DISTRIBUSI BERKAS CAHAYA LASER DISTRIBUSI GAUSS, HERMITE-GAUSS, LAGUERRE-GAUSS, BESSEL

DISTRIBUSI BERKAS CAHAYA

LASER

DISTRIBUSI GAUSS, HERMITE-GAUSS,

LAGUERRE-GAUSS, BESSEL

GELOMBANG HARMONIK

Bentuk gelombang harmonik bergantung waktu :

( ) ( )

[

( )

]

(

)

( )

{

r

t

}

[

( )

r

t

( )

r

t

]

t

i

r

i

r

A

t

r

,

,

2

1

,

Re

2

exp

exp

,

*

r

r

r

r

r

r

ψ

ψ

ψ

πν

ϕ

ψ

+

=

=

0

t

c

1

2 2 2 2

=

∂

ψ

∂

−

ψ

∇

Persamaan diatas memenuhi pers. Gelombang :

Laplace

Operator

=

∇

2

Bentuk gelombang dapat ditulis :

( ) ( ) (

)

( ) ( )

r

A

r

[

i

( )

r

]

t

i

r

t

r

r

r

r

r

r

ϕ

ψ

πν

ψ

ψ

exp

2

exp

,

=

=

Substitusi ke persamaan gelombang :

(

∇

2

+

k

2

)

ψ

( )

r

r

=

0

Pers. Helmholtz

c

c

2

k

=

πν

=

ω

Bilangan gelombang (konstanta perambatan)

( )

r

A

exp

( )

i

k

.

r

r

r

r

−

=

ψ

( )

exp

( )

i

k

.

r

r

A

r

r

r

r

−

=

ψ

Solusinya :

a. Gelombang datar (bidang):

GELOMBANG PARAKSIAL

( )

r A r

( )

r

=

A

( ) (

r

exp

−

ikz

)

ψ

r

r

π = λ <<       ∂ ∂ λ       ∂ ∂ = ∆ ∂ ∂ = ∆ 2 k A A z A z A z . z A A

A

k

z

A

;

kA

z

A

₂ 2 2

<<

∂

∂

<<

∂

∂

0

z

A

k

2

i

A

2 T

=

∂

∂

=

∇

2 2 2 2 2 T

y

x

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

Gelombang paraksial adalah gelombang datar yang dimodulasi oleh amplitudo yang berubah terhadap posisi

Agar tetap berlaku sebagai gelombang datar, maka perubahan amplitudo terhadap jarak harus kecil :

Maka pers. Helmholtz menjadi:

Op. Laplace transversal

Pers. Helmholtz paraksial (slowly varying envelope approximation of

( )

2 2 2 2

y

x

;

z

2

ik

exp

z

A

r

A

_

ρ

=

+











_ρ

−

=

r

0

z

A

k

2

i

A

2 T

=

∂

∂

=

∇

Solusi sederhana adalah pers. Gelombang parabola

BERKAS GAUSS (GAUSSIAN BEAM)

Jika disubstitusikan ke pers. Gel. Parabola, dengan

ξ adalah suatu konstanta, maka :

( )

ξ

−

=

q

z

z

( ) ( )

( )













_ρ

−

=

z

q

2

ik

exp

z

q

A

r

A

2

r

juga persamaan gelombang parabola, namun mempunyai pusat di

ξ

=

riil

z

iz

kompleks

0 0

=

−

=

=

ξ

Jika : Maka :

( ) ( )

q

z

exp

ik

2

q

( )

z

;

q

( )

z

z

iz

....(

1

)

A

r

A

₀ 2

+

=













_ρ

−

=

r

Fungsi envelope kompleks Untuk memisahkan amplitudo dan fasa dari envelope kompleks, maka didefinisikan :

)

2

(

...

)

z

(

W

i

)

z

(

R

1

iz

z

1

)

z

(

q

1

2 0

π

λ

−

=

+

=

dimana:

W(z) = lebar berkas Gauss

Substitusi pers. (1) dan (2) kedalam bentuk gelombang paraksial, diperoleh :

( )

      ξ + ρ − −       _ρ − = ψ i (z) ) z ( R 2 ik ikz exp ) z ( W exp ) z ( W W A r 2 2 2 0 0 r

Pers. Berkas Gauss (Gaussian Beam)

0 0 2 / 1 0 0 0 1 2 0 2 / 1 2 0 0 iz A A ; z W ; z z tan ) z ( z z 1 z ) z ( R z z 1 W ) z ( W =       π λ = = ξ                 + =               + = −

SIFAT-SIFAT BERKAS GAUSS

1. INTENSITAS

2

)

r

(

A

)

r

(

I

r

=

r

( )













_ρ

−













=

ρ

)

z

(

W

2

exp

)

z

(

W

W

I

z

,

I

₂ 2 2 0 0 2 0 0

A

I

=

Fungsi Gauss, yang mempunyai intensitas puncak pada ρ = 0 dan berkurang secara eksponensial terhadap ρ.

Pada ρ = 0, intensitas menjadi:

( )

₂ 0 0 2 0 0

z

z

1

I

)

z

(

W

W

I

z

,

0

I













+

=













=

2. DAYA

( )

2 0 0 0

W

I

2

1

d

2

)

z

,

(

I

P

=

∫

ρ

πρ

ρ

=

π

∞

∫

ρ













_ρ

−

−

=

ρ

πρ

ρ

0 0 2 2 0

)

z

(

W

2

exp

1

d

2

)

z

,

(

I

P

1

) z ( W 0 = ρ ) z ( W 5 , 1 0 = ρ

Merupakan integral dari intensitas di sepanjang bidang transversal:

Perbandingan daya pada radius ρ₀ dengan daya total diberikan oleh:

Jika berarti perbandingannya adalah 86% . Jika berarti perbandingannya adalah 99% .

3.

BEAM WAIST

( )

exp( 2) ) z ( W W I z , I 2 0 0  −      = ρ 2 / 1 2 0 0

z

z

1

W

)

z

(

W





























+

=

0 W 2 ) z ( W =

Intensitas maksimum pada z=0 dan berkurang 1/e2 _dengan ρ _{= W(z)}

Pada z = 0, W(z) bernilai maksimum yaitu W₀, sehingga W₀ disebut dengan beam waist.

Diameter waist 2W₀ disebut dengan spot size. Pada z = z₀, maka

Pada ρ ≤ W(z), intensitasnya 86%, maka W(z) disebut jari-jari

z

z

z

W

)

z

(

W

₀ 0 0

=

θ

≈

0 0 0 0

W

z

W

π

λ

=

=

θ

Untuk z >> z₀, maka: .

Pada z >> z₀, jari-jari berkas bertambah secara linier dengan z.

Sekitar 86% daya berkas terfokus pada sudut θ₀, sehingga θ₀ disebut sudut berkas.

4.

PARAMETER KONVOKAL

2

λ

π

=

=

02 0

W

2

z

2

b

Jika jari-jari berkas merupakan dari nilai minimumnya (2z₀), maka disebut kedalaman fokus (depth of focus) atau parameter konvokal (convocal parameter):

Contoh: Laser He-Ne, dengan panjang gelombang 633 nm, mempunyai 2W₀ = 2 cm. maka kedalaman fokusnya adalah 1 km.

Bagaimana jika berkas Laser

melewati lensa ?

θ0 θ0 W₀ z₀ z ' 0 z z’ ' 0 W ' 0 θ _z W R R’ W’ θ0 θ0 W₀ z₀ z₀ z ' 0 z z’ ' 0 W ' 0 θ _z W R R’ W’ 0 ' 0

MW

W

=

(

z

'

−

f

)

=

M

2

(

z

−

f

)

)

z

2

(

M

z

2

'

₀

=

2

₀

M

2

2

θ

'₀

=

θ

0

( )

₂ 1/2 r

r

1

M

M

+

=

f

z

f

M

;

f

z

z

r

0 _r

−

=

−

=

a. Beam waist b. Posisi waist c. Kedalaman fokus d. Sudut divergensi e. Penguatan Maka :

Bagaimana cara memfokuskan

berkas Laser ?

(

)

[

]

[

(

)

2

]

0 2 / 1 2 0 0 ' 0

z

f

1

f

'

z

;

f

z

1

W

W

+

=

+

=

f

'

z

;

f

W

z

f

W

_{0 0} 0 ' 0

≈

=

θ

=

Bila lensa diletakkan pada posisi beam waist dari berkas Gauss, maka :

Jika kedalaman fokus berkas cahaya datang (2z₀) jauh lebih besar daripada folus dari lensa (f), maka:

Pemfokusan (focusing) berkas digunakan pada berbagai aplikasi, seperti scanning laser, printer laser dan fusi laser. Dalam aplikasi-aplikasi tersebut, spot size diusahakan sekecil mungkin, maka:

a. Panjang gelombang berkas (λ) diusahakan sependek mungkin b. Fokus lensa (f) sekecil mungkin

Bagaimana cara memperbesar

berkas Laser ?

Dalam aplikasi, seringkali kita memerlukan berkas cahaya laser dengan

spot size yang besar. Caranya adalah menggunakan teleskop, yaitu

kombinasi dua buah lensa dengan panjang fokus yang berbeda.

2W₀ f₁ z ' 0 W 2 z₁ f₂ " 0 W 2 d z’ 2W₀ f₁ z ' 0 W 2 z₁ f₂ " 0 W 2 d z’

Sebagai latihan: Hitung berapa fokus lensa f

₁

dan f

₂

,

agar berkas Gauss menjadi 4 kali beam waist berkas

cahaya datang.

BERKAS HERMITE-GAUSS

Solusi persamaan paraksial Helmholtz, bukan hanya berkas Gauss, namun juga berkas-berkas non-Gauss. Pandang envelope kompleks :

(

)

0 2 2 G

iz

z

)

z

(

q

)

z

(

q

2

y

x

ik

exp

)

z

(

q

A

z

,

y

,

x

A

+

=













₊

−

=

[

i

(

z

)

]

A

(

x

,

y

,

z

)

exp

)

z

(

W

y

2

)

z

(

W

x

2

)

z

,

y

,

x

(

A

_

Ζ

_G











Υ













Χ

=

( )

0

z

Z

z

kW

Y

2

Y

Y

1

u

X

u

2

u

X

1

₂ 2 2 2 2

=

∂

∂

+

















ν

∂

∂

ν

−

ν

∂

∂

+

















∂

∂

−

∂

∂

Χ

.

)

z

(

W

y

2

dan

)

z

(

W

x

2

u

=

ν

=

Suatu gelombang yang dimodulasi oleh berkas Gauss dengan bentuk:

X, Y dan Z adalah fungsi-fungsi riil. Bila persamaan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan paraksial Helmholtz, diperoleh:

Dengan menggunakan teknik pemisahan variabel, diperoleh:

2 1 2 0 0 2 2 2 1 2 2

dz

dZ

z

z

1

z

Y

d

dY

d

Y

d

2

1

X

du

dX

u

du

X

d

2

1

µ

+

µ

=





























+

µ

=

ν

ν

+

ν

−

µ

=

+

−

Persamaan eigen dengan nilai eigen :

,...

2

,

1

,

0

;

1

=

=

µ

l

l

dan fungsinya adalah

Polinom Hermit.

)

u

(

H

)

u

(

X

=

_l

2

u

4

)

u

(

H

u

2

)

u

(

H

1

)

u

(

H

)

u

(

H

2

)

u

(

uH

2

)

u

(

H

2 2 1 0 1 1

−

=

=

=

−

=

₋ + l l l

l

dimana:

)

(

H

)

(

m

m 2

ν

=

ν

Υ

=

µ

m

,

₂ 1

=

µ

=

µ

l

( ) (

) ( )

( )

_











=

ξ

ξ

+

=

− 0 1

z

z

tan

z

;

z

m

z

Z

l

Dengan cara yang sama, maka:

Substitusi _{kedalam persamaan eigen dan}

Kemudian integralkan, maka :

(

) ( )

      ξ + + + + − −                   = i m 1 z ) z ( R 2 y x ik ikz exp ) z ( W y 2 G ) z ( W x 2 G ) z ( W W A ) z , y , x ( U 2 2 m 0 m , m , l l l l

















−

=

2

u

exp

)

u

(

H

)

u

(

G

2 l l

Sehingga persamaan gelombangnya menjadi:

Persamaan berkas Hermite-Gauss

( )

u

1

H

₀

=

















−

=

2

u

exp

u

2

)

u

(

G

2 1

















−

−

=

2

u

exp

)

2

u

4

(

)

u

(

G

2 2 2 Karena

Maka orde-0 dari persamaan berkas Hermite-Gauss adalah fungsi Gauss. Fungsi Hermite-Gauss mempunyai karakteristik selang-seling fungsi ganjil dan fungsi genap:

Fungsi ganjil

DISTRIBUSI INTENSITAS





































=

)

z

(

W

y

2

G

)

z

(

W

x

2

G

)

z

(

W

W

A

)

y

,

x

(

I

2 2_m 2 0 2 m , m , l l l

BERKAS LAGUERRE-GAUSS

Berkas Laguerre-Gauss merupakan solusi persamaan paraksial Helmholtz dalam koordinat silinder

(

,

,

z

)

r

=

ρ

φ

BERKAS BESSEL

Pandang suatu fungsi gelombang dengan amplitudo kompleks yang memenuhi persamaan Helmholtz :

( )

r

A

(

x

,

y

)

exp(

i

z

)

U

r

=

−

β

A(x,y) memenuhi persamaan Helmholz orde kedua :

2

2

2

T

2

T

2

T

k

k

0

A

k

A

=

β

+

=

+

∇

φ

ρ

=

φ

ρ

=

cos

dan

y

sin

x

( ) ( )

k

exp

im

;

m

0

,

1

,

2

,...

J

A

)

y

,

x

(

A

=

_{m m T}

ρ

φ

=

±

±

Substitusi , maka diperoleh:

Untuk m = 0, maka diperoleh fungsi Bessel:

( ) (

k

exp

i

z

)

J

A

)

r

(

U

r

=

_{0 0 T}

ρ

−

β

Intensitas berkas Bessel diungkapkan oleh:

( )

ρ

=

φ

ρ

2 _T 0 2 0

J

k

A

)

z

,

,

(

I

Intensitas tidak bergantung pada arah perambatan-z, sehingga tidak terjadi pelebaran daya optik. Gelombang ini disebut berkas Bessel. Berkas cahaya Bessel ini banyak digunakan dalam penelitian untuk komunikasi optik dengan menggunakan hollow fibers, sehingga tidak terjadi pengurangan intensitas pulsa dengan pertambahan jarak.

Distribusi intensitas dari berkas Bessel dalam bidang transverse tidak bergantung pada jarak perambatan z; sehingga berkas tidak mengalami disversi

Perbandingan Berkas Bessel dengan Gauss

[

2 / W (z)

]

exp ~ I − ρ2 2       π − ρ ρ ≅ ρ 4 k cos k 2 ) k ( J 2 _T T T 2 0

1. Amplitudo kompleks berkas Bessel adalah solusi eksak pers. Helmholtz, sedangkan berkas Gauss adalah solusi aproksimasi persamaan paraksial Helmholtz.

2. Intensitas berkas Gauss berkurang secara eksponensial

Intensitas berkas Bessel sebanding dengan :

fungsi osilator yang meluruh secara lambat (slowly decay).

3. Berkas Bessel dibangkitkan dengan skema khusus, sedangkan berkas Gauss dapat diperoleh pada resonator speris yang umum pada laser.