DISTRIBUSI BERKAS CAHAYA
LASER
GELOMBANG HARMONIK
Bentuk gelombang harmonik bergantung waktu :
( ) ( )
[
( )
]
(
)
exp
exp
,
Persamaan diatas memenuhi pers. Gelombang :
Laplace
Operator
=
∇
2Bentuk gelombang dapat ditulis :
( ) ( ) (
)
exp
2
exp
,
Substitusi ke persamaan gelombang :
(
∇
2+
k
2)
ψ
( )
r
=
0
Pers. Helmholtzc
c
2
k
=
πν
=
ω
Bilangan gelombang (konstanta perambatan)( )
r
=
A
exp
( )
−
i
k
.
r
ψ
( )
exp
( )
i
k
.
r
r
A
r
=
−
ψ
Solusinya :
a. Gelombang datar (bidang):
GELOMBANG PARAKSIAL
<<
<<
∂
∂
<<
∂
Gelombang paraksial adalah gelombang datar yang dimodulasi oleh amplitudo yang berubah terhadap posisi
Agar tetap berlaku sebagai gelombang datar, maka perubahan amplitudo terhadap jarak harus kecil :
Maka pers. Helmholtz menjadi:
Op. Laplace transversal
( )
2 2 2exp
z
Solusi sederhana adalah pers. Gelombang parabola
BERKAS GAUSS (GAUSSIAN BEAM)
Jika disubstitusikan ke pers. Gel. Parabola, dengan
ξ adalah suatu konstanta, maka :
( )
ξ
exp
z
juga persamaan gelombang parabola, namun mempunyai pusat di
ξ
=
riil
z
iz
kompleks
0
0
=
−
=
=
ξ
Jika :
Maka :
( ) ( )
q
z
exp
ik
2
q
( )
z
;
q
( )
z
z
iz
....(
1
)
A
r
A
02
+
=
ρ
−
=
Fungsi envelope kompleks
Untuk memisahkan amplitudo dan fasa dari envelope kompleks, maka didefinisikan :
)
2
(
...
)
z
(
W
i
)
z
(
R
1
iz
z
1
)
z
(
q
1
2
0
π
λ
−
=
+
=
dimana:
W(z) = lebar berkas Gauss
Substitusi pers. (1) dan (2) kedalam bentuk gelombang paraksial, diperoleh :
( )
ikzexp )
z ( W exp
)
Pers. Berkas Gauss (Gaussian Beam)
SIFAT-SIFAT BERKAS GAUSS
1. INTENSITAS
2
exp
)
Fungsi Gauss, yang mempunyai intensitas puncak pada ρ = 0 dan berkurang secara eksponensial terhadap ρ.
Pada ρ = 0, intensitas menjadi:
2. DAYA
exp
1
Merupakan integral dari intensitas di sepanjang bidang transversal:
Perbandingan daya pada radius ρ0 dengan daya total diberikan oleh:
Jika berarti perbandingannya adalah 86% .
3.
BEAM WAIST
Intensitas maksimum pada z=0 dan berkurang 1/e2 dengan ρ = W(z)
Pada z = 0, W(z) bernilai maksimum yaitu W0, sehingga W0 disebut dengan beam waist.
Diameter waist 2W0 disebut dengan spot size. Pada z = z0, maka
Pada ρ ≤ W(z), intensitasnya 86%, maka W(z) disebut jari-jari
z
z
z
W
)
z
(
W
00
0
=
θ
≈
0 0
0 0
W
z
W
π
λ
=
=
θ
Untuk z >> z0, maka:
.
Pada z >> z0, jari-jari berkas bertambah secara linier dengan z.
4.
PARAMETER KONVOKAL
2
λ
π
=
=
020
W
2
z
2
b
Jika jari-jari berkas merupakan dari nilai minimumnya (2z0), maka disebut kedalaman fokus (depth of focus) atau parameter konvokal (convocal parameter):
θ0
c. Kedalaman fokus
d. Sudut divergensi
e. Penguatan
(
)
[
]
[
(
)
2]
0 2
/ 1 2 0
0 '
0
z
f
1
f
'
z
;
f
z
1
W
W
+
=
+
=
f
'
z
;
f
W
z
f
W
0 00 '
0
≈
=
θ
=
Bila lensa diletakkan pada posisi beam waist dari berkas Gauss, maka :
Jika kedalaman fokus berkas cahaya datang (2z0) jauh lebih besar daripada folus dari lensa (f), maka:
Pemfokusan (focusing) berkas digunakan pada berbagai aplikasi, seperti scanning laser, printer laser dan fusi laser. Dalam aplikasi-aplikasi tersebut, spot size diusahakan sekecil mungkin, maka:
a. Panjang gelombang berkas (λ) diusahakan sependek mungkin b. Fokus lensa (f) sekecil mungkin
Dalam aplikasi, seringkali kita memerlukan berkas cahaya laser dengan spot size yang besar. Caranya adalah menggunakan teleskop, yaitu kombinasi dua buah lensa dengan panjang fokus yang berbeda.
2W0
f1 z
' 0
W 2
z1
f2
" 0
W 2
d z’
2W0
f1 z
' 0
W 2
z1
f2
" 0
W 2
d z’
Sebagai latihan
: Hitung berapa fokus lensa f
1dan f
2,
agar berkas Gauss menjadi 4 kali beam waist berkas
cahaya datang.
BERKAS HERMITE-GAUSS
Solusi persamaan paraksial Helmholtz, bukan hanya berkas Gauss, namun juga berkas-berkas non-Gauss. Pandang envelope kompleks :
(
)
exp
)
exp
)
dan
)
Suatu gelombang yang dimodulasi oleh berkas Gauss dengan bentuk:
Dengan menggunakan teknik pemisahan variabel, diperoleh:
Persamaan eigen dengan nilai eigen :
,...
dan fungsinya adalah Polinom Hermit.
)
)
tan
z
Dengan cara yang sama, maka:
Substitusi kedalam persamaan eigen dan
Kemudian integralkan, maka :
(
) ( )
ikz exp)
exp
)
Sehingga persamaan gelombangnya menjadi:
Persamaan berkas Hermite-Gauss
( )
u
1
H
0=
−
=
2
u
exp
u
2
)
u
(
G
2 1
−
−
=
2
u
exp
)
2
u
4
(
)
u
(
G
2 2
2
Karena
Maka orde-0 dari persamaan berkas Hermite-Gauss adalah fungsi Gauss. Fungsi Hermite-Gauss mempunyai karakteristik selang-seling fungsi ganjil dan fungsi genap:
Fungsi ganjil
DISTRIBUSI INTENSITAS
=
)
z
(
W
y
2
G
)
z
(
W
x
2
G
)
z
(
W
W
A
)
y
,
x
(
I
2 2m2 0
2 m , m
,
BERKAS LAGUERRE-GAUSS
Berkas Laguerre-Gauss merupakan solusi persamaan paraksial Helmholtz dalam koordinat silinder
(
,
,
z
)
r
=
ρ
φ
BERKAS BESSEL
Pandang suatu fungsi gelombang dengan amplitudo kompleks yang memenuhi persamaan Helmholtz :
( )
r
A
(
x
,
y
)
exp(
i
z
)
U
=
−
β
A(x,y) memenuhi persamaan Helmholz orde kedua :
2
2
2
T
2
T
2
T
k
k
0
A
k
A
=
β
+
=
+
∇
φ
ρ
=
φ
ρ
=
cos
dan
y
sin
x
( ) ( )
k
exp
im
;
m
0
,
1
,
2
,...
J
A
)
y
,
x
(
A
=
m m Tρ
φ
=
±
±
Substitusi , maka diperoleh:
Untuk m = 0, maka diperoleh fungsi Bessel:
( ) (
k
exp
i
z
)
J
A
)
r
(
U
=
0 0 Tρ
−
β
Intensitas berkas Bessel diungkapkan oleh:
( )
ρ
=
φ
ρ
2 T0 2
0
J
k
A
)
z
,
,
(
I
Distribusi intensitas dari berkas Bessel dalam bidang transverse tidak bergantung pada jarak perambatan z; sehingga berkas tidak mengalami disversi
Perbandingan Berkas Bessel dengan Gauss
[
2 / W (z)]
exp~
I − ρ2 2
π
− ρ ρ
≅ ρ
4 k
cos k
2 )
k (
J 2 T
T T
2 0
1. Amplitudo kompleks berkas Bessel adalah solusi eksak pers. Helmholtz, sedangkan berkas Gauss adalah solusi aproksimasi persamaan paraksial Helmholtz.
2. Intensitas berkas Gauss berkurang secara eksponensial
Intensitas berkas Bessel sebanding dengan :
fungsi osilator yang meluruh secara lambat
(slowly decay).
