BAB I PENDAHULUAN BAB II 1.1 LATAR BELAKANG

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Matematika sebagai alat untuk analisis dalam berabagai bidang cabang disiplin ilmu, mempunyai peranan sangat menonjol sesuai dengan perkembangan ilmu pengetahuan, baik mempelajari teori ekonomi ilmu-ilmu sosial, matematika semakin banyak digunakan sebagai alat untuk mempermudah pemecahan masalah serta sebagai alat untuk mengambil keputusan ataupun perencanaan. Penggunaan matematika dalam berbagai disiplin ilmu dinamakan sebagai matematika terapan, salah satunya adalah persamaan diferensial, maka model penggunaan diferensial ini dinamakan sebagai diferensial terapan atau aplikasi diferensial. Perhitungan diferensial merupakan suatu perhitungan yang menyangkut masalah perubahan fungsi, maka sebagai kaitan permasalahan yang muncul di dalam teori ekonomi di antaranya penghitungan Laba (keuntungan), Investasi serta Pajak.

Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Diferensial dapat pula di sidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaat-manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi.

1.2 RUMUSAN MASALAH

Rumusan masalah pada penulisan makalah ini adalah penerapan persamaan diferensial pada matematika ekonomi dan bisnis.

1.3 BATASAN MASALAH

Batasan masalah pada penulisan makalah ini adalah penerapan persamaan diferensial pada matematika ekonomi yang membahas tentang pajak, laba dan investasi.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 PENGERTIAN DIFERENSIAL

Derivative atau turunan dy

dx tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau

pecahan dengan dy sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai

lambang yang menyertakan limit dari Δ y

Δ x , sewaktu ∆ x mendekati nilai nol

sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat memahami masalah-masalah kita dapat

menafsirkan dx dan dy secara terpisah, dalam hubungan ini dx menyatakan

diferensial x dan dy diferensial y . Pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel yang berkaitan dengan perubahan – perubahan kecil dalam variabel bebas.

Jika f

'(x ) merupakan derivative dari fungsi f (x) untuk nilai ^x tertentu

dan ∆ x merupakan kenaikan dalam x , maka diferensial dari ^f(x) , terdefinisikan oleh persamaan:

df ( x )=f^'( x )=dy dx∆ x

Jika f ( x )=x , maka f

'( x )=1 , dan ^{dx=∆ x} . Jadi jika ^x merupakan variabel

bebas, maka diferensial dx dari x sama dengan ∆ x .

Jika ^{y=f (x)} , maka dy=f^'( x ) dx=dy dxdx

2.2 PENERAPAN DIFERENSIAL PADA MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS 1. Laba

Pada umumnya, ukuran yang sering kali digunakan untuk menilai berhasil atau tidaknya manajemen suatu perusahan adalah dengan melihat laba yang diperoleh perusahaan. Laba bersih merupakan selisih positif atas penjualan dikurangi biaya biaya dan pajak

Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau secara matematika dapat dinyatakan dengan rumus:

Π=TR−TC Di mana:

π = Laba

TR = Penerimaan total TC = Biaya total

Penerimaan total (TR) maupun biaya total (TC) adalah fungsi dari Q. oleh karena itu, untuk memperoleh tingkat banyak barang yang dapat memaksimumkan laba kita harus memenuhi syarat pertama yang diperlukan (necessary condition) untuk suatu maksimum yaitu: mendiferensialkan fungsi laba terhadap Q, kemudian disamakan dengan nol, hasilnya adalah:

D π dQ=0

d(TR−TC)

dQ =0

dTR

dQ −dTC dQ =0

karena dTR

dQ =MR dandTC

dQ =MC , maka persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi:

^{M R=MC}

Jadi, syarat pertama untuk suatu banyak barang yang optimum secara ekonomi adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. Tetapi syarat yang pertama belum menjamin adanya suatu maksimum atau minimum. Oleh karena itu, kita harus

memeriksa syarat kedua yang mencukupkan (sufficient condition), yaitu: derivative kedua dari fungsi laba terhadap Q harus lebih kecil dari nol, hasilnya adalah:

d²π d Q²<0

Jadi, syarat yang kedua cukup untuk membuat laba secara maksimum dengan banyaknya barang yang di produksi.

Contoh 1

Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan adalah ^P=1000−2Q dan fungsi biaya perusahaan tersebut adalah C=Q

3−59 Q²+1315Q+2000 , hitunglah

Laba maksimum yang akan diperoleh perusahaan tersebut!

Diketahui:

P=1000−2Q

C=Q³−59 Q²+1315Q+2000

Fungsi pendapatan : R = Fungsi permintaan ^× banyak unit yang di produksi

= (1000−2 Q) ×Q

= 1000Q −2 Q

2

Fungsi biaya: C = Q

3−59 Q²+1315Q+2000

Fungsi Laba: ^π = pendapatan – biaya

π =

(

1000Q−2 Q²

)

−

(

Q³−59Q²+1315 Q+2000

)

π = −Q

3+57 Q²−315Q−2000

Turunan pertama:

d π

dQ = −3 Q

2+114 Q−315

= Q

2−36 Q+105

= (Q−35)(Q−3)

Di peroleh Q₁=3 atauQ2=35

Turunan kedua:

d²π

d Q² = ^{−6 Q+114}

Jika Q₁=3

, maka d²π

d Q² = −6(3 )+114=96 , 96>0 (Laba minimum)

Jika Q₂=35

, maka d²π

d Q² = −6(35 )+114=−66 , ^{−66 <0} (Laba maksimum)

Jadi, π^maks=−Q³+57 Q²−315 Q−2000

= −(35 )

3+57(35 )²−315(35 )−2000

= −(42875)+69825−11025−2000

= 26950−13025

= ^13.925 Karena Q=35

, maka:

P=1000−2Q

= 1000−2(35) = ^1000−70 = 930

C=Q³−59 Q²+1315Q+2000

= (35)

3−59(35)²+1315(35)+2000

= ⁴²⁸⁷⁵−72275+46025+2000 = 42875−24250

= ^18.625

R = 1000Q −2 Q

2

= 1000 (35 )−2(35)

2

= ^35000−2450 = 32.550

Jadi, dapat disimpulkan bahwa perusahaan harus menjual produknya sebesar Rp.930 per unit, dengan jumlah produk sebesar 35 unit agar dapat memaksimalkan laba sebesar Rp.13.925 dimana pendapatan perusahaan adalah Rp. 32.250, dan biaya yang di keluarkan adalah sebesar Rp.18.625,00

2. Pajak

Salah satu sumber penerimaan pemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajak penjualan yang dikenakan pemerintah terhadap setiap unit produksi dan dijual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak tersebut. Untuk itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak yang akan diberlakukannya sehingga akan diperoleh pajak maksimum.

Total pajak yang akan diterima pemerintah ^{T=t ×Q} dimana ^{t :} tarif pajak yang dikenakan pemerintah, dan Q:

jumlah barang yang diproduksi dan dijual oleh pengusaha sehingga diperoleh laba maksimum, yang telah mempertimbangkan biaya pajak.

Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah adalah:

Laba = Pendapatan – (Biaya + Pajak)

= R−(C +T )

= R−C−T

= ^{R−C−t .Q} Contoh 2

Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan adalah P=−5 Q+100 dan fungsi biaya perusahaan tersebut adalah C=5 Q

2−30 Q , hitunglah tarif pajak yang sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum serta total pajak maksimum yangdiperoleh oleh pemerintah!

Diketahui:

P=−5 Q+100

C=5 Q²−30 Q Fungsi pendapatan :

R = Fungsi permintaan ^× banyak unit yang di produksi

= (−5Q+100) ×Q

= −5 Q

2+100 Q

Laba = Pendapatan – (Biaya + Pajak) = R−(C +T )

= R−C−T = ^{R−C−t .Q}

=

(

−5Q²+100 Q

)

−

(

5Q²−30 Q

)

−t .Q =

(

−10Q²+130 Q−t .Q

)

Turunan pertama : Laba ' =−20Q+130−t=0 ^{130−t=20 Q}

20Q=130−t

Q=130−t 20

Q=26 4 − 1

20t

Turunan kedua : Laba = {1} over {20} <0

Jadi, dengan memproduksi sebanyak Q=26 4 − 1

20t , pengusaha akan memperoleh laba maksimum.

Dari sudut pandang pemerintah:

Pajak : 26

4 − 1 20t T=t¿ )

¿26 4 t− 1

20t²

Turunan pertama : Pajak '=26 4 − 1

10t=0 t

10=26 4 4t=260 t=65

Jadi, pengusaha dikenakan pajak sebesar Rp. 65 / unit Q=26

4 − 1 20(65 )

¿26 4 −65

20

¿6,5−3,25 ¿3,25

Pajak yang diterima pemerintah atau yang dikeluarkan oleh pengusaha T=t . Q

¿65×3,25

¿Rp.211,25

Jadi,pajak yang harus dikeluarkan oleh pengusaha jika ia menghasilkan 3,25 unit barang adalah Rp.211,25.

3. Investasi

Investasi yang lazim disebut juga dengan istilah penanaman modal atau pembentukan modal merupakan komponen kedua yang menentukan tingkat pengeluaran agregat. Tabungan dari sektor rumah tangga melalui institusiintitusi keuangan akan mengalir ke sektor perusahaan. Apabila para pengusaha menggunakan uang tersebut untuk membeli barang-barang modal , pengeluaran tersebut dinamakan investasi. Investasi pada hakikatnya merupakan penempatan sejumlah dana yang ada saat ini dengan harapan untuk memperoleh keuntungan di masa mendatang.

Investasi adalah suatu fungsi pendapatan dan tingkat bunga, dilihat dengan kaitannya I= (Y,i). Suatu pertambahan pada pendapatan akan mendorong investasi yang lebih besar, dimana tingkat bunga yang lebih tinggi akan menurunkan minat untuk investasi sebagaimana hal tersebut akan lebih mahal dibandingkan dengan meminjam uang. Walaupun jika suatu perusahaan lain memilih untuk menggunakan dananya sendiri untuk investasi, tingkat bunga menunjukkan suatu biaya kesempatan dari investasi dana tersebut daripada meminjamkan untuk mendapatkan bunga.

Contoh 3

Uang sejumlah Rp 5.000.000 diinvestasikan dengan bunga 8

tiap tahun, bertambah secara kontinu. Berapa jumlah uang itu sesudah 25 tahun?

Penyelesaian :

Ambil ^y(t) sebagai jumlah uang (modal tambah bunga) pada saat t. Maka laju pertambahan perubahan jumlah uang pada saat t diberikan oleh :