mengatasi maksimisasi masalah dalam parameter a sehingga M a( )f x a a( ( ), ). Teorema amplop menyatakan bagaimana perubahan M a( ) sebagai perubahan parameter a, yaitu: * * ( ) ( ) ( , ) x x a dM a f x a da a _   

Turunan pertama dari M bergantung pada a yang diberikan oleh turunan parsial dari

( , )

f x a , x tetap, kemudian dihitung pilihan

optimal (_x*_{). Dengan diprediksikan} * _{( )}

x x a .

[McLennan, 1999] Fungsi Konkaf

Definisi 18 (Fungsi Konkaf)

Fungsi f dikatakan fungsi konkaf pada selang I jika dan hanya jika

1 2 1 2

( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )

f x  x f x  f x

untuk setiap x x₁, ₂I dan untuk setiap 0  . 1

Jika yang berlaku

1 2 1 2

( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )

f x  x f x  f x

untuk x₁ dan 0x₂   maka f dikatakan 1 fungsi konkaf sempurna (strictly concave).

[Peressini, 1988] Fungsi Kepuasan Von Neumann dan Morgenstern

Definisi 19 (Fungsi Kepuasan Von Neumann dan Morgenstern)

Fungsi kepuasan U didefinisikan oleh

' 

  . Dengan diberikan m₁

1

( m ,m m) adalah pengeluaran yang paling disukai dan m_n (  m ,m m_n) adalah pengeluaran yang paling sedikit disukai. Untuk masing-masing pengeluaran

m didefinisikan

( )

u m  sehingga m ̴q (m q m₁( ), _n(1q)) (i) Fungsi kepuasan Von Neumann dan Morgenstern untuk m adalah nilai yang' diharapkan dari fungsi kepuasan u m( ) sebagaimana didefinisikan

1 1 2 2 1 1 2 2 ( ( ), ( ),..., ( )) ( ) ( ) ... ( ) n n n n U m q m q m q q u m q u m q u m     (ii)

[Goyal dan Saxena, 2008]

Two-fund Separation

Definisi 20 (Two-fund separation)

Two-fund separation berlaku jika dan hanya

jika portofolio optimal untuk setiap fungsi kepuasan u tetap dari fraksi positif yangU

diinvestasikan dalam portofolio pasar dan sisa aset berisiko dituliskan

[ '( T ) ] 0, 0

E u kX X  k  u U

Jika k , investor akan meminjam1 (mengambil short position dalam aset berisiko), jika k ,1 investor akan meminjamkan (mengambil long position

dalam aset berisiko), jika k investor akan1 menahan portofolio pasar tanpa meminjamkan atau meminjam.

[Post dan Versijp, 2005] Portofolio Optimal Berdasarkan Model Markowitz

Model Markowitz merupakan model yang menggunakan dua parameter yang mempengaruhi keputusan investor untuk berinvestasi, yaitu nilai harapan imbal hasil,

( )

E R , dan risiko aset, σ.

Model Markowitz ini berlandaskan asumsi sebagai berikut:

1. Hanya dua parameter yang mempengaruhi keputusan investor dalam berinvestasi, yaitu nilai harapan imbal hasil dan risiko. 2. Investor bersifat risk averse. Artinya untuk

portofolio dengan imbal hasil yang sama investor akan memilih risiko yang paling kecil, dan juga bila dihadapkan pada tingkat risiko yang sama investor akan memilih portofolio yang memiliki nilai harapan imbal hasil paling tinggi.

3. Investor memiliki periode investasi yang sama. Investor juga memiliki persepsi yang sama untuk nilai harapan imbal hasil, ragam dan koragam dari portofolio-portofolio yang ada di pasar.

4. Dalam pembentukan portofolio, hanya sekuritas berisiko saja yang dilihat. 5. Ada n sekuritas yang diperdagangkan2

dengan ragam berhingga dan nilai harapan imbal hasil yang berbeda.

Imbal hasil yang diharapkan dari suatu portofolio adalah penjumlahan imbal hasil yang diharapkan dari setiap sekuritas dikalikan dengan proporsi masing-masing

sekuritas dalam portofolio. E R( p) adalah nilai harapan imbal hasil dan p merupakan_i

proporsi sekuritas dalam portofolio atau ditulis sebagai 1 ( ) ( ) n p i i i E R p E R  



.

Karena dalam pembentuk portofolio hanya dilihat sekuritas yang berisiko saja, maka jumlah proporsi dalam suatu portofolio adalah satu, atau secara matematis ditulis

1 1 n i i p  



.

Ragam portofolio

,

merupakan risiko dari portofolio. p adalah proporsi sekuritas ke-i_i

dalam portofolio. Secara matematis ragam dari suatu portofolio dituliskan sebagai berikut

1 1 1 1 ( _p) ( , ) ... Var R p p Cov R R  1 2 1 2 ( , ) ( , ) ... n n n n p p Cov R R p p Cov R R    1 ( 1, ) n n n n pp Cov R R 

Dengan menuliskan Cov R R( _i, _i)Var R( _i), dengan Var R( i) adalah ragam sekuritas ke-i maka

2 2

1

( _p) ( _i) ... _n ( _n)

Var R p Var R  p Var R

1 2 ( 1, 2) ... 1 n ( 1, n) p p Cov R R p p Cov R R    1 1 ... p_np Cov R_n ( _n,R_n)   2 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) n n n p i i i j i j i i j

Var R p Var R p p Cov R R

  









; i .j

Karena Cov R R( i, j)Cov R R( j, i) dengan ( i, j)

Cov R R adalah koragam sekuritas i dan

j untuk i danj p pi j p pj i maka

2 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( , ) n n n p i i i j i j i i j

Var R p Var R p p Cov R R

  









;ij.

Portofolio Markowitz ini digunakan untuk memilih p sehingga_i Var R( _p) minimum atau dapat ditulis { } min ( ) i p p Var R dengan kendala 1 1 n i i p  



.

[Van Keeken, 2001] Model Indeks Tunggal

Model indeks tunggal digunakan untuk menyederhanakan penghitungan pada model Markowitz. Model ini didasarkan pada

anggapan bahwa harga sekuritas berubah searah dengan harga indeks pasar.

Model indeks tunggal adalah model yang menyatakan bahwa imbal hasil setiap sekuritas mempunyai hubungan dengan imbal hasil portofolio pasar. Portofolio pasar adalah portofolio yang terdiri atas semua sekuritas yang ada di pasar dan portofolio pasar ini dapat diwakili oleh indeks pasar. Hubungan imbal hasil dari suatu sekuritas dengan imbal hasil indeks pasar dapat dituliskan sebagai berikut

i i i m

R  c b R ;i1, 2,...,n

dengan i

R : imbal hasil sekuritas i,

i

c : suatu peubah acak yang menunjukkan komponen dari imbal hasil sekuritas i yang tidak bergantung pada pasar, i

b : koefisien risiko yang mengukur perubahan R akibat dari perubahan_i R_m

,

m

R : Tingkat imbal hasil dari indeks pasar,

juga merupakan peubah acak.

Karena c adalah komponen imbal hasil yang_i

tidak bergantung pada imbal hasil pasar maka i

c dapat dipecah menjadi nilai yang diharapkan (a ) dan kesalahan/residu (_i )_i

yang dituliskan sebagai berikut i i i

c  a  ;i1, 2,...,n.

Sehingga hubungan imbal hasil dari suatu sekuritas dengan imbal hasil indeks pasar dapat dituliskan sebagai berikut

i i i m i

R  a b R  ;i1, 2,...,n

dengan E( )_i  , karena persamaan tersebut0 berfungsi menduga imbal hasil sekuritas i supaya nilai yang diduga mendekati nilai yang sebenarnya maka diharapkan tidak ada kesalahan atau kesalahannya mendekati nol.

Pada model indeks tunggal, imbal hasil dari sekuritasnya dapat juga dinyatakan dalam bentuk nilai harapan imbal hasil.

[Bodie, et al, 2002]

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Kemampuan untuk mengestimasi imbal hasil dan risiko sebuah sekuritas individual merupakan hal yang sangat penting dan diperlukan oleh investor ketika hendak menanamkan modalnya pada sebuah pasar sekuritas.

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

merupakan suatu model untuk memprediksi keseimbangan imbal hasil yang diharapkan dari suatu aset berisiko. Model ini memberikan prediksi tentang bagaimana hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan.

Pendekatan ini berlandaskan pada asumsi-asumsi berikut:

1. Terdapat banyak investor, mereka bertindak sebagai price takers yaitu setiap tindakan yang mereka lakukan secara perorangan tidak memengaruhi harga suatu sekuritas.

2. Seluruh investor merencanakan untuk satu periode investasi yang sama.

3. Investasi dibatasi hanya pada aset keuangan yang diperdagangkan secara umum seperti saham dan obligasi.

4. Investor tidak membayar pajak atas imbal hasil dan juga tidak terdapat biaya transaksi atas perdagangan sekuritas. 5. Seluruh investor berusaha

mengoptimalkan imbal hasil risiko yang rasional.

6. Setiap investor mempunyai harapan yang sama untuk setiap modal yang diinvestasikannya.

[Bodie, et al, 2002]

PEMBAHASAN

Pembentukan Harga Aset Modal (CAP) Model dari pembentukan harga aset modal yang biasa disebut Capital Assets Pricing

Model (CAPM) memberikan prediksi tentang

hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan. CAPM memprediksi nilai harapan imbal hasil berdasarkan asumsi bahwa seluruh investor menggunakan daftar input yang sama, yaitu estimasi yang sama tentang imbal

hasil yang diharapkan, ragam dan koragam. Ketika seluruh investor dapat meminjam dan memberi pinjaman dana pada tingkat bebas risiko, maka seluruh investor akan mempunyai titik portofolio yang optimal. Ketika pinjaman dibatasi, maka suku bunga pinjaman lebih tinggi daripada suku bunga pemberian pinjaman sehingga portofolio pasar tidak lagi merupakan portofolio optimal