TEKNIK MEREDUKSI DOMAIN DALAM PEMECAHAN MASALAH MIXED INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING NONKONVEKS

TEKNIK MEREDUKSI DOMAIN DALAM PEMECAHAN MASALAH MIXED INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING NONKONVEKS. TESIS. Oleh DIAN GERHANA PANE 167021043/MT. PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2018. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

TEKNIK MEREDUKSI DOMAIN DALAM PEMECAHAN MASALAH MIXED INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING NONKONVEKS. TESIS. Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Oleh DIAN GERHANA PANE 167021043/MT. PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2018. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

3. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

Telah diuji pada Tanggal : 13 Desember 2018. PANITIA PENGUJI TESIS Ketua. :. Prof. Dr. Herman Mawengkang. Anggota. :. 1. Prof. Dr. Muhammad Zarlis 2. Dr. Sawaluddin, M.IT 3. Dr. Mardiningsih, M.Si. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

PERNYATAAN ORISINALITAS. TEKNIK MEREDUKSI DOMAIN DALAM PEMECAHAN MASALAH MIXED INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING NON- KONVEKS. TESIS. Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya. Medan, Penulis, Dian Gerhana Pane. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS. Sebagai sivitas akademika Universitas Sumatera Utara, Saya yang bertanda tangan di bawah ini:. Nama. : Dian Gerhana Pane. NIM. : 167021043. Program Studi. : Matematika. Jenis Karya Ilmiah : Tesis. Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Sumatera Utara Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif (Non-Exclusive Royalty Free Right) atas tesis saya yang berjudul: Teknik Mereduksi Domain Dalam Pemecahan Masalah Mixed Integer Nonlinear Programming Non- Konveks Beserta perangkat yang ada. Dengan Hak Bebas Royalti NonEksklusif ini, Universitas Sumatera Utara berhak menyimpan, mengalih media, memformat mengelola dalam bentuk data-base, merawat dan mempublikasikan Tesis saya tanpa meminta izin dari saya selama mencantumkan nama saya sebagai pemegang dan atau sebagai penulis dan sebagai pemilik hak cipta. Demikian pernyataan ini dibuat dengan sebenarnya. Medan, Penulis, Dian Gerhana Pane. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

TEKNIK MEREDUKSI DOMAIN DALAM PEMECAHAN MASALAH MIXED INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING NON- KONVEKS. ABSTRAK Masalah Mixed Integer Nonlinier Programming (MINLP) dicirikan dengan kesulitannya untuk mendapatkan solusi optimal global. Teknik Reduksi Domain (DRT) sangat penting dalam mempercepat konvergensi untuk menemukan solusi optimal global pada masalah optimisasi Nonlinier Programming (NLP) dan Mixed Integer Nonlinier Programming (MINLP). Makalah ini meninjau DRT berdasarkan metode branch and bound. Kata kunci : Pemrograman nonlinier, pemrograman Integer, Reduksi domain, Konvergensi.. i. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

DOMAIN REDUCTION TECHNIQUE IN SOLVING NON- CONVEX MIXED INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING PROBLEM. ABSTRACT A Mixed Integer Nonlinear Programming problem is characterized with its difficulties to obtain a global optimal solution. Domain Reduction Techniques (DRT) are especially important in speeding up convergence to find the global optimum for challenging non convex Nonlinear Programming (NLP) and Mixed Integer Nonlinear Programming (MINLP) optimization problems. This paper considers DRT based on branch and bound method.. Keyword : Nonlinear programming, Integer programming, Domain reduction, Convergence.. ii. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan berkah dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul TEKNIK MEREDUKSI DOMAIN DALAM PEMECAHAN MASALAH MIXED INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING NON- KONVEKS. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA), Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada: Prof. Dr. Runtung, S.H., M. Hum selaku Rektor Universitas Sumatera Utara. Dr. Kerista Sebayang, M.S. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara (FMIPA USU). Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU. Dr. Sawaluddin, M.IT selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembanding I penulis yang telah banyak memberi arahan, bimbingan dalam bentuk saran dan kritik, dan juga motivasi kepada penulis dalam pengerjaan tesis ini. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Pembimbing I penulis yang telah banyak memberi arahan, kritik dan saran, serta dukungan yang luar biasa kepada penulis dalam pengerjaan tesis ini. Prof.. Dr.. Muhammad Zarlis selaku Pembimbing II penulis yang telah. banyak member arahan, kritik dan saran, serta dukungan yang luar biasa kepada penulis dalam pengerjaan tesis ini. Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembanding II penulis yang telah banyak memberi arahan, bimbingan dalam bentuk saran dan kritik, dan juga motivasi kepada penulis dalam pengerjaan tesis ini. iii. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

Seluruh Staf Pengajar di Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama masa perkuliahan. Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ayahanda tercinta Hery Sukanto Pane dan Ibunda Amrida dan keluarga besar yang telah memberikan dukungan secara moral dan materi kepada penulis. Seluruh keluarga besar penulis yaitu kakak-kakak saya Henny Fahrido, A.Md, Tri Wulandari, A.Md, Putri Herida Pane, S.H , Abangda Putra Perdana Pane, S.H, dan Adik-Adik saya Dyal Muhammad Pane, S.ST, Indah Idea Sri Madani Pane dan Sahabat Teristimewa Muhammad Syakban, S.P yang telah banyak memberikan dukungan dan Doa kepada penulis. Tak lupa pula penulis mengucapkan Terimakasih Seluruh rekan-rekan Mahasiswa angkatan 2016 Genap Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara. Semoga tesis ini dapat memberi sumbangan yang berharga bagi perkembangan dunia Ilmu dan bermanfaat bagi orang banyak. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa senantiasa member rahmat dan hidayahNya kepada kita semua. Amin.. iv. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih. Medan, Penulis,. Dian Gerhana Pane. v. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

RIWAYAT HIDUP Dian Gerhana Pane dilahirkan di Kota Tanjungbalai pada tanggal 28 April 1993 dari pasangan Bapak Herry Sukanto Pane dan Ibu Amrida. Penulis menamatkan pendidikan di SD Negeri 132406 (5) Tanjungbalai dan lulus tahun 2005 kemudian melanjutkan pendidikan ke SMP Negeri 10 Tanjungbalai dan lulus tahun 2008 kemudian melanjutkan pendidikan ke SMA Negeri 8 Medan dan lulus tahun 2011 kemudian ditahun 2011 penulis memasuki Universitas Negeri Medan, Program Studi Matematika dan lulus Strata Satu (S-1) tahun 2015. Pada tahun 2016 penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.. vi. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK. i. ABSTRACT. ii. KATA PENGANTAR. iii. RIWAYAT HIDUP. vi. DAFTAR ISI. vii. BAB 1 PENDAHULUAN. 1. 1.1 Latar Belakang. 1. 1.2 Perumusan Masalah. 3. 1.3 Tujuan Penelitian. 3. 1.4 Manfaat Penelitian. 3. BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA. 4. 2.1 Program linier. 4. 2.1.1 Dualitas. 6. 2.1.2 Metode simplek. 6. 2.2 Program Integer Linier. 8. 2.3 Program Taklinier. 9. 2.4 Program Taklinier Integer. 10. 2.5 Mixed Integer Nonlinier Programming (MINLP). 12. 2.6 Pendekatan Branch and Bound (B&B). 13. BAB 3 MODEL PEMECAHAN MASALAH. 17. 3.1 Mixed Integer Nonlinear Programming (MINLP). 17. 3.2 Model Pemecahan Nonlinier Programming (NLP). 17. vii. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

3.3 Model Pemecahan Optimasi (Presolving Optimization). 18. BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN. 21. 4.1 Model Persoalan. 21. 4.2 Metode Reduksi Domain. 22. 4.3 Aritmatika Interval. 22. 4.4 Reduksi Domain yang Tidak Layak. 24. BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN. 25. 5.1 Kesimpulan. 25. 5.2 Saran. 25. DAFTAR PUSTAKA. 26. viii. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Optimasi adalah kegiatan utama dalam disiplin teknik apa pun. Khususnya dalam Metode optimisasi global merupakan suatu metode untuk memecahkan masalah non- Konveks, yang sering muncul dalam teknik kimia dan algoritma deterministik seperti Branch and Bound untuk solusi optimalitas yang teridentifikasi. Namun, proses terburuk dari algoritma ini untuk masalah eksponensial dimensi. (Wechsung, 2014) Masalah optimasi nonlinear dalam dimensi yang terbatas yang berisi variabel diskrit dan kontinu yang disebut Mixed Integer Nonlinear Programming (MINLP). Masalah tersebut muncul dalam berbagai bidang, seperti produksi energi dan distribusi, logistik, desain teknik, pabrik, dan ilmu kimia dan biologi. Pemecah State of the art untuk MINLP memanfaatkan berbagai teknik algoritma dan kinerja komputasi dari pemecah krusial tergantung pada konstiten tunggal dan masalah interaksi timbal balik. MINLP adalah representasi yang sangat umum untuk masalah Optimisasi dan termasuk pemrograman linear (LP), mixed integer linear programming (MILP) dan nonconvex pemrograman nonlinier (NLP) di sub kelas. Pemodelan melalui fungsi objektif non-konveks atau batasan yang diperlukan untuk berbagai aplikasi-aplikasi yang praktis. Selain dari kompleksitas kombinatorial yang diperkenalkan oleh variabel integer, non konveks dalam fungsi objektif atau wilayah yang layak untuk beberapa minimal lokal dan memberikan tantangan untuk masalah optimisasi tersebut.. 1. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

2 Mixed Integer Non Linier Programming (MINLP) dapat dinyatakan sebagai berikut :  min f (x, y)   s.t g(x, y) ≤ 0 P =   x ∈ X ∩ Zn , y ∈ Y. (1.1) (1.2) (1.3). Dimana X dan Y adalah polyhedral subset dari Rn dan Rp berturut - turut dan x adalah terbatas (bounded) fungsi f : X × Y ⇒ R dan g : X × Y ⇒ Rm adalah kontinu dengan terdiferensiasi dua kali. Ketika f dan g adalah fungsi konveks, P dikatakan konveks. Dan Jika f dan g adalah fungsi non- Konveks, P dikatakan Non- Konveks. Vigerske dan Gleixner (2017) menggambarkan ekstensi yang menambahkan kendala pada pemrograman integer framework SCIP untuk menyelesaikan Mixed Integer Nonlinear Programming konveks dan non konveks (MINLPs) pada global optimisasi. SCIP mengimplementasikan algoritma branch and bound spasial berdasarkan pendekatan linear Outer Approximation, yang dihitung dengan konveks dan underestimasi fungsi non konveks. Sebuah representasi graph ekspresi dari kendala nonlinier memperhitungkan untuk pengetatan batasan, analisis struktur, dan reformulasi. Heuristik Primal digunakan sepanjang proses pemecahan untuk menemukan solusi yang layak. Dan memberikan wawasan dalam dampak kinerja komponen pemecah tunggal pada MINLP melalui komputasi serangkaian tes yang besar dan heterogen. Puranik dan Sahinidis (2017) melakukan penelitian untuk pemilihan optimasi secara rutin menggunakan teknik presolve, termasuk model penyederhanaan, reformulasi dan teknik reduksi domain. Teknik reduksi domain sangat penting dalam mempercepat konvergensi pada optimal global optimal untuk menantang masalah optimisasi nonconvex nonlinear programming (NLP) dan mixed integer nonlinier programming (MINLP). Mereka juga menyajikan analisis komputasional dari dampak teknik-teknik ini pada kinerja untuk berbagai pemecahan masalah global yang tersedia secara luas pada sebuah koleksi dari 1740 tes masalah.. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

3 Berbagai macam masalah yang timbul dalam aplikasi praktis dapat diformulasikan sebagai Mixed Integer Nonlinier Programming (MINLP). Untuk kasus di mana fungsi objektif dan kendala Konveks, beberapa algoritma dan heuristik yang efektif tersedia cukup pasti. Namun, ketika tidak ada konveksitas, ada hal-hal menjadi jauh lebih sulit, sejak itu bahkan relaksasi berkelanjutan adalah masalah optimisasi global. (Burer dan Letchford, 2012) meneliti literatur tentang Mixed Integer Nonlinear Programming (MINLP) Non- Konveks dan membahas aplikasi, algoritma, dan perangkat lunak. Literatur tersebut khusus membahas kasus dimana fungsi objektif dan kendala bersifat kuadratik.. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan Latar Belakang diatas, penelitian ini akan membahas teknik mereduksi domain untuk pemecahan Mixed Integer Nonlinear Programming (MINLP) non- Konveks dengan pendekatan Branch and Bound. Teknik mereduksi domain ini merupakan komponen utama untuk solusi metode masalah kelayakan dari ruang pencarian.. 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah memperoleh teknik mereduksi domain pemecahan masalah Mixed Integer Nonlinier Programming (MINLP) Non- Konveks dan mempercepat konvergensi untuk memperoleh penyelesaian masalah optimisasi Nonlinier Programming (NLP) dan Mixed Integer Nonlinier Programming (MINLP).. 1.4 Manfaat Penelitian Masalah Global Optimisasi Mixed Integer Nonlinier Programming (MINLP) telah banyak diteliti dalam berbagai bidang dan metode. Adanya penelitian ini agar dapat memberikan wawasan dan literatur bagi pembaca khususnya pada teknik mereduksi domain dalam penyelesaian masalah Mixed Integer Nonlinier Programming (MINLP) Non- Konveks. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Program linier Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif linier, dengan subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan pertidaksamaan. Program linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik (contoh: memaksimumkan laba, mengurangi biaya, dan lain-lain) dengan memberikan beberapa daftar kendala (contoh : hanya bekerja 30 jam/minggu, tidak melakukan hal yang illegal, dan lain-lain) menggunakan model matematika linier. Contoh lainnya ada pada polytope (contoh : polygon dan polyhedral) dan nilai real fungsi affine f(x1, x2 , . . . , xn ) = a1x1 + a2 x2 + a3 x3 + bI. (2.1). didefinisikan pada polytope, tujuannya adalah menemukan titik pada polytope dimana fungsinya mempunyai nilai terkecil atau terbesar. Mungkin titik tidak ada, tapi jika dicari sepanjang titik polytope maka digaransi menemukan paling sedikit satu darinya. Program linier adalah problema yang dapat diekspresikan dalam bentuk kanonik: max cT x. (2.2). Ax ≤ b. (2.3). dengan kendala. dimana x ≥ 0, x direpresentasikan variabel vektor, c dan b adalah koefisien vektor dan A adalah koefisien dari Ax. Ekspresi untuk memaksimumkan atau meminimumkan disebut fungsi objektif (cT x). Pertidaksamaan Ax ≤ b adalah fungsi kendala yang khususnya polyhedral konveks yang fungsi objektifnya dioptimisasi. 4. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

5 Problema dari sistem penyelesaian persamaan linier muncul setelah eliminasi Fourier-Motzkin. Program linier muncul sebagai model matematika yang dibangun selama Perang Dunia ke-II untuk merencanakan pengeluaran dan pendapatan dalam mengurangi biaya untuk tentara dan meningkatkan kerugian dari musuh. Ini tetap menjadi rahasia sampai tahun 1947. Setelah perang berakhir banyak industri menemukan dan menggunakannya dalam perencanaannya. Penemu dari program linier adalah George yang memperkenalkan metode simplex tahun 1947, John Von Neumann yang membangun teori dualitas dan Leonid Kantorovich, matematika Rusia yang menggunakan teknik yang sama pada bidang ekonomi sebelum Dantzig dan memenangkan penghargaan Nobel tahun 1975 dalam bidang ekonomi. Contoh Dantzig dalam menemukan tugas terbaik dari 70 orang pada 70 pekerjaan menunjukkan kegunaan dari program linier.. Kekuatan perhitung. mengharuskan pengujian semua permutasi untuk memilih tugas yang terbaik; jumlah kongurasi yang mungkin melebihi jumlah partikel diseluruh bidang; kemudian menemukan solusi optimum dengan mengajukan problem ini dan pengaplikasian algoritma simpleks. Program linier merupakan salah satu teknik operasi riset yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. Problema khusus dari program seperti aliran jaringan (network flow) dan aliran multikomoditas dianggap cukup penting untuk dibangun dan diteliti algoritma yang khusus untuk solusinya. Terdapat sejumlah algoritma untuk problema optimisasi dalam penyelesaian program linier diantaranya adalah dualitas, dekomposisi, konveksitas dan generelisasinya. Demikian juga program linier ini juga sangat sering digunakan dalam micro ekonomi dan manajemen bisnis, yaitu memaksimumkan pendapatan atau meminimumkan biaya dari produksi. Contoh lainnya pada manajemen persediaan, portolio, manajemen keuangan, sumber daya manusia, dan merencanakan iklan perusahaan.. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

6 2.1.1 Dualitas Setiap program linier disukai sebagai problema primal, dapat dikonversi ke dalam problema dual yang menyediakan batas atas nilai optimal dari problema primal. Dalam bentuk matriks dapat diekspresikan sebagai berikut: max cT x. (2.4). Ax ≤ b, x ≥ 0. (2.5). dengan kendala. problema dual yang tepat adalah : min bT x. (2.6). AT y ≥ c, y ≥ 0. (2.7). dengan kendala. dimana y digunakan sebagai pengganti variabel vektor. Terdapat dua ide mendasar untuk teori dualitas. Salah satunya adalah dual dari program linier dual semula adalah program linier primal. Penambahannya adalah setiap solusi yang layak untuk program linier memberikan batas pada nilai optimal dari fungsi objektif dualitas. Kelemahan teorema dualitas bahwa nilai fungsi objektif dari dual pada solusi yang layak lebih baik atau sama dengan nilai fungsi objektif dari primal untuk solusi yang layak. Teorema dualitas yang kuat pada saat primal mempunyai solusi optimal x* maka dual juga mempunyai solusi optimal y* sehingga cT x* = bT y*. Program linier dapat juga tidak terbatas dan tidak layak. Teori dualitas mengatakan bahwa jika primal tidak terbatas maka dual tidak layak. Demikian juga jika dual tidak terbatas maka primal harus tidak layak. Atau mungkin juga untuk keduanya dual dan primal tidak layak. 2.1.2 Metode simplek Karena kesulitan menggambarkan grafik berdimensi banyak maka penyelesaian masalah program linier yang melibatkan lebih dari dua variabel menjadi tidak UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

7 praktis atau tidak mungkin. Dalam keadaan ini kebutuhan metode solusi yang lebih umum menjadi nyata. Metode umum ini dikenal dengan nama algoritma simplek yang dirancang untuk menyelesaikan seluruh masalah program linier, baik yang melibatkan dua variabel maupun lebih dua variabel. Penyelesaian masalah program linier menggunakan metode simplek ini melalui perhitungan ulang (iterasi) dimana langkah langkah perhitungan yang sama di ulang berkali-kali sebelum solusi optimum dicapai. Dalam penyelesaian masalah program linier dengan grafik, telah dinyatakan bahwa solusi optimum selalu terletak pada titik pojok ruang solusi. Metode simpleks didasarkan pada gagasan ini, dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Dimulai pada suatu titik pojok yang layak, biasanya titik asal (yang disebut sebagai solusi awal); 2. Bergerak dari suatu titik pojok layak ke titik pojok yang lain yang berdekatan, pergerakan ini akan menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih baik (meningkat untuk masalah maksimasi dan menurun untuk masalah minimasi). Jika solusi yang lebih baik telah diperoleh, prosedur simpleks dengan sendirinya akan menghilangkan semua solusi solusi lain yang kurang baik; 3. Proses ini dilakukan berulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik tak dapat ditemukan. Proses simpleks kemudian berhenti dan solusi optimum diperoleh. Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan memudahkan proses perhitungan simpleks. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simpleks adalah: 1. Berdasarkan pada bentuk baku, tentukan solusi awal, dengan menetapkan (n −m) variabel nonbasis sama dengan nol. Dimana n jumlah variabel dan m banyaknya kendala; UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

8 2. Pilih sebuah entering variabel diantara yang sedang menjadi variabel nonbasis, yang jika dinaikkan di atas nol dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Jika tak ada, berhenti berarti solusi sudah optimal. Jika tidak dilanjutkan ke langkah 1; 3. Pilih sebuah leaving variabel diantara yang sedang menjadi variabel basis yang harus menjadi nonbasis (nilainya menjadi nol) ketika entering variabel menjadi variabel basis; 4. Tentukan solusi yang baru dengan membuat entering variabel dan leaving variabel menjadi nonbasis. Kembali ke langkah 2.. 2.2 Program Integer Linier Jika variabel tak diketahui diharuskan integer maka problema ini disebut program integer atau program linier integer. Perbedaan dengan program linier adalah dapat diselesaikan lebih efesien pada kasus yang rumit. Problema program integer banyak terjadi pada situasi praktis (dengan variabel terbatas) NP hard. Program integer 0-1 adalah kasus yang khusus dari program integer dimana variabel diharuskan 0 atau 1. Masalah ini juga diklasifikasikan sebagai masalah yang sulit non polynomial. Jika hanya beberapa variabel tak diketahui diharuskan integer maka problema ini disebut program integer campuran. Hal ini juga merupakan masalah sulit non polynomial. Bagaimanapun terdapat beberapa subklas dari program integer dan program integer campuran bahwa dapat diselesaikan dengan efesien, khususnya masalah di mana matriks kendalanya unimodular dan sisi sebelah kanan dari kendala adalah integer. Program Integer adalah bentuk dari program linier dimana asumsi divisibilitasnya melemah atau hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena dalam kenyataaannya tidak semua variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan.. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

9 Asumsi divisibilitas melemah artinya sebagian dari nilai variabel keputusan harus berupa bilangan bulat (integer) dan sebagian lainnya boleh berupa bilangan pecahan. Persoalan program integer dimana hanya sebagian dari variabel keputusannya yang harus integer disebut sebagai persoalan mixed integer programming. Tetapi jika seluruh variabel keputusan dari suatu persoalan program linier harus berharga integer, maka persoalan tersebut disebut sebagai persoalan pure integer programming. Dalam hal ini asumsi divisibilitas dari program linier hilang sama sekali. Contoh: Maksimumkan z = 8x1 + 5x2 Kendala x1 + x2 ≤ 6 9x1 + 5x2 ≤ 45 x1, x2 ≥ 0, x2 integer Ada beberapa pendekatan solusi terhadap masalah program integer yaitu salah satu diantaranya adalah pendekatan dengan cutting plane. Terdapat dua metode untuk menghasilkan batasan-batasan khusus yang akan memaksa pemecahan optimum dari masalah program linier yang dilonggarkan untuk bergerak ke arah pemecahan integer yang diinginkan yaitu metode Bidang Pemotong (gomory cutting plane) dan metode Branch and Bound. Algoritma lanjutan untuk menyelesaikan program linier integer adalah:. a. Metode Cutting Plane b. Metode Branch and Bound c. Metode Branch and Cut d. Metode Branch and Price. 2.3 Program Taklinier Program Taklinier adalah proses dari penyelesaian sistem persamaan dan pertidaksamaan yang memiliki kendala. Himpunan dari variabel real yang tidak. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

10 diketahui sepanjang fungsi objektifnya memaksimumkan atau meminimumkan dengan beberapa kendala atau fungsi objektif disebut nonlinier. Problema ini dapat disederhanakan sebagai berikut : max / min f (x) untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dimana f : Rm → R dan X ⊆ Rm . Jika fungsi objektif f adalah linier dan ruang kendala adalah polytope, pro-blema ini adalah problema program linier yang dapat diselesaikan dengan meng-gunakan solusi program linier. Jika fungsi objektif adalah konkaf/konveks dan himpunan kendala adalah konveks maka metode yang umum dari optimisasi konveks dapat digunakan. Beberapa metode dalam penyelesaian problema non konveks. Salah satu pendekatannya menggunakan formula yang khusus dari problema program linier. Metode lain meliputi penggunaan teknik Branch and Bound dimana program ini dibagi dalam subklas untuk diselesaikan dengan aproksimasi linier dari batas bawah pada keseluruhan biaya sampai subdivisi. Dengan divisi berikut, beberapa titik solusi aktual akan diperoleh jika biaya sama atau lebih rendah dari batas bawah terbaik. Untuk solusi aproksimasi, solusi ini optimal meskipun tidak mungkin tunggal. Algoritma dapat berhenti cepat dengan jaminan bahwa solusi terbaik tidak lebih dari persentase tertentu yang lebih baik dari solusi yang ditemukan. Hal ini khususnya berguna bagi problema yang sulit dan luas. Dengan biaya atau nilai yang tak pasti dimana ketidakpastian tersebut dapat diestimasi dengan estimasi kelayakan yang tepat.. 2.4 Program Taklinier Integer Program taklinier integer pada hakikatnya adalah masalah yang sulit. Metode yang biasa untuk menyelesaikan program taklinier integer berdasarkan bermacam rangkaian linierisasi dari problema dan beberapa variasi pada strategi Branch and Bound. Bagaimanapun dibeberapa kasus kegunaan khusus dapat diambil dari struktur pada problema. Problema umum dari program taklinier integer. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

11 khususnya skala luas dikenal luas sebagai persoalan yang sangat sulit dan dapat diselesaikan dengan membangun rangkaian solusi untuk program linier yang beberapa pengertian aproksimasi pada program taklinier. Duran and Grossmann (1986) mengemukakan secara detail dari algoritma outer aproksimasi untuk menyelesaikan MINLP. Pendekatan meliputi konstruksi dan solusi dari rangkaian bolak balik pada master problem program linier dan subproblema pada program taklinier. Subproblema sekarang diselesaikan dengan variabel integer yang tetap dan master problema yang dibentuk dengan linierisasi fungsi pada solusi dari subproblema. Metode Duran dan Grossmann menggunakan prinsip dekomposisi untuk mengeksploitasi struktur problema yang diasumsikan pada bentuk berikut linier pada variabel integer dan konveks pada porsi taklinier dari fungsi objektif dan kendala. Bentuk umum dari kelas problema berikut ditulis : min cT y + f (x). (2.8). g(x) + By ≤ 0. (2.9). x ∈ X ⊆ Rn. (2.10). y ∈ U ⊆ Rm +. (2.11). dengan kendala. Fungsi taklinier f : Rn → R dan fungsi vektor g : Rn → Rp diharuskan diferensial kontinu dan konveks pada domain yang kompak. Seperti biasanya, domain U dari variabel integer diasumsikan pada himpunan diskrit yang berhingga. Linieritas dari variabel diskrit membolehkan karakteristik bebas dari ruang pencarian yang layak diskrit dan kontinu dari problema. Ruang kontinu diekspresikan sebagai irisan daerah konveks kompak dan berhingga, tiap-tiapnya diparametrik dengan nilai dari variabel diskrit. Outer Approksimasi dari himpunan konveks dengan irisan dari ruang bagian yang mendukung yang digunakan untuk mendefinisikan master program linier integer campuran. Penulis membandingkan metode dengan metode dekomposisi Benders yang tergeneralisasi dan sebagai catatan ke-. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

12 dua teknik ini cenderung menghasilkan batas bawah lebih baik pada nilai optimal fungsi objektif. Secara umum, kebanyakan tujuan dari penelitian pemograman matematika adalah untuk membentuk teori yang mengacu pembuatan algoritma untuk digu-nakan secara modern, komputasi digital kecepatan tinggi. Metode penelitian yang baik digunakan untuk menyelesaikan masalah Program taklinier dapat ditemukan dan digolongkan kedalam kategori-kategori berikut: 1. Teknik linierisasi; 2. Pendekatan Branch and Bound; 3. Teknik enumerasi implisit; 4. Pendekatan program dinamik 5. Metode-metode lainnya.. 2.5 Mixed Integer Nonlinier Programming (MINLP) Mixed Integer Nonlinier Programming dapat dinyatakan sebagai berikut: min z cT y + f (x). (2.12). h(x) ≤ 0. (2.13). g(x) + by ≤ 0. (2.14). x ∈ X ⊆ Rn+ , y ∈ Rn ⊆ Rn+. (2.15). dengan kendala. Kesavan et al., (2004) menggambarkan persoalan (P) dari kelas non-konveks MINLP dengan formulasi : min cT1 + f (x). (2.15). g1 (x) + B1y ≤ 0. (2.16). x,y. dengan kendala. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

13 g2 (x) + B2y ≤ 0. (2.18). x ∈ X ⊆ Rn. (2.17). y ∈ Y = {0, 1}q. (2.18). Dimana f : X → R dan g1 : X → Rp1 merupakan kontinu tetapi non-konveks dan g2 : X → Rp2 merupakan konveks tersusun dan kumpulan konveks didefinisikan X = {x : x ∈ Rn , D1 x ≤ c2 }, B1, B2 , D1 , dan c1 , c2 adalah matriks dan vector dengan dimensi bersesuaian. Metode metode untuk menyelesaikan MINLP termasuk pendekatan inovatif dan teknik terkait yang diperpanjang dari MIP antara lain adalah Outer Approximation (OA), Branch and Bound (B&B), Exended Cutting Plane (ECP), Generalized Banders Decomposition (GBD).. 2.6 Pendekatan Branch and Bound (B&B) Branch and Bound atau biasa disingkat dengan B&B merupakan metode pencarian solusi di dalam ruang solusi secara sistematis yang diimplementasikan ke dalam suatu pohon ruang status dinamis dan merupakan algoritma klasik untuk menyelesaikan MINLP. Branch and Bound untuk memecahkan pemrograman linier bilangan bulat (ILP) telah dikembangkan melalui Land dan Doig (1960). Metode, yang secara langsung dihubungkan dengan metode simpleks untuk pemograman linier (LP), kemudian dimodifikasi oleh Dakin (1965) dan telah dengan sukses menerapkan di dalam kitab undang-undang hukum dagang banyak orang untuk memecahkan permasalahan ILP. (Bonami et al., 2011). Metode Branch and Bound untuk persoalan MINLP merupakan relaksasi kontinu dari MINLP dengan relaksasi integral dari variabel y didapatkan pada persoalan nonlinear programming berikut (Bonami et al., 2011). (N LP ) min f(x, y). (2.19). UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

14 dengan kendala g(x, y) ≤ 0. (2.20). h(x, y) ≤ 0. (2.23). α≤y≤β. (2.21). x ∈ X ⊆ Rn , y ∈ conv(Y ). (2.22). dimana α dan β adalah batas bawah dan batas atas dari y. Asumsi 2.6.1 (i) X ⊆ Rn adalah himpunan konveks padat dan Y adalah himpunan integer terbatas; (ii) f dan gi (i = 1, . . . , q) adalah konveks dan fungsi turunan dari (x, y) dan hi (i = 1, . . . , l) adalah fungsi linier dari (x, y); (iii) Beberapa kualifikasi kendala dari NLP yang memenuhi . Asumsi 2.6.1 (i) - (iii) memastikan bahwa setiap solusi lokal (NLP) adalah solusi global dan solusi ini dapat di identifikasi dengan menerapkan kondisi KKT langsung. Asumsi 2.6.1 (iii) menerangkan bahwa solusi yang optimal dari subproblem layak dari NLP merupakan titik regular yaitu vektor gradien dari kendala linier. Cara Branch and Bound MINLP mirip dengan relaksasi lagrang. Subproblem berasal dari relaksasi integral dari integer variabel y dan menentukan batas bawah dan batas atas pada yj untuk setiap j. Prinsip metode ini sederhana meskipun demikian metode ini bermanfaat untuk menyelesaikan permasalahan optimisasi. Ketika dipertimbangkan dalam konteks lebih luas maka secara teoritis Branch and Bound (B&B) dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi apapun. Struktur metode yang logis sering diawali sebagai pohon. Masing-masing tangkai pohon menghadirkan suatu subproblem. Ketika subproblem atau tangkai pohon maka diselidiki subproblem yang dihasilkan dengan menghubungkan pada tangkai pohon dengan Branch. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

15 Strategi keputusan yang mampu meningkatkan kinerja dari B&B dengan memilih variabel cabang pada setiap node dan pilihan node berikutnya. B&B diperpanjang untuk MINLP konveks dengan cara yang sangat alami yaitu dengan relaksasi NLP secara terus menerus dari masalah yang diselesaikan pada setiap node. Gaputa dan Ravindran pada tahun 1985 melakukan ekstensi bertujuan untuk meningkatkan efesiensi B&B untuk MINLP dan telah banyak kemajuan dalam pemahaman B&B untuk metode MILP dan Metode MINLP (Bonami et al, 2011). Algoritma B&B terdiri dari tiga komponen : 1. Fungsi pembatas (bounding) Fungsi pembatas merupakan kunci dari algoritma B&B dalam arti bahwa fungsi pembatas yang berkualitas rendah tidak dapat dikompensasikan melalui pilihan yang baik dari pemilihan strategi dan pencabangan. Idealnya nilai dari fungsi pembatas yang diberikan pada Subproblem seharusnya sama dengan nilai solusi terbaik dari masalah. 2. Strategi seleksi Strategi untuk menyeleksi Subproblem aktif berikutnya untuk diperiksa biasanya menggambarkan pertukaran diantara menjaga nilai dari titik yang diperiksa dalam pohon pencarian tetap rendah. 3. Aturan pencabangan (branching) Seluruh aturan pencabangan dalam konteks Branch and Bound dapat terlihat sebagai subdivision dari bagian ruang pencarian melalui penambahan batasan, sering dalam bentuk penandaan nilai pada variabel. Pemusatan dari Branch and Bound dipastikan jika ukuran dari setiap Subproblem yang dihasilkan lebih kecil dari masalah awal, dan sejumlah kemungkinan solusi untuk masalah awal terbatas.. Langkah-langkah sebuah iterasi dari algoritma B&B:. 1. Hapus salah satu pembatas. Jika tidak ada pemabatas yang tersisa algoritma berakhir dan solusi telah ditemukan;. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

16 2. Hitung solusi optimal x* dari relaksasi yang terus menerus. Jika relaksasi tidak layak atau nilai optimal fungsi objektif tidak lebih kecil maka kembali ke langkah 1; / Z dengan membuat 3. Pilih variabel branch xj dengan 1 ≤ j ≥ p dan xj * ∈ relaksasi baru untuk relaksasi anak. Batas atas pada xj dipasang ke (xj *) dan untuk relaksasi lain batas bawah pada xj dipasang (xj *). Jika seba/ Z maka x* menemukan liknya tidak ada xj dengan 1 ≤ j ≥ p dan xj * ∈ daerah layak untuk MINLP dan menjadi solusi baru jika nilai objektif lebih kecil.. Pengakhiran kriteria untuk Branch and Bound:. 1. Subproblem tidak mempunyai penyelesaian layak; 2. Penyelesaian dari subproblem tidak lebih baik dari penyelesaian terbaik integer layak yang sebelumnya; 3. Penyelesaiannya adalah integer layak.. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

BAB 3 MODEL PEMECAHAN MASALAH. 3.1 Mixed Integer Nonlinear Programming (MINLP) Puranik dan Sahinidis (2017) menggambarkan persoalan Mixed Integer Nonlinear Programming (MINLP) dalam masalah global optimisasi sebagai berikut: −→ min f (x). (3.1). dengan kendala: −→ g (x) ≤ 0 (3.2) −→ → → − xu (3.3) xl ≤ (x) ≤ − −→ (x) ∈ Rn−m × Zm (3.4) −→ −→ − → dimana (→ xl ) adalah batas bawah dari (x) dan − xu adalah batas atas dari (x) 3.2 Model Pemecahan Nonlinier Programming (NLP) Sitopu et al., (2018) mempersentasekan masalah Nonlinier Programming dengan formulasi sebagai berikut ini: min F (x) = f (xN ) + cT x. (3.5). Ax = b. (3.6). l≤x≤u. (3.6). dimana A adalah m×n, m ≤ n, l adalah batas bawah dari x dan u batas atas dari x. Karena persamaan diatas dapat dipartisi, x dapat dipartisi kedalam bagian linier xL dan bagian nonlinier xN . Partisi dapat dituliskan sebagai berikut:   XL x= (3.8) XN dimana X L disebut variabel nonlinier. Perhatikan bahwa A dan c beroperasi pada semua variabel x, dalam kasus lain cT x melibatkan xN dapat digabungkan 17. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

18 pada f (xN ), dalam kasus lain c boleh jadi bernilai nol. Asumsikan bahwa fungsi f(xN ) terdiferensiasi terus menerus pada daerah layak. Dengan gradien sebagai berikut: ∇f (xN ) = g(xN ). (3.7). dan asumsikan bahwa f dan g dapat dihitung pada titik layak xN . Mempartisi x dan F (x) menjadi istilah linier dan nonlinier merupakan hal yang sangat penting untuk mendeskripsikan tujuan, namun lebih mudah untuk menunjukkan F (x) dan ∇f(xN ) hanya dengan f(x) dan g(x). Dengan beberapa pengecualian konvensional pada materi ini gunakan huruf besar untuk matriks, huruf kecil untuk vektor dan huruf kecil Yunani untuk skalar. Kuantitas ε > 0 menunjukkan ketepatan aritmatika floating − point.. 3.3 Model Pemecahan Optimasi (Presolving Optimization ) Ide menganalisis dan mengubah model optimasi menjadi bentuk yang lebih mudah untuk memperoleh solusi yang tepat. Dimulai dengan karya Brearley et al., sejumlah teknik telah digunakan untuk menganalisis model dalam bidang Operasi Riset. Istilah presolve adalah menunjukkan semua teknik yang digunakan untuk penyederhanaan model optimasi. Teknik-teknik ini telah dikembangkan secara luas untuk model program linear dan Model Program Linear Integer Campuran (MILP). Bixby dan Rothberg meneliti bahwa mengubah presolve simpul akar yang ada pada awal pencarian Branch and Bound dengan menurunkan kinerja dari CPLEX 8,0 dengan faktor 10,8, sementara presolve pada setiap simpul selain simpul akar dengan menurunkan kinerja dengan faktor 1,3 pada MIP tertentu model, menunjukkan pentingnya presolve untuk analisis komputasi luas dampak dari berbagai komponen algoritma presolve untuk MIPS. Beberapa ide untuk penyederhanaan model meliputi:. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

19 1. Penghapusan kendala berlebihan; 2. Identifikasi dan penghapusan kendala didominasi (kendala didominasi kendala dengan daerah layak yang merupakan superset dari daerah layak kendala lain dalam model); 3. Penghapusan variabel berlebihan; 4. Asimilasi baris tunggal dalam batas pada variabel; 5. Pengetatan batas pada variabel ganda; 6. Memperbaiki variabel pada batasan-batasan kendala; 7. Meningkatkan sparsity dalam model; 8. Penataan ulang variabel dan kendala untuk struktur yang diinduksi.. Operasi pra-pengolahan serupa dapat diturunkan untuk masalah nonlinier. Beberapa pedoman umum yang meliputi sebagai berikut:. 1. Hindari fungsi berpotensi terdefinisi; 2. Mengurangi nonlinear dalam model; 3. Meningkatkan skala model; 4. Kenaikan kecembungan dalam model melalui formulasi ulang.. Keberhasilan presolve dalam pemrograman matematika telah menjadikan perpanjangan untuk pemrograman kendala umum seperti reformulasi otomatis model CP. Metode ini dapat membuat penyederhanaan yang cukup besar dalam model, dan juga dapat membuat penurunan memori yang diperlukan untuk memecahkan masalah. Keuntungan lain dari metode presolve ini adalah bahwa model presolve seringkali mampu mendeteksi ketidaklayakan dalam model optimasi. Jika model presolve adalah tidak layak, maka model asli juga tidak. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

20 layak. Metode P resolve juga dapat digunakan untuk mendeteksi dan memperbaiki penyebab ketidaklayakan untuk model optimasi yang tidak layak. (Puranik dan Sahinidis, 2017). UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN. 4.1 Model Persoalan Formulasi Mixed Integer Nonlinear Programming Non- Konveks dengan fungsi f (x) dan g(x) adalah sebagai berikut: min f (x, x1, . . . , xn ). (4.1). g(x) ≤ 0,. (4.2). l i ≤ xi ≤ ui. (4.3). x ∈ X, xi ∈ Z∀i ∈ I. (4.4). dengan kendala. dimana X ⊆ Rn , l dan u adalah vektor dari batasan bawah li ∈ R ∪ {∞}, dan I ⊆ {1, . . . , n + q} adalah himpunan indeks dari variabel integer. Tanpa menghilangkan bentuk umum, diasumsikan sebuah objektif linier karena sebuah fungsi objektif linier f (x), dapat ditambahkan kendala f(x) ≤ xn+k dan min xn+q . Daerah X yang layak ditentukan oleh kendala linier dan nonlinier g(x) ≤ 0, dimana g(x) dan karena X yang mungkin nonkonveks. Sehingga dapat dibuat Perumusan ulang formulasi dari MINLP sebagai berikut: min xn+q. (4.5). xk = Vk (X). (4.6). li ≤ xi ≤ ui. (4.7). k = n + 1, n + 2, . . . , n + q. (4.8). x ∈ X, xi ∈ Z∀i ∈ I. (4.9). dengan kendala. 21. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

22 Keterangan:. q. = Variabel tambahan baru jumlah dari variabel integer. Vk = Operator dari O {+, x, /, sin, cos, exp, log}. 4.2 Metode Reduksi Domain Metode reduksi domain adalah salah satu metode untuk mengerucutkan domain dengan menggunakan informasi tentang solusi terbaik yang ditemukan sejauh ini. Tujuan teknik ini adalah menghapus bagian dari ruang pencarian untuk dapat ditetapkan bahwa tidak ada solusi yang layak atau ada solusi yang layak tidak lebih baik daripada solusi terbaik yang ditemukan hingga saat ini. Langkah ini opsional dalam arti bahwa algoritma Branch and Bound ditunjukkan untuk konvergen tanpa opsional, tetapi metode ini dapat mengurangi jumlah iterasi dan run time. Constraint Satisfaction Problem (CSP) terdiri dari himpunan variabel terbatas, domain dan kendala. Solusi dari CSP adalah penugasan nilai dari domain pada variabel sehingga semua kendala terpenuhi. Secara umum, masalah ini adalah NP - hard dan oleh karena itu diharapkan untuk menghitung lampiran dari solusi yang ditetapkan. Pernyebaran kendala rutinitas adalah metode numerik yang membantu dalam penelitian ini. Menggunakan informasi tentang hubungan antara variabel yang termasuk dalam kendala tunggal, atau dalam satu set dari kendala - kendala, metode ini berusaha mengerucutkan domain. Metode penyebaran kendala-kendala menggunakan gambaran analisis interval, metode ini meninjau domain interval dan menggunakan aritmatika interval.. 4.3 Aritmatika Interval Aritmatika interval adalah sistem aritmatika berdasarkan interval bilangan real. Sebuah variabel interval didefinisikan menggunakan batas atas dan batas bawah variabel. Variabel itu sendiri terletak diantara batasan tersebut.. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

23 Perhatikan variabel interval berikut ini: → − → − − → → x u ] dan → y = [− y l, → y u] x = [− x l, −. (4.10). → → dimana − x adalah variabel interval x dengan − x l adalah variabel x batas bawah → → dan − x u adalah variabel x batas atas. Dan − y adalah variabel interval y dengan → → − x u adalah variabel y batas atas. y l adalah variabel y batas bawah dan − Penambahan dua interval bisa didefinisikan sebagai berikut: → → → − → → → y l, − xu+− x u] x +− y = [− xl+−. (4.11). Operator penambahan didefinisikan oleh persamaan (4.11) − → → → → x +− y = {x + y, x ∈ − x dan y ∈ − y}. (4.12). Tambahan untuk mendefinisikan operator klasik yang lain dapat didefinisikan sebagai berikut: → → → − → → → y u, − xu+− y l] x −− y = [− xl+−. (4.13). → → → − → → → − → → − y l, − xl ×− y u, → xu ×− y l, − xu×− y u] x ×− y = [min → xl×−   1 1 1 → → / [− x u, − = − , →l , 0 ∈ x l] → − → x xu − x   → − x 1 → → → − = x,− ,0 ∈ / [− y l, − y u] → − → y y. (4.14) (4.15) (4.16). Operator-operator ini dapat didefinisikan dengan tepat perhitungan untuk bilangan infinit dalam interval dan untuk kasus ini ketika 0 terletak pada interval penyebut dalam operasi pembagian Ekstensi alami dari fungsi faktor dapat dihitung dengan mengganti semua operasi dasar yang terlibat dalam perhitungan fungsi berfaktor dengan pasangan intervalnya. Ekstensi alami menyediakan batas bawah dan atas yang valid untuk nilai fungsi. Metode Aritmatika interval menggunakan pembulatan keluar untuk memastikan tidak ada nilai yang hilang karena kesalahan pembulatan. Metode ini digunakan untuk merancang optimisasi dasar branch and bound yang tepat dan metode pencarian akar yang memastikan tidak ada solusi yang hilang karena UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

24 kesalahan pembulatan. Metode nilai fungsi batasan melalui aritmatika interval dan melakukan reduksi domain melalui percabangan dan tes pengukuran berdasarkan monotonisitas, konveksitas, ketidaklayakan serta metode tipe interval Newton yang menyediakan kondisi untuk keberadaan dan keunikan solusi dalam sebuah interval.. 4.4 Reduksi Domain yang Tidak Layak Metode yang dijelaskan di bagian ini eliminasi daerah ruang pencarian kendala kendala yang tidak layak pada (4.1). Pengoptimalan global algoritma mempertahankan variabel kontinu dan diskrit domain melalui batas atas dan bawah. Reduksi domain dicapai dengan membuat kendala kendala ini lebih ketat. Oleh karena itu, reduksi domain juga sering terjadi disebut sebagai pengikat batas. Batas yang paling ketat berdasarkan kelayakan dari kendala (4.1) dan (4.5) dapat diperoleh dengan memecahkan masalah berikut untuk masing masing n variabel (k = n + 1, n + 2, . . . , n + q):. min ±xk. (4.17). g(x) ≤ 0,. (4.18). l i ≤ xi ≤ ui. (4.19). θk = {x ∈ Rn+q , Xk = Vk (x), x ∈ X, xi ∈ Z∀i ∈ I}. (4.20). dengan kendala:. ±xk dalam masalah (4.17) menunjukkan dua masalah optimasi, di mana xk dan −xk secara individual diminimalkan. Dimana li adalah batasan bawah dari xi dan ui adalah batasan atas dari xi . Solusi masalah pengoptimalan ini mengembalikan batas yang paling ketat pada daerah yang layak. Jika batasan ini lebih ketat daripada pengguna batasan yang ditentukan dalam model, dapat di capai reduksi domain dengan menggunakan metode tersebut.. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN. 5.1 Kesimpulan Dalam tesis ini disajikan berbagai tinjauan teknik pengurangan domain yang diusulkan dalam literatur untuk MINLP Non- Konveks. Teknik-teknik ini bervariasi dalam kompleksitas termasuk yang sederhana seperti mengalikan dengan komputasi yang lebih intensif yang melibatkan solusi penuh dari optimasi subproblem. Metode penyebaran kendala-kendala menggunakan gambaran analisis interval, metode ini meninjau domain interval dan menggunakan aritmatika interval. Hasilnya menunjukkan bahwa teknik pengurangan domain memiliki dampak yang signifikan terhadap kinerja pemecah ini. Menggabungkan pengurangan domain dalam prospek Branch and Bound pada pengurangan besar dalam waktu komputasi.. 5.2 Saran Sebagai riset lanjutan dari penelitian ini adalah metode atau strategi untuk memperoleh reduksi dari daerah penyelesaian untuk Mixed Integer Nonlinear Programming (MINLP) konveks dan Non- Konveks.. 25. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

DAFTAR PUSTAKA. Belotti P. (2013). Bound Reduction Using Pairs Of Linear inqualities. Department Of Mathematical Sciences, Clemson University. Bonami P., Lee J., Leyffer S., dan Wachter A. (2011). More Branch and Bound Experiments in Convex Nonlinear Integer Programming. Bunin A. G. (2015). Extended reverse-convex programming: an approximate enumeration approach to global optimization. Xinjiang Arts Institute, 734 Tuanjie Road, Urumqi, Xinjiang Uyghur Autonomous Region Bunin A.G. (2015). Extended Reverse Convex Programming: An Active-Set Approach to Global Optimization. Xinjiang Arts Institute, 734 Tuanjie Road, Urumqi, Xinjiang Uyghur Autonomous Region Burer S., dan Letchford A.N. (2012). Non Convex Mixed Integer Nonlinear Programming : A Survey. Survey In Operations Research And Management Science 17: 97- 106. Caprara A., Monaci M., Locatelli M. (2016). Theoretical and computational results about optimality-based domain reductions. Springer Science., 64:513533. Dakin R. J. A. (1965). Tree Search Algorithm for Mixed Integer Programming. Computer Journal 8: 250-255. Duran M. dan Grossmann I.E. (1986). An Outer-Approximation Algorithm for A Class of Mixed Integer Nonlinear Programs. Math. Prog. 36:307339. Duran M.A dan Grossmann I.E.A. (1986). Mixed-Integer Nonlinier Programming Al-gorithm for Process Systems Synthesis. American Institute of Chemical Engineers Journal, 32:592-606. Gleixner M.A dan Wetlge S. (2013) Learning and Propagating Lagrangian Variable Bounds for Mixed-Integer Nonlinear Programming. The German Ministry of Education And Research. Gleixner M.A., Berthold T., Muller B., dan Wetlge S. (2016). Three Enhancements For Optimization- Based Bound Tightening. The German Ministry of Education And Research. Grossmann I.E. (1985). Mixed-Integer Programming Approach for The Synthesis of Integrated Process Flow-Sheets. Computer and Chemical Engineering 9:463-482. Kesavan P., Allgor R.J., Gatzke P.E., dan Barton P.I (2004). Outer Approximation Algorithms for Separable Nonconvex Mixed Integer Nonlinear Programs. Math Program, 517-585 Linderoth dan Luedtke J., (2016). Mixed Integer Nonlinear Programming. Department of Industrial and Systems Engineering University of WisconsinMadison. 26. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.

27 Land A.H. dan Doig A.G. (1960). An Automated Method for Solving Discrete Programming Problems. Econometrics 28: 497-520. Puranik V dan Sahidis V.N. (2017). Domain Reduction Techniques for Global NLP And MINLP Optimization. Carnegie Mellon University Sitopu W.J., Mawengkang H., dan Lubis S.R. (2018). An Improved Search Approach for Solving Non-Convex Mixed-Integer Non Linear Programming Problems. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering Vigerske S., dan Gleixner A. (2017). SCIP: Global Optimization of Mixed-Integer Nonlinear Programs in a Branch-and-Cut Framework. Zuse Institute Berlin. Wechsung A. (2014). Global Optimization in Reduced Space. Massachusetts Institute of Technology.. UNIVERSITAS SUMATERA UTARA.