LEMMA HENSTOCK PADA INTEGRAL 

(1)

LEMMA HENSTOCK PADA INTEGRAL M_ Muslich

Jurusan Matematika FMIPA UNS [email protected]

ABSTRACT.Based on the McShane   finepartition and McShane integral, it can be arranged the M_   fine partition and M_ integral concepts. Furthermore, it is discussed some simple properties of M_ integral and Lemma Henstock.

Keywords: Lemma Henstock, McShane partition and McShane integral.

ABSTRAK. Berdasarkan konsep partisi McShane   fine_{dan integral McShane dapat} dibangun konsep partisi M_   fine dan integral M_. Kemudian dibahas beberapa sifat sederhana integral M_dan Lemma Henstock.

Kata Kunci: Lemma Henstock, partisi McShane dan integral McShane.

1. PENDAHULUAN

Jenis integral dapat diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu jenis integral deskriptif dan jenis integral konstruktif. Akhir-akhir ini ke dua jenis integral tersebut mengalami perkembangan yang cukup pesat. Hubungannya dengan perkembangan jenis integral konstruktif ini Jae Myung Park et al [3] berhasil menyusun integral yang dinamakan dengan integral M_. Integral M_ini disusun

berdasarkan konsep integral McShane. Menurut Jae Myung et al [2] maupun Jarolav Kurzweil et al [6] dikatakan bahwa integral McShane ekivalen dengan integral Lebesgue dan selanjutnya oleh Tuo-Yeong Lee [7] dikatakan bahwa integral McShane merupakan bentuk integral konstruktif dari integral Lebsgue. Di

dalam tulisan ini P dimaksud koleksi pasangan selang titik n i i i

I , )} ₁

{(   dengan 

  _j i I

I ,i j.

Berdasarkan pasangan selang titik P{(I_i,_i)}_in₁, baik Gordon [6] maupun

D.H. Fremlin [1] mendefinisikan konsep partisi McShane   finedan integral

(2)

Definisi 1.1 P{(I_i,_i)}_in₁ dikatakan partisi McShane   finepada [a,b] jika

) ( ),

(

( _i _i _i _i i

I        , _i[a,b]

Definisi 1.2 Fungsi f :[a,b]R dikatakan terintegral McShane pada [a,b] ditulis f M[a,b] jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap  0

terdapat fungsi positif ():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi McShane

fine



 n

i i i

I

P{( , )}1 pada [a,b] berlaku



  





A I f

n

i

i i

1

) (

Selanjutnya Jae Myung Park et al [3] dan Jae Myung Park et al [4]

mendefinisikan konsep partisi M_   finepada [a,b] dan integral M_pada

] ,

[a b sebagai berikut.

Definisi 1.3 P{(Ii,i)}dikatakan partisi M  fine pada [a,b] untuk suatu konstan  0jika P{(I_i,_i)}_in₁ partisi McShane   fine pada [a,b] dan

memenuhi





 n

i

i i I

d

1

) ,

(  dengan d(_i,I_i)inf{ x_i :xI_i}

Diberikan partisi M_   fine n i i i

I

P{( , )}1 pada [a,b]dan fungsi

R b a

f :[ , ] , kemudian dibentuk jumlahan





 n i

i i I

f P

f S

1

) ( )

,

(  . Dari konsep

) , (f P

S tersebut didefinisikan integral M_fungsi f pada [a,b]

sebagai berikut.

Definisi 1.4 Diberikan bilangan real  0. Fungsi f :[a,b]R dikatakan terintegral M pada_ [a,b] ditulis f M_[a,b] jika terdapat bilangan real A

sehingga untuk setiap  0 terdapat fungsi positif ():[a,b]Rsehingga

untuk setiap partisi M_   fine n i i i

I

P{( , )}1 pada [a,b] berlaku



  





A I f

n

i

i i

1

(3)

Bilangan A disebut nilai integral M_pada [a,b] dan dinotasikan dengan





] , [

) (

b a

fdx M

A _ . Fungsi f terintegral M_pada E[a,b] jika fungsi f_E

terintegral M_pada [a,b] dan berlaku







] , [

) ( ) (

b a

E E

f M f

M_ _  .

Berdasarkan konsep integral M_ini penulis bertujuan untuk membahas

kembali tulisan Jae Myung Park et al [2] tentang sifat-sifat integral M_dan

Lemma Henstock yang bermanfaat melengkapi pernyataan-pernyataan yang dipandang perlu.

2. HASIL DAN PEMBAHASAN

Berdasarkan pada konsep partisi M_  fine n i i i

I

P{( , )}1pada [a,b]

dan konsep integral M_pada [a,b] maka akan dibahas beberapa sifat sederhana

integral M_ dan Lemma Henstock. Untuk kemudahan dalam pembahasan

n i i i

I

P{( , )}₁ dan





n

i

i i I

f P

1

) ( )

(  berturut-turut cukup ditulis dengan

)} , {(I 

P dan (P)



f()I.

Teorema 2.1 Diberikan f :[a,b]R. Jika fungsi f terintegral M pada _ [a,b] maka nilai integralnya tunggal.

Bukti. Diberikan sebarang  0. Andaikan nilai integral fungsi f pada [a,b] tidak

tunggal, sebut 



] , [

) (

b a

fdx M

A _ dan 



] , [

) (

b a

fdx M

B _ dengan AB, maka

terdapat fungsi positif ₁():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M_

fine



1

 P{(I,)}pada [a,b] berlaku

2 )

( )

(4)

dan terdapat fungsi positif ₂():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M_

fine



2

 P{(I,)}pada [a,b] berlaku . 2 )

( )

(P



f  I B 

Didefinisikan fungsi positif



(



):[a,b]R dengan () min{₁(),₂()},

maka untuk setiap partisi M_   fine P{(I,)}pada [a,b] berlaku

B

A = A(P)



f()I (P)



f()I B

≤ A(P)



f()I + (P)



f()I B

< 2



+ 2



= 

Karena berlaku untuk setiap  0maka A=B, jadi pengandaian salah yang benar

nilai integralM_ fungsi f pada [a,b]_{adalah tunggal.}

Teorema 2.2 M_[a,b]merupakan ruang linear yaitu jika f,g:[a,b]R terintegral M pada _ [a,b] dan k bilangan real makaf g dan kf terintegral



M pada [a,b]dan berlaku

a.

 





] , [

) ( b a

dx g f

M =

 



] , [ab

fdx

M +

 



] , [ab

gdx M

b.

 



] , [ab

kfdx

M =

 



] , [ab

fdx M

k 

Bukti. a.Diberikan sebarang  0. Diketahui f,g:[a,b]R terintegral M_ pada [a,b] maka terdapat fungsi positif ₁():[a,b]Rsehingga untuk setiap

partisi M_ ₁ fine P'{(I,)}pada [a,b] berlaku



1



2 )

( ) ' (

  



f I A _k

P  

dan terdapat fungsi positif ₂():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M_

fine



2

 P"{(I,)}pada [a,b] berlaku

2 )

( ) "

(P



g  I B 

(5)

Didefinisikan fungsi positif



(



):[a,b]R dengan () min{₁(),₂()},

maka untuk setiap partisi M_   fine P{(I,)}pada [a,b] berlaku



(  )( )(  ) )

(P f g  A B ≤(P)



(f()I A + (P)



(g()I B

< ₂₍_k ₁₎



+ 2



= 

Jadi f g terintegral M_pada [a,b]dan berlaku

 





] , [

) ( b a

dx g f

M = A+ B =

 



] , [ab

fdx

M +

 



] , [ab

gdx

M .

b. Selanjutnya juga berlaku  



kf I kA

P') ( )

(  k (P')



f()I A

<

) 1 ( 2 k 



<

Jadi kf terintegral M_pada[a,b]dan berlaku

 



] , [ab

kfdx

M = kA=

 



] , [ab

fdx M

k 

Berikut diberikan Teorema Cauchy yang dapat dipergunakan untuk

menentukan kriteria apakah suatu fungsi terintegral M _ pada [a,b].

Teorema 2.3 (Teorema Cauchy) Diberikan f :[a,b]R. Fungsi f terintegral 

M pada [a,b]_{jika hanya jika untuk setiap}  0terdapat fungsi postif



R

b a, ] [ : ) (





sehingga untuk setiap dua partisi M_   fine P'{(I,)}dan

)} , {( " I 

P  pada [a,b] berlaku

 

  



f I P



f I P') ( ) ( ") ( ) (

Bukti. a. Syarat perlu.

Diberikan sebarang  0.Diketahui f :[a,b]R terintegral M_pada [a,b]

maka terdapat fungsi positif ():[a,b]Rsehingga untuk setiap partisi M_

fine



(6)

2 )

( ) ' (

] , [



 







b a

fdx I

f P

Dengan demikian untuk setiap partisi M_   fine P'{(I,)} dan P"{(I,)}

pada [a,b] berlaku



f I  P



f I P') ( ) ( ") ( )

(  









] , [

) ( ) ' (

b a

fdx I

f

P  +



fdx P



f I

b a

) ( ) " (

] , [



< 2



+ 2



= 

b. Syarat cukup. Menurut asumsi untuk setiap  0terdapat fungsi positif



R

b a, ] [ : ) (

 sehingga untuk setiap dua partisi M_   fine P_m {(I,)}dan

)} , {(I 

P_n  pada [a,b] berlaku

 

  



f I P



f I P_m) ( ) ( _n) ( ) (

Untuk setiap bilangan asli n dipilih fungsi _n():[a,b]Rsehingga untuk

setiap dua partisi M_ _n  fine P₁ {(I,)}dan P₂ {(I,)} pada [a,b] berlaku

n I f P I f

P) ( ) ( ) ( ) 1

( ₁



  ₂



 

Diasumsikan {_n} merupakan baris turun monoton. Untuk setiap bilangan asli n

misalkan Pn {(I,)}merupakan partisi M n  finepada [a,b] maka

} ) ( )

{(P_n



f  I merupakan baris Cauchy, berakibat {(P_n)



f()I konvergen

sebut

 

n

lim (P_n)



f()I = A, jadi dapat dipilih bilangan asli terkecil N>



2

sehingga untuk nN berakibat

2 1 1 _ _ 

N

n dan berlaku

(7)

2 )

( ) ( khususnya 2

) ( )

(Pn



f  I A  PN



f  I A 

Jika P{(I,)} merupakan partisi M_ _N  fine pada [a,b] maka berlaku

 



f I A

P) ( )

(  (P)



f()I (P_N)



f()I + (P_N)



f()I A

< N

1

+ 2



< 2



+

2



= 

Jadi f terintegral M_pada [a,b], dengan demikian teorema terbukti.

Teorema 2.4 Diberikan f :[a,b]R. Jika f terintegral M pada _ [a,b] maka f terintegral M_ pada setiap selang bagian [c,d] [a,b].

Bukti. Diketahui f terintegral M_pada [a,b], maka menurut Teorema 2.3 untuk setiap >0 terapat fungsi postif



(



):[a,b]Rsehingga untuk setiap dua

partisi M_   fine P'{(I,)}dan P"{(I,)}pada [a,b] berlaku

 

  



f I P



f I P') ( ) ( ") ( ) (

Ambil sebarang partisi M_   fine P₂ {(I,)}dan P₃ {(I,)} pada [c,d]_,

partisi M_   fine P₁{(I,)} pada [a,c] dan partisi M_   fine

)} , {(

4 I 

P  pada [d,b] maka mudah dipahami bahwa

4 2 1

' P P P

P  

4 3 1

" P P P

P   

merupakan partisi M_   finepada [a,b]sehingga diperoleh



f I  D



f I

D ) ( ) ( ) ( )

(8)

Karena P₂dan P₃ sebarang partisi M_   fine pada [c,d]_,menurut Teorema 2.3

maka fungsi f terintegral M_pada [c,d] untuk setiap [c,d][a,b].

Teorema 2.5 Diberikan f :[a,b]R. Jika f terintegral M pada _ [a,c]dan[c,b] maka f terintegral M_ pada [a,b] dan berlaku

 



] , [ab

fdx

M =

 



] , [ac

fdx

M +

 



] , [cb

fdx

M .

Bukti. Diberikan sebarang >0 dan misalkan 



] , [

) (

c a

fdx M

A _ dan





] , [

) (

b c

fdx M

B _ maka terdapat fungsi positif ₁():[a,c]Rsedemikian

hingga untuk setiap partisi M_ ₁ fine P'{(I,)}pada [a,c]berlaku:

2 )

( ) '

(P



f  I A  

dan terdapat fungsi positif ₂():[c,b]Rsedemikian hingga untuk setiap

partisi M_ ₂ fineP"{(I,)}pada [c,b] berlaku

. 2 )

( ) "

(P



f  I B 

Didefinisikan fungsi positif ():[a,b]Rdengan

() =     

 

  

] , ( },

), ( min{

)}, ( ), ( min{

) , [ },

), ( min{

2 2 1 1

b c jika

c

c jika c

c

c a jika

c

 

 



 

 

Apabila P{(I,)}merupakan partisi M_   fine_pada [a,b] maka c

merupakan salah satu titik partisinya, dan mudah dipahami jika PP₁P₂

dengan P₁{(I,)}danP₂ {(I,)}berturut-turut merupakan partisi M_

fine



 _pada[a,c]dan [c,b] maka berlaku



( ) (  ) )

(P f  I A B ≤(P₁)



(f()I A + (P₂)



(g()I B

< 2



+ 2



= 

(9)

Karena berlaku untuk sebarang >0 maka f terintegral M_pada [a,b] dan

berlaku

 



] , [ab

fdx

M = A+ B =

 



] , [ac

fdx

M +

 



] , [cb

gdx

M .

Teorema 2.6 (Lemma Henstock) Diberikan f :[a,b]R. Jika f terintegral 

M pada [a,b]_{yaitu untuk setiap} 0terdapat fungsi positif



(



):[a,b]R

sehingga untuk setiap partisi M_  fine P {(I,)}pada [a,b] berlaku



  





] , [

) ( ) (

b a

f I f P

maka untuk setiap partisi M_   fine_bagian m i i i

I

P'{( , )}1 dari P{(I,)}

berlaku

 

 ) ( ) 2

( ) ' (

1 1

 



m_



_

i

m

i I i i

i

f I

f P

Bukti. Diberikan  0

Misalkan m

i i i

I

P'{( , )}1adalah partisi M   finebagian dari P{(I,)}

dengan I₁,I₂,...,I_m adalah selang-selang pada partisi P ,' sedangkan 2' ' '

1,I ,...,Ik

I

adalah selang-selang sisanya sehingga [a,b]=



m

i

k

j j

i I

I

1 1

'

) ( ) (

 

 . Karena f

terintegral M_pada [a,b]maka f terintegral M_pada '

j

I untuk setiap

k

j1,2,3,..., , dengan demikian terdapat fungsi positif



_j(



):I'_j Rsehingga

untuk setiap partisiM_ _j fine P_jpada I'_j berlaku

k f I f P

j

I j



 







'

) ( ) (

Dibentuk



k

j j

P P

P

1

) ( '





 maka P merupakan partisi M_   fine pada [a,b] dan

(10)







] , [ ) ( ) ( b a f I f

P  =



 



 





 

m

i

k

j _a_b

j j i

i I f I f

f P

1 1 [ ,]

' ) ( ) ( ) ' ( sehingga berakibat



m_ 



_

i m i I i i i f I f P 1 1 ) ( ) ' (  =







_ 







_ k

j _a_b

k j _I j j j f f I f I f P

1 [ , ] 1 '

) ( ) ) ( ) ( ) ((   ≤







] , [ ) ( ) ( b a f I f

P  +

  

   k j _I k j j j j I f f 1 1 ' ' ) ( ≤







] , [ ) ( ) ( b a f I f

P  +





  k j _I j j j f I f 1 ' ' ) (

< ₊





k

j 1k



= 2.

Dengan demikian Teorema terbukti.

3. KESIMPULAN

Dari hasil pembahasan di atas diperoleh beberapa kesimpulan antara lain (i) ]

, [a b

M_ merupakan ruang linear dan (ii) bahwa Lemma Henstock berlaku pada

integral M_yaitu jika diberikan fungsi f :[a,b]R dan f terintegral M_pada

] ,

[a b _{maka untuk setiap} 0terdapat fungsi positif



(



):[a,b]Rsehingga

untuk setiap partisi M_   fine P{(I,)}pada [a,b] berlaku

   





] , [ ) ( ) ( b a f I f P

maka untuk setiap partisi M_   fine bagian m i i i

I

P'{( , )}_₁ dariP{(I,)}

berlaku

(11)

 

 ) ( ) 2

( ) ' (

1 1

 





 

m

i

m

i _I i i

i

f I

f

P .

DAFTAR PUSTAKA

D. H. Fremlin, (1994) The Henstock and McShane Integral of Vector Valued Function, Illionis of Journal Mathematics, 38(3), 471-479.

Jae Myung Park and Deok Ho Lee, (1996) The Denjoy Extension of The McShane Integral,Bull. Korean Math. Soc. 33(3), 41-416.

Jae Myung Park, Hyung Won Ryu, and Hoe Kyung Lee, (2010) The -M_

integral, Journal of The Chungcheong Mathematical Sosiety, 23(1), 99-108.

Jae Myung Park, Deok Ho Lee, Yu Han Yoon, and Hoe Kyung Lee, (2010) The

Integration By Parts For The-M_integral,Journal of The Chungcheong

Mathematical Sosiety, 23(4), 861-870.

Jaroslav Kurzweil & S. Schwabik, (1991) McShane Equiintegrability and Vitali’s Convergence Theorem, e-mail address: [email protected], [email protected].

R.A. Gordon, (1994) The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Mathematics, Volume 4, American Mathematical Society.