BAB III ITEM RESPONSE MODEL. Dalam penelitian di beberapa bidang studi seperti bidang psikologi dan

BAB III

ITEM RESPONSE MODEL

3.1 Pengantar

Dalam penelitian di beberapa bidang studi seperti bidang psikologi dan bidang pendidikan, peneliti biasanya tertarik untuk mengukur kemampuan seorang individu seperti intelegensia, kemampuan matematika, atau

kemampuan skolastik. Namun, kuantitas kemampuan seorang individu tidak dapat diukur secara langsung layaknya mengukur atribut fisik seperti berat atau tinggi badan.

Pengukuran dilakukan dengan menggunakan kuisioner atau tes. Untuk itu soal didalam tes harus dapat secara efektif dan akurat mengukur

kemampuan peserta tes. Untuk menganalisa baik atau tidaknya suatu soal dalam suatu alat tes dalam mengukur kemampuan para peserta tes

digunakan suatu metode yang dikenal dengan Item Response Model (IRM).

3.2 Konsep Dasar IRM

3.2.1 Latent Ability

Performa seorang peserta tes dalam menjawab suatu soal dipengaruhi oleh latent ability yang dimiliki peserta tes. Latent ability peserta tes

merupakan kemampuan peserta tes yang tidak dapat diukur secara

langsung. Dalam literatur mengenai IRM, latent ability dinotasikan dengan θ.

Dalam aplikasinya, latent ability merupakan pengetahuan yang dimiliki peserta tes terhadap soal yang ditanyakan. Latent ability diasumsikan kontinu dan berdimensi satu. Namun untuk tujuan praktis, nilai θ distandarisasi dengan jangkauan dibatasi antara -3 sampai 3. Karena

distandarisasi maka θ mempunyai mean 0 dan standar deviasi 1. Nilai mean nol menyatakan rata-rata kemampuan yang dimiliki peserta dalam tes

tersebut. Semakin besar θ , yaitu nilai θ>0, semakin tinggi kemampuan peserta tes. Semakin kecil θ, yaitu nilai θ<0, semakin rendah kemampuan peserta tes.

3.2.2 Karakteristik Soal

Soal-soal dalam tes memiliki dua karakteristik yaitu tingkat diskriminasi soal dan tingkat kesulitan soal. Tingkat diskriminasi soal, dinotasikan dengan

berbagai tingkat kemampuan. Sedangkan tingkat kesulitan soal, dinotasikan dengan b, menyatakan seberapa sulit soal tersebut.

3.2.3 Item Response Curve

Misalkan y adalah jawaban peserta tes atas suatu soal, jika jawaban benar dan jika jawaban salah. Diasumsikan probabilitas peserta menjawab benar suatu soal hanya dipengaruhi oleh kemampuan peserta (θ) dan karakteristik soal (a,b). Jika p adalah probabilitas jawaban benar, maka dapat dimodelkan

y=1 y=0

( ) ( )

Pr 1 , ,

p= Y = =F θ a b

)

dengan F adalah suatu fungsi dari kemampuan peserta tes dan karakteristik soal.

Dapat dimengerti bahwa probabilitas peserta menjawab soal dengan benar akan semakin besar jika kemampuan peserta semakin tinggi. Maka

dapat diasumsikan sebagai fungsi monoton tidak turun.

biasanya diasumsikan sebagai fungsi distribusi.

(

^{, ,}

F θ a b ^F

(

^{θ, ,a b}

)

Memplot probabilitas peserta menjawab benar suatu soal atas

kemampuan peserta tes akan menghasilkan plot seperti Gambar 1. Kurva ini disebut kurva item response (Item Response Curve / IRC). Bentuk Item Response Curve (IRC) menggambarkan bagaimana perubahan tingkat

kemampuan mengakibatkan perubahan dalam probabilitas menjawab benar suatu soal.

Gambar 1. Item response curve

Untuk melihat efek tingkat kesulitan soal dalam IRC akan ditunjukkan, dalam Gambar 2, plot IRC dari tiga soal berbeda dengan nilai parameter tingkat diskriminasi soal , a, yang sama dan tingkat kesulitan soal, b, yang berbeda.

Tk.kesulitan soal ... soal1 (b= −1) ___ soal2 (b=0) - - - soal3 (b=1)

Gambar 2. Item response curve dari tiga soal

Beberapa ciri dari IRC tersebut dapat diamati. Pertama, setiap IRC memiliki bentuk-S atau S-shaped, yang mana probabilitas jawaban benar digambar sebagai fungsi monoton tidak turun dari latent ability. Kedua, walaupun tiga IRC diatas memiliki bentuk yang sama, namun berbeda lokasinya. Pada Gambar 2, lokasi IRC merujuk pada parameter tingkat kesulitan soal. Nilai parameter tingkat kesulitan soal, b, didefinisikan sebagai nilai θ saat p=0,5.

Dari Gambar 2 diatas, probabilitas menjawab benar sama dengan 0,5 untuk soal 1 dicapai oleh peserta tes dengan latent ability θ1 yang lebih kecil dari θ2 dan θ3. Jadi dapat disimpulkan bahwa soal1 lebih mudah

dibandingkan soal2 dan soal3.

Untuk melihat efek tingkat diskriminasi soal dalam IRC akan

ditunjukkan, dalam Gambar 3, plot IRC dari tiga soal berbeda dengan nilai parameter tingkat diskriminasi soal, a, yang berbeda dan tingkat kesulitan soal, b, yang sama.

Tk.diskriminasi ... soal1 (a=0) ___ soal2 (a=1) - - - soal3 (a=2)

Gambar 3 Item response curve dari tiga soal dengan tingkat diskriminasi berbeda

Tiga soal dalam Gambar 3 memiliki slope yang berbeda. Slope

menyatakan tingkat diskriminasi soal. Slope menggambarkan seberapa cepat perubahan probabilitas menjawab benar terhadap latent abilitynya. Soal1 memiliki perubahan probabilitas menjawab benar terhadap latent ability yang lebih lambat dibanding dengan soal2 dan soal3. Maka soal1 kurang

mendiskriminasi dibanding soal2 dan soal3.

Parameter tingkat diskriminasi soal memiliki nilai lebih besar nol (yaitu ), artinya dengan tingkat kesulitan, b, yang sama maka peserta dengan latent ability, , yang lebih tinggi akan memiliki probabilitas menjawab benar suatu soal lebih besar dari peserta lainnya.

a>0

θ

3.3 Item Response Model Untuk Sejumlah Peserta Tes

3.3.1 Struktur Data

Misalkan terdapat n-peserta yang mengikuti suatu tes dengan k-soal.

Tiap soal memiliki format jawaban dikotomus yang dapat dikodekan 1 atau 0.

Maka data hasil tes dapat ditulis dalam bentuk matriks n k× dengan entri 1 dan 0. Baris pertama dari matriks menunjukkan jawaban-jawaban dari

kedua, dan seterusnya. Serupa dengan hal tersebut, kolom pertama matriks menunjukkan jawaban-jawaban peserta tes untuk soal pertama, kolom kedua menunjukkan jawaban-jawaban peserta tes untuk soal kedua, dan

seterusnya.

Misalkan adalah jawaban peserta tes ke-i untuk soal tes ke-j, maka data hasil tes dapat diberikan dalam bentuk sebagai berikut

yij

11 12 1k

21 22 2k

n1 n2 nk

soal 1 soal 2 soal k

y y y

peserta 1

y y y

peserta 2

y y y

peserta n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

LL L

M M M M

M

L

3.3.2 Asumsi Model

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, performa peserta tes ke-i dalam menjawab soal dipengaruhi oleh latent ability yang dimilikinya, , θ i 1, ,n_i = K .

Karena probabilitas seorang individu menjawab soal dengan benar diasumsikan hanya dipengaruhi oleh latent ability yang dimilikinya dan karakteristik soal pada tes, maka model probabilitas jawaban benar untuk peserta ke-i dan soal ke-j dapat didefinisikan sebagai berikut

^Pr

(

Yij =^{1 ;} θi^{, ,}a bj j

) (

=F aj iθ −bj

)

(3.1) dengan −∞ <θ_i < ∞ , 0<a_j < ∞, dan −∞ <b_j < ∞ .

Seperti sebelumnya, F a

(

j iθ −bj

)

menyatakan suatu fungsi distribusi yang diketahui dan aj dan bj adalah parameter diskriminasi soal dan kesulitan soal ke-j. Dalam skripsi ini, F a

(

j iθ −bj

)

diasumsikan suatu fungsi distribusi dari distribusi logistik standar. Berdasarkan distribusi Bernoulli, maka probabilitas jawaban y_ij dapat ditulis sebagai berikut

( ) ( ) (

¹

Pr Y_ij ⁼y_ij ; θ_i, ,a b_{j j} ⁼F a_{j i}θ ⁻b_j ^{yij ⎡}_⎣1⁻F a_{j i}θ ⁻b_j

)

^⎤_⎦^−yij (3.2) dengan atau 1. y_ij =0

Probabilitas yang diberikan dalam (3.1) menyatakan probabilitas seorang peserta tes menjawab dengan benar satu soal tes. Untuk menggabungkan jawaban seorang peserta terhadap keseluruhan soal, diperlukan suatu asumsi yaitu local independence. Sifat local independence pada IRM dapat diartikan sebagai kebebasan (independent) jawaban antar soal. Dalam kaitannya pada IRM, hal tersebut memiliki arti bahwa jawaban yang diberikan setiap peserta tes untuk suatu soal independen terhadap jawaban yang diberikannya untuk soal lainnya.

3.4 Estimasi Parameter Latent ability dan Karakteristik Soal

3.4.1 Fungsi Likelihood

Misalkan menyatakan jawaban biner dari peserta ke-i dengan latent ability untuk k soal, dan

1, 2, ,

i i ik

y y K y

θi a=

(

a1,K,a_k

)

dan

merupakan vektor dari parameter tingkat diskriminasi soal dan tingkat kesulitan soal. Dengan asumsi local independence, maka probabilitas peserta tes ke-i menjawab seluruh k-soal dalam tes dapat ditulis dalam bentuk

(

b1, ,b_k

)

=

b K

(

1 1

) (

1 1 1 1

) (

Pr Y_i =y_i ,K,Y_ik =y_ik ; , ,θ_i a b =Pr Y_i =y_i ; , ,θ_i a b × ×K Pr Y_ik =y_ik ; ,^θ_i a b_k, _k

)

( )

1

Pr ; , ,

k

ij ij i j j

j

Y y θ a b

=

=

∏

=

( ) ( )

¹

1

1 ^ij

k yij y

j i j j i j

j

F aθ b F aθ b ⁻

=

⎡ ⎤

=

∏

− ⎣ − − ⎦

Untuk menggabungkan jawaban dari seluruh peserta tes, diasumsikan bahwa jawaban antar peserta tes terhadap soal saling independen. Fungsi likelihood diperoleh sebagai hasil kali probabilitas jawaban dari seluruh n- peserta tes atas seluruh k-soal dalam tes, atau dapat ditulis

(

, ,

) (

, , ; 11 11, , _{nk nk} L θ a b =L θ a b Y =y KY ^=y

)

(

11 11

)

Pr Y y , ,Y_nk y_nk ; , ,

= = K = θ a b

(

11 11 1 1 1

) (

1 1

)

Pr Y y , ,Y_k y _k ; θ, , Pr Y_n y_n, ,Y_nk y_nk ; θ_n, ,

= = K = a b × ×K = K = a b

(

1 1

)

1

Pr , , ; , ,

n

i i ik ik i

i

Y y Y y θ

=

=

∏

= ^K = ^{a b}

(

1 1 1 1

) (

1

Pr ; , , Pr ; , ,

n

i i i ik ik i k k

i

Y y θ a b Y y θ a b

=

⎡ ⎤

=

∏

⎣ = × ×^K =

⁾

⎦

( )

1 1

Pr ; , ,

n k

ij ij i j j

i j

Y y θ a b

= =

⎡ ⎤

= ⎢ = ⎥

⎣ ⎦

∏ ∏

( ) ( ) ( )

¹

1 1

, , ^ij 1 ^ij

n k y y

j i j j i j

i j

L F aθ b F aθ ⁻

= =

⎡ b ⎤

=

∏∏

− ⎣ − − ⎦

θ a b (3.3)

Taksiran parameter dalam model didapat dengan mencari nilai parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood tersebut. Untuk itu diperlukan suatu metode penaksiran. Dalam skripsi ini metode penaksiran yang digunakan adalah metode penaksiran Joint Maximum Likelihood (Joint Maximum Likelihood Estimation / JMLE).

3.4.2 Joint Maximum Likelihood Estimation

Prinsip dari metode ini adalah mencari taksiran parameter (i=1,...,n), θ_i

a , dan j b (j=1,...,k) yang secara bersama memaksimumkan fungsi likelihood. _j Mencari nilai taksiran vektor parameter

(

^θ,a,b

)

^{, sebut}

(

^{θ,a,bˆ ˆ ˆ}

)

^{, yang}

memaksimumkan bentuk logaritma dari fungsi likelihood, ^{lnL θ,a,b}

( )

, sebut

(

l θ,a,b

)

, akan memberikan hasil yang sama dengan mencari nilai

( )

yang memaksimumkan fungsi likelihood,

ˆ ˆ ˆ θ,a,b

( )

L θ,a,b . Maka baik atau

dapat digunakan untuk mencari nilai

(

L θ,a,b

) )

(

l θ,a,b

(

^{θ,a,bˆ ˆ ˆ}

)

^.

( ) (

l θ,a,b = lnL θ,a,b

)

( ) ( )

¹

1 1

ln ^ij 1 ^ij

n k y y

j i j j i j

i j

F aθ b F aθ b ⁻

= =

⎡ ⎡ ⎤ ⎤

= ⎢⎣

∏∏

− ⎣ − − ⎦ ⎥⎦

1

1 1

ln ^ij 1 ^ij

n k y y

ij ij

i j

p p ⁻

= =

⎡ ⎤

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ − ⎦ ⎥

⎣

∏∏

⎦^{, dengan} pij =F a

(

j iθ −bj

)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

11 1

11 1

21 2

21 2

1 1

1 1

11 11 1 1

1 1

21 21 2 2

1 1

1 1

ln 1 1

1 1

1 1

k k

k k

n n

n nk

y y

y y

k k

y y

y y

k k

y y

y y

n n nk nk

p p p p

p p p p

p p p p

− −

− −

− −

= ⎡⎣ − × × −

− × × −

k

×

××

− × × − ⎤⎦

K

KKKKKKKKKKKKKKKKKK

K

(

¹¹¹¹

) ( ⁽

¹¹

⁾

^{1 11}

^{( )}

¹

)

ln⎡ p ^y p_nk^ynk 1 p ^−y 1 p_nk ^−ynk ⎤

= ⎢⎣ × ×K ⋅ − × × −K ⎥⎦

( )

¹¹

( )

11 1 1

11 11

ln⎡p ^y p_nk^ynk⎤ ln 1⎡ p ^−y 1 p_nk ^−ynk⎤

= ⎣ × ×K ⎦+ ⎣ − × × −K ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11ln 11 _nkln _nk 1 11 ln 1 11 1 _nk ln 1 _nk

y p y p y p y p

⎡ ⎤ ⎡

=⎣ +K+ ⎦ ⎣+ − − +K+ − − ⎤⎦

( ) ( ) ( )

{

y11ln p11 1 y11 ln 1 p11

} {

y_nkln

( ) (

p_nk 1 y_nk

) (

ln 1 p_nk

) }

= + − − +K+ + − −

( ) { ( ) ( ) ( )

1 1

, , ln 1 ln 1

n k

ij ij ij ij

i j

l y p y

= =

=

∑∑

+ −

θ a b ^−p

}

(3.4)

Secara langsung memaksimumkan fungsi likelihood pada persamaan 3.3 cukup sulit karena merupakan suatu bentuk perkalian. Akan lebih mudah memaksimumkan

(

^{, ,}

L θ a b

)

(

^{, ,}

)

l θ a b yang merupakan suatu bentuk penjumlahan. Hal ini dikarenakan lebih mudah menurunkan bentuk penjumlahan daripada menurunkan bentuk perkalian.

Telah diberikan diatas bahwa probabilitas jawaban benar untuk peserta ke-i dan soal ke-j didefinisikan sebagai

( ) ( )

Pr 1 ; , ,

ij ij i j j j i j

p = Y = θ a b =F aθ − b

)

dimana , F a

(

j iθ −bj diasumsikan suatu fungsi distribusi dari distribusi logistik standar. Maka dapat ditulis

( )

(

( )

)

¹

1 1

1 1

j i j

j i j

j i j j i j

a b

a b

ij a b a b

p e e

e e

θ θ

θ θ

− −

− −

− − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎜⎝ + ⎟ ⎜⎟⎠=⎝ + ⎟⎠= +

dan probabilitas jawaban salah untuk peserta ke-i dan soal ke-j, dinotasikan dengan q_ij, diberikan sebagai berikut

1 1 1

1 1

j i j

j i j j i j

a b

ij ij a b a b

q p e

e e

θ

θ θ

−

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − =⎜⎜⎝ − + ⎟ ⎜⎟⎠=⎝ + ⎟⎠.

Turunan parsial pertama p_ij terhadap parameter aj, bj, dan θ adalah _i

( )

( )

²

^{( )} (

^{( )}

)

1 1 ^{aj i bj aj i bj}

ij

i j

p e e

a

θ θ

− θ

− − − −

∂ = − ⋅ + ⋅ − ⋅

∂

_{( )}

( )

( )

1

1 1

j i j

j i j j i j

a b

i a b a b

e

e e

θ

θ θ

θ ^⎛ _{− −} ^{⎞ ⎛}⎜ ⁻₋ ⁻₋ ^⎞⎟

= ⋅⎜⎝ + ⎟ ⎜⎠ ⎝⋅ + ⎟⎠

¹_{( )} ¹ 1 ^{j i j} 1 ^{j i j}

i e a^θ b ea^θ b

θ ^⎛ _{− −} ^{⎞ ⎛} ₋ ^⎞

= ⋅⎜⎝ + ⎟ ⎜⎠⋅⎝ + ⎟⎠

ij

i ij i

j

p

p qj

a θ

∂ = ⋅ ⋅

∂ (3.5)

( )

( )

²

(

^{( )}

)

1 1 ^{aj i bj aj i bj}

ij

j

p e e

b

θ ⁻ θ

− − − −

∂ = − ⋅ + ⋅

∂

_{( )}

( )

( )

1 1

1 1

j i j

j i j j i j

a b

a b a b

e

e e

θ

θ θ

− −

− − − −

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= − ⋅⎜⎝ + ⎟ ⎜⎠ ⎝⋅ + ⎟⎠

ij

ij ij

j

p p q

b

∂ = − ⋅

∂ (3.6)

( )

( )

²

^{( )} (

^{( )}

)

1 1 ^{aj i bj aj i bj}

ij

j i

p e ^θ a e ^θ

θ

− − − − −

∂ = − ⋅ + ⋅ − ⋅

∂

_{( )}

( )

( )

1

1 1

j i j

j i j j i j

a b

j a b a b

a e

e e

θ

θ θ

− −

− − − −

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⋅⎜⎝ + ⎟ ⎜⎠ ⎝⋅ + ⎟⎠

¹_{( )} ¹

1 ^{j i j} 1 ^{j i j}

j a b a b

a e^{− θ−} e ^θ−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅⎜⎝ + ⎟ ⎜⎠⋅⎝ + ⎟⎠

ij

j ij ij

i

p a p q

θ

∂ = ⋅ ⋅

∂ (3.7) Taksiran Joint Maximum Likelihood (JML) dari parameter , θ_i a , dan _j

b , diperoleh dengan mendeferensiasi secara parsial fungsi j ^{l θ,a,b}

( )

terhadap parameter , θ_i a , dan _j b kemudian disamakan dengan nol. Langkah _j ini akan menghasilkan n+2k persamaan.

Dengan memakai persamaan (3.5), (3.6), dan (3.7) diatas, maka turunan parsial pertama dari ^{l θ,a,b}

( )

^terhadap θ , i a , dan _j b adalah sebagai _j berikut:

( ) { ( ) ( ) ( ) }

1

, , ln 1 ln 1 , 1, ,

k

ij ij ij ij

i i j

l y p y p i

θ θ ₌

∂ = ∂ + − −

∂ ∂

∑

θ a b

= K n

{ ( ) ( ) ( ) }

1

ln 1 ln 1

k

ij ij ij ij

j i

y p y p

= θ

= ∂ + −

∑

∂ ⁻

( )

( ) ( )

1

1 1

1

k ij ij ij ij

j ij i ij i

y p

y p

p θ p θ

=

⎧ ∂ − ∂ − ⎫

⎪ ⎪

=

∑

⎨⎪⎩ ⋅ ∂ + − ⋅ ∂ ⎬⎪⎭

( ) ( ) ( )

1

1

k ij ij

j ij ij j ij ij

j ij ij

y y

a p q a p q

p q

=

⎧ − ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

∑

{ ( ) ( ) ( }

1

1

k

ij j ij ij j ij

j

y a q y a p

=

=

∑

⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅

)

{ ( ) }

1

1

k

ij j ij j ij ij j ij

j

y a p a p y a p

=

=

∑

⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅

{ }

1 k

ij j j ij

j

y a a p

=

=

∑

⋅ − ⋅

{ }

1 k

j ij ij

j

a y p

=

=

∑

−

( )

1

, , 0 , 1, ,

1

j i j

j i j

a b

k

j ij a b

i j

l e

a y i n

e

θ

θ θ

−

= −

⎧ ⎛ ⎞⎫

∂ ∂^{θ a b} =

∑

⎪⎨⎪⎩ −⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⎪⎬⎪⎭= = K (3.8)

( ) { ( ) ( ) ( ) }

1

, , ln 1 ln 1 , 1, ,

n

ij ij ij ij

j j i

l y p y p j

a a ₌

∂ = ∂ + − −

∂^{θ a b} ∂

∑

^{= K k}

{ ( ) ( ) ( ) }

1

ln 1 ln 1

n

ij ij ij ij

i j

y p y p

= a

= ∂ + −

∑

∂ ⁻

( )

( ) ( )

1

1 1

1

n ij ij ij ij

i ij j ij j

y p

y p

p a p a

=

⎧ ∂ − ∂ − ⎫

⎪ ⎪

=

∑

⎨⎪⎩ ⋅∂ + − ⋅ ∂ ⎬⎪⎭

( ) ( ) ( )

1

1

n ij ij

i ij ij i ij ij

i ij ij

y y

p q p q

p θ q θ

=

⎧ − ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

∑

( ) ( ) ( )

1

1

n ij ij

i ij ij i ij ij

i ij ij

y y

p q p q

p θ q θ

=

⎧ − ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

∑

{ }

1 n

ij i ij i ij ij i ij

i

y θ q θ p y θ p

=

=

∑

⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

{ ( ) }

1

1

n

ij i ij i ij ij i ij

i

y θ p θ p y θ

=

=

∑

⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅^p

{ }

1 n

ij i i ij

i

y θ θ p

=

=

∑

⋅ − ⋅

{ }

1 n

i ij ij

i

y p

θ

=

=

∑

−

( )

1

, , 0 , 1, ,

1

j i j

j i j

a b

n

i ij a b

j i

l e

a y e

θ

θ ⁻θ₋

=

⎧ ⎛ ⎞⎫

∂ ∂^{θ a b} =

∑

⎪⎨⎪⎩ −⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⎪⎬⎪⎭= ^j = ^K k (3.9)

dan

( ) { ( ) ( ) ( ) }

1

, , ln 1 ln 1 , 1, ,

n

ij ij ij ij

j j i

l y p y p j

b b =

∂ ∂

= + − −

∂ ∂

∑

θ a b

= K k

{ ( ) ( ) ( ) }

1

ln 1 ln 1

n

ij ij ij ij

i j

y p y p

= b

= ∂ + −

∑

∂ ⁻

( )

( ) ( )

1

1 1

1

n ij ij ij ij

i ij j ij j

y p

y p

p b p b

=

⎧ ∂ − ∂ − ⎫

⎪ ⎪

=

∑

⎨⎪⎩ ⋅∂ + − ⋅ ∂ ⎬⎪⎭

( ) ( ) ( )

1

1

n ij ij

ij ij ij ij

i ij ij

y y

p q p q

p q

=

⎧ − ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⋅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

∑

{ ( ) ( ) }

1

1

n

ij ij ij ij

i

y q y p

=

=

∑

⋅ − + − ⋅

{ ( ) ( ) }

1

1 1

n

ij ij ij ij

i

y p y p

=

=

∑

⋅ − + − ⋅

{ }

1 n

ij ij

i

p y

=

=

∑

−

( )

1

, , 0 , 1, ,

1

j i j

j i j

a b

n

a b ij j i

l e

y j

b e

θ θ

−

= −

⎧⎛ ⎞ ⎫

∂ ∂^{θ a b} =

∑

⎪⎨⎪⎩⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠− ⎪⎬⎪⎭= ^{= K k} (3.10)

Persamaan (3.8), (3.9), dan (3.10) disebut persamaan likelihood.

Ketiga persamaan likelihood tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk vektor, yaitu:

( ) ( ) ( )

{ }

{ }

{ }

1

1

1

, , 0

0 0 ,

k

j ij ij

i j

n

i ij ij

j i

n

ij ij

j i

l a y p

l y p

a

l p y

b θ

θ

=

=

=

⎡∂ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ∂ ⎥ ⎢ − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤

⎢ ∂ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ =⎢ − ⎥ ⎢ ⎥=

⎢ ∂ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ∂ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎢ ∂ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

∑

∑

∑

θ ξ

θ ξ 0

θ ξ

= (3.11)

dengan θ=

(

θ1,K,θ_n

)

dan ξ =

(

ξ1,K,ξ_k

)

, ξj =

(

a bj, j

)

, j= K menyatakan 1, ,k vektor dari parameter-parameter yang tidak diketahui.

Sedangkan turunan parsial kedua dari ^{l θ,ξ}

( )

^terhadap θi^, a , dan _j b _j adalah sebagai berikut:

( ) ( )

2

2 , 1, ,

i i i

l l

i n

θ θ θ

⎛ ⎞

∂ ∂θ,ξ = ∂∂ ⎜⎝∂ ∂θ,ξ ⎟⎠ = K

{ }

1 k

j ij ij

i j

a y p θ ₌

⎛ ⎞

= ∂ ⎜ − ⎟

∂ ⎝

∑

⎠

( )

1 k

j ij j ij

j i

a y a p

= θ

= ∂ −

∑

∂

1

k ij

j

j i

a p

= θ

⎛∂ ⎞

=

∑

− ⎜⎝∂ ⎟⎠

( )

1 k

j j ij ij

j

a a p q

=

=

∑

− ⋅ ⋅

( )

2

2 2

1

, , 1, ,

k

j ij ij

i j

l a p q i n

θ ₌

∂ = − ⋅ ⋅ =

∂ ^{θ ξ}

∑

K (3.12)

( ) ( )

2

2 , 1, ,

j j j

l l

j k

a a a

⎛ ⎞

∂ ∂θ,ξ = ∂∂ ⎜⎜⎝∂ ∂θ,ξ ⎟⎟⎠ = K

{ }

1 n

i ij ij

j i

y p

a θ

=

∂ ⎛ ⎞

= ∂ ⎝⎜

∑

− ⎟⎠

( )

1 n

i ij i ij

i j

y p

a θ θ

=

= ∂ −

∑

∂

1

n ij

i

i j

p θ a

=

⎛∂ ⎞

=

∑

− ⎜⎜⎝∂ ⎟⎟⎠

( )

1 n

i i ij ij

i

θ θ p q

=

=

∑

− ⋅ ⋅

²

1 n

i ij

i θ p qij

=

=

∑

− ⋅ ⋅

( )

2

2 2

1

, 1

, 1, ,

1 1

j i j

j i j j i j

a b

n

i a b a b

j i

l e

j k

a e e

θ

θ θ

θ ⁻_{− −}

=

⎛ ⎞

∂∂ ^{θ ξ} = −

∑

⋅⎜⎜⎝ + ⎟ ⎜⎟⎠⋅⎛⎝ + ⎞⎟⎠ = K (3.13)

( ) ( )

2

, 1, ,

j j j j

l l

j k

b a b a

⎛ ⎞

∂ ∂ ∂

= ⎜⎜ ⎟⎟ =

∂ ∂θ,ξ ∂ ⎝ ∂θ,ξ ⎠ K

{ }

1 n

i ij ij

j i

y p

b θ

=

∂ ⎛ ⎞

= ∂ ⎝⎜

∑

− ⎟⎠

( )

1 n

i ij i ij

i j

y p

b θ θ

=

= ∂ −

∑

∂

1

n ij

i

i j

p θ b

=

⎛∂ ⎞

=

∑

− ⎜⎜⎝∂ ⎟⎟⎠

( )

1 n

i ij ij

i

θ p q

=

=

∑

− − ⋅

1 n

i ij ij

i

θ p q

=

=

∑

⋅ ⋅

( )

2

1

1 , 1, ,

1 1

j i j

j i j j i j

a b

n

i a b a b

j j i

l e

j k

b a e e

θ

θ θ

θ ⁻ _{− −}

=

⎛ ⎞

∂∂ ∂^θ,ξ =

∑

⋅⎜⎜⎝ + ⎟ ⎜⎟⎠⋅⎛⎝ + ⎞⎟⎠ = ^K (3.14)

( ) ( )

2

, 1, ,

j j j j

l l

j k

a b a b

⎛ ⎞

∂ ∂ ∂

= ⎜⎜ ⎟⎟ =

∂ ∂θ,ξ ∂ ⎝ ∂θ,ξ ⎠ K

{ }

1 n

ij ij

j i

p y

a ₌

∂ ⎛ ⎞

= ∂ ⎝⎜

∑

− ⎟⎠

( )

1 n

ij ij

i j

p y

= a

= ∂ −

∑

∂

1

n ij

i j

p

= a

= ∂

∑

∂

1 n

i ij ij

i

θ p q

=

=

∑

⋅ ⋅

( )

2

1

1 , 1, ,

1 1

j i j

j i j j i j

a b

n

i a b a b

j j i

l e

j k

a b e e

θ

θ θ

θ ⁻ _{− −}

=

⎛ ⎞

∂∂ ∂^θ,ξ =

∑

⋅⎜⎜⎝ + ⎟ ⎜⎟⎠⋅⎛⎝ + ⎞⎟⎠ = ^K (3.15)

dan

( ) ( )

2

2 , 1, ,

j j j

l l

j k

b b b

⎛ ⎞

∂ ∂θ,ξ = ∂∂ ⎜⎜⎝∂ ∂θ,ξ ⎟⎟⎠ = K

{ }

1 n

ij ij

j i

p y

b ₌

∂ ⎛ ⎞

= ∂ ⎝⎜

∑

− ⎟⎠

( )

1 n

ij ij

i j

p y

= b

= ∂ −

∑

∂

1

n ij

i j

p

= b

= ∂

∑

∂

1 n

ij ij

i

p q

=

=

∑

− ⋅

( )

2 2

1

1 , 1, ,

1 1

j i j

j i j j i j

a b

n

a b a b

j i

l e

j k

b e e

θ

θ θ

−

− −

=

⎛ ⎞

∂ ∂^θ,ξ = −

∑

⎜⎜⎝ + ⎟ ⎜⎟⎠⋅⎛⎝ + ⎞⎟⎠ = ^K (3.16)

Matriks turunan kedua dari ^{l θ,ξ}

( )

^terhadap a , dan j b disebut juga _j matriks Hessian, menjadi:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

j j j j

j j j j

a a b a

a b b b

H H

H H

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢⎣ ⎥⎦

θ,ξ θ,ξ

H θ,ξ

θ,ξ θ,ξ

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

2 2

2

j j

j j j

l l

a b a

l l

a b b

⎡∂ ∂ ⎤

⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢⎢∂ ∂ ⎥⎥

⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥

⎣ ⎦

θ,ξ θ,ξ

θ,ξ θ,ξ

j

2

1 1

1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

j i j j i j

j i j j i j j i j j i j

j i j j i j

j i j j i j j i j j i j

a b a b

n n

i a b a b i a b a b

i i

a b a b

n

i a b a b a b a b

i

e e

e e e e

e e

e e e e

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

θ

− −

− − − −

= =

− −

− − − −

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⋅⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⋅⎜⎝ + ⎟⎠ ⋅⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⋅⎜⎝ + ⎟⎠

= ⋅⎛⎜⎜⎝ + ⎞⎟⎟⎠⋅⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ − ⎛⎜⎜⎝ + ⎞⎟⎟⎠⋅⎛⎝ +

∑ ∑

∑

1

n

i=

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎞ ⎥

⎜ ⎟

⎢ ⎠ ⎥

⎣

∑

⎦

(3.17)

Karena persamaan (3.8), (3.9), dan (3.10) tidak linear dalam θ_i, a , _j

dan b (i 1_j = K, ,n ; j= K ) maka untuk mencari taksiran 1, ,k θ^ˆi, ˆa , dan ˆ_j b _j digunakan suatu metode numerik. Salah satu metode numerik yang dapat digunakan adalah metode Newton Raphson.

Dalam IRM, penggunaan metode Newton Raphson untuk

mendapatkan taksiran θ^ˆ_i, ˆa , dan ˆ_j b dilakukan dengan metode Newton _j Raphson dua tahap:

1. Tahap pertama

a. Pilih taksiran awal dari parameter soal ξ , yaitu , dan anggap parameter soal tersebut diketahui.

( )

(0) (0) (0)

= ,

ξ a b

b. Pilih taksiran awal dari θ_i yaitu ˆ^{( )0}

θi , i=1,...,n.

c. Tentukan taksiran dari θ_i pada iterasi ke - m+1 (m=0,1,...), yaitu ˆ^{(m 1)} θi ⁺ , secara iteratif menggunakan formula:

^{( ) ( )}

( )

( )

( )

( )

1

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

m

m m i

i i m

i

f f θ θ θ

θ

+ ′

= −

′′ (3.18)

dengan:

ˆ( )^m

θi adalah taksiran dari θ_i (i=1,...,n) , pada iterasi ke – m

(

^ˆi( )^m

f′ θ

)

adalah fungsi turunan parsial pertama dari ^{l θ,ξ}

( )

^terhadap

θ_i (i=1,...,n) , dengan parameter ^{ξ(0) =}

(

^a(0),b(0)

)

^dan

dihitung pada θ_i= ˆ^{( )m} θi

(

^ˆi( )^m

f′′ θ

)

adalah fungsi turunan parsial kedua dari ^{l θ,ξ}

( )

^terhadap

θ_i (i=1,...,n) , dengan parameter ^{ξ(0) =}

(

^a(0),b(0)

)

^dan

θ θ^{ˆ( )m}

d. Hentikan proses iterasi jika ˆ^{(m 1)} ˆ_i^{( )m}

θi ⁺ ≈θ (misalkan

( 1) ( ) 5

ˆ_i ^m ˆ_i ^m 10

θ ⁺ −θ < ⁻ ), kemudian ambil ˆ^{(m 1)}

θi ⁺ sebagai taksiran θ^ˆ_i. e. Lakukan langkah ke - b sampai langkah ke – d untuk i=1,...,n

sedemikian sehingga didapat taksiran ^θˆ=

(

^{θˆ1,K,θˆn}

)

2. Tahap kedua

a. Gunakan taksiran ^θˆ=

(

^{θˆ1,K,θˆn}

)

yang didapat pada tahap pertama dan anggap parameter latent ability tersebut diketahui.

b. Ambil nilai awal dari ^{ξˆj( )0 =}

(

^{aˆj(0),bˆj(0)}

)

^{, j}= K yang digunakan pada ^{1, ,k}

tahap pertama sebagai taksiran awal dari ^{ξj =}

(

^{a bj, j}

)

^{, j= K 1, ,k}

c. Tentukan taksiran dari ξ pada iterasi ke – m+1 (m=0,1,...), yaitu _j ˆ^{(m 1)}

j

ξ +

secara iteratif menggunakan formula:

ξ^{ˆj(m+1) =}ξ^{ˆj( )m −}

{

H^⎡⎣ξ^{ˆj( )m ⎤}⎦

}

⁻¹f^′⎡⎣ξ^{ˆj( )m ⎤}⎦ (3.19) dengan:

ˆ( )^m

ξj adalah taksiran dari x pada iterasi ke – m, _j ˆ( )^m

⎡ j

′ ⎣ f ξ ⎤

⎦ adalah vektor turunan parsial pertama dari ^{l θ,ξ}

( )

terhadap aj

dan bj untuk ^{θ θ= =ˆ}

(

^{θˆ1,K,θˆn}

)

dihitung pada ˆ^{( )m} ,

j = j

ξ ξ

ˆ( )^m

⎡⎣ H ξ ⎤

⎦ adalah matriks turunan parsial kedua dari ^{l θ,ξ}

( )

terhadap a,