S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)

S1- MATEMATIKA I

BAHAN 10

Bahan 10.1.

PENGERTIAN INTEGRAL CALCULUS

DAN

KEGUNAAN INTEGRAL

1. Integral calculus atau integration vs. differentiation

 Primitive function F(x) vs. derivative function f(x)

Integral calculus atau integration adalah kebalikan dari differentiation, yaitu :

 Apabila fungsi F(x) merupakan an integral (antiderivative) function dari fungsi f(x), maka :

F(x) disebut sebagai primitive function, sedangkan

f(x) merupakan derivative dari F(x) dan f(x) adalah fungsi kontinyu (a continuous function) di atas domainnya atau suatu interval independent variabel x.

 Jadi integration atau integral calculus menyangkut pencarian (tracing) asal (the parentage of) dari fungsi f(x).

Tetapi, differentiation mencari turunan (derivative atau differentiation) dari F(x).

 Differentiation dari F(x) menghasilkan fungsi yang unik (a unique derivative function) f(x).

Sebaliknya, integration dari f(x) menghasilkan banyak tak terbatas bentuk fungsi (indifinete number of possible parents) F(x).

 Penjelasan :

 Notasi integration dari f(x) terhadap x dalam rangka menuju atau ditrasir ke F(x) :

f(x)dx

--- indefinite integral

dan

dimana :

 _tandal integral (the integral sign)

 f(x) _{fungsi yang akan diintegralkan (the integrand}

---the function to be integrated).

 dx tanda untuk melakukan diferensiasi terhadap x (the

operation of differentiation which is to be performed with respect to the variable x).

 _f(x)dx sebagai notasi diferensiasi dari the primitive

function F(x)_{, jadi :}



) (x F dx

d

f(x)dx





_f(x)dx  F(x)  c

dimana c _{adalah suatu angka yang bersifat bebas atau}

angka apa saja (an arbitrary constant of integration) yang berfungsi sebagai indikasi banyaknya fungsi primitif yang bisa dihasilkan (the multiple parentage of the integrand).

2. Kegunaan integral calculus dalam ilmu ekonomi

 Integral calculus berguna untuk analisa ekonomi secara dinamis (a dynamic analysis of economic developments).

Istilah dinamis dalam analisa ekonomi (the term dynamics for econoic analysis), dari sebelumnya berubah hingga akhirnya sekarang, yaitu dimaksudkan sebagai analisa dengan obyek :

 Mencari atau mentrasir dan mempelajari arah dinamis menurut waktu dari variabel-variabel.

 Atau, menentukan, bahwa untuk sepanjang waktu tertentu apakah variabel-variabel menuju atau tidak ke angka atau nilai tertentu atau nilai ekuilibrium.

 Untuk analisa ekonomi secara dinamis, maka waktu dari variable diperlukan, sehingga variabel dapat berupa sebagai :

 A continuous variable  jadi something is happening to the variable at each point of time.

 A discrete variable jadi the variable undergoes.

INTEGRAL INDEFINITE (INDEFINITE INTEGRALS)

DAN

KETENTUAN-KETENTUAN INTEGRASI

(RULES OF INTEGRATION)

1. Integral indefinite vs. Integral definite

The integral _f(x)dx

disebut the indifinite integral of f(x) _{karena tidak mempunyai}

batasan angka tertentu (no definite numerical value). Sedangkan the integral _ab f(x)dx

disebut definite integral karena mempunyai definite numerical value misal dari angka sebesar a ke b

2. Aturan Integrasi (berlaku juga untuk Integral definite)

dan Contoh

RULE 1 s.d, RULE 3 : Aturan dasar (Basic Rules of Integration)

1). Rule 1 (the power rule)

c x

n dx

xn n

 

 

 1 1

1

karena _xn _xn

n dx

d

    

 

 1

1 1

dimana n ≠ − 1

Soal

a. _x3dx

b. _ x3 dx

c. _1dx

d. dx

x

 4 1

Rule 2a : exdx ex c  

 karena _ex _ex

dx d



dan

Rule 2 b : f x ef x dx ef x c  

 '( ) ( ) ( ) karena ef(x) ef(x) dx

d



3). Rule 3 (the logarithmic rule)

Rule 3a : dx x c

x  

1 ln karena dx x x

d _ln 1

 dimana x

> 0

Rule ini bentuk spesial (a special form) dari the power function xn _{karena untuk n = 1 tidak bisa dilakukan atas}

dasar Rule 1 (the power rule) sebab menjadi 

0 1

dan

Rule 2 b :

0 ) ( dim ) ( ln 0 ) ( dim ) ( ln ) ( ) ( '        x f ana c x x f x f ana c x f dx x f x f

RULE 4 dan RULE 5 : Aturan operasi (Rules of Operation)

4). Rule 4 (the integral of a sum)

  2 1 2 1 2 1 , , dim ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c c ditulis bisa jadi value in arbitarary adalah c dan c c ana c x G c x F atau c x G x F dx x g dx x f dx x g x f             _{ }  karena

 ( ) ( ) ( ) G(x) f(x) g(x)

dx d x F dx d x G x F dx d      Soal

b. dx x x e x           5 7 14

2 2 ₂

5). Rule 5 (the integral of a multiple)

k f(x)dx  k f(x) dx

Soal

a. _ f(x)dx dimana k 1

b. _3x2 dx  3_x2 dx

RULE 6 dan RULE 7 : Aturan Untuk Substitusi (Rules Involving Substitution)

6). Rule 6 (the substitution rule) 

 dx  f u du

dx du u

f( ) ( )

Contoh : 2 1 dim 2 1 ) 1 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 1 2 1 2 ) 1 ( 2 : 2 2 1 ) ( : dim 2 1 ) 2 2 ( ) 1 ( 2 1 2 4 1 2 4 1 2 2 2 2 2 2 4 3 2                                     c c ana c x x c x x c x u du u dx dx du u x dx x x sehingga x du dx atau x dx du x x f u ana c x x dx x dx x x Soal

a. _6x2 (x3 2)99 dx

b. _8e2x3 _dx

7). Rule 7 (integration by parts)

_u du  uv  _udv karena :

               dikurangi kanan dan kiri dv u du v uv atau dv u du v uv d menjadi egrate di dv u du v uv d ) ( : , int ) (

dengan _u dv  menjadi _vdu  uv  _udv

a. _{( 1)}1/2 _{dim ( 1)}1/2

  

   

 _

x x dx vdu ana v x dan du x

b. _lnxdx (x0)  _vdu dimana vlnx jadi dv1/x

dan ux atau dudx

c. xex dx



3. Aplikasi

1). Perkembangan penduduk menurut waktu

 Fungsi primitif H = h(t) = 2 t½ _{---→ merupakan fungsi untuk} perkembangan penduduk menurut waktu t (independent variable)

 Derivative :

t

dt

dH _1₂



 Integral :



t

 dt 

2

t

2  c

1 2

1

dimana c = an arbitrary constant

Misal : t = 0  H(0) = 2 (0)½ _{+ c = c}

= 100 apabila c = 100, jadi c sudah pasti. Jadi secara umum, the time path of population developments :

H(t) = 2 t½ + H(0)

bahwa besarnya penduduk pada setiap waktu t atau H(t) adalah jumlah penduduk pada tahun awal (t = 0 atau nol) yaitu H(0) = c, ditambah 2 t½_.

Arah waktu itu menunjukkan jadual komplit dari variabel H menurut waktu, yang merupakan solusi terhadap model dinamis (such a time path indeed charts teh complete itenary of the variable H over time, and thus it truly constitutes the solution to the dyanmic model).

2). Dari fungsi marjinal (marginal functions) ke fungsi total (total function)

a. Dari Marginal cost (MC = C”_{(Q)) ke Total Cost (TC = C(Q))}

) 0 ( 90 10 dim 10 2 ) ( ) ( 2 . 0 2 . 0 2 . 0 '            _{ }  Q pada buktikan c TFC serta e TVC dan TFC TVC TC ana TC c e dQ e dQ Q C dQ Q MC Q Q Q

b. Dari Marginal Propensity to Save (MPS(Y)) ke fungsi Aggregate Saving (S(Y)) dimana Y = Produk Domestik Bruto (PDB)

) ( 2 . 0 3 . 0 ) 1 . 0 3 . 0 ( )

(_{Y dY Y} 12 _{dy Y Y}12 _{c S Y}

MPS      

  

c. Dari Net Investment at time t (I(t)) = dK_dt ke Capital Stock at t K(t)

_()  _ dt  _dK  K(t)

dt dK dt

t I

_3t12dt  2t32  c  2t32  K(0) dimana K(0)c 4. Soal latihan

1). _16x3 dx

2). _(x5 3)dx

3). e x dx

2 2

4). dx

x x

 24_1

5). _(2axb)(ax2 bx)7dx

6). 3 4 ( 0)

  



 _

 dx x

x ex

7). e x dx

₃ (2 7)

8). 3 4 ( 0)

     

 e x dx x

x

9). _ 3 dx (x0)

x

10). dx

x x

 ₃ 2_5

11). _ xlnxdx (x0)

12).





 dx x f k _i n i

i ( ) 1 dx x f k _i n i i ) ( 1





  Bahan 10.3.

INTEGRAL DEFINITE (DEFINITE INTEGRALS)

DAN

SIFATNYA (ITS PROPERTIES)

Definite integral adalah integral pada suatu interval atau jarak tertentu di atas domain variabel bebas (independent variable) x, misal dari angka a ke b (a < b), dengan notasi :

_b  

a

b a x F dx x

f( ) ( )  {F(b)c}{F(a)c}  F(b) F(a)

dimana : a = the lower limit of integration b = the upper limit of integration b

a atau bisa dalam bentuk b

a atau   b a

... =

= tanda instruksi variabel x dengan angka a dan b Contoh dan soal :

1). 3 5 53 13 124

1 3 2

5

1     

 x dx x c 2). 1 2 ?

1

4

0 _ 

 

 



 x x dx

3). b ( b a)

a x x

b

a ke dx  ke  k e e

 4). 12 (2x31)2(6x2)dx

2. A definite integral sebagai suatu area di bawah kurva atau fungsi

Y

y = f(x)

area A

0 a = x1 xi b = x5 x

Area di bawah kurva di atas interval [a, b] atau [x1, x5] dimana xi untuki = 1, 2, 3, 4, 5, yaitu :

= _ 5

1 ) (

x b

x

a f x dx =

   

n

i i

n

dx

x

f

1

(

)

lim

= area A → karena area itu diproxi (approximated) sebesar =

= 

n

i

dx

x

f

1

(

)

= area A

* _(>

area A)

 Penjelasan :

 Tanda 

n

i

dx

x

f

1

(

)

menyatakan jumlah dari semua f(xi)

 Sedangkan jika n hingga tak terhingga (n → ∞), maka limit dari

the sum itu adalah   

n

i

n

lim

1

f

(

x

)

dx

yang sama

dengan _

5

1 ) (

x b

x

a f x dx

 Integral _ 

5

1 ) (

x b

x

a f x dx dimaksud disebut the Riemann integral

yang mempunyai suatu area connotation (an area of connotation) serta suatu jumlah connotation (a sum connotation) sebab _



5

1

x b

x a

adalah bagian yang kontinyu (the continuous part) sebagai pasangan (a counterpart) dari konsep diskret dari (a discrete concept of)





n

i 1

 Theorem

Suatu fungsi mempunyai integral (integralable) pada suatu interval [a, b], apabila fungsi itu kontinyu pada interval dimaksud,

atau,

Jika fungsi f(x) adalah dalam interval [a, b], maka syarat perlu dan cukup (necessary and sufficient and condition) untuk terdapatnya



b  a

b a x F dx x

f( ) ( )  {F(b)c}{F(a)c}  F(b) F(a)

adalah bahwa set tidak kontinyu dari f(x) mempunyai measure zero

(yaitu jika jumlah dari semua jarak dalam semua interval yang menutup semua titik dapat dibuat secar bebas sedemikian kecilnya (if the sum of the lengths of intervals enclosing all points can be made arbitrary small – less than any given positive number ε).

3. Sifat-sifat (properties) definite integral

1). _b 

a f(x)dx  b

a f(x)dx

Jadi, _ba f(x)dx F(a)F(b)  {F(b)F(a)}  _ab f(x)dx

2). _aa f(x)dx F(a)F(a) 0

3). _d 

a f(x)dx   b

a f(x)dx   c

b f(x)dx  d

c f(x)dx

4). _b 

a f(x)dx  b

5). _abk f(x)dx  k _ab f(x)dx

6). _b  

a{f(x) g(x)}dx   b

a f(x)dx  b

a g(x)dx

7). Integration by parts : _{ }

 





 

 _xx_ab b

x a x

b x

a

x u dv

v u du v

5

1

4. Definite integral ke indefinite integral

c a F ana c

x F a F x F dx x f x

a       

15 ( ) ( ) ( ) ( ) dim ( )

Jadi, definite integral _5 1

) (

x

a f x dx di atas interval dari titik atau

angka a ke setiap titik atau angka di atas variabel x, menjadi persis seperti integral definite karena hasilnya juga adalah {F(x) + c} dimana c = - F(a).

Dengan demikian tanda integral _ berarti sama dengan tanda _5 1

x a

dalam arti c = − F(a).

5. Soal latihan

1). _01 x(x2 6)dx

2). _ ax bx c dx

  

1

1

2 ₎

(

3). _ x x _dx

  

 



2 4

3

2 ₁

3 1

4). _

 _

2

1 ₂

e

x dx

5). dx

x x

e

 

  

 

 

6

1 1 1

6). dx dan

b c

c_0b c_0c 1dt

Bahan 10.4.

IMPROPER INTEGRALS

1. Pengertian improper integrals

_a f(x)dx F()F(a)

atau _ 

   

b

F b F dx x

f( ) ( ) ( )

Kedua integral di atas tidak bisa dievaluasi karena ∞ bukan suatu angka.

2. Convergent atau divergent improper integrals

Evaluasi terhadap improper integrals di atas harus didasarkan atas dasar konsep limit, sehingga menjadi :



  _



a

b a b

dx x f dx

x

f( )

lim

( )

atau







 



b b

a b

dx x f dx

x

f( )

lim

( )

 Jika kedua limit itu :

 Diperoleh (exist), maka dikatakan bahwa improper integral dimaksud convergent atau to converge yang akan menghasilkan suatu nilai integral.

 Tidak diperoleh (do not exists), maka improper integral dimaksud divergent atau to diverge yang tidak menghasilkan nilai integral.

 Jika kedua limit integral adalah tak terhingga (∞)

 

  

 b

a b b

dx x f dx

x

f( ) _lim ( )

Juga, apabila limit diperoleh (exist), maka improper integral bersifat convergent, atau divergent jika limit tidak diperoleh.

 Contoh f(x)

 dx

x

1 2 1

2 1 ) (

x x

f 

Pertama : 1 1 ₁ 1 1

1 2 

  



 _x dx _x b _b

0 1 b → → ∞ x

Maka atas dasar konsep limit di atas, berarti :

 

 



 

 

      

 

  

 _

₁ 2 ₁ 2 1

1 1

1 1 1

lim

lim juga _x

b x

dx dx

x b

b

Jadi, improper integral di atas bersifat convergent, yaitu kurva f(x) menuju ke suatu titik pada interval sejak titik x = 1 hingga x = b → ∞ di sumbu x.

 dx

x

1

1

f(x)

f(x)1_x

Pertama : 1 ln ₁ ln ln1

1   

 x dx x b

b

0 1 b →→ ∞ x

Maka atas dasar konsep limit di atas, berarti :

  

  

 

 

    









_{1 1} ln ln1 ln 1

1

lim

lim

b juga x

x dx dx

x b

b

b

Jadi, improper integral di atas bersifat divergent, yaitu kurva f(x) tidak menuju ke suatu titik pada interval sejak titik x = 1 hingga x = b → ∞ di sumbu x.

3. Infinite integrand

Improper integrals juga timbul karena the integrand menjadi tak terhingga (infinite) pada interval [a,b], walaupun limit integralnya adalah tertentu atau tidak terhingga (finite).

Untuk evaluasinya didasarkan atas konsep limit. Contoh 1 :

dx x

01

1

→ adalah improper integral karena seperti pada terlihat pada diagram (bagian bawah) di atas, the integrand menjadi tak terbatas atau tak terhingga pada limit bawah dari integral, yaitu the integrand _{1 x  untuk x 0}

Evaluasinya :

Pertama, peroleh dulu integral :

 a a

x dx

x a

a ln ln1 ln ln

1 1

1

   





Kemudian, evaluasi limitnya dengan a → 0+ _:

1

lim

1

lim

( ln )

0 1

0 1

0 xdx x dx a

a a

a

 



  



 



dan karena limit ln a = −∞ ketika a → 0+_,

maka integral itu bersifat divergent

Contoh 2 :

_ dx 

x

9

0

1

dx x

9 

0 2 / 1

Integral ini adalah improper integral karena ketika x → 0+ _{maka the integrand}

x

1

menjadi tak terhingga atau tak terbatas

Evaluasinya :

_  _{     } 

_a0 1_x dx 2x1/2 9a 6 2 a dan 6 0 0 ketika a 0

Jadi, integral bersifat convergent ke angka 6.

Contoh 3 :

Ketika f(x) → ∞ dengan x → p dimana p berada di interval (a, b) dan bukan [a, b] jadi titik a dan b tidak termasuk, maka dengan the additivity property :

_ab f(x)dx  _ap f(x)dx  _pbd f(x)dx

Integral di sisi kiri bersifat convergent hanya apabila masing-masing integral di sisi kanan mempunyai limit Misal :

_ 

 x dx

1

1 3 1

dx x

 

1

1 3

Evaluasinya :

_1  _

1

3 _dx

x



 



0

1

3 _dx

x _1 

0

3 _dx

x

karena b = 1, maka

      

 

 

    

  

   

   

 



 

  2

1 2

1 2

1 1

2 0

1 2

0 1 3

0 lim lim

lim dx x _b

x _b

b

b b

b

4. Soal latihan

Tentukan integral mana berikut ini yang improper dan alasannya.

7). e rt dt

 

0

8). _3 x dx

2 4

9). _1 x dx

0 3 / 2

10). ert dt

 0

11). dx

x

15 _2

1

12). _ dx



4