LEMMA HENSTOCK PADA INTEGRAL M Muslich
Jurusan Matematika FMIPA UNS muslich_mus@yahoo.com
ABSTRACT.Based on the McShane finepartition and McShane integral, it can be arranged the M fine partition and M integral concepts. Furthermore, it is discussed some simple properties of M integral and Lemma Henstock.
Keywords: Lemma Henstock, McShane partition and McShane integral.
ABSTRAK. Berdasarkan konsep partisi McShane fine dan integral McShane dapat dibangun konsep partisi M fine dan integral M. Kemudian dibahas beberapa sifat sederhana integral Mdan Lemma Henstock.
Kata Kunci: Lemma Henstock, partisi McShane dan integral McShane.
1. PENDAHULUAN
Jenis integral dapat diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu jenis integral deskriptif dan jenis integral konstruktif. Akhir-akhir ini ke dua jenis integral tersebut mengalami perkembangan yang cukup pesat. Hubungannya dengan perkembangan jenis integral konstruktif ini Jae Myung Park et al [3] berhasil menyusun integral yang dinamakan dengan integral M. Integral Mini disusun
berdasarkan konsep integral McShane. Menurut Jae Myung et al [2] maupun Jarolav Kurzweil et al [6] dikatakan bahwa integral McShane ekivalen dengan integral Lebesgue dan selanjutnya oleh Tuo-Yeong Lee [7] dikatakan bahwa integral McShane merupakan bentuk integral konstruktif dari integral Lebsgue. Di
dalam tulisan ini P dimaksud koleksi pasangan selang titik n i i i
I , )} 1
{( dengan
j i I
I ,i j.
Berdasarkan pasangan selang titik P{(Ii,i)}in1, baik Gordon [6] maupun
D.H. Fremlin [1] mendefinisikan konsep partisi McShane finedan integral
Definisi 1.1 P{(Ii,i)}in1 dikatakan partisi McShane finepada [a,b] jika
) ( ),
(
( i i i i i
I , i[a,b]
Definisi 1.2 Fungsi f :[a,b]R dikatakan terintegral McShane pada [a,b] ditulis f M[a,b] jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap 0
terdapat fungsi positif ():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi McShane
fine
n
i i i
I
P{( , )}1 pada [a,b] berlaku
A I f
n
i
i i
1
) (
Selanjutnya Jae Myung Park et al [3] dan Jae Myung Park et al [4]
mendefinisikan konsep partisi M finepada [a,b] dan integral Mpada
] ,
[a b sebagai berikut.
Definisi 1.3 P{(Ii,i)}dikatakan partisi M fine pada [a,b] untuk suatu konstan 0jika P{(Ii,i)}in1 partisi McShane fine pada [a,b] dan
memenuhi
n
i
i i I
d
1
) ,
( dengan d(i,Ii)inf{ xi :xIi}
Diberikan partisi M fine n i i i
I
P{( , )}1 pada [a,b]dan fungsi
R b a
f :[ , ] , kemudian dibentuk jumlahan
n i
i i I
f P
f S
1
) ( )
,
( . Dari konsep
) , (f P
S tersebut didefinisikan integral Mfungsi f pada [a,b]
sebagai berikut.
Definisi 1.4 Diberikan bilangan real 0. Fungsi f :[a,b]R dikatakan terintegral M pada [a,b] ditulis f M[a,b] jika terdapat bilangan real A
sehingga untuk setiap 0 terdapat fungsi positif ():[a,b]Rsehingga
untuk setiap partisi M fine n i i i
I
P{( , )}1 pada [a,b] berlaku
A I f
n
i
i i
1
Bilangan A disebut nilai integral Mpada [a,b] dan dinotasikan dengan
] , [
) (
b a
fdx M
A . Fungsi f terintegral Mpada E[a,b] jika fungsi fE
terintegral Mpada [a,b] dan berlaku
] , [
) ( ) (
b a
E E
f M f
M .
Berdasarkan konsep integral Mini penulis bertujuan untuk membahas
kembali tulisan Jae Myung Park et al [2] tentang sifat-sifat integral Mdan
Lemma Henstock yang bermanfaat melengkapi pernyataan-pernyataan yang dipandang perlu.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan pada konsep partisi M fine n i i i
I
P{( , )}1pada [a,b]
dan konsep integral Mpada [a,b] maka akan dibahas beberapa sifat sederhana
integral M dan Lemma Henstock. Untuk kemudahan dalam pembahasan
n i i i
I
P{( , )}1 dan
n
i
i i I
f P
1
) ( )
( berturut-turut cukup ditulis dengan
)} , {(I
P dan (P)
f()I.Teorema 2.1 Diberikan f :[a,b]R. Jika fungsi f terintegral M pada [a,b] maka nilai integralnya tunggal.
Bukti. Diberikan sebarang 0. Andaikan nilai integral fungsi f pada [a,b] tidak
tunggal, sebut
] , [
) (
b a
fdx M
A dan
] , [
) (
b a
fdx M
B dengan AB, maka
terdapat fungsi positif 1():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M
fine
1
P{(I,)}pada [a,b] berlaku
2 )
( )
dan terdapat fungsi positif 2():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M
fine
2
P{(I,)}pada [a,b] berlaku . 2 )
( )
(P
f I B Didefinisikan fungsi positif
(
):[a,b]R dengan () min{1(),2()},maka untuk setiap partisi M fine P{(I,)}pada [a,b] berlaku
B
A = A(P)
f()I (P)
f()I B≤ A(P)
f()I + (P)
f()I B< 2
+ 2
=
Karena berlaku untuk setiap 0maka A=B, jadi pengandaian salah yang benar
nilai integralM fungsi f pada [a,b] adalah tunggal.
Teorema 2.2 M[a,b]merupakan ruang linear yaitu jika f,g:[a,b]R terintegral M pada [a,b] dan k bilangan real makaf g dan kf terintegral
M pada [a,b]dan berlaku
a.
] , [
) ( b a
dx g f
M =
] , [ab
fdx
M +
] , [ab
gdx M
b.
] , [ab
kfdx
M =
] , [ab
fdx M
k
Bukti. a.Diberikan sebarang 0. Diketahui f,g:[a,b]R terintegral M pada [a,b] maka terdapat fungsi positif 1():[a,b]Rsehingga untuk setiap
partisi M 1 fine P'{(I,)}pada [a,b] berlaku
1
2 )
( ) ' (
f I A kP
dan terdapat fungsi positif 2():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M
fine
2
P"{(I,)}pada [a,b] berlaku
2 )
( ) "
(P
g I B Didefinisikan fungsi positif
(
):[a,b]R dengan () min{1(),2()},maka untuk setiap partisi M fine P{(I,)}pada [a,b] berlaku
( )( )( ) )(P f g A B ≤(P)
(f()I A + (P)
(g()I B< 2(k 1)
+ 2
=
Jadi f g terintegral Mpada [a,b]dan berlaku
] , [
) ( b a
dx g f
M = A+ B =
] , [ab
fdx
M +
] , [ab
gdx
M .
b. Selanjutnya juga berlaku
kf I kAP') ( )
( k (P')
f()I A<
) 1 ( 2 k
<
Jadi kf terintegral Mpada[a,b]dan berlaku
] , [ab
kfdx
M = kA=
] , [ab
fdx M
k
Berikut diberikan Teorema Cauchy yang dapat dipergunakan untuk
menentukan kriteria apakah suatu fungsi terintegral M pada [a,b].
Teorema 2.3 (Teorema Cauchy) Diberikan f :[a,b]R. Fungsi f terintegral
M pada [a,b] jika hanya jika untuk setiap 0terdapat fungsi postif
R
b a, ] [ : ) (
sehingga untuk setiap dua partisi M fine P'{(I,)}dan)} , {( " I
P pada [a,b] berlaku
f I P
f I P') ( ) ( ") ( ) (Bukti. a. Syarat perlu.
Diberikan sebarang 0.Diketahui f :[a,b]R terintegral Mpada [a,b]
maka terdapat fungsi positif ():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M
fine
2 )
( ) ' (
] , [
b a
fdx I
f P
Dengan demikian untuk setiap partisi M fine P'{(I,)} dan P"{(I,)}
pada [a,b] berlaku
f I P
f I P') ( ) ( ") ( )(
] , [
) ( ) ' (
b a
fdx I
f
P +
fdx P
f Ib a
) ( ) " (
] , [
< 2
+ 2
=
b. Syarat cukup. Menurut asumsi untuk setiap 0terdapat fungsi positif
R
b a, ] [ : ) (
sehingga untuk setiap dua partisi M fine Pm {(I,)}dan
)} , {(I
Pn pada [a,b] berlaku
f I P
f I Pm) ( ) ( n) ( ) (Untuk setiap bilangan asli n dipilih fungsi n():[a,b]Rsehingga untuk
setiap dua partisi M n fine P1 {(I,)}dan P2 {(I,)} pada [a,b] berlaku
n I f P I f
P) ( ) ( ) ( ) 1
( 1
2
Diasumsikan {n} merupakan baris turun monoton. Untuk setiap bilangan asli n
misalkan Pn {(I,)}merupakan partisi M n finepada [a,b] maka
} ) ( )
{(Pn
f I merupakan baris Cauchy, berakibat {(Pn)
f()I konvergensebut
n
lim (Pn)
f()I = A, jadi dapat dipilih bilangan asli terkecil N>
2
sehingga untuk nN berakibat
2 1 1
N
n dan berlaku
2 )
( ) ( khususnya 2
) ( )
(Pn
f I A PN
f I A Jika P{(I,)} merupakan partisi M N fine pada [a,b] maka berlaku
f I AP) ( )
( (P)
f()I (PN)
f()I + (PN)
f()I A< N
1
+ 2
< 2
+
2
=
Jadi f terintegral Mpada [a,b], dengan demikian teorema terbukti.
Teorema 2.4 Diberikan f :[a,b]R. Jika f terintegral M pada [a,b] maka f terintegral M pada setiap selang bagian [c,d] [a,b].
Bukti. Diketahui f terintegral Mpada [a,b], maka menurut Teorema 2.3 untuk setiap >0 terapat fungsi postif
(
):[a,b]Rsehingga untuk setiap duapartisi M fine P'{(I,)}dan P"{(I,)}pada [a,b] berlaku
f I P
f I P') ( ) ( ") ( ) (Ambil sebarang partisi M fine P2 {(I,)}dan P3 {(I,)} pada [c,d],
partisi M fine P1{(I,)} pada [a,c] dan partisi M fine
)} , {(
4 I
P pada [d,b] maka mudah dipahami bahwa
4 2 1
' P P P
P
4 3 1
" P P P
P
merupakan partisi M finepada [a,b]sehingga diperoleh
f I D
f ID ) ( ) ( ) ( )
Karena P2dan P3 sebarang partisi M fine pada [c,d],menurut Teorema 2.3
maka fungsi f terintegral Mpada [c,d] untuk setiap [c,d][a,b].
Teorema 2.5 Diberikan f :[a,b]R. Jika f terintegral M pada [a,c]dan[c,b] maka f terintegral M pada [a,b] dan berlaku
] , [ab
fdx
M =
] , [ac
fdx
M +
] , [cb
fdx
M .
Bukti. Diberikan sebarang >0 dan misalkan
] , [
) (
c a
fdx M
A dan
] , [
) (
b c
fdx M
B maka terdapat fungsi positif 1():[a,c]Rsedemikian
hingga untuk setiap partisi M 1 fine P'{(I,)}pada [a,c]berlaku:
2 )
( ) '
(P
f I A dan terdapat fungsi positif 2():[c,b]Rsedemikian hingga untuk setiap
partisi M 2 fineP"{(I,)}pada [c,b] berlaku
. 2 )
( ) "
(P
f I B Didefinisikan fungsi positif ():[a,b]Rdengan
() =
] , ( },
), ( min{
)}, ( ), ( min{
) , [ },
), ( min{
2 2 1 1
b c jika
c
c jika c
c
c a jika
c
Apabila P{(I,)}merupakan partisi M fine pada [a,b] maka c
merupakan salah satu titik partisinya, dan mudah dipahami jika PP1P2
dengan P1{(I,)}danP2 {(I,)}berturut-turut merupakan partisi M
fine
pada [a,c]dan [c,b] maka berlaku
( ) ( ) )(P f I A B ≤(P1)
(f()I A + (P2)
(g()I B< 2
+ 2
=
Karena berlaku untuk sebarang >0 maka f terintegral Mpada [a,b] dan
berlaku
] , [ab
fdx
M = A+ B =
] , [ac
fdx
M +
] , [cb
gdx
M .
Teorema 2.6 (Lemma Henstock) Diberikan f :[a,b]R. Jika f terintegral
M pada [a,b] yaitu untuk setiap 0terdapat fungsi positif
(
):[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M fine P {(I,)}pada [a,b] berlaku
] , [
) ( ) (
b a
f I f P
maka untuk setiap partisi M fine bagian m i i i
I
P'{( , )}1 dari P{(I,)}
berlaku
) ( ) 2
( ) ' (
1 1
m
i
m
i I i i
i
i
f I
f P
Bukti. Diberikan 0
Misalkan m
i i i
I
P'{( , )}1adalah partisi M finebagian dari P{(I,)}
dengan I1,I2,...,Im adalah selang-selang pada partisi P ,' sedangkan 2' ' '
1,I ,...,Ik
I
adalah selang-selang sisanya sehingga [a,b]=
mi
k
j j
i I
I
1 1
'
) ( ) (
. Karena f
terintegral Mpada [a,b]maka f terintegral Mpada '
j
I untuk setiap
k
j1,2,3,..., , dengan demikian terdapat fungsi positif
j(
):I'j Rsehinggauntuk setiap partisiM j fine Pjpada I'j berlaku
k f I f P
j
I j
'
) ( ) (
Dibentuk
k
j j
P P
P
1
) ( '
maka P merupakan partisi M fine pada [a,b] dan
] , [ ) ( ) ( b a f I fP =
m
i
k
j ab
j j i
i I f I f
f P
1 1 [ ,]
' ) ( ) ( ) ' ( sehingga berakibat
m
i m i I i i i f I f P 1 1 ) ( ) ' ( =
kj ab
k j I j j j f f I f I f P
1 [ , ] 1 '
) ( ) ) ( ) ( ) (( ≤
] , [ ) ( ) ( b a f I fP +
k j I k j j j j I f f 1 1 ' ' ) ( ≤
] , [ ) ( ) ( b a f I fP +
k j I j j j f I f 1 ' ' ) (
< +
k
j 1k
= 2.
Dengan demikian Teorema terbukti.
3. KESIMPULAN
Dari hasil pembahasan di atas diperoleh beberapa kesimpulan antara lain (i) ]
, [a b
M merupakan ruang linear dan (ii) bahwa Lemma Henstock berlaku pada
integral Myaitu jika diberikan fungsi f :[a,b]R dan f terintegral Mpada
] ,
[a b maka untuk setiap 0terdapat fungsi positif
(
):[a,b]Rsehinggauntuk setiap partisi M fine P{(I,)}pada [a,b] berlaku
] , [ ) ( ) ( b a f I f Pmaka untuk setiap partisi M fine bagian m i i i
I
P'{( , )}1 dariP{(I,)}
berlaku
) ( ) 2
( ) ' (
1 1
m
i
m
i I i i
i
i
f I
f
P .
DAFTAR PUSTAKA
D. H. Fremlin, (1994) The Henstock and McShane Integral of Vector Valued Function, Illionis of Journal Mathematics, 38(3), 471-479.
Jae Myung Park and Deok Ho Lee, (1996) The Denjoy Extension of The McShane Integral,Bull. Korean Math. Soc. 33(3), 41-416.
Jae Myung Park, Hyung Won Ryu, and Hoe Kyung Lee, (2010) The -M
integral, Journal of The Chungcheong Mathematical Sosiety, 23(1), 99-108.
Jae Myung Park, Deok Ho Lee, Yu Han Yoon, and Hoe Kyung Lee, (2010) The
Integration By Parts For The-Mintegral,Journal of The Chungcheong
Mathematical Sosiety, 23(4), 861-870.
Jaroslav Kurzweil & S. Schwabik, (1991) McShane Equiintegrability and Vitali’s Convergence Theorem, e-mail address: kurzweil@math.cas.cz, schwabik@math.cas.cz.
R.A. Gordon, (1994) The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Mathematics, Volume 4, American Mathematical Society.