RINGKASAN MATERI Copy

Ringkasan

Materi

MATEMATIKA

FISIKA

KIMIA

BIOLOGI

BAHASA INDONESIA

MATEMATIKA

BAB 1

EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. EKSPONEN Definisi

Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan

bulat positif (bilangan asli), maka:

... = × × × × ×

n

a a a a a a

Dengan:

a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen

1. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif

Jika m, n, dan p adalah bilang bulat positif, a b R, ∈ ,

maka:

a. _am_×an_=am n+

b. am:an=am n− ,a≠0 c.

( )

_am n_=amn

d. (a bm n p) =a bmp np

e. , 0

p

m mp

n np

a a

b

b b

 

= ≠

 

 

f. 0 1 a = ,a≠0 g. a n 1_n

a

− _{= , a≠0}

2. Persamaan Eksponen

a. _af x( )_=ag x( )_{⇒f x}( )_{=g x}( )

b. af x( )=bf x( )⇒f x( ) 0= c. f x

( )

g x( )=f x

( )

h x( )maka:

n g(x) = h(x)

n f(x) = 1

n f(x) = –1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/ ganjil

n f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif

3. Pertidaksamaan Eksponen

Jika af x( )>ag x( ) maka berlaku: n f(x) > g(x) , untuk a > 1

n f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1

B. BENTUK AKAR Sifat-sifat Bentuk Akar a. n_an _=a

b. a⋅ b= a b⋅

c. a a

b b= d. n_am =_amn

e. 1 1 a 1 a

C. LOGARITMA

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu

mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

log

logaritmanya, dengan b > 0, 3. c dinamakan hasil logaritma.

1. Sifat-Sifat Logaritma

Dalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

a. alog_{b= ⇔c a}c_=b

2. Persamaan Logaritma

log ( ) log ( ) ( ) ( )

a _{f x =}a _{g x ⇒f x =g x}

3. Pertidaksamaan Logaritma

Jika alog ( )_{f x ≤}alog ( )_{g x , maka berlaku:} II. Syarat Numerus:

1. f x( ) 0> 2. g x( ) 0>

BAB 2

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

A. PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah

+ + =

2 ₀

ax bx c

dengan a, b, c bilangan real dan a≠0.

1. Jenis-jenis Akar

Persamaan kuadrat _ax2+_bx+ =_{c 0 mempunyai:}

2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Diketahui x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan

3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

Diketahui persamaan kuadrat _ax2+_bx+ =_{c 0} de-ngan x₁ dan x₂ akar-akarnya, maka sifat akar-akar

persamaan kuadrat yang diketahui: 1. Kedua akarnya positif, jika:

+ > ⋅ > ≥

1 2 0 ; 1 2 0 ; D 0

2. Kedua akarnya negatif, jika:

+ < ⋅ > ≥

1 2 0 ; 1 2 0 ; D 0

x x x x

3. Kedua akarnya berlainan tanda, jika:

⋅ <

1 2 0 ; D > 0

x x

4. Kedua akarnya berlawanan, jika:

+ =

1 2 0

x x

5. Kedua akarnya berkebalikan, jika:

⋅ =

1 2 1

x x

4. Menentukan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat baru yang akarnya α dan

θ

adalah

(

α β

)

α β

− + + ⋅ =

2 ₀

x x

B. FUNGSI KUADRAT

Fungsi f yang didefinisikan sebagai _{f x( )}=_ax2+_bx+_c

di mana a b c, , ∈R dan a≠0 didefinisikan sebagai

fungsi kuadrat.

1. Hubungan a, b, c, dan D

Fungsi kuadrat f x( )=ax2+bx+c didapat hubungan: a. “a” menentukan keterbukaan kurva.

i. a > 0 ⇒parabola terbuka ke atas. ii. a < 0 ⇒parabola terbuka ke bawah.

a > 0 a < 0

b. Jika a b⋅ >0 maka puncak berada di sebelah kiri

sumbu y.

Jika a b⋅ <0 maka puncak berada di sebelah

kanan sumbu y.

c. “c” menentukan titik potong dengan sumbu y. i. c > 0 ⇒parabola memotong sumbu y positif. ii. c = 0 ⇒parabola memotong sumbu y di (0, 0). iii. c < 0 ⇒parabola memotong sumbu y negatif. d. “_D=_b2−_{4ac” menentukan titik potong dengan}

sumbu x.

i. D > 0 ⇒ parabola memotong sumbu x di

dua titik.

ii. D = 0 ⇒ parabola menyinggung sumbu x. iii. D < 0 ⇒ parabola tidak memotong sumbu x.

2. Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat f x( )=ax2+bx+c mempunyai: 1. Sumbu simetri: =−

2

b x

a

2. Nilai ekstrem: = −

− −

2 ₄

4 4

D b ac

a a

Nilai ekstrem maksimum jika a < 0.

Nilai ekstrem minimum jika a > 0.

3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat

a. Diketahui titik puncak ( , )x yp p dan titik lain = ₍ − ₎2+

p p

y a x x y

b. Diketahui titik potong dengan sumbu x, ( ,0)x₁ dan

2

( ,0)x serta titik lain

= ( − 1)( − 2)

y a x x x x

c. Diketahui tiga titik pada parabola

= 2+ +

y ax bx c

4. Definit

a. Definit Positif

Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif untuk semua x disebut definit positif.

Syarat:

D < 0 dan a > 0

b. Definit Negatif

Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif untuk semua x disebut definit negatif.

Syarat:

BAB 3

PERTIDAKSAMAAN

A. SIFAT UMUM

Sifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c, dan d∈R adalah sebagai berikut.

1. a > b maka a + c > b + c 2. a > b, c > d maka a + c > b + d 3. a > b, b > c maka a > c 4. a > b, c > 0 maka ac > bc 5. a > b, c < 0 maka ac < bc 6. a > b, a > 0, b > 0 maka a2 > b2 7. a > b, a < 0, b < 0 maka a2 < b2 8. a

b> 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0

B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN

n Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan

tanda pada ruas yang paling kanan.

n Pangkat genap memiliki tanda yang sama. n Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.

C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR

Langkah penyelesaian:

1. Kuadratkan kedua ruas.

2. Syarat di dalam akar harus ≥ 0.

D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI MUTLAK

Nilai mutlak untuk xÎR didefinisikan: jika 0

jika 0 0 jika 0

x x

x x x

x ì > ïï

ïï

= -_íï <

ïï =

ïî

Beberapa sifat penyelesaian pertidaksamaan mutlak:

1. x £ Û - £ £a a x a 2. x ³ Û £-a x a atau x³a

3. f x( )£g x( ) Û( ( )f x +g x( ))( ( )f x -g x( )) 0£ 4. ( )

( ) f x

k

g x £ Û( ( )f x- ×k g x( ))( ( )f x + ×k g x( )) 0£

BAB 4

LOGIKA MATEMATIKA

A. DEFINISI

n Pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat yang

bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus

benar dan salah.

n Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat

variabel dan menjadi pernyataan jika variabel tersebut diganti konstanta dalam himpunan semestanya.

Beberapa operator yang digunakan dalam logika.

No Operator Arti

Nama Lambang

1 Negasi ~ Tidak, bukan 2 Konjungsi _Ù dan, tetapi

3 Disjungsi ∨ atau

4 Implikasi _Þ jika...maka

5 Biimplikasi _Û jika dan hanya jika

B. NILAI DAN TABEL KEBENARAN

p q ~_{p p∧q p∨q pÞq pÛq}

B B S B B B B

B S S S B S S

S B B S B B S

S S B S S B B

C. NEGASI/INGKARAN

No Pernyataan Negasi/Ingkaran

1 p qÙ pÚq

2 p qÚ pÙq

3 pÞq pÙq

D. EKUIVALENSI

Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama. Contoh:

p

⇒ ≡

q



q

⇒



p

≡



p

∨

q

E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

n Konvers dari implikasi pÞq adalah qÞp

n Invers dari implikasi pÞq adalah ~pÞ~q

n Kontraposisi dari implikasi pÞq adalah ~_qÞ~_p

F. PENARIKAN KESIMPULAN

(B) (B) (B)

p q

p q Þ

\

(B) (B) (B)

p q

q p Þ

\ 



(B) r (B) (B)

p q

q

p r

Þ Þ \ Þ Modus Ponens Modus Tollens Sillogisme

BAB 5

SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS

A. SISTEM PERSAMAAN

Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan:

n Metode eliminasi n Metode substitusi n Metode campuran B. PERSAMAAN GARIS

1. Melalui titik (x1, y1) dengan gradien m, berlaku:

1 ( 1)

y−y =m x−x

2. Garis yang melalui (x1, y1) dan(x2, y2), berlaku:

1 1

2 1 2 1

y y x x

y y x x

− −

=

− −

3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di

titik (0, a) berlaku: y

a

b x

ax + by = a.b

C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS Diketahui garis g y: =m x₁ +c₁ dan garis

2 2

:

h y=m x+c maka

n Garis g dan h sejajar jikam1=m2

n Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika

1 2 1

m m× =

-n Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut sebesar a dengan

1 2

1 2

tan 1

m m

m m

a=

Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan:

n Metode eliminasi n Metode substitusi n Metode campuran

1. Melalui titik , berlaku:

BAB 6

STATISTIKA DAN PELUANG

A. STATISTIKA

Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak atau data yang paling sering muncul.

n Data tunggal:

Contoh:

Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7.

Modus dari data tersebut adalah 7.

n Data kelompok:

1

1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas

sebelumnya

d

2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas

sesudahnya

c = panjang kelas

3. Median (Me/Q₂)

Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Median bisa disebut juga kuartil 2 atau kuartil tengah.

∑

f= jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me f_k = frekuensi kelas yang memuat Me

4. Kuartil

Nilai yang membagi sekumpulan data yang telah terurut menjadi 4 bagian.

Data kelompok:

f _{= jumlah frekuensi sebelum Q}

1/Q3 f₁ / f₃ = frekuensi kelas yang memuat Q₁/Q₃

5. Jangkauan (J)

n Jangkauan atau range dirumuskan dengan:

max min

= −

J x x

n Jangkauan antarkuartil (H): 3 1

= −

H Q Q

n Jangkauan semi antarkuartil (Q_d):

3 1

6. Simpangan rata-rata (SR)

7. Ragam/variansi (R)

8. Simpangan baku/deviasi standar (S)

Data tunggal:

9. Perubahan data

Bila masing-masing data diubah dengan nilai yang

Misalkan terdapat n tempat tersedia dengan:

n A

1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat

pertama.

n A

2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat

kedua setelah tempat pertama terisi.

n A

3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga

setelah tempat pertama dan kedua terisi.



n A

n adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n

setelah tempat pertama, kedua, ..., ke (n – 1) terisi.

dengan n bilangan asli

1. Permutasi

n Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah

cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda

dengan memperhatikan urutannya (AB ≠BA)

n Rumus dan notasi yang digunakan dalam

n Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur adalah

(n – 1)!

2. Kombinasi

n Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan

cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa

memperhatikan urutan-nya (AB = BA).

n Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan dengan

nCk atau C n k( , ).

n Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur adalah

3. Peluang Kejadian

4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misalkan Ac adalah komplemen kejadian _A, maka

( ) 1c ( ) P A = −P A

5. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah

FH(A) = n× P(A)

6. Peluang Kejadian Majemuk

a. Gabungan Dua Kejadian

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku

( ) ( ) ( ) ( )

P A∪ =B P A +P B −P A∩B

b. Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling lepas bila A dan B tidak punya irisan, yang berakibat P A( ∩B)= 0, sehingga

( ) ( ) ( )

P A∪ =B P A+P B c. Kejadian Saling Bebas

A dan B disebut dua kejadian saling bebas bila

kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian lainnya.

( ) ( ) P(B)

P A∩ =B P A⋅

BAB 7

TRIGONOMETRI

Dalam sebuah segitiga ABC berlaku hubungan:

B C

A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

0o 30o 45o 60o 90o

Sin 0 ½ _{½ 2 ½ 3} 1

Cos 1 _{½ 3 ½ 2} ½ 0

Tan 0 1

3 3 1 3 ~

B. SUDUT-SUDUT BERELASI

y

Kuadran III Kuadran IV 0o

C. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Dalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat:

D. ATURAN SINUS DAN COSINUS

Pada setiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan sinus, yaitu:

Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan

E. MENGHITUNG LUAS SEGITIGA

Jika pada suatu segitiga ABC diketahui besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan:

A B

F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

2 2

G. RUMUS PERKALIAN SINUS-COSINUS

1 1

BAB 8

DIMENSI TIGA

A. JARAK

n Jarak Antara Dua Titik

Adalah panjang garis lurus yang menghubungkan kedua titik itu.

A B

Panjang ruas garis AB menunjukkan jarak antara

titik A dan titik B.

n Jarak Titik ke Garis

Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis.

A

g

B

AB menunjukkan jarak antara titik A dan garis g

yang ditunjukkan oleh ruas garis AB yang tegak lurus g.

n Jarak antara Titik dengan Bidang

Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik proyeksinya pada bidang.

B. SUDUT

n Sudut Dua Garis Bersilangan

Misalkan garis g dan h bersilangan maka cara

melukis sudut antara garis g dan h adalah:

- lukis garis g’ yang sejajar g dan memotong h,

- sudutnya = sudut antara garis g’ dan h.

n Sudut Antara Garis g dan Bidang V

Langkah:

- proyeksikan garis g ke bidang V, sebut

hasilnya g’,

- sudutnya = sudut antara garis g dan g’.

n Sudut Antara Dua Bidang

Langkah:

- tentukan perpotongan antara bidang V dan W sebut l,

- lukis garis di bidang V tegak lurus l, sebut g,

- lukis garis di bidang W tegak lurus l, sebut h,

- sudutnya = sudut antara garis g dan h.

Jarak antara P dan bidang

ditun-jukkan oleh garis m yang tegak

lurus bidang.

BAB 9

LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang

berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

A. PERSAMAAN LINGKARAN

n Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari

jari = r. y

x r

(0, 0)

2 2 2

x +y =r

n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari = r.

y

x r

(0, 0)

(a, b)

(

) (

)

2 2 2

− + − =

x a y b r

n Persamaan lingkaran dengan pusat (0, b) dan

y

menyinggung sumbu y: y

+ . Jari-jari lingkaran adalah d.

1. Persamaan Umum Lingkaran

2 2 ₀

2. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan

L: x2 _{+ y}2 _{+ 2ax + 2by + c} = 0 dan sebuah titik _A(_x

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA

LINGKARAN

1. Diketahui titik singgungnya

(

x y1, 1

)

n Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 ₊

y2 _{= r}2 di titik (_x

1, y1). Rumus:

2

1 1

x x + y y = r

n Persamaan garis singgung pada lingkaran

(

_x−a

) (

2_{+ y−b}

)

2 _=r2 _{di titik (x} 2. Diketahui gradien m

n Persamaan garis singgung dengan gradien m

pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan jari–jari r.

Rumus:

2 1

= ± +

y mx r m

n Persamaan garis singgung dengan gradien m

pada lingkaran (x – a)2 + (_y – _b)2 _{= r}2. Rumus:

(

)

₁ 2

− = − ± +

y b m x a r m

C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN

Diberikan garis g: y = mx + n dan lingkaran:

2 2 2

x

≡ + =

L y r . Hubungan antara garis g dan lingkaran L dapat diselidiki dengan cara:

n Substitusi garis g ke L.

satu titik (garis menyinggung lingkaran),

3. D < 0, maka garis tidak menyinggung lingkaran.

BAB 10

SUKU BANYAK

a₀ disebut koefisien-koefisien suku banyak dari

masing-masing peubah (variabel) x yang merupakan konstanta real dan a

n≠0. Sedangkan a0 disebut suku tetap

(konstanta).

A. NILAI SUKU BANYAK

Nilai dari f(k) dapat dicari dengan:

1. Cara Substitusi

Jika f(x) = x4 – 2_x3 _{+ x} + 5 maka nilai suku banyak

tersebut untuk x = 1 adalah

f(1) = (1)4 – 2.( 1) 3 _{+ 1 + 5 = 5}

2. Metode Horner

Jika ax3 _{+ bx}2 _{+ cx + d} adalah suku banyak maka

f(h) diperoleh cara sebagai berikut. a

Berarti kalikan dengan h

B. PEMBAGIAN SUKU BANYAK

Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh

suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x),

secara matematis pembagian ini dapat ditulis:

f(x) = h(x) g(x) + s(x)

C. TEOREMA SISA

n Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – a) maka

D. TEOREMA FAKTOR

n Jika f(a) = S = 0, sehingga a merupakan pembuat

BAB 11

FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B

yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan

setiap anggota domain dengan tepat satu kawan dengan anggota kodomain ditulis f : A→B.

A. FUNGSI KOMPOSISI

f(x)

x g(f(x))

gof f

A B C

g

(

g f

)( )

x =f f x

(

( )

)

Sifat-sifat fungsi komposisi:

n f g ≠g f

n f (g h)=(f g ) h=f g h 

n I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka berlaku I f =f I dan _ff−1_=f−1_f=I

B. FUNGSI INVERS

Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x) dinotasikan _f−1_{( )x .}

f(x) x

f-1 f

A B

Sehingga jika f(x) = y maka f-1 (y) = x. Fungsi invers

berlaku:

-1 ( ) = ⇔ ( )=

f a b f b a

Rumus,

( ) ax b 1( ) dx b

f x f x

cx d cx a

-+ - +

= Þ =

+

-C. INVERS KOMPOSISI FUNGSI

f(x)

x g(f(x))

gof

(gof)-1 f

A B C

g

Sifat:

(

_{g f}

) ( )

−1 _{x =}

(

_f−1_g−1

)

( )

_x

BAB 12

LIMIT

A. TEOREMA LIMIT

n Jika f(x) = k, maka lim

x→a f(x) = k, dengan k konstanta,

k dan a∈ real

n Jika f(x) = x, maka lim

x→a f(x) = a n lim

x→a { f(x) ±g(x)} = limx→a f(x) ±limx→a g(x)

n lim

x→a k. f(x) = k. limx→a f(x), k konstanta n lim

x→a { f(x). g(x)} = limx→a f(x). limx→a g(x) n

lim ( ) ( )

lim , lim ( ) 0

( ) lim ( )→

→ →

→

=x a ≠

x a x a

x a f x f x

g x

g x g x

n lim ( )

{

}

{

lim ( )

}

n n

Relasi dari himpunan ke himpunan

yang berpasangan. Himpunan

domain/daerah asal, himpunan

daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian yang berpasangan dengan daerah hasil range. adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan dengan anggota kodomain ditulis

n n

n adalah fungsi identitasi di mana ( ) = maka

Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi ( )

n ( ) = , maka ( ) = , dengan konstanta,

a. Dengan pemfaktoran.

b. Dengan aturan L’Hospital diperoleh:

( ) '( ) '( )

C. LIMIT TRIGONOMETRI

0

1. Turunan suatu konstanta c. Jika y = c maka y’ = 0

2. Turunan perkalian fungsi dan konstanta.

Jika y = cf(x) maka y’ = cf’ (x)

3. Turunan penjumlahan/pengurangan fungsi.

Jika y = u(x) ±v(x) maka y’ = u’(x) ±v’(x)

4. Turunan perkalian fungsi.

Jika y = u(x).v(x) maka y’ = u’(x).v(x) + u(x) v’(x)

5. Turunan pembagian fungsi.

Jika ( )

6. Turunan fungsi komposisi (dalil rantai).

Jika y = f(g(x)) adalah dy dy dg.

7. Turunan fungsi pangkat.

C. PENERAPAN TURUNAN

n Gradien (m) garis singgung di titik (x y₁, ₁) pada

Persamaan garis singgungnya:

1 ( 1)

y−y =m x−x

n Interval fungsi naik dan interval fungsi turun

Kurva naik jika: f’(x) > 0

Kurva turun jika: f’(x) < 0

n Keadaan stasioner

Bila keadaan stasioner terjadi di titik ( , )x y1 1 maka

f’(x₁) = 0. y₁= f x( )₁ disebut nilai stasioner.

Jadi nilai maksimal/minimum adalah .( , ( ))x f x1 1

Catatan:

Titik stasioner sama artinya dengan titik puncak/ titik balik.

BAB 14

INTEGRAL

Integral adalah anti turunan.

( )

( )

B. INTEGRAL SUBSTITUSI

(

)

(

( )

)

1

C. INTEGRAL PARSIAL

Integral adalah anti turunan.

E. VOLUME BENDA PUTAR

Jika y₁ dan y₂ dua fungsi kontinu pada p≤ ≤x q, maka

volume benda putar yang dibatasi oleh y₁ dan y₂ bila

diputar terhadap sumbu x.

2 2

2 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

q

p q

jauh dekat p

V y y dx

V y y dx

π

π

 

= _ − _

 

= _ − _

∫

∫

Jika x

1 dan x2 dua fungsi kontinu pada r≤ ≤x s, maka

volume benda putar yang dibatasi oleh x

1 dan x2

terhadap sumbu y.

2 2

2 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

s r s

jauh dekat r

V x x dy

V x x dy

π

π

 

= _ − _

 

= _ − _

∫

∫

BAB 15

PROGRAM LINEAR

Program linear adalah salah satu bagian dari

matematika terapan yang dapat memecahkan berbagai persoalan sehari-hari, di mana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linier yang mempunyai banyak penyelesaian, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimum).

n Masalah tersebut disajikan dalam bentuk model

matematika kendala/syarat/masalah berupa sis-tem pertidaksamaan linear.

n Hasil yang optimum ditentukan dengan terlebih

dahulu membuat model matematika. Sasaran pro-gram berupa sebuah fungsi linier yang disebut fungsi sasaran/tujuan/objektif.

A. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN

Daerah (himpunan) penyelesaian pertidaksamaan

0

Ax+By+ ≥C atau Ax+By+ ≤C 0 dapat ditentukan sebagai berikut.

n Jadikan A (koefisien x) bernilai positif.

n Jika tanda pertidaksamaan ≥, maka daerah

pe-nyelesaian di sebelah kanan garis Ax+By+ =C 0.

n Jika tanda pertidaksamaan ≤, maka daerah

penyelesaian di sebelah kiri garis Ax+By+ =C 0. s

B. NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF

Hasil optimum terletak pada/di sekitar titik pojok atau pada garis batas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan, dengan demikian nilai optimum (maksimum/minimum) fungsi objektif dapat ditentu-kan dengan:

 Penggunaan Garis Selidik

Jika fungsi objektif f x y( , )=Ax+By+C, maka

garis selidiknya adalahAx+By+ =C k.

n Nilai maksimum terjadi di titik pojok/garis

batas paling kanan yang dilintasi garis selidik.

n Nilai minimum terjadi di titik pojok/garis

batas paling kiri yang dilintasi garis selidik.

 Pengujian Titik Pojok

Jika fungsi objektif f x y( , )=Ax+By+Cdisubstitusi

BAB 16

BARISAN DAN DERET

A. BARISAN ARITMATIKA

Barisan dengan selisih di antara dua suku yang berurutan besarnya sama.

B. BARISAN GEOMETRI

Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan

C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA

n Rumus jumlah deret geometri tak hingga:

1

a S

r

∞= ₋

n Jumlah tak hingga dari suku-suku ganjil:

2

n Jumlah tak hingga dari suku-suku genap:

2

n Rasio deret geometri tak hingga: genap

Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen

jika − < < ⇔ <1 r 1 r 1.

BAB 17

MATRIKS

Matriks adalah kumpulan elemen–elemen yang

disusun dalam baris dan kolom.

Contoh:

Ordo dari matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan kolom. Pada matriks A, karena banyak baris = m dan

banyak kolom = n, maka matriks A memiliki ordo m × n, dan ditulis A_mn.

Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama jika: 1. ordonya sama

Barisan dengan selisih di antara dua suku yang berurutan besarnya sama.

Contoh: 2, 4, 6, 8, ... 

merupakan suku-suku pada barisan aritmatika maka:

adalah kumpulan elemen–elemen yang disusun dalam baris dan kolom.

Contoh:

Jika pada satu matriks baris diubah menjadi kolom dan kolom diubah menjadi baris, maka akan didapat satu matriks baru yang disebut transpose matriks.

Transpose matriks A = At _{= A}T

B. DETERMINAN

Determinan hanya dimiliki matriks-matriks persegi.

n Matriks 2 × 2: A a b

n Suatu matriks mempunyai invers jika determinannya tidak nol.

1 1

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan

arah. Notasi vektor:a b c, , , dan seterusnya.

Vektor posisi adalah vektor dengan titik pangkalnya adalah pusat koordinat.

Vektor posisi dari titik A adalah OA=a .

Sehingga dari definisi vektor posisi AB= −b a.

Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama.

A. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR

1.

(

)

Rumus Pembagian Ruas Garis

B. PERKALIAN TITIK/SKALAR (DOT PRODUCT)

n Diketahui a=

(

a a a₁, ,_{2 3}

)

dan b=

(

b b b₁, ,_{2 3}

)

maka

BAB 19

TRANSFORMASI GEOMETRI

Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks

T

Translasi (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.

Jika sembarang titik P(x,y) ditranslasi dengan matriks T

B. REFLEKSI/PENCERMINAN

n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu x

menghasilkan bayangan P’(x, –y). x

( , ) sumbu '( , ) P x y →P x−y

Matriks transformasinya adalah 1 0

0 1

Matriks transformasinya adalah 1 0

0 1

Matriks transformasinya adalah 0 1

1 0

 

 

Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks maka

(pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek

Jika sembarang titik ( , ) ditranslasi dengan matriks , maka

Matriks transformasinya adalah 0 1

1 0

Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan yaitu garis y1 =m x1 +c1 dan y2 =m x2 +c2

akan menghasilkan rotasi dengan: a. pusat di titik potong dua garis,

b. besar sudut rotasi sama dengan dua kali lipat sudut antara kedua garis,

c. arah rotasi sama dengan arah dari garis pertama ke garis kedua.

Jika α sudut yang dibentuk antara garis

1 1 1

Rotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif jika rotasi itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam, berlaku sebaliknya.

Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah

ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor dilatasi (faktor skala).

n Matriks transformasi dilatasi dengan faktor skala k adalah

n Dilatasi dengan pusat (0, 0) dengan faktor skala k

' 0

E. KOMPOSISI TRANSFORMASI

Jika transformasi T₁ bersesuaian dengan matriks M₁

dan transformasi T₂ bersesuaian dengan matriks M₂,

maka transformasi T₁ lalu transformasi T₂ditulis T₂T₁

Besaran adalah sesuatu yang memiliki nilai dan dapat diukur. Menurut penyusunnya besaran dibagi menjadi

dua, yaitu besaran pokok dan turunan. Sedang menurut

arahnya terbagi menjadi 2, yaitu besaran skalar dan vektor.

A. BESARAN POKOK DAN BESARAN TURUNAN

-

Besaran pokok: besaran yang satuannya telah ditentukan terlebih dahulu.

- Besaran turunan: besaran yang diturunkan dari besaran pokok.

Satuan dan Dimensi Besaran Pokok Besaran Pokok Satuan Dimensi

panjang m [L]

massa kg [M]

waktu s [T]

kuat arus listrik A [I]

suhu K [q]

intensitas cahaya cd [J]

jumlah zat mol [N]

Contoh Besaran Turunan Besaran Turunan Satuan Dimensi

Percepatan (a) m/s2 _LT-2

Gaya (F) kg m/s2 = newton _MLT-2

Momentum (p) kg m/s ML T-1

Energi/usaha kg (m/s)2 _{= joule ML}2 _T-2

Daya (P) kg m2/s3 _ML2 _T-3

B. BESARAN SKALAR DAN VEKTOR

- Besaran skalar: besaran yang hanya memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah, contoh: massa dan waktu.

- Besaran vektor: besaran yang memiliki nilai dan arah, contoh: kecepatan, perpindahan, momentum.

n Dua Vektor Berpadu

Resultan:

( ) ( )

2 2

1 2 1 2 21 2cos

= + =  + +

R F F F F F F θ

Selisih:

_{( ) ( )}

2 2

1− =2 1 + 2 −21 2cos

 

F F F F F F θ

n Resultan dari Dua Vektor dengan Sudut Tertentu

( ) ( )

2 2

1 2

=  + 

R F F R= −F ₁ F₂ R= +F ₁ F₂

n Uraian Vektor

cos

= x

F F α dan F_y=Fsinα

Arah: tan =

∑

∑

y x F F α

x y

F₁

F₂ F 

a

BAB 1

BESARAN

C. PENGUKURAN

Alat ukur Ketelitian

Mistar 1 mm

Rol meter 1 mm

Jangka sorong 0,1 mm

Mikrometer sekrup 0,01 mm

D. ATURAN ANGKA PENTING

a. Semua angka bukan nol adalah angka penting. b. Angka nol yang terletak di antara dua angka bukan

nol termasuk angka penting.

Contoh: 3,002 memiliki 4 angka penting.

c. Semua angka nol yang terletak pada deretan akhir dari angka-angka yang ditulis di belakang koma desimal termasuk angka penting.

Contoh: 0,03600 memiliki 4 angka penting. 2,30 memiliki 3 angka penting.

d. Dalam notasi ilmiah, semua angka sebelum orde termasuk angka penting.

Contoh: 2,6´104 memiliki dua angka penting.

9,60´104 memiliki tiga angka penting.

e. Angka-angka nol yang digunakan hanya untuk tempat titik desimal adalah bukan angka penting.

Contoh: 0,0075 memiliki 2 angka penting.

n Aturan Penjumlahan atau Pengurangan

Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh mengandung satu angka taksiran (angka terakhir dari suatu bilangan penting).

Contoh: 4,461 →1 adalah angka taksiran

1,07 + →7 adalah angka taksiran

5,531 → ada dua angka taksiran

Sehingga dibulatkan menjadi 5,53; karena hanya boleh mengandung satu angka taksiran.

n Aturan Perkalian atau Pembagian

Hasil operasi perkalian atau pembagian hanya boleh memiliki angka penting sebanyak bilangan yang angka pentingnya paling sedikit.

Contoh: 2,42 → 3 angka penting 1,2 ´ → 2 angka penting 2,904 → 4 angka penting Dibulatkan menjadi 2,9 (2 angka penting).

Suatu benda dikatakan bergerak jika ia berpindah

posisi ditinjau dari suatu titik acuan dalam selang waktu tertentu.

=perpindahan kecepatan

waktu ⇒ besaran vektor

lintasan laju

waktu

= ⇒ besaran skalar

Konsep: Gerak Lurus, dibagi menjadi 2; GLB (a = 0)

dan GLBB (a≠0).

A. GERAK LURUS BERATURAN (GLB)

♦ Percepatan, a = 0

♦ V_t = V₀

♦ S = V t

B. GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN (GLBB)

♦ a ≠ 0

♦ V_t = V_o + at

♦ S_t= V₀ t + 1/2 at2

♦ V_t2 _{= V}

02 + 2as

Penerapan dari GLBB 1. Gerak jatuh bebas

♦ a = g (percepatan gravitasi)

♦ V₀ = 0

♦ V_t = g t

♦ 1 2

. 2

= t

h g t

h

2. Gerak benda dilempar vertikal ke atas

♦ a = –g

♦ Ketinggian maksimum:

2

max

2.

=vo h

g

♦ Waktu sampai puncak:

= o puncak

v t

g

h maks

C. PERPADUAN DUA GERAK LURUS

Benda diluncurkan horizontal dari ketinggian h dengan kecepatan v.

♦ Waktu sampai di tanah:

2

= h

t g

♦ Jarak mendatar maksimum:

ma

3. Gerak parabola

v_o

Jarak mendatar maksimum:

2 2

D. PERSAMAAN GERAK LURUS

n Posisi benda: r_{( )t} =x i_{( )t} +y j_{( )t} atau r_{( )t} =

∫

v dt. +r₀

E. GERAK MELINGKAR Konsep:

Rumus gerak melingkar beraturan (GMB) identik

dengan GLB, dan gerak melingkar berubah beraturan

(GMBB) identik dengan GLBB.

Hubungan gerak rotasi dan gerak lurus

a = α. R

w = 2 π f = 2 π/T S =q . R

V = w. R

1. Sifat dari sistem roda sederhana

Gaya adalah tarikan atau dorongan.

Resultan gaya ⇒ gaya yang searah dijumlahkan, dan yang berlawanan arah dikurangkan.

1. Hukum Newton n Hukum Newton I

n Hukum Newton III

F aksi = –F reaksi 2. Gaya Gesek

Gaya gesek adalah gaya yang timbul akibat gesekan

dua benda.

Benda dari keadaan diam, maka

(i) Jika F_x ≤µ_sN ⇒ benda diam ⇒ f_gesek=F_x

(ii) Jika F_x >µ_sN ⇒ benda bergerak dengan percepatan a ⇒ f_gesek=µ_kN

N adalah gaya normal benda, yaitu gaya yang diberikan

bidang pada benda, tegak lurus dengan bidang.

3. Kasus pada Sistem Katrol Licin

W_A

4. Gaya pada Gerak Melingkar

Arah F_s: ke pusat ingkaran.

n Tali berputar vertikal

Di titik tertinggi (B):

n Tali berputar horizontal

F

s = T = tegangan tali

F_S

n Pada luar bidang melingkar

W n Pada dalam bidang melingkar

5. Pada Kasus Tikungan

Ketika suatu kendaraan membelok di tikungan, bisa didekati sebagai gerak melingkar agar tidak terjadi selip maka:

n Tikungan Datar: 2

. = s

v

R g µ n Tikungan Miring:

2 _tan

. 1 tan

+ =

− s

s v

R g

µ θ

µ θ

v = laju maksimum kendaraan

ms= koefisien gesekan statis antara roda dengan jalan R = jari-jari putaran jalan

q = sudut kemiringan jalan terhadap horizontal

g = percepatan gravitasi 6. Kasus pada Tong Stan

min . =

s g R v

µ

Laju minimum putaran motor:

BAB 4

USAHA DAN ENERGI

A. USAHA

Usaha adalah kerja atau aktivitas yang menyebabkan

suatu perubahan, dalam mekanika, kuantitas dari

suatu kerja atau usaha diberikan sebagai berikut.

cos

F θ

Jika sebuah benda ditarik dengan gaya sebesar F dan benda berpindah sejauh S , maka usaha yang dilakukan gaya terhadap benda adalah:

. . cos =

W F S θ

untuk q = 0o, maka

. =

W F S

B. ENERGI

Energi adalah kemampuan untuk melakukan usaha atau kerja.

n Energi Kinetik: 1 2 2 .

=

Ek m v

n Energi Potensial Gravitasi: Ep=m g h. .

n Energi Mekanik: EM₌Ek₊Ep

Usaha dapat merubah energi yang dimiliki benda

sehingga:

n Laju benda berubah:

2 2

2 1

1 1

2 2

= akhir− awal= −

W Ek Ek mv mv

n Posisi tinggi benda berubah:

( ) = akhir− awal= ∆

W Ep Ep mg h

Hukum Kekekalan Energi Mekanik

Pada sistem yang konservatif (hanya gaya gravitasi saja yang diperhitungkan) berlaku kekekalan energi mekanik, yaitu energi mekanik di setiap kedudukan adalah sama besar. Contoh-contohnya:

= =

A B C

EM EM EM

Dari hukum kekekalan energi mekanik pada kasus gambar-gambar di atas, untuk puncak dan dasar berlaku:

2.

=

A B

v gh atau

2 2.

= A B

v h

Sebuah Bandul Diputar Vertikal

Dari penerapan hukum kekekalan energi mekanik, maka syarat agar bandul bergerak 1 lingkaran penuh adalah:

Laju di titik tertinggi (B):

.

Energi pada Gerak Parabola Di dasar:

Energi Potensial Gravitasi

G = konstanta gravitasi

Usaha dan Energi Potensial Pegas

Energi potensial pegas: 1 2 2 .

Jika simpangan di mulai dari titik setimbang, maka:

k = konstanta pegas (N/m),

Energi pada Gerak Harmonis n Energi potensial:

BAB 5

GAYA GRAVITASI DAN PEGAS

A. GAYA GRAVITASI

1. Kuat Medan Gravitasi (Percepatan Gravitasi)

Medan gravitasi: tempat di mana gaya gravitasi terjadi.

2

= M

g G

R

2. Hukum Keppler

a. Hukum Keppler I

“Lintasan planet berbentuk elips dan

matahari di salah satu titik fokusnya”. Aphelium: titik terjauh, Perihelium: titik terdekat.

b. Hukum Keppler II

“Garis yang menghubungkan planet dan matahari akan menyapu luas juring dan

dalam waktu yang sama”.

II III

Jika:

luasan I = luasan II = luasan III ⇒ t_AB = t_CD= t_EF

t_AB= waktu dari A ke B c. Hukum Keppler III

“Perbandingan kuadrat periode revolusi planet (T2) terhadap jari-jari rata-rata planet

pangkat tiga (R3) selalu tetap untuk setiap planet.”

B. ELASTISITAS

1. Tegangan

DL : perubahan panjang L : panjang mula-mula

3. Modulus Young

.

Jika pegas diberi gaya akan mengalami perubahan panjang yang dirumuskan:

.

= F k x

F : gaya yang menarik/

mendorong pegas

k : konstanta pegas (N/m) x : perubahan panjang (m)

2. Gerak Harmonik pada Pegas

n Simpangan

A : amplitudo (simpangan maksimum) (m)

q : sudut fase

w : frekuensi sudut (rad/s)

q₀ : sudut fase awal

n Kecepatan getar

2 2

. cos

=

=

−

v

ω

A

θ ω

A

y

v: kecepatan getar y: simpangan getar

A: amplitudo (simpangan maksimum) n Frekuensi sudut (rad/s)

2

f = frekuensi getaran (Hz) T = periode getaran (s)

A : amplitudo (simpangan maksimum)

n Frekuensi dan periode pada pegas dan

bandul sederhana k = konstanta pegas

Sedangkan untuk ayunan bandul sederhana

BAB 6

IMPULS DAN MOMENTUM

A. IMPULS DAN MOMENTUM

1. Impuls (I)

Gaya bekerja pada suatu benda dalam selang waktu

Dt adalah Impuls (I).

n Untuk gaya F tetap

.

= ∆ I F t n Untuk gaya F = f(t)

2 1 .

=

_∫

t

I F dt

t

n Untuk grafik (F-t), impuls I dinyatakan oleh

luas di bawah grafik.

t F

I = luas daerah yang diarsir

Impuls juga merupakan perubahan hukum momentum. Dapat ditulis:

= ∆ = akhir− awal

I p p p

2. Momentum (p)

=

p mv

p = momentum (kgms-1_{), besaran vektor} m = massa (kg)

v = kecepatan (ms-1)

B. HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM

Pada proses tumbukan/ledakan berlaku kekekalan momentum.

∑psebelum = ∑psesudah m v1 1+m v2 2=m v1 1′+m v2 2′

C. TUMBUKAN

Kelentingan suatu tumbukan ditentukan dengan koefisien restitusi (e).

(

1 2

)

1 2

′− ′ = −

−

v v

e

v v

1. Lenting Sempurna: Koefisien restitusi e = 1 2. Lenting Sebagian: Koefisien restitusi 0 < e < 1 3. Tidak Lenting Sama sekali:Koefisien restitusi e = 0

D. BENDA DIJATUHKAN DAN MEMANTUL

Benda yang jatuh kemudian memantul, maka besarnya koefisien restitusi dirumuskan dengan:

1 2

1 1

' = −v = h e

v h

Berlaku:

1 +

= n

n h e

h

A. DINAMIKA ROTASI

Gerak Lurus Gerak Rotasi Hubungan _Keduanya

=S Untuk satu partikel

k = 1

n Momen Inersia

Besaran yang analog dengan massa untuk gerak dengan k = konstanta.

Untuk benda yang sudah baku diberikan tabel

sebagai berikut.

No Bentuk Benda Momen Inersia

1 Benda berupa titik I = mR2 2 Benda panjang, homogen,

diputar di salah satu ujung I = 13 ml

2 3 Benda panjang, homogen,

diputar tepat di tengah I = 121 ml

n Hukum Dinamika Rotasi: .

=

∑

τ Iα

Kita dapat meninjau suatu kasus benda yang menggelinding (berotasi dan bertranslasi) seperti gambar di bawah ini.

Dinamika lurus:

Persamaan (2) disubtitusikan ke (1) akan didapat:

k = konstanta pada rumus momen inersia: silinder pejal k = 1

2; bola pejal k = 2

5; dan seterusnya.

Untuk beberapa kasus seperti gambar dapat diberikan percepatannya adalah:

n Energi Kinetik

Untuk benda menggelinding (rotasi & translasi)

2

BAB 7

DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

(

)

(

)

n Usaha dan Daya pada Gerak Rotasi

Usaha: W=τ θ. Daya: P=W t B. KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Benda dikatakan setimbang jika benda tidak bergerak (percepatan = 0) baik secara translasi atau secara rotasi.

n Secara Translasi

- Gaya-gaya dalam arah mendatar haruslah = 0

0 =

∑

Fx

- Gaya-gaya dalam arah vertikal haruslah = 0

0 =

∑

Fy

Sehingga jika diberikan kasus setimbang di bawah:

n Setimbang oleh 3 Buah Gaya

Berlaku:

n Kesetimbangan Rotasi

Setimbang rotasi jika di setiap titik tumpu: jumlah momen gaya = 0 ⇒

∑

τ=0

- Jika terdapat gaya w, F, dan T bekerja pada batang seperti gambar:

- Jika sistem tetap dalam keadaan setimbang rotasi maka:

a. Titik berat benda pejal homogen

No Bentuk Benda Titik Berat

1 Silinder pejal y_o = ½ t

b. Titik berat benda homogen berbentuk garis

No Bentuk Benda Titik Berat

1. Garis lurus _y

0 = 1 2l

2. Busur lingkaran _y

0 = R = 

AB AB

3. Busur setengah

lingkaran y0 = 2Rπ

4. Segitiga siku-siku x₀ = 1 3x ; y0 =

1 3y

c. Titik berat benda berbentuk luasan (selimut bangun ruang)

No Bentuk Benda Titik Berat

1. Kulit kerucut y₀ = 1 3l

2. Kulit limas _y

0 = 1 3t

3. Kulit setengah bola _y

0 = 1 2R

4. Kulit silinder _y

0 = 12t

Titik berat gabungan dari benda-benda teratur yang mempunyai berat W

1, W2, W3, … dan

seterusnya.

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

... ...

...

...

+ + +

= =

+ + +

+ + +

= =

+ + +

∑

∑

∑

∑

n n o

n n n o

n

w x w x w x w x

x

w w w w

w y w y w y w y

y

w w w w

w = berat benda

w (berat) ~ m (massa) ~ V (Volum) ~ A (luas) ~ L (panjang)

⇒ rumus di atas bisa diganti dengan

besaran-besaran di atas.

BAB 8

GELOMBANG

A. GELOMBANG MEKANIK

Gelombang adalah getaran yang merambat/energi yang menjalar.

Setiap gelombang memiliki cepat rambat:

.

v f

T

l l

= =

v = cepat rambat gelombang (m/s)

l = panjang gelombang (m)

f = frekuensi gelombang (Hz) = jumlah gelombang tiap

waktu

T = periode gelombang (s) = waktu untuk terjadi satu

gelombang

Jarak tempuh gelombang: s= ´v t dan t = waktu (s)

n Beberapa Bentuk Gelombang

Perut

n Persamaan Gelombang

1. Gelombang berjalan

sin( _o)

Y= ±A wt+kx+q

+ awal gelombang merambat ke atas

– awal gelombang merambat ke bawah

Sudut fase: q=(wt±kx+q_o)

Fase: ₀

2 360

q q

j p

= = 2. Gelombang stasioner

– Ujung terikat

Ujung

2 sin( )cos( )

Y= A kx wt-k

– Ujung bebas

Ujung

2 cos( )sin( )

Y= A kx wt-k A : amplitudo gelombang transversal

w : frekuensi sudut: 2 . 2

2

f f

T

p w

w p

p

= = Û =

f : frekuensi dan T: periode

k : bilangan gelombang: k 2 2 k

p _l p

l

= Û =

l : panjang gelombang

x : posisi dan t : waktu

Cepat rambat gelombang dapat juga dirumuskan:

v .f k

w = l =

n Percobaan Melde

Didapat cepat rambat gelombang pada dawai:

F v

m

=

F = gaya tegangan tali (N) m = massa dawai sepanjang L (kg)

n Jenis bunyi berdasarkan frekuensinya

1. Infrasonik; frekuensi < 20 Hz, dapat didengar oleh jangkrik dan anjing.

2. Audiosonik; frekuensi antara 20 Hz-20.000

Hz, dapat didengar oleh manusia.

3. Ultrasonik; frekuensi > 20.000 Hz, dapat

didengar oleh lumba-lumba dan kelelawar. Bunyi dengan frekuensi teratur disebut nada,

tinggi rendahnya nada ditentukan oleh frekuensi bunyi.

n Cepat Rambat Bunyi

– Cepat rambat bunyi dalam gas.

Berdasarkan Hukum Laplace: v RT M

g = konstanta Laplace, bergantung jenis gas

– Cepat rambat bunyi dalam zat cair: v B

n Frekuensi pada Dawai dan Pipa organa

– Frekuensi Getaran Dalam Dawai:

( 1)

– Frekuensi Pipa Organa Tertutup:

(2 1)

n Efek Doppler

– Jika sumber bunyi dan pendengar relatif mendekat, maka frekuensi terdengar lebih tinggi(fp>fs).

– Jika sumber bunyi dan pendengar relatif menjauh, maka frekuensi terdengar lebih

rendah(f_p<f_s).

– Jika sumber bunyi dan pendengar relatif diam, maka freku-ensi terdengar sama (fp=fs).

v_p (+): pendengar mendekat sumber bunyi. v_s (+): sumber bunyi menjauh pendengar.

n Energi Bunyi dan Daya

n Intensitas Bunyi (Daya tiap satu-satuan luas)

.

P E

I

A A t = =

Untuk luasan bola: ₂

4

Taraf Intensitas Bunyi diberikan:

Perbedaan taraf intensitas bunyi terjadi karena

perbedaan jarak.

TI₁ : taraf intensitas 1 sumber bunyi TI_n : taraf intensitas n kali sumber bunyi

C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

Kecepatan rambat gelombang elektromagnetik dalam vakum memenuhi hubungan:

n Sifat-sifat Gelombang Elektromagnetik

Berdasarkan hasil percobaan H.R.Hertz, gelom-bang elektromagnetik memiliki sifat-sifat sebagai

berikut.

– Merupakan gelombang transversal. – Dapat merambat dalam ruang hampa. – Dapat mengalami refleksi, refraksi, difraksi. – Dapat mengalami interferensi.

– Dapat mengalami polarisasi.

– Tidak dibelokkan oleh medan listrik maupun magnet.

n Spektrum Gelombang Elektromagnetik

Urutan spektrum gelombang elektromagnetik mulai dari frekuensi terkecil ke frekuensi terbesar:

– frekuensi

n Kuat Medan Listrik dan Kuat Medan Magnetik

Persamaan medan listrik dan magnetik masing-masing:

Maka akan diperoleh hubungan:

maks

E_maks = amplitudo medan listrik , (N/C) B_maks = amplitudo medan magnetik, (Wb/m2₎ C = laju gelombang elektromagnetik dalam vakum n Intensitas (laju energi tiap luasan) Gelombang

Elektromagnetik

Intensitas gelombang elektromagnetik (laju energi per m2) disebut juga Poynting (lambang _S), yang

n Rapat Energi Rata-rata S n Warna Cahaya

– Cahaya polikromatik: cahaya yang dapat terurai menjadi beberapa macam warna. – Cahaya monokromatik: hanya terdiri dari satu

warna.

– 1 warna: memiliki satu kisaran panjang gelombang.

n Dispersi Sinar Putih

– Dispersi adalah penguraian cahaya menjadi

komponen-komponen warna dasarnya. – Sinar putih dapat terurai menjadi beberapa

warna. Penguraian sinar putih dapat menggunakan prisma. Dari percobaan didapat deviasi minimum berurutan dari kecil ke besar: merah - jingga - kuning - hijau - biru - nila - ungu.

( 1) ( 1) D_m= deviasi minimum merah n Percobaan Interferensi Thomas Young

Dengan membangkitkan sumber sinar koheren dengan meng-gunakan celah ganda. Hasil perpaduan (interferensi) berkas sinar adalah pola garis gelap terang pada layar.

terang pusat

– Interferensi maksimum (terang) terjadi:

sin .

d q=ml

– Interferensi minimum (gelap) terjadi:

1

λ : panjang gelombang cahaya Untuk sudut yang relatif kecil maka berlaku pendekatan:

n Difraksi Celah Tunggal

Difraksi celah tunggal terjadi jika cahaya dirintangi oleh celah yang sempit.

– Interferensi maksimum terjadi jika:

θ=_ + _λ

– Interferensi minimum terjadi jika:

sin .

d q=ml m = 1, 2, 3, ...

dengan d = lebar celah.

Untuk sudut yang relatif kecil maka berlaku pendekatan:

n

sin y tan

L

q@ = q

n Difraksi pada Kisi (Celah Banyak)

Jika N menyatakan banyaknya garis (celah) per satuan panjang dan d adalah jarak antar kisi, maka:

1

d N =

– Interferensi maksimum (terang) terjadi:

sin .

d q=ml

m = 0, 1, 2, ...

– Interferensi minimum terjadi jika:

1

Untuk sudut yang relatif kecil maka berlaku pendekatan:

n

sin y tan

L

q@ = q

n Jarak Terang/Gelap Berurutan L y

d l

D = ´

n Perhitungan Difraksi pada Daya Urai Suatu Lensa

q_m = sudut pemisah (sudut resolusi minimum)

n Interferensi pada Lapisan Tipis

– Interferensi maksimum: 1 2 2 cosnd r=(m- )l

m = 1, 2, ...

– Interferensi minimum:

2ndcosr=ml m = 0, 1, 2, ...

n = indeks bias lapisan

tipis

n Cincin Newton

– Interferensi maksimum (lingkaran terang)

terjadi jika 2 t

1

. ( ). .

2

n r = m- lR

m = 1, 2, 3, ... r

t= jari-jari lingkaran terang ke-m n = indeks bias medium

– Interferensi minimum (lingkaran gelap) terjadi jika:

2 g

. . .

n r =mlR

m = 0, 1, 2, 3, .... r

g = jari-jari lingkaran gelap ke-m n = indeks bias medium

E. POLARISASI CAHAYA

– Polarisasi adalah proses penyerapan sebagian

arah getar gelombang transversal.

– Akibat polarisasi, cahaya merambat dengan arah getar tertentu saja, sedang arah getar lain terserap

atau terkurangi.

n Polarisasi Karena Pemantulan

Sudut sinar datang yang menyebabkan cahaya terpolarisasi seperti pada gambar adalah 57°.

n Polarisasi Karena Pembiasan dan Pemantulan

– Polarisasi dapat terjadi antara sudut sinar bias dan sinar pantul siku-siku = 90°.

– Sudut datang yang menjadi sinar ini terpolarisasi disebut sudut Brewster (i

P).

2

1

tan i_p n n =

n₁ = indeks bias medium 1 n₂ = indeks bias medium 2

n Polarisasi Karena Pembiasan Ganda

Polarisasi yang terjadi jika sinar dilewatkan pada sebuah bahan yang an-isotropik (arah perjalanan cahaya di setiap titik di dalam bahan tersebut tidak sama).

n Polarisasi Karena Penyerapan Selektif

– Proses ini menggunakan dua lensa, pola-risator, dan analisator.

– Mula-mula cahaya dilewatkan polarisator sehingga terpolarisasi. Untuk melihat bahwa cahaya tersebut terpolarisasi maka digunakan keping yang sama sebagai analisator. Dengan memutar analisator pada sumbu antara kedua keping dapat teramati penurunan intensitas karena telah terjadi penyerapan.

2 0

1 cos 2

I= I q

I= intensitas cahaya setelah melalui analisator

I₀= intensitas cahaya setelah melalui polarisator

q= sudut antara analisator dan polarisator

n Polarisasi Karena Hamburan

– Polarisasi juga dapat terjadi ketika cahaya tak terpolarisasi dilewatkan pada bahan, kemudian cahaya tersebut dihamburkan.

– a dan c: cahaya

terpolarisasi sebagian – b: cahaya terpolarisasi

seluruhnya

A. HUKUM COULOMB

Jika tidak dalam ruang hampa, maka:

.

e = permitivitas listrik dalam hampa r

e = permitivitas relatif bahan (di hampa e_r=1) B. MEDAN LISTRIK DAN KUAT MEDAN LISTRIK

Medan Listrik: daerah dimana gaya listrik masih terjadi.

Kuat medan: E F q

= atau Gaya listrik: F=q E.

E : kuat medan listrik, merupakan besaran vektor.

Medan listrik merupakan vektor, arah ®E menjauhi

muatan sumber positif dan menuju muatan negatif.

1. Hukum Gauss

Fluks listrik total yang menembus suatu permukaan

tertutup sama dengan jumlah aljabar muatan-muatan

listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup itu

dibagi dengan permitivitas udara e₀.

0

2. Energi Potensial Listrik

. ' q q EP k

r =

3. Potensial Listrik

.

EP

V EP q V

q

= Û =

Potensial oleh muatan titik potensial:

q

V k

r =

V = potensial listrik pada jarak r dari muatan sumber (V) q = muatan sumber (C)

r = jarak titik terhadap muatan sumber (m)

r

4. Usaha Untuk Memindahkan Muatan

2 1

5. Medan dan Potensial Listrik Beberapa Keadaan

n Pada konduktor keping sejajar

– Rapat muatannya:

q A

s=

– Kuat medan listrik antara keping: